2021-2022学年八年级上册华东师大版数学 第13章　全等三角形 习题课件（403张PPT）

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数学·华师版·八年级上册
第13章　全等三角形
13.1　命题、定理与证明
课时1　命题
1.[2021甘肃兰州第四片区期末]下列语言叙述是命题的是
(　　)
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗?
C.延长线段AO到点C,使OC=OA
D.两直线平行,内错角相等
知识点1
命题的判断及组成
答案
1.D
2.[2020安徽合肥四十二中期中]命题“两条直线相交,只有一个交点”的条件是
(　　)
A.两条直线
B.交点
C.两条直线相交
D.只有一个交点
知识点1
命题的判断及组成
答案
2.C
寻找命题条件、结论的方法
(1)条件有时用“已知
??”或“若
??”的形式表达,结论用“求证
??”或“则
??”的形式表达;(2)有一些命题的叙述,其条件和结论并不那么明显,我们可以先把它改写成“如果??,那么??”的形式,再找出它的条件和结论,改写时要根据实际意义,适当地添加主语或指示代词.
名师点睛
3.命题“等角的余角相等”的条件是“两个角相等”,结论是“　　　　　　　　　　　　”.?
知识点1
命题的判断及组成
答案
3.它们的余角相等
4.请写出一个关于平行线的命题:　
.?
知识点1
命题的判断及组成
答案
4.两直线平行,同位角相等(答案不唯一)
5.指出下列命题的条件和结论.
(1)若a>0,b>0,则ab>0;
(2)若∠A=∠B,∠B=∠C,则∠A=∠C;
(3)不等式的两边同乘一个负数,不等号方向改变.
知识点1
命题的判断及组成
答案
5.【解析】　(1)条件是“a>0,b>0”,结论是“ab>0”.
(2)条件是“∠A=∠B,∠B=∠C”,结论是“∠A=∠C”.
(3)条件是“不等式的两边同乘一个负数”,结论是“不等号方向改变”.
6.把下列命题改写成“如果??,那么??”的形式.
(1)互补的两个角不可能都是锐角;
(2)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
知识点1
命题的判断及组成
答案
6.【解析】　(1)如果两个角互补,那么这两个角不可能都是锐角.
(2)如果平面内的两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
命题改写的注意事项
添加“如果”“那么”后,命题的意义不能改变,改写的句子要完整,语句要通顺,使命题的条件和结论更明显.改写过程中,可适当添加词语.
名师点睛
7.[2021广东深圳宝安区期末]下列命题中,假命题是
(　　)
A.平面内,若a∥b,a⊥c,那么b⊥c
B.两直线平行,同位角相等
C.负数的平方根是负数
D.若3????=3????,则a=b
?
知识点2
真假命题的判断
答案
7.C　【解析】　易知A,B,D是真命题.因为负数没有平方根,所以C是假命题.故选C.
8.[2021黑龙江哈尔滨南岗区期末]给出下列四个命题:①5是25的算术平方根;②(-4)2的平方根是-4;③经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;④同旁内角互补.其中真命题的个数是
(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
知识点2
真假命题的判断
答案
8.C　【解析】　易知①③是真命题;因为(-4)2=16,16的平方根是±4,所以②是假命题;因为两直线平行,同旁内角互补,所以④是假命题.所以真命题的个数为2.故选C.
9.[2021吉林长春新区期末]下列选项中m的值,可以作为命题“m2>4,则m>2”是假命题的反例的是
(　　)
A.3
B.2
C.-3
D.-2
知识点2
真假命题的判断
答案
9.C　【解析】　解法一　当m=-3时,m2=(-3)2=9>4,而-3<2,说明命题“m2>4,则m>2”是假命题.选项A,B,D均不符合题意.故选C.
解法二　当m2>4时,|m|>2,所以m<-2或m>2,所以m<-2时,说明命题“m2>4,则m>2”是假命题.结合题中选项知选C.
10.[2021福建漳州期末]命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是　　　　(填“真命题”或“假命题”).?
知识点2
真假命题的判断
答案
10.真命题
11.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一反例加以说明.
(1)两个负数的差一定是负数;
(2)两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
(3)若AC=BC,则点C是线段AB的中点.
知识点2
真假命题的判断
答案
11.【解析】　(1)假命题.如-1-(-2)=1,1是正数.
(2)假命题.如两条直线不是平行线,则被第三条直线所截得到的内错角不相等.
(3)假命题.如当点C不在线段AB上但满足AC=BC时,点C不是线段AB的中点.
课时2　定理与证明
13.1　命题、定理与证明
1.下列真命题能作为基本事实的是
(　　)
A.对顶角相等
B.三角形的内角和是180°
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.内错角相等,两直线平行
知识点1
基本事实与定理
答案
1.C
2.下列说法中,错误的是
(　　)
A.所有的定义都是命题
B.所有的基本事实都是命题
C.所有的定理都是命题
D.所有的命题都是定理
知识点1
基本事实与定理
答案
2.D
定理与真命题和基本事实的关系
(1)定理与真命题的关系:定理是真命题,但真命题不一定是定理,只有经过证明正确且可以作为进一步判断其他命题真假的依据的真命题才是定理.(2)定理与基本事实的关系:它们都是真命题,定理要用推理的方法判断其正确性,而基本事实则不需要证明;定理是由基本事实直接或间接推导出来的.
名师点睛
3.[2020湖南郴州中考]如图,直线a,b被直线c,d所截.下列条件能判定a∥b的是
(　　)
A.∠1=∠3
B.∠2+∠4=180°
C.∠4=∠5
D.∠1=∠2
知识点2
证明
答案
3.D　【解析】　当∠1=∠3时,c∥d;当∠2+∠4=180°时,c∥d;当∠4=∠5时,c∥d;当∠1=∠2时,a∥b.故选D.
4.如图,已知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点M,N,∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G.求证:MG⊥NG.
请补全下面的证明过程.
证明:∵MG平分∠BMN(　　　　　　　　),?
∴∠GMN=12∠BMN(　　　　　　　　).?
同理∠GNM=12∠DNM.
∵AB∥CD(　　　　　　　　),?
∴∠BMN+∠DNM=　　　　(　　　　　　　　　　　　　),?
∴∠GMN+∠GNM=　　　　(　　　　　　　　　　　　　).?
∵∠GMN+∠GNM+∠G=　　　　(　　　　　　　　　　　　　　　),?
∴∠G=　　　　　　　　,?
∴MG⊥NG(　　　　　　　　).?
?
知识点2
证明
答案
4.已知　角平分线的定义　已知　180°　两直线平行,同旁内角互补　90°　等式的性质　180°　三角形的内角和等于180°　90°　垂直的定义
5.在学行线的性质以后,我们可以用几何推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”.
如图,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
知识点2
证明
答案
5.【解析】　如图,作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB.
因为CE∥AB,
所以∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等),
∠B=∠DCE(两直线平行,同位角相等),
又因为∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°(平角的定义),
所以∠A+∠B+∠ACB=180°.
证明命题的注意事项
对于一个命题的证明,证法往往不唯一,要注意结合图形选择合适的方法,保证推理的每一步都要合乎逻辑、理由充分、有理有据.
名师点睛
6.在四边形ABCD中,给出下列论断:①AB∥DC;②AD∥BC;③∠A=∠C.以其中两个作为条件,另外一个作为结论,用“如果??,那么??”的形式,写出一个你认为正确的命题并加以证明.
知识点2
证明
答案
6.【解析】　在四边形ABCD中,如果AB∥DC,∠A=∠C,那么AD∥BC.证明如下:
如图所示,∵AB∥DC(已知),
∴∠A+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠A=∠C(已知),
∴∠C+∠D=180°(等量代换),
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
(答案不唯一)
命题证明的一般步骤
(1)分清命题的条件和结论,若命题与图形有关,则根据题意,画出图形,并在图形上标出相关的字母和符号;(2)根据条件和结论,结合图形,写出已知、求证;(3)观察图形,分析证明思路,找出证明方法;(4)写出证明的过程,并注明依据.
归纳总结
7.[2019辽宁朝阳中考]把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行.若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是
(　　)
?A.83°
B.57°
C.54°
D.33°
知识点3
直角三角形的两个锐角互余
答案
7.B　【解析】　如图,过点C作CF∥AB,∴∠BCF=∠B=25°.∵AB∥DE,CF∥AB,
∴CF∥DE,∴∠FCE=∠E=90°-∠D=90°-58°=32°,∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=25°+
32°=57°.故选B.
8.[2021湖北恩施州期中]如果某直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是
　　　　.?
知识点3
直角三角形的两个锐角互余
答案
8.72°　【解析】　设这个锐角的度数是x°,则另一个锐角的度数是(90-x)°,由题意得,x=4(90-x),解得x=72,所以这个锐角的度数是72°.
9.[2021山东烟台期末]如图,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中与∠1相等(∠1除外)的角是　　　　
.?
知识点3
直角三角形的两个锐角互余
答案
9.∠B　【解析】　∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠1=90°,∴∠B=∠1.
课时1　全等三角形、全等三角形的
判定条件
13.2　三角形全等的判定
1.如图,若沿直线AC对折,△ABC与△ADC重合,则△ABC≌　　　　,AB的对应边是　　　　,AC的对应边是　　　　,
∠B的对应角是　　　　,∠BCA的对应角是　　　　.?
知识点1
全等三角形
答案
1.△ADC　AD　AC　∠D　∠DCA
　　(1)判断两个三角形是否全等只看它们能不能完全重合即可,与它们的位置无关.(2)一个三角形经过翻折、平移和旋转等变换得到的新三角形一定与原三角形全等.
名师点睛
2.[2021北京大兴区期末]图中的两个三角形全等,则∠1等于
(　　)
A.45°
B.62°
C.73°
D.80°
知识点2
全等三角形的性质
答案
2.C
3.[2020山东淄博中考]如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是
(　　)
A.AC=DE
B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE
D.∠ABC=∠AED
知识点2
全等三角形的性质
答案
3.B　【解析】　因为△ABC≌△ADE,所以AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=
∠DAE-∠DAC,所以∠BAD=∠CAE.由题中所给条件无法得到A,C,D选项中的结论,B选项一定成立.故选B.
4.[2021江苏南京联合体期末]如图,△ABC≌△DEF,四个点B,E,C,F在同一直线上.若BC=7,EC=5,则CF的长是　　
　.?
知识点2
全等三角形的性质
答案
4.2　【解析】　∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF,又∵BC=7,∴EF=7.∵EC=5,∴CF=EF-EC=7-5=2.
5.[2021山西朔州部分重点中学大联考]如图,△ACF≌△DBE,其中点A,B,C,D在一条直线上.
(1)若BE⊥AD于点B,∠F=62°,求∠A的大小;
(2)若AD=9
cm,BC=5
cm,求AB的长.
知识点2
全等三角形的性质
答案
5.【解析】　(1)∵BE⊥AD,∴∠EBD=90°.
∵△ACF≌△DBE,∴∠FCA=∠EBD=90°,
∴∠A=90°-∠F=28°.
(2)∵△ACF≌△DBE,∴CA=BD,
∴CA-CB=BD-BC,∴AB=CD.
∵AD=9
cm,BC=5
cm,
∴AB+CD=9-5=4(cm),
∴AB=2
cm.
6.[2021安徽阜阳颍州区期末]如图,将△ABC绕点O旋转180°得到△A'B'C',则下列结论不一定成立的是(　　)
A.点A与点A'是对应点
B.∠ACB=∠C'A'B'
C.AB=A'B'
D.BO=B'O
知识点3
全等变换
答案
6.B　【解析】　由题意得△ABC≌△A'B'C',由全等三角形的性质,得点A与点A'是对应点,∠ACB=∠A'C'B',∠ABC=
∠A'B'C',AB=A'B'.由旋转的性质,易知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称,所以BO=B'O.故选B.
7.如图,已知△ABC沿AB方向平移后得到△DEF,DF交BC于点O.若∠A=80°,∠E=60°,则∠C的度数是　　　　.?
知识点3
全等变换
答案
7.40°　【解析】　由题意知,△ABC≌△DEF,所以∠ABC=∠E=60°,所以∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-60°=40°.
8.如图,将长方形纸片ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若∠BAF=60°,求∠DAE的度数.
知识点3
全等变换
答案
8.【解析】　由题意知△ADE≌△AFE,
所以∠DAE=∠FAE.
因为四边形ABCD是长方形,所以∠BAD=90°,
所以∠BAF+∠FAE+∠DAE=90°,
又因为∠BAF=60°,
所以∠DAE=∠FAE=15°.
9.下列说法正确的是
(　　)
A.三个角对应相等的两个三角形全等
B.判定两个三角形全等的条件中至少有一个是等边
C.面积相等的两个三角形全等
D.周长相等的两个三角形全等
知识点4
全等三角形的判定条件
答案
9.B
10.下列说法正确的是
(　　)
A.有两边对应相等的两个三角形全等
B.有一边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
D.有三边对应相等的两个三角形全等
知识点4
全等三角形的判定条件
答案
10.D
1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将△ABC折叠,使点A落在CB边上A'处,折痕为CD,则∠A'DB=
(　　)
A.15°
B.10°
C.8°
D.5°
答案
1.B　【解析】　解法一　如图,由题意知△ADC≌△A'DC,∴∠1=∠A=50°.∵∠A=50°,
∠ACB=90°,∴∠B=90°-∠A=40°.∵∠1=∠B+∠A'DB,∴∠A'DB=∠1-∠B=50°-40°=10°.故选B.
解法二　如图,由题意知△ADC≌△A'DC,∴∠1=∠A=50°.∵∠A+∠ACB+∠1+∠ADA'=
360°,∴∠ADA'=360°-∠A-∠ACB-∠1=360°-50°-90°-50°=170°,∴∠A'DB=180°-∠ADA'=
180°-170°=10°.故选B.
全等三角形中求角的度数的基本思路
当求全等三角形中有关角的度数时,利用全等三角形的形式先确定两个三角形中角的对应关系,由这种关系实现已知角和未知角之间的转换,然后求出待求角的度数.
归纳总结
2.如图,已知△ACE≌△DBF,A,B,C,D四点在同一直线上,给出下列结论:①AC=DB;②AB=DC;③∠1=∠2;④AE∥DF;
⑤S△ACE=S△DBF;⑥BC=AE;⑦BF∥EC.
其中一定正确的个数是
(　　)
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
2.C　【解析】　∵△ACE≌△DBF,∴AC=DB,∠ECA=∠DBF,∠A=∠D,S△ACE=S△DBF,①⑤正确;∵AB+BC=AC=BD=
CD+BC,∴AB=CD,②正确;∵∠ECA=∠DBF,∴BF∥EC,∠1=∠2,③⑦正确;∵∠A=∠D,∴AE∥DF,④正确;由题中条件无法得到BC与AE相等,⑥不一定正确.故题中结论一定正确的个数是6.故选C.
3.[2021河北唐山丰南区期中]将三个全等三角形按如图所示的形式摆放,则∠1+∠2+∠3=　　　　°.?
答案
3.180　【解析】　如图,∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°.
∵三个三角形全等,∴∠4+∠9+∠6=180°.又∵∠5+∠7+∠8=180°,∴∠1+
∠2+∠3+180°+180°=540°,∴∠1+∠2+∠3=180°.
4.[2020江苏镇江市外国语学校月考]已知△ABC的三边长分别为7,5,3,△DEF的三边长分别为3x-2,2x-1,3.若这两个三角形全等,则x=　　　　.?
答案
4.3　【解析】　∵△ABC与△DEF全等,∴3x-2=7且2x-1=5,解得x=3,或3x-2=5且2x-1=7,没有满足条件的x的值.故x=3.
5.[2021河南商丘市实验中学月考]如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边所在直线翻折形成的,AE交CD于点P.若∠1∶∠2∶∠3=7∶2∶1,则∠α的度数为　　　　.?
答案
5.108°　【解析】　设∠3=x,则∠1=7x,∠2=2x.∵∠1+∠2+∠3=180°,∴7x+2x+x=180°,解得x=18°,∴∠1=126°,∠2=
36°,∠3=18°.∵△ABE是△ABC沿着AB边所在直线翻折形成的,∴△ABE≌△ABC,∴∠BAE=∠1=126°,∠E=∠3,
∴∠EAC=360°-∠BAE-∠1=360°-126°-126°=108°.∵△ADC是△ABC沿着AC边所在直线翻折形成的,∴△ADC≌
△ABC,∴∠ACD=∠3,∴∠E=∠ACD,而∠α+∠E=180°-∠DPE=180°-∠APC=∠PAC+∠ACP,∴∠α=∠EAC=108°.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4
cm,BC=3
cm,△ABC沿AB方向平移得到△DEF,连接CF.若AE=8
cm,DB=2
cm.
(1)求△ABC沿AB方向平移的距离;
(2)求四边形AEFC的周长.
答案
6.【解析】　(1)∵△ABC沿AB方向平移得到△DEF,
∴AD=BE=CF,△ABC≌△DEF,
∴EF=BC=3
cm.
∵AE=8
cm,DB=2
cm,
∴AD=BE=CF=8?22=3(cm),
∴△ABC沿AB方向平移的距离是3
cm.
(2)四边形AEFC的周长为AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18(cm).
?
7.[2021河北邯郸期中]如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)试说明:BD=DE+CE.
(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?并说明理由.
答案
7.【解析】　(1)∵△BAD≌△ACE,∴BD=AE,AD=CE.
又∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE.
(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.理由如下:
∵∠ADB=90°,∴∠BDE=180°-90°=90°.
∵△BAD≌△ACE,∴∠CEA=∠ADB=90°,
∴∠CEA=∠BDE,∴BD∥CE.
素养提升
8.如图,在正方形ABCD中,E是正方形AD边上一点,F是BA延长线上一点,并且AF=AE.已知△ABE≌△ADF.
(1)可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,怎样变换使△ABE与△ADF完全重合?
(2)指出图中线段BE与DF之间的数量和位置关系,并说明理由.
答案
8.【解析】　(1)结合题中图形可知,
△ABE绕点A逆时针旋转90°可以与△ADF完全重合.
(2)BE⊥DF,BE=DF.理由如下:
如图,延长BE交DF于点H.
∵△ABE≌△ADF,
∴∠AEB=∠F,BE=DF.
易知∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠F=90°,
∴∠BHF=180°-(∠ABE+∠F)=180°-90°=90°,
∴BE⊥DF.
课时2　边角边
13.2　三角形全等的判定
1.[2021湖南益阳赫山区期中]如图,AC和BD相交于O点.若OA=OD,用“S.A.S.”证明△AOB≌△DOC,还需的条件为
(　)
A.AB=DC
B.OB=OC
C.∠C=∠B
D.∠AOB=∠DOC
知识点1
判定三角形全等的基本事实:边角边
答案
1.B
2.[2021广西钦州期中]如图,要用“S.A.S.”证明△ABC≌△ADE.若已知AB=AD,AC=AE,则还需要的条件为　　　　　.
(用图中的字母表示)?
知识点1
判定三角形全等的基本事实:边角边
答案
2.∠BAE=∠DAC(或∠BAC=∠DAE)
正确理解“S.A.S.”
　　应用“S.A.S.”判定两个三角形全等时一定要保证相等的角必须是分别对应相等的两边的夹角,即“两边夹一角”,且不可出现“边边角”的错误.
名师点睛
3.[2020吉林中考]如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:△DEB≌△ABC.
知识点1
判定三角形全等的基本事实:边角边
答案
3.【解析】　∵DE∥AC(已知),
∴∠EDB=∠A(两直线平行,同位角相等).
在△DEB与△ABC中,
∵DE=AB(已知),∠EDB=∠A(已证),BD=CA(已知),
∴△DEB≌△ABC(S.A.S.).
4.[2021云南昆明五华区期末]已知:如图,A,C,F,D在同一条直线上,且AB∥DE,AF=DC,AB=DE.求证:△ABC≌△DEF.
知识点1
判定三角形全等的基本事实:边角边
答案
4.【解析】　∵AB∥DE(已知),
∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
∵AF=CD(已知),
∴AC+CF=DF+CF,∴AC=DF(等式的性质).
在△ABC和△DEF中,
∵AC=DF(已证),∠A=∠D(已证),AB=DE(已知),
∴△ABC≌△DEF(S.A.S.).
5.如图,MP⊥NP,MQ为△NMP的角平分线,点T在MN上,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不一定正确的是(　　)
A.∠PMN=∠NQT
B.∠MQT=∠MQP
C.∠QTN=90°
D.∠NQT=∠MQT
知识点2
“边角边”的运用
答案
5.D　【解析】　∵MQ平分∠PMN,∴∠QMP=∠QMN.在△QMP和△QMT中,MQ=MQ,∠QMP=∠QMT,MP=MT,
∴△QMP≌△QMT(S.A.S.),∴∠MQP=∠MQT,∠QTM=∠P=90°,故B,C正确.∵∠PMN+∠PQT=360°-90°-90°=180°,
∠NQT+∠PQT=180°,∴∠NQT=∠PMN,故A正确.根据题中所给的条件,无法得出∠NQT=∠MQT,故D不一定正确.故选D.
6.[2021山东临沂兰山区期中]如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,E点在BC上,CE=CA,连接DE.若∠A=55°,则∠BDE=　　　　°.?
知识点2
“边角边”的运用
答案
6.20　【解析】　∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCE.在△ACD和△ECD中,∵CA=CE,∠ACD=∠ECD,CD=CD,
∴△ACD≌△ECD(S.A.S.),∴∠CED=∠A=55°.∵∠ACB=90°,∴∠B=180°-90°-55°=35°,∴∠BDE=∠CED-∠B=
55°-35°=20°.
7.[2020广东广州中考]如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,∠D=80°.求∠BCA的度数.
知识点2
“边角边”的运用
答案
7.【解析】　在△ABC和△ADC中,
∵AB=AD(已知),∠BAC=∠DAC(已知),AC=AC(公共边),
∴△ABC≌△ADC(S.A.S.),
∴∠BCA=∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°.
8.[2021浙江台州期中]某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳,图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点,为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35
cm.由以上信息能求出CB的长度吗?如果能,请求出CB的长度;如果不能,请说明理由.
知识点2
“边角边”的运用
答案
8.【解析】　能.
∵O是AB,CD的中点(已知),
∴OA=OB,OC=OD(中点的定义).
在△AOD和△BOC中,
∵OA=OB(已证),∠AOD=∠BOC(对顶角相等),OD=OC(已证),
∴△AOD≌△BOC(S.A.S.),
∴CB=AD(全等三角形的对应边相等).
∵AD=35
cm,∴CB=35
cm.
1.[2020山东临沂河东区期中]如图,△ABC中,∠B=∠C=65°,BD=CE,BE=CF,则∠DEF的度数是(　　)
A.75°
B.70°
C.65°
D.60°
答案
1.C　【解析】　∵BD=CE,∠B=∠C=65°,BE=CF,∴△DBE≌△ECF(S.A.S.),∴∠BDE=∠CEF.∵∠BDE+∠BED=
180°-65°=115°,∴∠BED+∠CEF=115°,∴∠DEF=180°-115°=65°.故选C.
2.[2021吉林长春宽城区期末]如图,AB=AC,点D,E分别是AB,AC上一点,AD=AE,BE,CD相交于点M.若∠BAC=60°,∠C=
25°,则∠BMD的大小为
(　　)
A.50°
B.65°
C.70°
D.80°
答案
2.C　【解析】　在△ADC与△AEB中,∵AD=AE,∠A=∠A,AC=AB,∴△ADC≌△AEB(S.A.S.),∴∠B=∠C,∠AEB=
∠ADC.∵∠BAC=60°,∠C=25°,∴∠AEB=∠ADC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-25°=95°,∴∠BMC=∠DME=360°-∠AEB-∠ADC-∠BAC=360°-95°-95°-60°=110°,∴∠BMD=180°-110°=70°.故选C.
3.易错题[2020江苏南通期中]如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB?????????????BC?????????????CD?????????????DA向终点A运动.设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为
(　　)
A.3
B.5或7
C.7
D.3或7
?
答案
3.D　【解析】　分两种情况讨论:①当BP=CE时,在△ABP与△DCE中,∵AB=DC,∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE,
∴△ABP≌△DCE,由题意得BP=t-2=1,∴t=3;②当AP=CE时,在△ABP与△CDE中,∵AB=CD,∠BAP=∠DCE=90°,
AP=CE,∴△ABP≌△CDE,由题意得AP=8-t=1,解得t=7.综上,当t的值为3或7时,△ABP和△DCE全等.故选D.
4.如图,已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C,D,E,F共线.给出下列结论:①△AFB≌△AEC;②BF=CE;③∠BFC=
∠EAF;④AB=BC.其中一定正确的是　　　　　.(填序号)?
答案
4.①②③　【解析】　∵∠EAF=∠BAC,∴∠BAF=∠CAE,在△FAB与△EAC中,AF=AE,∠BAF=∠CAE,AB=AC,
∴△FAB≌△EAC(S.A.S.),故①正确;∵△FAB≌△EAC,∴BF=CE,故②正确;∵△FAB≌△EAC,∴∠ABF=∠ACE,又∵∠BDF=∠ADC,∴∠BFC=∠DAC,又∵∠DAC=∠EAF,∴∠BFC=∠EAF,故③正确;由已知条件无法得到AB=
BC,故④不一定正确.
5.[2021重庆二十九中期末]如图,方格纸中有4个完全相同的小正方形,则∠1+∠2的度数为　　　　.?
答案
5.90°　【解析】　如图,设小正方形的边长为1,在△ABC与△EDA中,AB=ED=1,∠ABC=
∠EDA=
90°,BC=DA=2,∴△ABC≌△EDA,∴∠1=∠EAD,∴∠1+∠2=∠EAD+∠2=90°.
6.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一直线上,连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明;(不添加其他字母及线段)
(2)求证:DC⊥BE.
答案
6.【解析】　(1)△ABE≌△ACD.证明如下:
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠BAC+∠CAE
=∠EAD+∠CAE,∴∠BAE=∠CAD.
在△ABE与△ACD中,
∵AB=AC(已证),∠BAE=∠CAD(已证),AE=AD(已证),
∴△ABE≌△ACD(S.A.S.).
(2)∵△ABE≌△ACD(已证),
∴∠ACD=∠ABE=45°(全等三角形的对应角相等),
又∵∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,
∴DC⊥BE.
素养提升
7.[2021河北邢台市第二十五中学期中]某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.
?
【探究与发现】
(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,求证:△ACD≌△EBD.
【理解与应用】
(2)如图2,EP是△DEF的中线.若EF=5,DE=3,则EP的取值范围是　　　　　.?
(3)如图3,AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.
答案
7.【解析】　(1)∵AD是△ABC的中线(已知),
∴CD=BD(中线的定义).
在△ACD和△EBD中,
∵CD=BD(已证),∠ADC=∠EDB(对顶角相等),AD=ED(已知),
∴△ACD≌△EBD(S.A.S.).
(2)1如图1,延长EP至点M,使PM=EP,连接DM,则EM=2EP.
∵EP是△EFD的中线(已知),
∴FP=PD(中线的定义).
在△EPF和△MPD中,
∵EP=MP,∠EPF=∠MPD(对顶角相等),FP=DP(已证),
∴△EPF≌△MPD(S.A.S.),
∴DM=EF=5(全等三角形的对应边相等).
在△EMD中,DM-ED∴1答案
(3)如图2,延长FD至点G,使得GD=DF,连接BG,EG.
∵AD是△ABC的中线(已知),∴DC=DB(中线的定义).
在△DFC和△DGB中,
∵DF=DG,∠CDF=∠BDG(对顶角相等),DC=DB(已证),
∴△DFC≌△DGB(S.A.S.),
∴BG=CF(全等三角形的对应边相等).
在△EDF和△EDG中,
∵DF=DG,∠FDE=∠GDE=90°,DE=DE(公共边),
∴△EDF≌△EDG(S.A.S.),
∴EF=EG(全等三角形的对应边相等).
在△BEG中,BG+BE>EG.
∵EF=EG,BG=CF,∴BE+CF>EF.
课时3　角边角
13.2　三角形全等的判定
1.[2021吉林长春朝阳区期末]如图,点D在AE上,∠CAD=∠BAD,若直接依据“A.S.A.”证明△ACD≌△ABD,则需添加的一个条件是
(　　)
A.∠B=∠C
B.∠ADC=∠ADB
C.AB=AC
D.BD=CD
知识点1
判定两三角形全等的基本事实:角边角
答案
1.B
2.易错题如图,AB∥CD,点C是BE的中点,直接应用“A.S.A.”证明△ABC≌△DCE还需要的条件是(　　)
A.AB=CD
B.∠ACB=∠E
C.∠A=∠D
D.AC=DE
知识点1
判定两三角形全等的基本事实:角边角
答案
2.B　【解析】　∵点C是BE的中点,∴BC=CE.∵AB∥CD,∴∠B=∠DCE,∴应添加条件∠ACB=∠E才能直接应用“A.S.A.”证明△ABC≌△DCE.故选B.
3.[2021云南昆明期末]如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
知识点1
判定两三角形全等的基本事实:角边角
答案
3.【解析】　在△ABC和△EDC中,
∵∠A=∠E(已知),
AC=EC(已知),
∠ACB=∠ECD(对顶角相等),
∴△ABC≌△EDC(A.S.A.).
4.[2021吉林四平期末]如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是
(　　)
A.带①去
B.带②和③去
C.带③去
D.带①和②去
知识点2
“角边角”的运用
答案
4.A　【解析】　①不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据“A.S.A.”来配一块完全一样的玻璃.故选A.
5.[2021甘肃武威九中期末]如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.若∠C=71°,则∠BDE的度数为　　　　　°.?
知识点2
“角边角”的运用
答案
5.71　【解析】　∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∠AOD=∠BOE,
∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∵∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=
∠BED,∴△AEC≌△BED(A.S.A.),∴∠BDE=∠C=71°.
6.[2020江苏南京中考]如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.
知识点2
“角边角”的运用
答案
6.【解析】　在△ACD和△ABE中,
∵∠A=∠A(公共角),AC=AB(已知),∠C=∠B(已知),
∴△ACD≌△ABE(A.S.A.),
∴AD=AE(全等三角形的对应边相等),
∴AB-AD=AC-AE(等式的性质),∴BD=CE.
7.如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:BD=CE.
知识点2
“角边角”的运用
答案
7.【解析】　∵AB⊥AC,AD⊥AE(已知),
∴∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°(垂直的定义),
∴∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中,
∵∠BAD=∠CAE(已证),AB=AC(已知),∠ABD=∠ACE(已知),
∴△ABD≌△ACE(A.S.A.),
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
8.原创题为进一步加强新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控宣传教育工作,引导广大群众科学防控、群防群控,某区的值班员沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的新冠肺炎疫情防控宣传标语口号.其具体信息汇集如下.
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20米,行车道的宽度一样.请根据上述信息求标语CD的长度.
知识点2
“角边角”的运用
知识点2
“角边角”的运用
答案
8.【解析】　因为AB∥CD(已知),
所以∠ABO=∠CDO(两直线平行,内错角相等).
因为OD⊥CD(已知),所以∠CDO=90°(垂直的定义),
所以∠ABO=90°,所以OB⊥AB.
因为行车道的宽度一样,所以OB=OD.
在△ABO与△CDO中,因为∠ABO=∠CDO(已证),
OB=OD(已证),
∠AOB=∠COD(对顶角相等),
所以△ABO≌△CDO(A.S.A.),
所以CD=AB=20
米.
答:标语CD的长度为20米.
1.[2021河北邯郸期中]有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,将三角形纸片按下列方式用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是(　　)
答案
1.C　【解析】　A项与B项,均可由“S.A.S.”证得两个小三角形全等;C项,如图1,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=
x°+∠BDE,∴∠FEC=∠BDE,∴BE和CF是对应边,而已知给的是BD=FC=3,无法判断BE与CF的数量关系,∴不能判定两个小三角形全等;
D项,如图2,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE,∴∠FEC=∠BDE,在△BDE与△CEF中,∵∠BDE=∠CEF,BD=CE=2,∠B=∠C,∴△BDE≌△CEF(A.S.A.),∴能判定两个小三角形全等.综上,可能得不到全等三角形纸片的是选项C.故选C.
2.[2020河南周口期末]如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点放在A点,两条直角边分别与CD,CB的延长线交于点F,E,则四边形AECF的面积是　　　　.
?
答案
2.16　【解析】　∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AD=AB,∴∠ABE=∠D=90°.∵∠BAD=
∠EAF=90°,∴∠DAF+∠BAF=∠BAE+∠BAF=90°,∴∠DAF=∠BAE.在△AEB和△AFD中,∵∠ABE=∠ADF,
AB=AD,∠BAE=∠DAF,∴△AEB≌△AFD(A.S.A.),∴S△AEB=S△AFD,∴S四边形AECF=S正方形ABCD=16.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=∠ACD=45°,D,E是BC上两点,且∠DAE=45°,过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥
BC,垂足是C,CF交AF于点F,连接EF.给出下列结论:①△ABD≌△ACF;②DE=EF;③若S△ADE=10,S△CEF=4,则S△ABC=24;④BD+CE=DE.其中正确结论的序号是　　　　.?
答案
3.①②③　【解析】　∵∠B=∠ACB=45°,∴∠BAC=90°.∵AF⊥AD,BC⊥CF,∴∠DAF=∠BAC=∠ECF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF=45°,又∵AB=AC,∴△ABD≌△ACF(A.S.A.),故①正确.∵△ABD≌△ACF,
∴AD=AF.∵AE=AE,∠EAD=∠EAF=45°,AD=AF,∴△AED≌△AEF(S.A.S.),∴DE=EF,故②正确.∵S△ADE=10,
S△CEF=4,∴S△ABD+S△AEC=14,∴S△ABC=S△ABD+S△AEC+S△ADE=14+10=24,故③正确.∵△ABD≌△ACF,∴BD=CF.
∵EC+CF>EF,∴BD+CE>DE,故④错误.故正确结论的序号是①②③.
4.[2020湖北黄石中考]如图,AB=AE,AB∥DE,∠DAB=70°,∠E=40°.
(1)求∠DAE的度数;
(2)若∠B=30°,求证:AD=BC.
答案
4.【解析】　(1)∵AB∥DE(已知),
∴∠EAB=∠E=40°(两直线平行,内错角相等),
∵∠DAB=70°(已知),∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=30°.
(2)在△BCA与△ADE中,
∵∠B=∠DAE,AB=AE(已知),∠BAC=∠E(已证),
∴△BCA≌△ADE(A.S.A.),
∴AD=BC(全等三角形的对应边相等).
5.如图,点P是△ABC的边BC上的一个动点,过点A作EF∥BC,过点P分别作PM∥AB,PN∥AC,PM,PN分别交EF于M,N两点.当BP=2PC时,线段AM与AN有什么数量关系?请说明理由.
答案
5.【解析】　AM=2AN.理由如下:
连接PA,
∵AC∥PN,EF∥BC(已知),
∴∠CAP=∠NPA,∠CPA=∠NAP(两直线平行,内错角相等).
在△APC和△PAN中,
∵∠CPA=∠NAP(已证),
PA=AP(公共边),
∠CAP=∠NPA(已证),
∴△APC≌△PAN(A.S.A.),
∴PC=AN(全等三角形的对应边相等).
同理得△APB≌△PAM(A.S.A.),
∴BP=MA(全等三角形的对应边相等).
∵BP=2PC,∴AM=2AN.
素养提升
6.观察发现:如图1,OP平分∠MON,在OM,ON上分别取点A,B,使OA=OB,再在OP上任取一点D,连接AD,BD,请你猜想AD与BD之间的数量关系,并说明理由.
拓展应用:如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,AD,CE相交于点F,请你写出FE与FD之间的数量关系,并说明理由.
答案
6.【解析】　观察发现:AD=BD.理由如下:
∵OP平分∠MON(已知),∴∠DOA=∠DOB(角平分线的定义).
在△OAD和△OBD中,
∵OA=OB(已知),∠DOA=∠DOB(已证),OD=OD(公共边),
∴△OAD≌△OBD(S.A.S.),
∴AD=DB(全等三角形的对应边相等).
拓展应用:FE=FD.理由如下:
如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵AD平分∠BAC(已知),
∴∠EAF=∠GAF(角平分线的定义).
在△AEF和△AGF中,
∵AE=AG,∠EAF=∠GAF(已证),AF=AF(公共边),
∴△AEF≌△AGF(S.A.S.),
∴∠AFE=∠AFG(全等三角形的对应角相等),
答案
FE=FG(全等三角形的对应边相等).
∵∠ACB=90°,∠B=60°(已知),
∴∠BAC=30°(三角形内角和定理).
∵AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA(已知),
∴∠FAC=12∠BAC=15°,∠FCA=12∠BCA=45°(角平分线的定义),
∴∠AFG=∠AFE=∠FAC+∠FCA=15°+45°=60°(三角形外角的性质),
∴∠CFD=∠AFE=∠AFG=60°,
∴∠CFG=180°-60°-60°=60°(平角的定义),
∴∠CFG=∠CFD.
∵CE平分∠BCA(已知),∴∠GCF=∠DCF(角平分线的定义),
又∵CF=CF(公共边),∠CFG=∠CFD,∴△CFG≌△CFD(A.S.A.),
∴FG=FD(全等三角形的对应边相等),∴FE=FD.
?
课时4　角角边
13.2　三角形全等的判定
1.[2021华中师大一附中光谷分校月考]如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是
(　　)
A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
知识点1
判定两三角形全等的定理:角角边
答案
1.B　【解析】　在甲中,边a,c的夹角不是50°,所以甲不符合题意;在乙中,两边分别为a,c且夹角为50°,符合“S.A.S.”,所以乙符合题意;在丙中,两角分别是50°,72°,且72°角对的边是a,符合“A.A.S.”,所以丙符合题意.故选B.
　　如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等,这两个三角形一定全等,这时有两种不同的情况:一种情况是两个角及两角的夹边分别对应相等;另一种情况是两个角及其中一角的对边分别对应相等.
名师点睛
2.[2021黑龙江鸡西期末]如图,已知∠ABC=∠DCB,添加下列条件中的一个:①∠A=∠D;②AC=DB;③AB=DC.其中不能判定△ABC≌△DCB的是　　　　(只填序号).?
知识点1
判定两三角形全等的定理:角角边
答案
2.②　【解析】　已知∠ABC=∠DCB,且BC=CB,若添加①∠A=∠D,则可由“A.A.S.”判定△ABC≌△DCB;若添加
②AC=DB,不能判定△ABC≌△DCB;若添加③AB=DC,则可由“S.A.S.”判定△ABC≌△DCB.故答案为②.
3.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:△ADE≌△CFE.
知识点1
判定两三角形全等的定理:角角边
答案
3.【解析】　∵FC∥AB(已知),
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F(两直线平行,内错角相等).
在△ADE与△CFE中,
∵∠A=∠FCE(已证),
∠ADE=∠F(已证),
DE=FE(已知),
∴△ADE≌△CFE(A.A.S.).
4.[2021河北秦皇岛期末]如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF=3,EF=2,则AD的长为
(　　)
A.3
B.5
C.6
D.7
知识点2
“角角边”的运用
答案
4.B　【解析】　∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.
∵∠A=∠C,∠AFB=∠CED,AB=CD,∴△ABF≌△CDE(A.A.S.),∴AF=CE=4,DE=BF=3.∵EF=2,∴AD=AF+DF=
AF+(DE-EF)=4+(3-2)=5.故选B.
　　判定两个三角形全等时,“角角边”和“角边角”是可以相互转化的.如果可以用“角角边”判定两个三角形全等,则根据三角形内角和等于180°可知第三个角也相等,从而可以转化为用“角边角”判定两个三角形全等;反之亦然.
名师点睛
5.[2021山东日照期末]课间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间(如图),∠ACB=90°,AC=BC,每块砌墙用的砖块厚度为8
cm,小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为　　　　　cm.?
知识点2
“角角边”的运用
答案
5.56　【解析】　∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠CAD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=
90°.∴∠CAD=∠BCE,又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB,∴△ADC≌△CEB(A.A.S.),∴CD=BE,AD=CE.∵DE=CD+CE,
∴DE=
BE+AD=24+32=56(cm),∴两个墙脚之间的距离DE的长为56
cm.
6.[2020云南昆明中考]如图,AC平分∠BAE,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.
知识点2
“角角边”的运用
答案
6.【解析】　∵AC平分∠BAE(已知),
∴∠BAC=∠DAE(角平分线的定义).
在△BAC和△DAE中,
∵∠BAC=∠DAE(已证),∠C=∠E(已知),AB=AD(已知),
∴△BAC≌△DAE(A.A.S.),
∴BC=DE(全等三角形的对应边相等).
7.[2020湖南衡阳中考]如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:DE=DF.
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
知识点2
“角角边”的运用
答案
7.【解析】　(1)∵点D为BC的中点(已知),∴BD=CD(中点的定义).
∵DE⊥AB,DF⊥AC(已知),∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义).
在△BDE和△CDF中,
∵∠DEB=∠DFC(已证),∠B=∠C(已知),BD=CD(已证),
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.),
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).
(2)∵∠BDE=40°(已知),
∴∠B=90°-∠BDE=50°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠C=∠B=50°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°(三角形内角和定理).
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=5,则CH的长是
(　　)
A.1
B.35
C.53
D.2
?
答案
1.D　【解析】　∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEH=90°.又∵∠AHE=∠CHD,∴∠BAD=∠BCE.∵∠EAH=∠ECB,
∠AEH=∠CEB,EH=EB,∴△HEA≌△BEC(A.A.S.),∴EC=AE=5,则CH=EC-EH=AE-EH=5-3=2.故选D.
2.[2020江苏南通启秀中学期末]△AEB和△AFC如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=
∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中一定正确的有
(　　)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2.B　【解析】　在△ABE和△ACF中,∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF(A.A.S.),∴BE=CF,
∠BAE=∠CAF,∴∠CAF-∠BAC=∠BAE-∠BAC,∴∠1=∠2.∵△ABE≌△ACF,∴AB=AC,又∵∠NAC=∠MAB,
∠C=∠B,∴△ACN≌△ABM(A.S.A.).由题中条件不能证明CD=DN.故选B.
3.[2021河北唐山期中]如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是　　　　.?
答案
3.50　【解析】　
∵BG⊥FH,
EF⊥FH,∴∠EFA=∠BGA=90°,∴∠EAF+∠AEF=90°.∵AE⊥AB,∴∠EAF+∠BAG=
90°,∴∠AEF=∠BAG.又∵AE=AB,∠AFE=∠BGA,∴△AEF≌△BAG(A.A.S.),∴AG=EF=6,AF=BG=3.同理可得△BCG≌△CDH(A.A.S.),∴CG=DH=4,CH=BG=3,∴S=12×(4+6)×(3+3+4+6)-12×3×6×2-12×3×4×2=50.
?
4.如图,在直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ABC的平分线交CD于点G,交AC于点E,GF∥AC交AB于点F,连接EF.
求证:(1)BF=BC;
(2)EF⊥AB.
答案
4.【解析】　(1)∵FG∥AC(已知),
∴∠BFG=∠A(两直线平行,同位角相等).
∵∠ACB=90°,CD⊥AB(已知),
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠BCG=∠A=∠BFG.
∵BG平分∠ABC(已知),
∴∠CBG=∠FBG(角平分线的定义).
答案
在△BCG和△BFG中,
∵∠CBG=∠FBG(已证),
∠BCG=∠BFG(已证),
BG=BG(公共边),
∴△BCG≌△BFG(A.A.S.),
∴BF=BC(全等三角形的对应边相等).
(2)在△BEF和△BEC中,
∵BF=BC(已证),
∠FBE=∠CBE(已证),
BE=BE(公共边),
∴△BEF≌△BEC(S.A.S.),
∴∠EFB=∠ECB=90°(全等三角形的对应角相等),∴EF⊥AB.
判定两三角形全等的基本思路
选取适当的方法判定两三角形全等可以从以下几点出发:(1)从结论出发,看结论中的线段、角(或等量变换后的线段、角)在哪两个三角形中;(2)从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;(3)从已知条件和结论一起出发,看它们共同确定哪两个三角形全等.
归纳总结
5.[2021北京朝阳区月考]如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于点O.求证:AD与BE互相平分.
答案
5.【解析】　∵FB=CE(已知),∴BC=EF(等式的性质).
∵AB∥ED,AC∥FD(已知),
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE(两直线平行,内错角相等).
在△ABC和△DEF中,
∵∠ABC=∠DEF(已证),
BC=EF(已证),
∠ACB=∠DFE(已证),
答案
∴△ABC≌△DEF(A.S.A.),
∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).
在△AOB和△DOE中,
∵∠AOB=∠DOE(对顶角相等),
∠ABO=∠DEO(已证),
AB=DE(已证),
∴△AOB≌△DOE(A.A.S.),
∴OA=OD,OB=OE(全等三角形的对应边相等),
∴AD与BE互相平分.
6.如图,已知AD∥BC,点E是CD上一点,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,延长BE交AD的延长线于点F.
(1)求证:△ABE≌△AFE.
(2)若AD=2,BC=6,求AB的长.
答案
6.【解析】　(1)∵AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA(已知),
∴∠BAE=∠FAE,∠ABF=∠EBC(角平分线的定义).
∵AD∥BC(已知),
∴∠EBC=∠F(两直线平行,内错角相等),
∴∠ABE=∠F(等量代换).
在△ABE和△AFE中,
∵∠ABE=∠F(已证),
答案
∠BAE=∠FAE(已证),
AE=AE(公共边),
∴△ABE≌△AFE(A.A.S.).
(2)∵△ABE≌△AFE(已证),
∴BE=EF(全等三角形的对应边相等).
在△BCE和△FDE中,
∵∠EBC=∠F(已证),
BE=FE(已证),
∠BEC=∠FED(对顶角相等),
∴△BCE≌△FDE(A.S.A.),
∴BC=DF(全等三角形的对应边相等),
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB,即AD+BC=AB.
∵AD=2,BC=6,∴AB=8.
素养提升
7.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
?
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE　　　　CF,EF　　　　　|BE-AF|(填“>”“<”或“=”);?
②如图2,若0°<∠BCA<180°,添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件:　　　　,可以使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.?
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
答案
7.【解析】　(1)①=　=
∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∴∠CBE=∠ACF(等式的性质).又∵CA=BC(已知),∠BEC=∠CFA(已知),∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),∴BE=CF,CE=AF(全等三角形的对应边相等),∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|.
②∠α+∠BCA=180°
证明如下:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α(三角形内角和定理).
∵∠BCA=180°-∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA(等量代换).
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF,
又∵BC=CA(已知),∠BEC=∠CFA(已知),
∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),
∴BE=CF,CE=AF(全等三角形的对应边相等),
又∵EF=|CF-CE|,∴EF=|BE-AF|.
答案
(2)猜想:EF=BE+AF.
∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA(已知),
∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°(平角的定义),
∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°(三角形内角和定理),
∴∠BCE=∠CAF.
又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA(已知),
∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),
∴BE=CF,EC=FA(全等三角形的对应边相等),
∴EF=EC+CF=BE+AF.
课时5　边边边
13.2　三角形全等的判定
1.如图,BD是四边形ABCD的对角线,若AB=CD,AD=BC,容易证明△ABD≌△CDB,依据是
(　　)
A.A.S.A.
B.A.A.S.
C.S.A.S.
D.S.S.S.
知识点1
判定两三角形全等的基本事实:边边边
答案
1.D
2.如图,已知AC=BD,要用“S.S.S.”证明△ABC≌△DCB,则只需添加一个适当的条件是　　　　.?
知识点1
判定两三角形全等的基本事实:边边边
答案
2.AB=DC
3.[2020吉林白山期中]如图,线段AD,CE相交于点B,BC=BD,AB=EB.
求证:(1)△ACB≌△EDB;
(2)△ACD≌△EDC.
知识点1
判定两三角形全等的基本事实:边边边
答案
3.【解析】　(1)在△ACB与△EDB中,
∵BC=BD(已知),
∠ABC=∠EBD(对顶角相等),
AB=EB(已知),
∴△ACB≌△EDB(S.A.S.).
知识点1
判定两三角形全等的基本事实:边边边
答案
(2)∵△ACB≌△EDB(已证),
∴AC=ED(全等三角形的对应边相等).
∵BC=BD(已知),
AB=EB(已知),
∴BC+EB=BD+AB(等式的性质),即CE=DA.
在△ACD与△EDC中,
∵DA=CE(已证),
AC=ED(已证),
CD=DC(公共边),
∴△ACD≌△EDC(S.S.S.).
4.[2020湖南怀化中考]如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,则∠D=　　　　　°.?
知识点2
“边边边”的运用
答案
4.130　【解析】　在△ADC和△ABC中,∵AD=AB,AC=AC,CD=CB,∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),∴∠D=∠B.
∵∠B=130°,
∴∠D=130°.
5.[2021浙江温州期中]在五边形ABCDE中,若AB=DE,BC=AE,∠E=125°,AC=AD,∠CAD=60°,则∠BAE的度数为
　　　　　.?
知识点2
“边边边”的运用
答案
5.115°　【解析】　∵∠E=125°,∴∠EDA+∠EAD=180°-∠E=180°-125°=55°.在△ABC和△DEA中,∵AB=DE,AC=DA,
BC=EA,∴△ABC≌△DEA(S.S.S.),∴∠B=∠E=125°,∠BAC=∠EDA,∴∠BAE=∠CAD+∠BAC+∠EAD=60°+∠ADE+∠EAD=60°+55°=115°.
6.[2020云南中考]如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:∠ADB=∠BCA.
知识点2
“边边边”的运用
答案
6.【解析】　在△ADB和△BCA中,
∵AD=BC(已知),BD=AC(已知),AB=BA(公共边),
∴△ADB≌△BCA(S.S.S.),
∴∠ADB=∠BCA(全等三角形的对应角相等).
7.[2021河北石家庄期中]数学家鲁弗斯设计了一个仪器,它可以三等分一个角.如图,A,B,C,D分别固定在以O为公共端点的四根木条上,且OA=OB=OC=OD,E,F可以在中间的两根木条上滑动,AE=CE=BF=DF.求证:∠AOE=∠EOF=
∠FOD.
知识点2
“边边边”的运用
答案
7.【解析】　在△AOE和△COE中,
∵AE=CE(已知),AO=CO(已知),OE=OE(公共边),
∴△AOE≌△COE(S.S.S.),
∴∠AOE=∠COE(全等三角形的对应角相等).
同理可得∠COE=∠FOD,
∴∠AOE=∠EOF=∠FOD.
1.如图,给出下列四个条件:①BC=B'C,②CA=CA',③∠A'CA=∠B'CB,④AB=A'B'.从中任取三个为条件,余下的一个为结论,则最多可以构成正确说法的个数是
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B　【解析】　一共有4种情况:①②③为条件,④为结论;①②④为条件,③为结论;①③④为条件,②为结论;②③④为条件,①为结论.当①②③为条件,④为结论时,∵∠A'CA=∠B'CB,∴∠ACB=∠A'CB',
又∵BC
=B'C,CA=CA',
∴△ACB≌△A'CB'(S.A.S.),∴AB=A'B'.当①②④为条件,③为结论时,∵BC
=B'C,CA=CA',
AB=A'B',∴△ACB≌
△A'CB'(S.S.S.),∴∠A'CB'
=∠ACB,∴∠A'CA=∠B'CB.易知另外两种情况说法不正确.故选B.
2.[2021黑龙江双鸭山期中]如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,∠A=30°,则∠C的度数为　　　　.?
答案
2.30°　【解析】　连接OE,在△EAO和△ECO中,∵OA=OC,EA=EC,OE=OE,∴△EAO≌△ECO(S.S.S.),
∴∠C=
∠A=30°.
3.如图,已知AB=AC,PB=PC,AP交BC于D点,E点在线段AD的延长线上.给出下列结论:①BE=CE;②AD⊥BC;③EA平分∠BEC;④∠PBC=∠PCB;⑤图中共有6对全等三角形;⑥S四边形ABEC=12BC·AE.其中正确的结论是
　　　　.(填写所有正确结论的序号)?
?
答案
3.①②③④⑤⑥　【解析】　在△ABP与△ACP中,∵AB=AC,PB=PC,AP=AP,∴△ABP≌△ACP,∴∠BAP=∠CAP,
又∵AB=AC,AE=AE,∴△ABE≌△ACE,易证△PBE≌△PCE,△PBD≌△PCD,△ABD≌△ACD,△EBD≌△ECD,可得BE=CE,∠ADB=∠ADC=90°,∠BEA=∠CEA,∠PBC=∠PCB,∴AD⊥BC,EA平分∠BEC,∴S四边形ABEC=12BC·AE.综上,正确的结论是①②③④⑤⑥.
?
4.[2020湖南张家界期末]雨伞的中截面如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC,当点O沿AD滑动时,雨伞开闭,则雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD有何关系?说明理由.
?
答案
4.【解析】　∠BAD=∠CAD.理由如下:
∵AB=AC,AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.
在△AOE与△AOF中,
∵AE=AF(已证),AO=AO(公共边),OE=OF(已知),
∴△AOE≌△AOF(S.S.S.),
∴∠BAD=∠CAD(全等三角形的对应角相等).
?
5.[2021陕西汉中期末]如图,O是线段AC,BD的交点,并且AC=BD,AB=CD.小明认为证明图中的△AOB和△DOC全等,连接BC或AD就可以了,请你用一种方法试一试看.
答案
5.【解析】　连接BC.
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC(已知),BC=CB(公共边),AC=DB(已知),
∴△ABC≌△DCB(S.S.S.),
∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
在△AOB和△DOC中,
∵∠AOB=∠DOC(对顶角相等),∠A=∠D(已证),AB=DC(已知),
∴△AOB≌△DOC(A.A.S.).(答案不唯一)
素养提升
6.已知AD=CB,E,F是AC上两动点,且有DE=BF.
(1)若点E,F运动至如图1所示的位置,且有AF=CE.求证:△ADE≌△CBF.
(2)若点E,F运动至如图2所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗?为什么?
(3)在点E,F运动的过程中,AD和CB平行吗?请说明理由.
答案
6.【解析】　(1)∵AF=CE(已知),
∴AF+EF=CE+EF(等式的性质),即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,
∵AD=CB(已知),DE=BF(已知),AE=CF(已证),
∴△ADE≌△CBF(S.S.S.).
答案
(2)△ADE≌△CBF成立.理由如下:
∵AF=CE(已知),
∴AF-EF=CE-EF(等式的性质),即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,
∵AD=CB(已知),DE=BF(已知),AE=CF(已证),
∴△ADE≌△CBF(S.S.S.).
(3)AD∥CB.理由如下:
∵△ADE≌△CBF(已证),
∴∠A=∠C(全等三角形的对应角相等),
∴AD∥CB(内错角相等,两直线平行).
课时6　斜边直角边
13.2　三角形全等的判定
1.[2021河北邯郸永年区期末]如图,∠C=∠D=90°,若要用“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充的条件是
(　　)
A.∠BAC=∠BAD
B.AC=AD
C.AB=AB
D.∠ABC=∠ABD
知识点1
直角三角形全等的判定定理:斜边直角边
答案
1.B　【解析】　从题图中可以看出AB为Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边,根据“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,还需补充一对直角边对应相等,即AC=AD或BC=BD.故选B.
2.易错题
如图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,AE=DF,AB=DC,则Rt△　　　　≌Rt△　　　　(H.L.).?
知识点1
直角三角形全等的判定定理:斜边直角边
答案
2.ABE　DCF　【解析】　∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴△ABE和△DCF都是直角三角形,又∵AE=DF,AB=DC,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(H.L
.).
3.[2020陕西渭南期末]如图,在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,连接AE.若∠B=28°,则∠AEC=
　　　　°.?
知识点1
直角三角形全等的判定定理:斜边直角边
答案
3.59　【解析】　∵DE⊥AB,∴∠ADE=90°.在Rt△ACE和Rt△ADE中,∵AE=AE,AC=AD,∴Rt△ACE≌Rt△ADE(H.L.),
∴∠CAE=∠DAE.∵∠B=28°,∠C=90°,∴∠BAC=180°-90°-28°=62°,∴∠CAE=31°,∴∠AEC=90°-∠CAE=59°.
4.[2021广东东莞期中]如图,点M是BC的中点,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E,F,且ME=MF.求证:△BEM≌△CFM.
知识点1
直角三角形全等的判定定理:斜边直角边
答案
4.【解析】　∵点M是BC的中点(已知),
∴MB=MC(中点的定义).
∵ME⊥AB,MF⊥AC(已知),
∴∠BEM=∠CFM=90°(垂直的定义).
在Rt△BEM和Rt△CFM中,
∵BM=CM(已证),EM=FM(已知),
∴Rt△BEM≌Rt△CFM(H.L.).
5.如图,已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.
知识点1
直角三角形全等的判定定理:斜边直角边
答案
5.【解析】　∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,
∴△ADC,△AFE,△ADB,△AFB均为直角三角形.
在Rt△ADC和Rt△AFE中,
∵AD=AF(已知),AC=AE(已知),
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(H.L.),
∴CD=EF(全等三角形的对应边相等).
在Rt△ABD和Rt△ABF中,
∵AB=AB(公共边),AD=AF(已知),
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(H.L.),
∴BD=BF(全等三角形的对应边相等).
∴BD-CD=BF-EF,∴BC=BE.
6.下列条件中,不一定能判定两个直角三角形全等的是
(　　)
A.一锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.斜边和一直角边对应相等
D.任意一角和一边对应相等
知识点2
直角三角形全等的综合判定
答案
6.D　【解析】　对于选项A,根据“A.A.S.”可以判定两直角三角形全等,故本选项不符合题意;
对于选项B,根据“S.A.S.”可以判定两直角三角形全等,故本选项不符合题意;对于选项C,根据“H.L.”可以判定两直角三角形全等,故本选项不符合题意.故选D.
7.[2021山东聊城期末]如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,欲使得△EAB≌△BCD,请添加一个适当的条件:　　　　
.?
知识点2
直角三角形全等的综合判定
答案
7.EB=BD(或AE=CB或∠ABE=∠D或∠EBD=90°或BD⊥BE或∠E=∠DBC,答案不唯一)　【解析】　根据“S.A.S.”判定,需添加条件AE=CB;根据“A.S.A.”判定,需添加条件∠ABE=∠D;根据“A.A.S.”判定,需添加条件∠E=∠DBC(或BD⊥
BE或∠EBD=90°);根据“H.L.”判定,需添加条件EB=BD.
知识点2
直角三角形全等的综合判定
判定两直角三角形全等方法的选用
(1)在判定两个直角三角形全等时,不能局限地认为只有“H.L.”一种判定方法,前面判定一般三角形全等的四种方法都可以用于判定两个直角三角形全等.(2)选用适当的方法证明三角形全等的关键是看已知条件的特点,概括起来有以下几种情况:
①当有一条直角边和斜边对应相等时,用“H.L.”判定;
②当有两条直角边对应相等时,用“S.A.S.”判定;
③当有一个锐角和斜边对应相等时,用“A.A.S.”判定;
④当有一条直角边和一个锐角对应相等时,用“A.S.A.”或“A.A.S.”判定.
名师点睛
8.[2021广东广州越秀区期末]如图,AB=AC,直线l过点A,BM⊥直线l,CN⊥直线l,垂足分别为M,N,且BM=AN.
求证:(1)△AMB≌△CNA;
(2)AB⊥AC.
知识点2
直角三角形全等的综合判定
答案
8.【解析】　(1)∵BM⊥直线l,CN⊥直线l(已知),
∴∠AMB=∠CNA=90°(垂直的定义).
在Rt△AMB和Rt△CNA中,
∵AB=CA(已知),BM=AN(已知),
∴Rt△AMB≌Rt△CNA(H.L.).
(2)由(1)得Rt△AMB≌Rt△CNA,
∴∠BAM=∠ACN(全等三角形的对应角相等).
∵∠CAN+∠ACN=90°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠CAN+∠BAM=90°(等量代换),
∴∠BAC=180°-90°=90°,∴AB⊥AC.
1.[2021湖北黄石黄石港区期中]如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点.给出以下结论:①PM=PN恒成立;②OM+ON的值不变;③四边形PMON的面积不变;④MN的长不变.其中正确结论的个数为(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1.B　【解析】　如图,过点P分别作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则∠PEO=∠PFO=90°,∴∠EPF+∠AOB=180°.
又∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠EPF=∠MPN,∴∠EPM=∠FPN.∵OP平分∠AOB,∴∠EOP=∠FOP.
又∵∠PEO=∠PFO,
OP=OP,∴△PEO≌△PFO(A.A.S.),∴PE=PF,OE=OF.在△PEM和△PFN中,∵∠MPE=∠NPF,PE=PF,∠PEM=∠PFN,
∴△PEM≌△PFN(A.S.A.),∴EM=NF,PM=PN,故①正确,∵△PEM≌△PFN,∴S△PEM=S△PNF,∴S四边形PMON=S四边形PEOF,
∴S四边形PMON为定值,故③正确.∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE,∴OM+ON为定值,故②正确,MN的长度是变化的,故④错误.故选B.
2.[2021吉林四平期末]如图,在△ABC中,点D在边BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=
155°,则∠EDF的度数为　　　　.?
答案
2.65°　【解析】　∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠FDC=90°,在Rt△BED和Rt△CDF中,∵BD=CF,BE=CD,
∴Rt△BED≌Rt△CDF(H.L.),∴∠CFD=∠BDE.∵∠AFD=155°,∴∠CFD=25°,
∴∠BDE=25°.
又∵∠FDC=
90°,
∴∠EDF=180°-25°-90°=65°.
3.[2021重庆八中入学试卷]如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.
(1)求证:BE⊥AC.
(2)若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换,说法成立吗?并说明理由.
答案
3.【解析】　(1)∵AD⊥BC,∴△ADC与△BDF均为直角三角形.
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
∵BF=AC(已知),FD=CD(已知),
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(H.L.),
∴∠C=∠BFD(全等三角形的对应角相等).
∵∠DBF+∠BFD=90°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠C+∠DBF=90°(等量代换).
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°(三角形内角和定理),
∴∠BEC=90°,∴BE⊥AC.
答案
(2)说法成立.理由如下:
∵AD为△ABC的高,
∴∠C+∠CAD=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠C+∠CBE=90°,
∴∠CAD=∠CBE(等式的性质).
在△BDF和△ADC中,
∵∠FBD=∠CAD(已证),
∠BDF=∠ADC=90°,
FD=CD(已知),
∴△BDF≌△ADC(A.A.S.),
∴BF=AC(全等三角形的对应边相等).
4.[2020河南周口期中]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=16,BC=8,点M在AC上运动,点N在过点A且垂直于AC的射线AP上运动,且MN=AB,则点M运动到什么位置时,才能使△AMN和△ABC全等?
答案
4.【解析】　①当点M运动到AC的中点,即AM=8时,如图1,
在Rt△MAN和Rt△BCA中,
因为AM=CB=8,MN=BA(已知),
所以Rt△MAN≌Rt△BCA(H.L.).
②当点M与点C重合,即AM=16时,如图2,
在Rt△MAN和Rt△ACB中,
因为AM=CA=16,MN=AB(已知),
所以Rt△MAN≌Rt△ACB(H.L.).
综上,当点M运动到AC的中点或与点C重合时,△AMN和△ABC全等.
素养提升
5.[2021江西宜春期中]如图1,E,F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F.若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:MB=MD,MF=ME.
(2)当E,F两点移动至如图2所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否成立?若成立,请给出你的证明;若不成立,请说明你的理由.
答案
5.【解析】　(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC(已知),
∴∠DEM=∠BFM=90°(垂直的性质).
在Rt△AFB和Rt△CED中,
∵AB=CD(已知),AF=CE(已知),
∴Rt△AFB≌Rt△CED(H.L
.),
∴BF=DE(全等三角形的对应边相等).
在△BFM和△DEM中,
∵∠BFM=∠DEM(已证),
∠FMB=∠EMD(对顶角相等),
BF=DE(已证),
∴△BFM≌△DEM(A.A.S.),
∴MB=MD,MF=ME(全等三角形的对应边相等).
(2)结论仍成立.证明如下:
同(1)可证Rt△AFB≌Rt△CED,
进而可证△BFM≌△DEM,
因而结论MB=MD,MF=ME仍成立.
专项1　全等三角形的
四种常见模型
1.[2020江苏常州中考]已知:如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.
(1)求证:∠E=∠F.
(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.
类型1
平移模型
答案
1.【解析】　(1)∵EA∥FB(已知),
∴∠A=∠FBD(两直线平行,同位角相等).
∵AB=CD(已知),
∴AB+BC=CD+BC(等式的性质),∴AC=BD.
在△EAC与△FBD中,
∵EA=FB(已知),∠A=∠FBD(已证),AC=BD(已证),
∴△EAC≌△FBD(S.A.S.),
∴∠E=∠F(全等三角形的对应角相等).
(2)∵△EAC≌△FBD(已证),
∴∠ECA=∠D=80°(全等三角形的对应角相等).
∵∠A=40°(已知),
∴∠E=180°-40°-80°=60°(三角形内角和定理).
类型1
平移模型
2.[2021江苏连云港期中]已知:如图,B是EC的中点,∠ABE=∠DBC,∠C=∠E.求证:DE=AC.
类型2
轴对称模型
答案
2.【解析】　∵B是EC的中点(已知),∴BE=BC(中点的定义).
∵∠ABE=∠DBC(已知),
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD(等式的性质),
即∠ABC=∠DBE.
在△DBE和△ABC中,
∵∠DBE=∠ABC(已证),BE=BC(已证),∠E=∠C(已知),
∴△DBE≌△ABC(A.S.A.),
∴DE=AC(全等三角形的对应边相等).
类型2
轴对称模型
3.[2019湖北宜昌中考]如图,在△ABC中,D是BC边上一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE.
(1)求证:△ABE≌△DBE.
(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.
答案
3.【解析】　(1)∵BE平分∠ABC(已知),
∴∠ABE=∠DBE(角平分线的定义).
在△ABE和△DBE中,
∵AB=DB(已知),∠ABE=∠DBE(已证),BE=BE(公共边),
∴△ABE≌△DBE(S.A.S.).
(2)∵∠A=100°,∠C=50°,∴∠ABC=30°.
∵BE平分∠ABC(已知),
∴∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15°(角平分线的定义),
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°.
?
类型2
轴对称模型
4.[2021北京四中期中]如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,OA=OD.求证:OB=OC.
类型3
旋转模型
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
旋转模型中一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或者差中.
答案
4.【解析】　∵AB∥CD(已知),
∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
在△AOB和△DOC中,
∵∠A=∠D(已证),OA=OD(已知),
∠AOB=∠DOC(对顶角相等),
∴△AOB≌△DOC(A.S.A.),
∴OB=OC(全等三角形的对应边相等).
5.[2020四川南充中考]如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD.
答案
5.【解析】　∵AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE(已知),
∴∠B=∠D=∠ACE=90°(垂直的定义),
∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠E=90°,
∴∠ACB=∠E(等式的性质).
在△ABC和△CDE中,
∵∠ACB=∠E(已证),BC=DE(已知),∠B=∠D(已证),
∴△ABC≌△CDE(A.S.A.),
∴AB=CD(全等三角形的对应边相等).
类型4
三垂直模型
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
三垂直模型也叫双直角三角形,其中的证明多数可以用到同(等)角的余角相等这一结论.
专项2　构造全等三角形的
两种常用方法
1.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点.求证:DE=2AM.
类型1
“倍长中线法”
答案
1.【解析】　如图,延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.
因为点M为BC的中点(已知),
所以BM=CM(中点的定义).
在△AMC和△NMB中,
因为AM=NM,∠AMC=∠NMB(对顶角相等),CM=BM(已证),
所以△AMC≌△NMB(S.A.S.),
所以AC=NB(全等三角形的对应边相等),
∠C=∠NBM(全等三角形的对应角相等),
所以∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.
因为AD=AC(已知),所以AD=BN(等量代换).
在△ABN和△EAD中,
因为BN=AD(已证),∠ABN=∠EAD(已证),AB=EA(已知),
所以△ABN≌△EAD(S.A.S.),
所以DE=NA(全等三角形的对应边相等),
所以DE=2AM.
类型1
“倍长中线法”
2.如图,D是△ABC的边BC上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD的中线.求证:AC=2AE.
答案
2.【解析】　如图,延长AE至点F,使EF=AE,连接DF.
∵AE是△ABD的中线,∴BE=DE.
在△ABE和△FDE中,
∵AE=FE,
∠AEB=∠FED(对顶角相等),
BE=DE(已证),
类型1
“倍长中线法”
答案
∴△ABE≌△FDE(S.A.S.),
∴AB=FD(全等三角形的对应边相等),
∠B=∠EDF(全等三角形的对应角相等).
又∵∠ADF=∠ADB+∠EDF,∠ADB=∠BAD(已知),
∠ADC=∠BAD+∠B(三角形外角的性质),
∴∠ADF=∠ADC(等量代换).
∵AB=DF(已证),AB=CD(已知),
∴DF=DC(等量代换).
在△ADF和△ADC中,
∵AD=AD(公共边),∠ADF=∠ADC(已证),DF=DC(已证),
∴△ADF≌△ADC(S.A.S.),
∴AF=AC(全等三角形的对应边相等).
又∵AF=2AE,∴AC=2AE.
类型1
“倍长中线法”
3.如图,在△ABC和△A'B'C'中,AM,A'M'分别是边BC,B'C'上的中线,AB=A'B',AC=A'C',AM=A'M'.求证:△ABC≌△A'B'C'.
类型1
“倍长中线法”
答案
3.【解析】　如图,分别延长AM和A'M'到点E和E',使ME=AM,M'E'=A'M',连接BE,B'E'.
因为AM,A'M'分别是边BC,B'C'上的中线,
所以BM=CM,B'M'=C'M'.
在△AMC和△EMB中,
因为AM=EM,∠AMC=∠EMB(对顶角相等),CM=BM,
所以△AMC≌△EMB(S.A.S.),
所以BE=AC(全等三角形的对应边相等),
∠MAC=∠E(全等三角形的对应角相等).
同理,可得△A'M'C'≌△E'M'B',
所以B'E'=A'C'(全等三角形的对应边相等),
∠M'A'C'=∠E'(全等三角形的对应角相等).
因为AC=A'C',所以BE=B'E'.
因为AE=2AM,A'E'=2A'M',且AM=A'M',
类型1
“倍长中线法”
答案
所以AE=A'E'.
在△ABE和△A'B'E'中,
因为AE=A'E'(已证),BE=B'E'(已证),AB=A'B'(已知),
所以△ABE≌△A'B'E'(S.S.S.),
所以∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等),
所以∠MAC=∠M'A'C'(等量代换),
所以∠BAM+∠MAC=∠B'A'M'+∠M'A'C'(等式的性质),
即∠BAC=∠B'A'C'.
在△ABC和△A'B'C'中,
因为AB=A'B'(已知),∠BAC=∠B'A'C'(已证),AC=A'C'(已知),
所以△ABC≌△A'B'C'(S.A.S.).
类型1
“倍长中线法”
4.如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点.求证:AB-AC>PB-PC.
答案
4.【解析】　如图,延长AC至点M,使AM=AB,连接PM.
在△ABP和△AMP中,
因为AB=AM,∠1=∠2(已知),AP=AP(公共边),
所以△ABP≌△AMP(S.A.S.),
所以PB=PM(全等三角形的对应边相等).
在△PCM中,根据三角形的三边关系,
得CM>PM-PC,
所以AM-AC>PB-PC,
所以AB-AC>PB-PC.
类型2
“截长补短法”
5.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上.求证:BC=AB+CD.
答案
5.【解析】　如图,在BC上截取BF=AB,连接EF.
因为∠ABC,∠BCD的平分线交于点E(已知),
所以∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE(角平分线的定义).
在△ABE和△FBE中,
因为AB=FB,∠ABE=∠FBE(已证),BE=BE(公共边),
所以△ABE≌△FBE(S.A.S.),
类型2
“截长补短法”
答案
所以∠A=∠BFE(全等三角形的对应角相等).
因为AB∥CD(已知),
所以∠A+∠D=180°(两直线平行,同等内角互补),
所以∠BFE+∠D=180°(等量代换).
因为∠BFE+∠CFE=180°(平角的定义),
所以∠CFE=∠D(等式的性质).
在△FCE和△DCE中,
因为∠CFE=∠D(已证),∠FCE=∠DCE(已证),CE=CE(公共边),
所以△FCE≌△DCE(A.A.S.),
所以CF=CD(全等三角形的对应边相等),
所以BC=BF+CF=AB+CD.
类型2
“截长补短法”
易错疑难集训（一）
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AC,AB的中点,BD=CE,BD,CE交于点O.求证:△ABD≌△ACE.小明和小聪、小颖三人的证明过程如下.
小明:∵AB=AC,点D,E分别是AC,AB的中点,
∴AD=AE.
又∵∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(S.A.S.).
小聪:∵AB=AC,点D,E分别是AC,AB的中点,
∴AD=AE.
又∵BD=CE,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(S.S.S.).
小颖:∵AB=AC,BD=CE,∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE(S.S.A.).
对于三位同学的证明方法,正确的是
(　　)
A.小明、小聪
B.小明、小颖
C.小聪、小颖
D.小明、小聪、小颖
易错点1
不能正确掌握全等三角形的判定条件
易错点1
不能正确掌握全等三角形的判定条件
答案
1.A
　　实际上本题的条件“BD=CE”多余,在证明两个三角形全等时,一定要按照“S.A.S.”“A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”和“H.L.”五种方法证明,不能独创其他方法,如“A.A.A.”“S.S.A.”“A.S.S.”,这些方法都是想当然的,不能成立.
名师点睛
2.如图,已知点B,C,F,E在同一条直线上,FB=CE,AC=DF,∠B=∠E.求证:AB=ED.
下面是李小虎同学证明的过程:
∵FB=CE,∴FB-FC=CE-FC,即BC=EF.
又∵AC=DF,∠B=∠E,
∴△ABC≌△DEF(A.S.S.).
∴AB=ED.
上面的证明过程是否有错误?若有,请指出来,并给出正确的证明过程.
易错点1
不能正确掌握全等三角形的判定条件
答案
2.【解析】　题中的证明过程有错误,没有“A.S.S.”这个判定两个三角形全等的方法.
正确的证明过程如下:
易错点1
不能正确掌握全等三角形的判定条件
答案
如图,过点C,F分别作CM⊥AB于点M,FN⊥DE于点N.
∵FB=CE(已知),
∴FB-FC=CE-FC(等式的性质),即BC=EF.
∵CM⊥AB,FN⊥DE(已知),
∴∠CMB=∠CMA=∠FND=∠FNE=90°(垂直的定义).
在△BCM和△EFN中,
∵∠B=∠E(已知),∠CMB=∠FNE(已证),BC=EF(已证),
∴△BCM≌△EFN(A.A.S.),
∴CM=FN,BM=EN(全等三角形的对应边相等).
在Rt△ACM和Rt△DFN中,
∵AC=DF(已知),CM=FN(已证),
∴Rt△ACM≌Rt△DFN(H.L.),
∴AM=DN(全等三角形的对应边相等).
∴AM+BM=DN+EN,∴AB=DE.
3.在△ABC中,AD,CE为高,两条高所在的直线相交于点H.若CH=AB,求∠ACB的度数.
答案
3.【解析】　∵AD,CE为△ABC的高,
∴∠ADB=∠CEB=90°,
∴∠BAD+∠B=90°,∠DCH+∠B=90°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠DCH=∠DAB(等式的性质).
在△ABD和△CHD中,
∵∠DAB=∠DCH(已证),∠ADB=∠CDH=90°,AB=CH(已知),
∴△ABD≌△CHD(A.A.S.),∴AD=CD(全等三角形的对应边相等).
又∵∠ADC=90°,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°.
如图1,当△ABC是锐角三角形时,∠ACB=45°;
如图2,当△ABC是钝角三角形时,
∠ACB=180°-∠ACD=180°-45°=135°.
综上,∠ACB的大小为45°或135°.
易错点2
忽视分类讨论
易错分析
　　本题中,如果审题不清,易忽视“两条高所在直线相交”,而只考虑到“两条高相交”而产生漏解.
易错点2
忽视分类讨论
4.两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等,这两个三角形是否全等?若全等,请给出证明;若不全等,请说明理由.
答案
4.【解析】　不一定全等.理由如下:
当两个三角形均为锐角三角形或均为钝角三角形或均为直角三角形时全等.以两个三角形均为锐角三角形为例进行证明.(另外两种情况同理可证).
已知:如图1,锐角三角形ABC和锐角三角形EFG中,AB=EF,BC=FG,AD⊥BC于点D,EH⊥FG于点H,且AD=EH.
求证:△ABC≌△EFG.
证明:因为AD⊥BC,EH⊥FG(已知),
所以∠ADB=∠EHF=90°(垂直的定义).
在Rt△ABD和Rt△EFH中,
因为AB=EF(已知),AD=EH(已知),
所以Rt△ABD≌Rt△EFH(H.L.),
所以∠B=∠F(全等三角形的对应角相等).
易错点2
忽视分类讨论
答案
在△ABC和△EFG中,
因为AB=EF(已知),∠B=∠F(已证),BC=FG(已知),
所以△ABC≌△EFG(S.A.S.).
当两个三角形不都是锐角三角形时不全等,反例如图2.
易错点2
忽视分类讨论
易错分析
　　本题的易错之处是认为题中三角形都是锐角三角形,从而得到两个三角形全等的结论.而事实上题目中的两个三角形并没有指明都是锐角三角形,因此容易犯特殊代替一般的错误.
1.[2020湖北武汉硚口区期中]如图,已知AD=AB,添加下列一个条件不能证明△ACD≌△ACB,这个条件是(　　)
A.AC平分∠BAD
B.CA平分∠BCD
C.CB=CD
D.∠B=∠D=90°
疑难点1
判定三角形全等方法的灵活选用
答案
1.B　【解析】　∵AD=AB,AC=AC,∴添加条件AC平分∠BAD,可以利用“S.A.S.”证明△ACD≌△ACB;添加条件CD=
CB,可以利用“S.S.S.”证明△ACD≌△ACB;添加条件∠B=∠D=90°,可以利用“H.L.”证明△ACD≌△ACB;而添加条件CA平分∠BCD不能证明△ACD≌△ACB.故选B.
2.[2021山东济宁期中]问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明).
特例探究:如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF.
归纳证明:如图3,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.
拓展应用:如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1,∠2分别是△ABE,
△ACF的外角,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为　　　　　.?
疑难点1
判定三角形全等方法的灵活选用
答案
2.【解析】　特例探究:如题图2,
∵CF⊥AE,BD⊥AE(已知),
∴∠BDA=∠AFC=90°(垂直的定义),∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠MAN=90°,∴∠BAD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF(等式的性质).
在△ABD和△CAF中,
∵∠ABD=∠CAF(已证),∠BDA=∠AFC(已证),AB=CA(已知),
∴△ABD≌△CAF(A.A.S.).
归纳证明:如题图3,
∵∠1=∠BAC(已知),∠1=∠BAE+∠ABE(三角形外角的性质),∠BAC=∠BAE+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF(等式的性质).
同理得∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,
∵∠ABE=∠CAF(已证),AB=CA(已知),∠BAE=∠ACF(已证),
∴△ABE≌△CAF(A.S.A.).
拓展应用:5
疑难点1
判定三角形全等方法的灵活选用
3.在Rt△ABC中,∠ABC=∠BAC,∠ACB=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC,CB
(或它们的延长线)于点E,F.
当∠EDF绕点D旋转到使DE⊥AC于E时(如图1),易证S△DEF+S△CEF=12S△ABC.当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时(如图2和图3),上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
?
疑难点2
与全等三角形有关的动态问题
答案
3.【解析】　在题图2中,结论仍成立,证明如下:
过点D作DM⊥AC,DN⊥BC,垂足分别为M,N,
则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°.
∵D为AB边的中点(已知),∴AD=BD(中点的定义),
在△ADM和△BDN中,
∵∠A=∠B(已知),
∠AMD=∠BND=90°(已证),
AD=BD(已证),
∴△ADM≌△BDN(A.A.S.),
∴DM=DN(全等三角形的对应边相等).
∵∠MDN=∠EDF=90°,
∴∠MDN-∠EDN=∠EDF-∠EDN,
∴∠MDE=∠NDF.
在△DME和△DNF中,
∵∠DME=∠DNF(已证),
疑难点2
与全等三角形有关的动态问题
答案
DM=DN(已证),
∠MDE=∠NDF(已证),
∴△DME≌△DNF(A.S.A.),
∴S△DME=S△DNF,
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF.
又∵S四边形DMCN=12S△ABC,
∴S△DEF+S△CEF=12S△ABC,故在题图2中结论成立.
在题图3中结论不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC之间的数量关系是S△DEF-S△CEF=12S△ABC.
?
疑难点2
与全等三角形有关的动态问题
　　对于图形的运动过程,要从变化的过程中找出不变的量或关系,以此为基础去探究变化过程中有哪些规律性结论,并加以运用;同时应注意图形运动前后解题思路的相似性或一致性.
归纳总结
课时1　等腰三角形的性质
13.3　等腰三角形
1.[2020山东临沂中考]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD=
(　　)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
知识点1
等边对等角
答案
1.D　【解析】　∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠A)=70°.又∵CD∥AB,∴∠BCD=∠ABC=70°.故选D.
?
2.[2021安徽安庆期末]等腰三角形的一个外角是150°,则其顶角是
(　　)
A.30°
B.75°或120°
C.30°或120°
D.75°
知识点1
等边对等角
答案
2.C　【解析】　因为等腰三角形的一个外角是150°,所以与这个外角相邻的三角形的内角是30°.有两种情况:①30°是顶角;②30°是底角,则其顶角是180°-30°×2=120°.故选C.
3.[2020甘肃兰州中考A卷]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在CA的延长线上,DE⊥BC于点E,∠BAC=100°,则∠D=
(　　)
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
知识点1
等边对等角
答案
3.B　【解析】　∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠C=∠B=40°.∵DE⊥BC于点E,∴∠D=90°-∠C=50°.故选B.
4.[2021江苏苏州高新区期中]如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC的度数为　　　　°.?
知识点1
等边对等角
答案
4.40　【解析】　因为AE∥BD,所以∠DBC=∠E=35°.因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=2∠DBC=70°.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠BAC=180°-2∠ABC=40°.
5.[2020湖北襄阳中考]如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=　　　　　°.?
知识点1
等边对等角
答案
5.40　【解析】　∵AB=AD,∠BAD=20°,∴∠B=∠ADB=12×(180°-20°)=80°.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠C+∠DAC=
∠ADB=80°.又∵AD=DC,∴∠C=∠DAC=12×80°=40°.
?
6.如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.求证:AB=AE.
知识点1
等边对等角
答案
6.【解析】　∵AC=AD(已知),∴∠ACD=∠ADC(等边对等角),
又∵∠BCD=∠EDC=90°(已知),
∴∠ACB=∠ADE(等式的性质),
又∵BC=ED,AC=AD(已知),
∴△ABC≌△AED(S.A.S.),
∴AB=AE(全等三角形的对应边相等).
7.[2021广东汕头潮阳区期末]如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不一定正确的是
(　　)
A.AB=2BD
B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC
D.∠B=∠C
知识点2
三线合一
答案
7.A　【解析】　在△ABC中,∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠B=∠C,AD⊥BC,AD平分∠BAC,由题中条件无法得到AB=2BD.故选A.
8.[2021湖北鄂州梁子湖区期中]如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,AD=8
cm,BC=6
cm,点E,F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是(　　)
A.48
cm2
B.24
cm2
C.12
cm2
D.6
cm2
知识点2
三线合一
答案
8.C　【解析】　∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴BD=DC,AD⊥BC,∴点B,C关于直线AD对称,∴△CEF和△BEF关于直线AD对称,∴S△BEF=S△CEF.∵△ABC的面积是12BC·AD=12×6×8=24(cm2),∴题图中阴影部分的面积是12S△ABC=
12
cm2.故选C.
?
9.[2020天津和平区期中]在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长为　　　　.?
知识点2
三线合一
答案
9.20　【解析】　因为AB=AC,AD⊥BC于点D,所以由等腰三角形“三线合一”的性质,知BD=CD=4,所以△ABC的周长为6+6+4+4=20.
10.[2021广东广州中学期中]如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.
知识点2
三线合一
答案
10.【解析】　过点A作AF⊥BC于F.
∵AB=AC,AD=AE(已知),
∴BF=CF,DF=EF(等腰三角形“三线合一”的性质),∴BD=CE.
11.如图,延长△ABC的边BC到D,
使CD=AC,连接AD,CF是△ACD的中线,CE是△ABC的角平分线.求证:CE⊥CF.
知识点2
三线合一
答案
11.【解析】　在△CDA中,∵CD=CA,CF是AD边上的中线,
∴CF是∠ACD的平分线(等腰三角形“三线合一”的性质),
∴∠ACF=∠DCF=12∠ACD(角平分线的定义).
∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB(角平分线的定义).
∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ECA+∠FCA=12(∠ACB+∠ACD)=90°,
∴CE⊥CF(垂直的定义).
?
1.[2021吉林松原期中]如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的度数为(　　)
A.40°
B.36°
C.30°
D.25°
答案
1.B　【解析】　因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为AB=BD,所以∠BAD=∠BDA.因为CD=AD,所以∠C=∠CAD.又因为∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∠ADB=∠C+∠DAC,所以5∠B
=180°,所以∠B=36°.故选B.
2.[2019山西中考]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E.若∠1=
145°,则∠2的度数是
(　　)
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
答案
2.C　【解析】　在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,又∵∠A=30°,∴∠ACB=(180°-∠A)÷2=75°.∵∠1=∠A+
∠AED=145°,∴∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=115°-75°=40°.故选C.
3.[2019浙江衢州中考]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是
(　　)
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
答案
3.D　【解析】
　∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,∴∠O+∠OED=
3∠ODC=∠BDE=75°,∴∠ODC=25°.∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.故选D.
4.[2021湖北武汉一初慧泉中学期末]如图,已知AB=AC=BD,则下列等式一定成立的是
(　　)
A.∠1=2∠2
B.2∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°
D.3∠1-∠2=180°
答案
4.D　【解析】　∵AB=AC=BD,∴∠B=∠C,∠BAD=∠1.∵∠1=∠C+∠2,∴∠BAD=∠1=∠C+∠2.∵∠B+∠1+
∠BAD=180°,∴∠C+2∠1=180°.∵∠C=∠1-∠2,∴∠1-∠2+2∠1=180°,∴3∠1-∠2=180°.故选D.
5.[2021浙江杭州期末]如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠BAC=40°,则∠CHD的度数是
　　　　　°.?
答案
5.55　【解析】　∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵∠BAC=40°,∴∠ACB=12×(180°-40°)=70°.∵AD是△ABC的中线,∴AD是△ABC的角平分线,∴∠CAD=12∠BAC=20°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=12∠ACB=35°,∴∠CHD=∠CAD+
∠ACE=55°.
?
6.[2021湖北武汉江汉区期末]如图,在△ABC中,D,E分别在边CB和BC的延长线上,BD=BA,CE=CA.若∠BAC=50°,则∠DAE=　　　　　°.?
答案
6.115　【解析】　∵AB=BD,AC=CE,∴∠BAD=∠BDA,∠E=∠CAE.设∠BAD=∠BDA=x,∠E=∠CAE=y,∴∠ABC=
∠BAD+∠BDA=2x,∠ACB=∠E+∠CAE=2y.∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴2x+2y+50°=180°,∴x+y=65°,∴∠DAE=∠DAB+∠CAE+∠BAC=65°+50°=115°.
7.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC=　　　　°.?
答案
7.100　【解析】　如图,延长BD交AC于点E.∵DA=DB=DC,∴∠ABE=∠DAB=20°,
∠ECD=∠DAC=30°.∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°,∠BDC=∠DEC+∠ECD,∠DEC=
∠ABE+∠BAE,∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB且CN=AC,连接AN交BC于点M.求证:BM=CM.
答案
8.【解析】　∵AB=AC,CN=AC(已知),
∴AB=CN(等量代换),∠N=∠CAN(等边对等角).
∵AB∥CN(已知),
∴∠BAM=∠N(两直线平行,内错角相等),
∴∠BAM=∠CAM(等量代换),
∴AM为∠BAC的平分线,
又∵AB=AC(已知),
∴AM为△ABC的边BC上的中线(等腰三角形“三线合一”的性质),
∴BM=CM.
9.[2021江西赣州期末]如图,△ABC中,AB=BC,D为BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F.
(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数;
(2)若点F是AC的中点,求证:∠CFD=12∠B.
?
答案
9.【解析】　(1)∵∠AFD=155°(已知),
∴∠DFC=25°(邻补角的定义).
∵DF⊥BC,DE⊥AB(已知),
∴∠FDC=∠AED=90°(垂直的定义).
在Rt△FDC中,∠C=180°-90°-25°=65°(三角形内角和定理).
∵AB=BC(已知),
∴∠A=∠C=65°(等边对等角),
∴∠EDF=360°-∠A-∠AFD-∠AED=360°-65°-155°-90°=50°.
答案
(2)如图,连接BF.
∵AB=BC,且点F是AC的中点(已知),
∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=12∠ABC(等腰三角形“三线合一”的性质),
∴∠CFD+∠BFD=90°.
∵DF⊥BC,∴∠CBF+∠BFD=90°,
∴∠CFD=∠CBF,∴∠CFD=12∠ABC.
?
素养提升
10.[2020浙江绍兴中考]问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
答案
10.【解析】　(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下:
∵EA=EC(已知),∴∠EAC=∠C(等边对等角),
∴∠AED=2∠C(三角形外角的性质).
∵∠BAE=90°,∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C(直角三角形的两锐角互余).
答案
∵BA=BD(已知),∴∠BAD=∠BDA(等边对等角),
∴∠BAD=12[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C,
∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠C=45°.
(2)设∠B=m°,
则∠BAD=12(180°-m°)=90°-12m°,∠AEB=180°-n°-m°,
∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+12m°.
∵EA=EC,
∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n°-12m°,
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+12m°+90°-12n°-12m°=12n°.
?
课时2　等边三角形的性质
13.3　等腰三角形
1.[2021河北唐山路北区期末]如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于
(　　)
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
答案
1.C　【解析】　在等边三角形ABC中,∵AD⊥BC,∴AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°.
∵∠CED=50°,∴∠ACE=∠CED-∠CAD=50°-30°=20°.在△ACE和△ABE中,∵AC=AB,∠CAE=∠BAE,AE=AE,
∴△ACE≌△ABE(S.A.S.),∴∠ABE=∠ACE=20°.故选C.
?
　　(1)等边三角形是等腰三角形的特例,