2021-2022学年八年级上册华东师大版数学习题课件 第14章 勾股定理(166张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年八年级上册华东师大版数学习题课件 第14章 勾股定理(166张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-23 12:42:07 | ||
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文档简介
分层练透教材 多重拓展培优
数学·华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
课时1 直角三角形三边的关系
1.易错题在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若∠A=90°,则 ( )
A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2
C.c2+a2=b2 D.b+a=c
知识点 直角三角形三边的关系
答案
1.B
本题易忽视∠A=90°,受思维定式的影响,想当然地认为∠C为直角,从而错选A.解答此类简单题时,一定不能掉以轻心.
易错分析
2.原创题2020年9月11日,第九届应氏杯世界职业围棋锦标赛八强战收官,太原籍棋手赵晨宇晋级四强.如图是一个围棋棋盘的局部.若棋盘是由边长为1的小正方形组成的,则黑、白两棋子的距离为 ( )
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
知识点 直角三角形三边的关系
答案
2.C 【解析】 如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,由勾股定理得,AB=????????2+????????2=32+42=5.故选C.
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3.[2021山东青岛城阳区期中]如图,阴影部分是一个长方形,它的面积是 ( )
A.14 cm2
B.16 cm2
C.18 cm2
D.20 cm2
知识点 直角三角形三边的关系
答案
3.D 【解析】 由勾股定理得,长方形的长为62+82=10(cm),所以阴影部分的面积=10×2=20(cm2).故选D.
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4.在Rt△ABC中,斜边BC的长为3,则AB2+AC2+BC2的值为 ( )
A.18 B.12 C.9 D.6
知识点 直角三角形三边的关系
答案
4.A 【解析】 根据题意得,AB2+AC2=BC2. ∵BC=3,∴AB2+AC2+BC2=BC2+BC2=32+32=18.故选A.
5.[2021江苏南京玄武区模拟]如图,在△ABC中,AB⊥BC,以点C为圆心、CB的长为半径作弧交AC于点D,再以点A为圆心、AD的长为半径作弧交AB于点E.若AC=13,BC=5,则EB的值是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
知识点 直角三角形三边的关系
答案
5.D 【解析】 ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.在Rt△ABC中,∵AC=13,BC=5,∴AB=????????2?????????2=12.∵CD=BC=5,∴AE= AD=AC-CD=13-5=8,∴BE=AB-AE=12-8=4.故选D.
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6.一个直角三角形的周长为24,斜边长与一直角边长之比为5∶4,则这个直角三角形的面积是 .?
知识点 直角三角形三边的关系
答案
6.24 【解析】 设斜边长是5k(k>0),一直角边长是4k,根据勾股定理,得另一条直角边长是3k.因为该直角三角形的周长为24,所以4k+5k+3k=24,解得k=2,所以该直角三角形的三边长分别是6,8,10,所以这个直角三角形的面积为12×6× 8=24.
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7.[2021吉林长春期末]如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB于点M.若OC=17,OM=15,则点C到射线OA的距离为
.?
知识点 直角三角形三边的关系
答案
7.8 【解析】 如图,过点C作CF⊥OA于点F.∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB, CF⊥OA,∴CM=CF.在Rt△OCM中,∵OC=17,OM=15,∴CM=172?152=8,∴CF=8, ∴点C到射线OA的距离为8.
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8.如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后,恰好能与△ACP'完全重合.若AP=1,则PP'的长为 .?
知识点 直角三角形三边的关系
答案
8.2 【解析】 根据旋转的性质,得AP'=AP=1,∠BAP=∠CAP',∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAP',∴∠PAP'= ∠BAC=90°.在Rt△PAP'中,根据勾股定理,得PP'=12+12=2.
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9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15.
(1)求AB的长;
(2)求CD的长.
知识点 直角三角形三边的关系
答案
9.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,
由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,所以AB=202+152=25,
所以AB的长是25.
(2)因为S△ABC=12AC·BC=12AB·CD,
所以AC·BC=AB·CD,所以20×15=25CD,
所以CD=12.
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1.[2020江苏常州期中]如图,在△ABC中,∠B=90°,AC=9,BC=4,则正方形ABDE的面积为 ( )
A.18
B.36
C.65
D.72
答案
1.C 【解析】 在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=9,BC=4,根据勾股定理,得AB2=AC2-BC2=92-42=65,则S正方形ABDE=AB2=65.故选C.
2.易错题[2021江苏无锡惠山区期中]若实数m,n满足|m-3|+?????4=0,且m,n恰好是Rt△ABC的两条边长,则△ABC的周长是 ( )
A.12或7+7 B.5
C.12 D.5或7
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答案
2.A 【解析】 根据题意得,|m-3|=0,?????4=0,∴m=3,n=4.当4是直角边长时,斜边长=32+42=5,则△ABC的
周长=3+ 4+5=12;当4是斜边长时,另一条直角边长=42?32=7,则△ABC的周长=3+4+7=7+7.故选A.
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3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,若按如图方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则CE的长为 ( )
A.52
B.254
C.72
D.74
?
答案
3.D 【解析】 根据题意,得BE=AE.设CE=x,则AE=BE=8-x.在Rt△BCE中,由勾股定理,得x2+62=(8-x)2,所以x=74.故选D.
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4.[2021四川成都锦江区期中]如图,分别以直角三角形的三边为一边的等边三角形的面积从小到大依次记为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是 ( )
A.S1+S2>S3
B.S1+S2C.S1+S2=S3
D.????12+????22>????32
?
答案
4.C 【解析】 设三个等边三角形的边长从小到大依次为a1,a2,a3,所以三个等边三角形的面积依次为S1=34????12,S2= 34????22,S3=34????32.因为????12+????22=????32,所以S1+S2=S3.故选C.
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5.[2021山东青岛期末]如图,AB=AC,则数轴上点C所表示的数为 .?
答案
5.5-1 【解析】 由勾股定理得,AB=22+12=5,∴AC=5.∵点A表示的数是-1,∴点C表示的数是5-1.
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6.如图是一株美丽的勾股树,图中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是 .?
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答案
6.47 【解析】 因为以正方形A,B的各一边为直角边的直角三角形的斜边的平方为32+52=34,以正方形C,D的各一边为直角边的直角三角形的斜边的平方为22+32=13,所以最大正方形E的面积为34+13=47.
7.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是 .?
答案
7.245 【解析】 过点A作BC边上的高AD,由等腰三角形三线合一的性质知BD=12BC=3,由勾股定理得AD= ????????2?????????2=52?32=4.当BP⊥AC时,BP最短,此时12AC·BP=12AD·BC,所以BP的最小值是245.
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8.[2020浙江温州中考]如图,在△ABC和△DCE中,AC=DE,∠B=∠DCE=90°,点A,C,D依次在同一直线上,且AB∥DE.
(1)求证:△ABC≌△DCE.
(2)连接AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长.
答案
8.【解析】 (1)∵AB∥DE,∴∠BAC=∠D.
又∵∠B=∠DCE=90°,AC=DE,∴△ABC≌△DCE.
(2)∵△ABC≌△DCE,∴CE=BC=5.
又∵AC=12,∠ACE=90°,
∴AE=????????2+????????2=52+122=13.
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14.1 勾股定理
课时2 勾股定理的验证及简单应用
1.曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.如图是他用两个全等的直角三角形拼出的图形,该图形整体上拼成了一个直角梯形,所以它的面积有两种表示方法,既可以表示为
,又可以表示为 .对比两种表示方法可得 ,化简,可得a2+b2=c2.他的这个证法也成了数学史上的一段佳话.?
知识点1 勾股定理的验证
答案
1.12(a+b)2 12ab+12c2+12ab 12(a+b)2=12ab+12c2+12ab
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用拼图法验证勾股定理
拼图法是探究勾股定理的有效方法,一般应遵循以下步骤:拼出图形?????????????找出图形面积的不同表达式?????????????根据面积关系列等式?????????????恒等变形?????????????推导勾股定理.
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归纳总结
2.如图是用四个能够完全重合的直角三角形拼出的图形,其中直角边长分别为a,b,斜边长为c,用含a,b,c的代数式表示:
(1)大正方形的边长为 ,面积为 ;?
(2)小正方形的边长为 ,面积为 ;?
(3)四个直角三角形的面积和为 ,根据图中面积关系,可列出a,b,c之间的关系式为 .?
知识点1 勾股定理的验证
答案
2.(1)a+b (a+b)2;(2)c c2;(3)2ab a2+b2=c2
3.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”,Rt△ABC中,∠ACB=90°.若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题.
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.
知识点1 勾股定理的验证
答案
3.【解析】 (1)∵大正方形的面积为c2,直角三角形的面积为12ab,小正方形的面积为(b-a)2,
∴c2=4×12ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2,即c2=a2+b2.
(2)由题意可知,(b-a)2=2,4×12ab=10-2=8,
∴2ab=8,∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18.
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4.如图,将长为12 cm的橡皮筋放置在数轴上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升4.5 cm至D点,则拉长后橡皮筋的长为 ( )
A.20 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.15 cm
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
4.D 【解析】 在Rt△ACD中,AC=12AB=6 cm,CD=4.5 cm,根据勾股定理,得AD=????????2+????????2=7.5 cm,所以AD+BD= 2AD=15 cm.故选D.
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5.[2021山东青岛二十九中期中]如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 ( )
A.145 mm
B.150 mm
C.155 mm
D.160 mm
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
5.B 【解析】 由题图可知AC=150-60=90(mm),BC=180-60=120(mm),∠C=90°.由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=902+ 1202=22 500,所以AB=150 mm.故选B.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.
(1)若a=12,b=5,则c= ;?
(2)若c=41 cm,b=9 cm,则a= .?
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
6.(1)13;(2)40 cm 【解析】 (1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=12,b=5,∴c=122+52=13.(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°, c=41 cm,b=9 cm,∴a=412?92=40(cm).
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7.[2020湖南长沙长郡教育集团期末]如图,某种货车的车高AC为4 m,卸货时货车后面的支架AB弯折落在地面A1处,经测量A1C=2 m,则弯折点B与地面的距离为 m.?
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
7.32 【解析】 由题意得AB=A1B,∠BCA1=90°.设BC=x m,则AB=A1B=(4-x)m.在Rt△A1BC中,根据勾股定理得,A1C2+ BC2=A1B2,即22+x2=(4-x)2,解得x=32,所以弯折点B与地面的距离为32 m.
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利用勾股定理构建方程模型
勾股定理中含有等量关系,在几何问题的求解过程中,可以利用勾股定理构建方程模型,通过解方程求线段的长度,从而使问题得到解决.
名师点睛
8.如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯,测得内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6 cm,则吸管的长至少为 cm.?
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
8.17.6 【解析】 设吸管如题图位置放置时玻璃杯内部分长x cm.由勾股定理,得x=122+52=13,所以吸管的长至少为x+4.6=13+4.6=17.6(cm).
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1.[2020陕西宝鸡期中]如图,在高为3 m,斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少为 ( )
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
答案
1.C 【解析】 在Rt△ABC中,AC=????????2?????????2=52?32=4(m),故地毯的长度至少为AC+BC=7(m).故选C.
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2.如图,笑笑将一张A4纸(尺寸为210 mm×297 mm,AC>AB)剪去一个直角三角形后,量得CF=90 mm,BE=137 mm,则剪去的直角三角形的斜边长为 ( )
A.80 mm
B.120 mm
C.160 mm
D.200 mm
答案
2.D 【解析】 如图,延长BE,CF交于点D,则△EFD是直角三角形,根据勾股定理得EF2= (210-90)2+(297-137)2=1202+1602=40 000,所以EF=200 mm.故选D.
3.[2021湖北武汉模拟]在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是:如图,推开双门(AD和BC),门边缘的D,C两点到门槛AB的距离均为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,则门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 ( )
A.100寸
B.101寸
C.102寸
D.103寸
答案
3.B 【解析】 设OA=OB=AD=BC=r寸,如图,过D作DE⊥AB于点E,则DE=10寸,OE= 12CD=1寸,AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,根据勾股定理得,AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5,所以2r=101,所以门的宽度(两扇门的宽度和)AB为101寸.故选B.
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注意挖掘隐含条件解题
本题的隐含条件是OA=OB=AD=BC,这可依据生活常识进行挖掘,离开这个条件,本题将无法求解.
名师点睛
4.一艘小船早晨8:00出发,它以每小时8海里的速度向正东方向航行,1小时后,另一艘小船从同一地点以每小时12海里的速度向正南方向航行,上午10:00时,两艘小船相距 海里.?
答案
4.20 【解析】 如图所示,射线OB的方向是正东方向,射线OA的方向是正南方向.设两艘小船从点O出发,上午10:00分别到达点B,A处.在直角三角形OAB中,因为OB=2×8=16(海里),OA=12海里,所以AB=122+162=20(海里),所以上午10:00时,两艘小船相距20海里.
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5.易错题[2021河南省实验中学月考]已知CD是△ABC的边AB上的高.若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为
.?
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答案
5.12或28 【解析】 分两种情况:①当△ABC是锐角三角形时,如图1.∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°.∵CD=3,AD=1, ∴AC=2.∵AB=2AC,∴AB=4,∴BD=AB-AD=4-1=3,∴BC=????????2+????????2=(3)2+32=12.②当△ABC是钝角三角形时,如图2,同理得AC=2,AB=4,∴BD=BA+AD=4+1=5,∴BC=????????2+????????2=(3)2+52=28.综上所述,BC的长为12或28.
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6.[2020江苏无锡期中]如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸(假设绳子是直的),开始时绳子BC的长为17 m,此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,求船向岸边移动的距离.
答案
6.【解析】 在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=17 m,AC=8 m,
根据勾股定理得,AB=????????2?????????2=172?82=15(m).
∵此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,
∴CD=17-1×7=10(m),
∴AD=????????2?????????2=102?82=6(m),
∴BD=AB-AD=15-6=9(m),
∴船向岸边移动了9 m.
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素养提升
7.[2021河南南阳期末]勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程.
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
证明:如图1,连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
证明:连接 .?
∵S五边形ACBED= ,?
S五边形ACBED= ,?
∴ ,?
∴a2+b2=c2.
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答案
7.【解析】 证法一 连接BD,过点B作DE边上的高BF,如图,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△AED=12ab+12b2+12ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
证法二 连接BD,BE,过点B作DE边上的高BF,如图,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED=12b(a+b)+12ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),
∴12b(a+b)+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
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14.1 勾股定理
课时3 直角三角形的判定
1.给出下列长度的四组线段:①1,2,3;②3,4,5;③6,7,8;④a-1,a+1,4a(a>1).其中能构成直角三角形的有 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
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知识点1 勾股定理的逆定理
答案
1.A 【解析】 ①12+(2)2=(3)2,故长度为1,2,3的线段能构成直角三角形;②42+32=52,故长度为3,4,5的线段能构成直角三角形;③62+72≠82,故长度为6,7,8的线段不能构成直角三角形;④(a-1)2+(a+1)2≠(4a)2,故长度为a-1,a+1,4a的线段不能构成直角三角形.所以能构成直角三角形的是①②.故选A.
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2.若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+(b+c)2=2bc+2c2,则△ABC为 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
2.A 【解析】 因为a2+(b+c)2=2bc+2c2,所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,由于条件不足,故D项中的结论无法得到.故选A.
判断一个三角形是不是直角三角形
(1)利用定义从角上判断,即如果已知条件与角度有关,判断是否有一个角度为90°,若有,则是直角三角形,若没有,则不是直角三角形;(2)利用勾股定理的逆定理从边上判断,即若已知条件与边有关,一般通过计算得出三边的数量关系,看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方,若相等,则是直角三角形,若不相等,则不是直角三角形.
归纳总结
3.[2020广东深圳期中]如图,将△ABC放在网格中(每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上,则∠ABC的度数为 °.?
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
3.45 【解析】 由勾股定理得AC2=12+22=5,BC2=12+32=10,AB2=12+22=5,∴AB=AC,AC2+AB2=BC2,∴△ACB是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°.
4.在△ABC中,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数),则△ABC是直角三角形吗?若是,哪条边所对的角是直角?请说明理由.
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
4.【解析】 △ABC是直角三角形.理由如下:
在△ABC中,∵AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n>1),
∴AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)2=AC2,
即BC2+AB2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,边AC所对的角是直角.
5.[2021天津和平区月考]如图,已知CD=3,AD=4,BC=12,AB=13,∠ADC=90°,求图中阴影部分的面积.
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
5.【解析】 在Rt△ADC中,由勾股定理得,
AC=????????2+????????2=42+32=5.
∵AC=5,AB=13,BC=12,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,
∴S阴影=S△ACB-S△ADC=12AC·BC-12AD·CD=12×5×12-12×4×3=24.
?
6.[2021广东佛山南海区期末]下列各组数中,是勾股数的是 ( )
A.0.3,0.4,0.5 B.9,40,41
C.2,3,4 D.1,2,3
?
知识点2 勾股数
答案
6.B 【解析】 0.3,0.4,0.5,2,3不是正整数,故选项A,D不符合题意;92+402=412,且9,40,41是正整数,故选项B符合题意;2,3,4是正整数,但22+32≠42,所以2,3,4不是勾股数,故选项C不符合题意.故选B.
?
7.[2021四川成都期中]若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,这样的三个正整数a,n,n+1我们称为一组“完美勾股数”.当n<150时,这样的“完美勾股数”共有 组.?
知识点2 勾股数
答案
7.8 【解析】 ∵(n+1)2-n2=2n+1,∴a2=2n+1.∵n<150,∴a2=2n+1<301.在0与301之间的非偶数完全平方数有9,25,49, 81,121,169,225,289,一共8个,∴这样的“完美勾股数”共有8组.
8.木工师傅要做一个长方形桌面,做完后他测得桌面的长为60 cm、宽为25 cm,对角线长为65 cm,则这个桌面 . (填“合格”或“不合格”)?
知识点3 勾股定理逆定理的简单应用
答案
8.合格 【解析】 因为602+252=652,所以这个桌面合格.
9.A,B,C三地的两两距离如图所示,A在B的正东方向,则C在B的 方向.?
知识点3 勾股定理逆定理的简单应用
答案
9.正北 【解析】 ∵AB=12 km,BC=5 km,AC=13 km,∴BC2+AB2=52+122=25+144=169,AC2=132=169,∴BC2+AB2= AC2,∴∠CBA=90°.∵A在B的正东方向,∴C在B的正北方向.
10.在城阳区“五水绕城”生态环境提升项目中,有一块三角形空地要进行绿化.如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上的一点,CE=25 m,BC=65 m,BE=60 m.
(1)判断△ABE的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的周长.
知识点3 勾股定理逆定理的简单应用
答案
10.【解析】 (1)△ABE是直角三角形.理由如下:
∵BC2=652=4 225,BE2=602=3 600,CE2=252=625,
∴BE2+CE2=BC2,∴∠BEC=90°,∴∠BEA=90°,
∴△ABE是直角三角形.
(2)设AB=AC=x m,则AE=(x-25)m.
由(1)可知△ABE是直角三角形,∠BEA=90°,
∴BE2+AE2=AB2,
∴602+(x-25)2=x2,解得x=84.5.
故△ABC的周长为AB+AC+BC=84.5×2+65=234(m).
1.如果三条线段m,n,b满足b2=(m+n)(m-n),那么这三条线段组成的三角形是 ( )
A.等腰三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.等边三角形
D.以m为斜边的直角三角形
答案
1.D 【解析】 ∵b2=(m+n)(m-n),∴b2=m2-n2,∴b2+n2=m2,∴这三条线段组成的三角形是以m为斜边的直角三角形.故选D.
2.[2021广东深圳罗湖区期中]如图,在一个由边长为1的小正方形组成的6×6的网格纸上,有A,B,C,D,E,F,G七个点(均在格点上),则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是 ( )
A.点A、点B、点C
B.点A、点D、点G
C.点B、点E、点F
D.点B、点G、点E
答案
2.C 【解析】 AB2=12+62=37,AC2=42+52=41,BC2=12+32=10,37+10≠41,不可以构成直角三角形,故选项A不符合题意;同理可得选项B,D也不符合题意;BE2=62+42=52,BF2=52+52=50,EF2=12+12=2,50+2=52,可以构成直角三角形,故选项C符合题意.故选C.
3. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,则∠BPC的度数为 ( )
A.120°
B.135°
C.140°
D.145°
答案
3.B 【解析】 如图,过点C作CE⊥CP,并截取CE=CP,连接BE,PE,∴△PCE为等腰直角三角形,∴∠CPE=45°,PE2=PC2+CE2=8. ∵∠ACP+∠PCB=∠BCE+∠PCB=90°, ∴∠ACP=∠BCE. 又∵AC=BC, CP=CE,∴△APC≌△BEC,∴BE=PA=3.∵PB2=1, BE2=9,∴PE2+PB2=BE2,∴△BPE是直角三角形,且∠BPE=90°,∴∠BPC=∠CPE+ ∠BPE=45°+90°=135°.故选B.
4.[2021广东佛山南海区期中]如图,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使点C落在AB上的点E处,则DC的长为 . ?
答案
4.103 【解析】 因为52+122=132,即AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形,∠C=90°.根据题意,得AE=AC=5,DC=DE, ∠AED=∠BED=∠C=90°.设DC=x,则DE=x,BD=12-x.在Rt△BDE中,由勾股定理,得x2+(13-5)2=(12-x)2,解得x=103.
?
5.若a,b,c是△ABC的边,且a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,则△ABC的面积是 .?
答案
5.24 【解析】 ∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,∴(a2-12a+36)+(b2-16b+64)+(c2-20c+100)=0,∴(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2= 0,∴a-6=0,b-8=0,c-10=0,∴a=6,b=8,c=10,∴a2+b2=62+82=100,c2=102=100,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°, ∴△ABC的面积是12×6×8=24.
?
6.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),?.分析上面勾股数组可以发现:4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),??分析上面规律,第5个勾股数组为 .?
答案
6.(11,60,61) 【解析】 根据题意得第5个勾股数组中间的数为5×(11+1)=60,第1个数为11,第3个数为60+1=61,所以第5个勾股数组为(11,60,61).
7.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=14BC.求证:AF⊥EF.
?
答案
7.【解析】 设正方形ABCD的边长为a,则DF=FC=????2,EC=????4.
在Rt△CEF中,由勾股定理,
得EF2=FC2+EC2=(????2)2+(????4)2=516a2,
同理AF2=54a2,
∴EF2+AF2=516a2+54a2=2516a2.
在Rt△ABE中,BE=a-14a=34a,
由勾股定理,得AE2=AB2+BE2=a2+(34a)2=2516a2,
∴AF2+EF2=AE2,
∴△AEF是直角三角形,且∠AFE=90°,
∴AF⊥EF.
?
素养提升
8.[2021四川师范大学附属第一实验中学期中]在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH(如图),测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)CH是否为从村庄C到河边的最近路(即CH与AB是否垂直)?请通过计算加以说明.
(2)求原来的路线AC的长.
答案
8.【解析】 (1)CH是从村庄C到河边的最近路.理由如下:
在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,
∴CH2+BH2=BC2,∴△CHB是直角三角形,∠CHB=90°,
∴CH⊥AB,∴CH是从村庄C到河边的最近路.
(2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米,
在Rt△ACH中,由勾股定理得AC2=AH2+CH2 ,
∴x2=(x-1.8)2+2.42 ,解得x=2.5.
答:原来的路线AC的长为2.5千米.
14.1 勾股定理
课时4 反证法
1.[2021山东烟台期末]用反证法证明“在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC”时,应先假设 ( )
A.AB=AC B.∠B=∠C
C.AB≠AC D.∠B≠∠C
知识点 反证法
答案
1.A
2.用反证法证明“若五个正数的和等于1,则这五个正数中至少有一个正数大于或等于15”时,应先假设这五个正数 ( )
A.都大于15 B.都小于15
C.没有一个小于15 D.没有一个大于15
?
知识点 反证法
答案
2.B 【解析】 假设结论的反面成立,则需找出“至少有一个正数大于或等于15”的反面,即这五个正数都小于15.故选B.
?
3.用反证法证明:一条线段只有一个中点.先假设线段AB有两个中点M,N,不妨设M在N的左边,则AM知识点 反证法
答案
3.AM=AN=12AB
?
4.求证:两直线平行,内错角相等.理论依据1:内错角相等,两直线平行.理论依据2:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.如图1,AB∥CD,且AB,CD被EF所截.求证:∠AOF=∠EO'D.以下是打乱的用反证法证明的过程:
①如图2,过点O作直线A'B',使∠A'OF=∠EO'D.
②依据理论依据1,可得A'B'∥CD.
③假设∠AOF≠∠EO'D.
④所以∠AOF=∠EO'D.
⑤与理论依据2矛盾,假设不成立.
证明步骤的正确顺序是 .(填序号即可)?
知识点 反证法
答案
4.③①②⑤④
5.求证:若a,b都是正整数,ab能被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
5.【解析】 假设a,b中没有一个能被5整除,即a,b都没有因数5,
则ab没有因数5,
所以ab不能被5整除,
这与已知条件ab能被5整除矛盾,
所以假设不成立,因此a,b中至少有一个能被5整除.
反证法的步骤
(1)假设结论的反面是正确的;(2)通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;(3)说明假设不成立,进而得出原结论正确.
归纳总结
6.[2020陕西渭南期中]用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.求证:∠1=∠A+∠B.
知识点 反证法
答案
6.【解析】 假设∠1≠∠A+∠B.
在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠1+∠ACB=180°,∴∠1=180°-∠ACB,
∴∠1=∠A+∠B,与假设相矛盾,
∴假设不成立,
∴∠1=∠A+∠B.
7.求证:有理数与无理数的和一定是无理数.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
7.【解析】 已知:a是有理数,b是无理数.
求证:a+b是无理数.
证明:假设a+b=m不是无理数,
则m是有理数,则b=m-a是有理数,
这与已知条件b是无理数矛盾,
所以a+b是无理数.
8.求证:如果实数a,b满足a2+b2=0,那么a=0且b=0.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
8.【解析】 假设a≠0或b≠0,
则a≠0且b≠0或a≠0且b=0或a=0且b≠0.
当a≠0且b≠0时,a2>0,b2>0,∴a2+b2>0,
这与a2+b2=0矛盾.
同理可得当a≠0且b=0或a=0且b≠0时,a2+b2>0,
这与a2+b2=0矛盾.
所以假设不成立,因此a=0且b=0.
9.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部的一点,且∠APB≠∠APC.求证:PB≠PC.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
9.【解析】 假设PB=PC.
∵AB=AC,PB=PC,AP=AP,
∴△ABP≌△ACP(S.S.S.),∴∠APB=∠APC,
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾,
∴假设不成立,∴PB≠PC.
易错疑难集训（一）
1.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(c2-a2-b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
疑难点 判断三角形的形状
答案
1.C 【解析】 ∵(c2-a2-b2)2+|a-b|=0,∴c2-a2-b2=0且a-b=0,∴a2+b2=c2且a=b,∴△ABC的形状为等腰直角三角形.故选C.
2.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若a2+b2≠c2,则这个三角形是不是直角三角形?请说明理由.
疑难点 判断三角形的形状
答案
2.【解析】 当c是最长边时,
因为a2+b2≠c2,所以△ABC不是直角三角形;
当c不是最长边时,即使a2+b2≠c2,
但可能a2+c2=b2或b2+c2=a2,则此三角形可能是直角三角形.
3.如图,在操场上竖立着一根长2米的测影竿CD,早晨测得它的影长BD为4米,中午测得它的影长AD为1米,则A,B,C三点能否构成直角三角形?为什么?
疑难点 判断三角形的形状
答案
3.【解析】 A,B,C三点能构成直角三角形.理由如下:
∵AC2=12+22=5,BC2=22+42=20,AB2=(1+4)2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,即A,B,C三点能构成直角三角形.
4.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第三条边长,并求出a的取值范围;
(2)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.
疑难点 判断三角形的形状
答案
4.【解析】 (1)由第一条边长为a米,得第二条边长为(2a+2)米,
所以第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)(米).
根据三角形三边之间的关系,得2a+2-a<28-3a<2a+2+a,
解得133所以a的取值范围是133?
疑难点 判断三角形的形状
答案
(2)能,此时直角三角形的三边长分别是5米、12米、13米.
因为133所以三角形的三边长分别是5米、12米、13米或6米、14米、10米.
当三角形的三边长分别是5米、12米、13米时,
52+122=169,132=169,所以52+122=132,
所以三角形是直角三角形;
当三角形的三边长分别是6米、14米、10米时,
62+102=136,142=196,所以62+102≠142,
所以三角形不是直角三角形.
所以能使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数,三边长分别是5米、12米、13米.
?
5.[2021吉林长春新区期末]林老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下表格:
?
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含n(n>1)的代数式表示a,b,c;
(2)猜想以a,b,c为边长的三角形是否为直角三角形,并证明你的猜想.
疑难点 判断三角形的形状
n
2
3
4
5
?
a
22-1
32-1
42-1
52-1
?
b
4
6
8
10
?
c
22+1
32+1
42+1
52+1
?
疑难点 判断三角形的形状
答案
5.【解析】 (1)由题中表格可以得出:
n=2时,a=22-1,b=2×2,c=22+1,
n=3时,a=32-1,b=2×3,c=32+1,
n=4时,a=42-1,b=2×4,c=42+1,
??
∴a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).
(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.证明如下:
∵a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4+2n2+1,
c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,
∴a2+b2=c2,∴以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.
14.2 勾股定理的应用
课时1 勾股定理的应用(1)
1.[2021山西太原期中]2020年9月22日是第三个中国农民丰收节,小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18 cm、高为12 cm的圆柱粮仓模型(如图1).如图2,BC是底面直径,AB是圆柱的高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带,使装饰带经过A,C两点(接头不计),则装饰带的长度最短为 ( )
A.20 cm
B.25 cm
C.30 cm
D.35 cm
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
1.C 【解析】 如图,圆柱的侧面展开图为长方形,AC=A'C,且点C为BB'的中点.∵AB= 12 cm,BC=12×18=9(cm),根据勾股定理得,AC2=AB2+BC2,∴AC=15 cm,∴装饰带的长度最短为2AC=30 cm.故选C.
?
2.[2020河南省实验中学期中]如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从点A到点A'镶有一圈金属丝.若三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则金属丝的长度至少为 ( )
A.8 cm
B.13 cm
C.12 cm
D.15 cm
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
2.B 【解析】 如图,将三棱柱的侧面沿AA'展开,则AA'2=52+(3×4)2=169,所以AA'= 13 cm.故选B.
3.[2021重庆期末]一个三级台阶如图,每一级的长、宽、高分别为8 dm、3 dm、2 dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm.?
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
3.17 【解析】 三级台阶平面展开图为长方形(如图),长为8 dm,宽为(2+3)×3=15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程为x dm,由勾股定理得x2=82+152=172,所以x=17.
4.[2020山东东营垦利区期中]我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈四尺,周六尺,有葛藤自根缠绕而上,三周而达其顶,问葛藤之长几何.”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱体的高为二十四尺,底面周长为六尺,有葛藤从点A处缠绕而上,绕三周后其末端恰好到达B处,则葛藤的最短长度是 尺.?
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
4.30 【解析】 将圆柱体侧面沿AB展开得到如图所示的长方形.在Rt△ADC中,DC=8尺,AC=6尺, ∴AD2=82+62=100,∴AD=10尺.∵葛藤从点A处缠绕而上,绕三周后其末端恰好到达B处,∴葛藤的最短长度是10×3=30(尺).
运用转化思想化“曲”为“直”
解决这类问题的关键就是转化,即把曲面转化为平面,曲线转化成直线,构造直角三角形,利用勾股定理求出未知线段的长.
名师点睛
5.[2021广东深圳期中]如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,那么小巷的宽度为 ( )
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
D.2.4米
知识点2 实际应用中的勾股定理
答案
5.C 【解析】 如图,在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42= 6.25.在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25, ∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选C.
6.如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距25 km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路AB上建设一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距离A站 km处.?
知识点2 实际应用中的勾股定理
答案
6.10 【解析】 因为C,D两村到E站的距离相等,所以CE=DE.在Rt△DAE和Rt△CBE中,由勾股定理,得DE2=AD2+ AE2,CE2=BE2+BC2,所以AD2+AE2=BE2+BC2.设AE=x km,则BE=(25-x) km,则152+x2=(25-x)2+102,解得x=10,所以E站应建在距离A站10 km处.
7.[2021江苏盐城期中]已知某开发区有一块四边形的空地ABCD,如图,现计划在空地上种植草皮,经测量,∠A=90°,AB= 3 m,BC=12 m,CD=13 m,DA=4 m,若每平方米草皮需要200元,则总共需要投入多少钱?
知识点2 实际应用中的勾股定理
答案
7.【解析】 如图,连接BD,在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52.
在△CBD中,CD2=132,BC2=122,
而122+52=132,即BC2+BD2=CD2,所以∠DBC=90°.
S四边形?????????????????=S△BAD+S△DBC=12·AD·AB+12·DB·BC=12×4×3+12×5×12=36(m2),
所以总共需要投入36×200=7 200(元).
?
1.张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游.如图,张明家(记作A)在成都东站(记作B)南偏西30°的方向且与成都东站相距4 000米,王强家(记作C)在成都东站南偏东60°的方向且与成都东站相距3 000 米,则张明家与王强家的距离为
( )
A.6 000米
B.5 000米
C.4 000米
D.2 000米
答案
1.B 【解析】 如图,连接AC.依题意得∠ABC=90°,AB=4 000米,BC=3 000米,则由勾股定理,得AC=????????2+????????2=4?0002+3?0002=5 000(米).故选B.
?
2.[2020湖北武汉市实验初级中学月考]如图,一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C,爬行的最短路线有 ( )
A.3条
B.4条
C.6条
D.12条
答案
2.C 【解析】 如图,若蚂蚁爬行时经过面AD,蚂蚁沿AD1?????????????D1C(或AD2?????????????D2C)爬行(其中D1,D2分别为其所在棱的中点)时,最短路线有2条;同理,若蚂蚁爬行时经过面AB,最短路线也有2条;若蚂蚁爬行时经过面AE,最短路线也有2条.因此,蚂蚁爬行的最短路线有6条.故选C.
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3.[2020重庆第二外国语学校期中]如图,长方体的底面长方形的长和宽分别为4 cm和2 cm,高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm.?
答案
3.13 【解析】 长方体的侧面展开图如图所示,连接PQ,则PQ即蚂蚁爬行的最短路径.因为长方体的底面长方形的长和宽分别为4 cm和2 cm,高为5 cm,所以PA=4+2+4+ 2=12(cm), QA=5 cm,所以PQ=????????2+????????2=13 cm.
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4.[2021山西晋中期中]如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地2.5米,即AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于 米.?
答案
4.1.5 【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,则ED=BC=1.2米,BE=CD=1.6米.∵AB=
2.5米,∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(米).在Rt△ADE中,由勾股定理得,AD=????????2+????????2=0.92+1.22=1.5(米).
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5.小汽车在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上,在没有限速标志、标线的情况下,最高速度不得超过70 km/h.如图,省内一辆小汽车自右向左在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点A正前方30 m的C处,过了2.5 s后行驶到B处,此时测得小汽车与车速观察点A之间的距离为50 m,这辆小汽车超速了吗?
答案
5.【解析】 连接AC,BC,AB,在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,
根据勾股定理可得BC=????????2?????????2=40(m),
∴小汽车的速度为v=402.5=16(m/s),16 m/s=57.6 km/h.
∵70>57.6,∴这辆小汽车没有超速.
答:这辆小汽车没有超速.
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6.[2021山西运城盐湖区期中]如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离为250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN为120 m,BM的长为150 m.
(1)求从供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
答案
6.【解析】 (1)在Rt△MNB中,
BN=????????2?????????2=1502?1202=90(m),
∴AN=AB-BN=250-90=160(m).
在Rt△AMN中,AM=????????2+????????2=1602+1202=200(m),
∴从供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长=200+150=350(m).
(2)∵AB=250 m,AM=200 m,BM=150 m,
∴AB2=BM2+AM2,
∴△ABM是直角三角形,∠BMA=90°,∴BM⊥AC,
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM的长,即150 m.
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14.2 勾股定理的应用
课时2 勾股定理的应用(2)
1.如图,△ABC的顶点A,B,C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 ( )
A.45
B.85
C.165
D.245
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答案
1.C 【解析】 如图,连接AE,S△ABC=12BC·AE=12BD·AC.∵AE=4,AC=42+32=5, BC=4,∴12×4×4=12×5BD,解得BD=165.故选C.
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2.[2020山东枣庄市中区月考]如图,OP=1,过点P作PP1⊥OP于点P,且PP1=1,得OP1=2;再过点P1作P1P2⊥OP1于点P1,且P1P2=1,得OP2=3;又过点P2作P2P3⊥OP2于点P2,且P2P3=1,得OP3=2??依此方法继续作下去,S1,S2,S3,?分别表示各个三角形的面积,那么????12+????22+????32+?+????92的值是 ( )
A.454
B.554
C.552
D.55
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答案
2.A 【解析】 由勾股定理得OP1=2,OP2=3,OP3=2,OP4=22+12=5,依此类推可得OPn=????+1,∴????12=14,
????22=24,????32=34,?,????92=94,∴????12+????22+????32+?+????92=14+24+34+?+94=454.故选A.
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3.[2021浙江台州期中]如图1,在一款名为超级玛丽的游戏中,玛丽在一个高为10 m的高台A处,利用旗杆顶部的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17 m、高为3 m的矮台B,示意图如图2,在这个过程中,玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为 m.?
答案
3.2 【解析】 如图,过点A作AE⊥OM于点E,过点B作BF⊥OM于点F.∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°, ∴∠AOE=∠OBF. 在△AOE和△OBF中,∵∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF,AO=OB,∴△AOE≌△OBF(A.A.S.), ∴OE=BF,AE=OF,∴OE+OF=AE+BF=CD=17 m. ∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7(m),∴2EO+EF=17,则2EO=10, ∴OE=5 m,OF=12 m,∴OM=OF+FM=15 m.∵OF=12 m,BF=OE=5 m,∴OB2=122+52=169,∴OB=13 m,∴ON=OB=
13 m,∴MN=OM-ON=15-13=2(m),∴玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为2 m.
4.如图,在△ABC中,AC=3,D为BC上一点,CD=4,AD=5,BD=2,求AB的长.
答案
4.【解析】 ∵AC=3,CD=4,AD=5,∴AC2+CD2=AD2,
∴△ADC是直角三角形,∠C=90°.
在Rt△ACB中,由勾股定理得,
AB=????????2+????????2=32+(4+2)2=45.
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5.[2021山西太原期中]如图是四边形木板ABCD,其中AB=16 cm,BC=24 cm,CD=9 cm,AD=25 cm,∠B=∠C=90°.李师傅找到BC边的中点P,连接AP,DP,发现△APD是直角三角形.请你通过计算说明理由.
答案
5.【解析】 ∵点P为BC的中点,∴BP=CP=12BC=12 cm.
在Rt△ABP中,根据勾股定理可得,
AB2+BP2=AP2,∴162+122=AP2,
∴AP=20 cm,同理可得DP=15 cm.
∵152+202=252,∴AP2+DP2=AD2,
∴△APD是直角三角形.
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6.[2021四川成都期中]如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,点F为BC的中点,BE与DF, DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗?若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由.
(2)求证:BG2-GE2=EA2.
答案
6.【解析】 (1)线段BH与AC相等.证明如下:
因为∠BDC=∠BEA=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
所以∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
所以DB=DC,∠ABE=∠DCA.
在△DBH和△DCA中,
因为∠DBH=∠DCA,BD=CD,∠BDH=∠CDA=90°,
所以△DBH≌△DCA(A.S.A.),所以BH=AC.
(2)如图,连接CG.
因为F为BC的中点,DB=DC,所以DF垂直平分BC,
所以BG=CG.
因为∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
所以EC=EA.
在Rt△CGE中,由勾股定理,得CG2-GE2=EC2,
所以BG2-GE2=EA2.
专项 勾股定理的两种常见
应用
1.如图,直角三角形OBC的直角边BC的长为1,线段OB绕点O旋转,使点B落在数轴上并记为点A,则数轴上点A表示的实数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.5
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类型1 利用勾股定理解决数轴问题
答案
1.D 【解析】 由勾股定理得线段OB的长为5,所以线段OA的长为5,所以点A表示的实数是5.故选D.
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2.如图,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以O为圆心、OC长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为 .?
类型1 利用勾股定理解决数轴问题
答案
2.7 【解析】 ∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴CO⊥AB.在Rt△OBC中,OC=????????2?????????2=42?32=7.
∵以O为圆心、CO长为半径画弧交数轴于点M,∴OM=OC=7,∴点M对应的实数为7.
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3.在数轴上作出表示-13的点.
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类型1 利用勾股定理解决数轴问题
答案
3.【解析】 如图,在数轴上O表示原点,点A表示-3.作BA垂直于数轴,使AB的长等于数轴上两个单位的长度,连接OB,则OB=22+32=13.以点O为圆心、OB长为半径画弧,交数轴于点C,则点C就表示-13.
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4.[2021黑龙江大庆期中]如图,将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是 ( )
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
4.A 【解析】 设CN=x cm,则DN=(8-x)cm,由折叠的性质知EN=DN=(8-x)cm,而EC=12BC=4 cm.在Rt△ECN中,由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=16+x2,整理得16x=48,所以x=3.故选A.
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5.如图,在长方形纸片ABCD中,点E在AB边上,将长方形ABCD沿DE所在直线折叠,点A恰好落在BC边上的点F处.若AE=5,BF=3,则CF的长为 .?
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
5.12 【解析】 ∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠C=90°,AB=CD,AD=BC,由折叠的性质可得EF=AE=5.在Rt△BEF中,BE2=EF2-BF2=52-32=16,∴BE=4,∴AB=AE+BE=9,∴CD=9.在Rt△DFC中,DF2=CD2+CF2,由折叠的性质得DF=AD, ∴(CF+3)2=92+CF2,∴CF=12.
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D,E分别在AC,BC上,且DE∥AB.将△ABC沿DE所在直线折叠,使C点落在斜边AB上的F点处,求AF的长.
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
6.【解析】 如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE.
因为DE∥AB,所以CF⊥AB.
因为∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
所以AB=????????2+????????2=10.
因为12AC·BC=12AB·CF,
所以CF=4.8,所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62,
所以AF=3.6.
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7.[2021河南洛阳外国语学校月考]如图,在长方形纸片ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿AE所在直线折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,求DE的长.
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
7.【解析】 根据折叠的性质得AF=AD=5,DE=FE.
设线段AB的垂直平分线PQ分别交AB,DC于点P,Q,
则PQ=AD=5,AP=DQ=4.
如图1,当点E在DC上时,
FP=52?42=3,所以FQ=PQ-FP=2.
设DE=x,则FE=x,QE=4-x.
在Rt△EQF中,(4-x)2+22=x2,所以x=52.
如图2,当点E在DC的延长线上时,FP=52?42=3,
所以FQ=FP+PQ=8.
设DE=x,则FE=x,QE=x-4.
在Rt△EQF中,(x-4)2+82=x2,所以x=10.
综上所述,DE=52或10.
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易错疑难集训（二）
1.[2021陕西榆林高新第一中学月考]如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池.该U型池可以看作是一个长方体去掉了一个“半圆柱”,中间可供滑行部分的截面是半径为8 m的半圆,其边缘AB=CD=20 m,点E在CD上,CE=2 m.一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离约是多少?(边缘部分的厚度忽略不计,π取3)
疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
1.【解析】 把“半圆柱”侧面展开后,连接AE,如图所示.
由题意可知AD=8π≈8×3=24(m),
DE=CD-CE=20-2=18(m).
在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2≈182+242=900,
所以AE≈30 m.
所以他滑行的最短距离约是30 m.
2.H.E.杜登尼是19世纪英国知名的谜题创作者.“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上,它是杜登尼最有名的谜题之一.如图,在一个30英尺×12英尺×12英尺的长方体房间,一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的地方,苍蝇则在对面墙的中间离地板1英尺的地方.苍蝇是如此害怕,以至于无法动弹.试问,蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短路径长是多少?
疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
2.【解析】 当按图1方式展开时,
由题意可知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=32 英尺,AC=24 英尺,
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=242+322=402,
从而AB=40英尺.
疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
当按图2方式展开时,易知AB=42英尺.
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当按图3方式展开时,在Rt△ABC1中,
AB2=A????12+B????12=172+372=1 658.
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?
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疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
当按图4方式展开时,AB的值显然大于按图1方式展开时AB的值.
综上,可得AB的最小值为40.
答:蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短路径长是40英尺.
运用勾股定理求最短路径长的步骤
确定立体图形上的最短路径,需要先将立体图形展开成平面图形,再构造直角三角形进行计算,最后通过比较得出最短路径长.
归纳总结
3.[2021浙江杭州模拟]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm.若点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿A?????????????C?????????????B?????????????A运动,设运动时间为t s(t>0).
(1)若点P在AC上,且满足PA=PB,求出此时t的值;
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求出此时t的值.
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疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
3.【解析】 (1)在Rt△ABC中,
由勾股定理得AC=????????2?????????2=52?32=4(cm).
此时PA=PB=2t cm,PC=(4-2t)cm,其中0在Rt△PCB中,PC2+CB2=PB2,
即(4-2t)2+32=(2t)2,解得t=2516,
∴当t=2516时,点P在AC上,且满足PA=PB.
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疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
(2)当点P在∠BAC的平分线上时,如图,连接AP,过点P作PE⊥AB于点E,
此时BP=(7-2t)cm,PE=PC=(2t-4)cm,BE=5-4=1(cm),
其中0在Rt△BEP中,PE2+BE2=BP2,
即(2t-4)2+12=(7-2t)2,解得t=83.
当t=6时,点P与点A重合,也符合条件.
∴当t=83或6时,点P恰好在∠BAC的平分线上.
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4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
4.【解析】 (1)∵∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,
∴BC=4 cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,
BP=BC=4 cm,∴t=4.
疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
②当∠BAP为直角时,BP=t cm,CP=(t-4)cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+[32+(t-4)2]=t2,解得t=254.
综上,当△ABP为直角三角形时,t=4或254.
(2)①当BP=BA=5 cm时,t=5.
②当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,∴t=8.
③当PB=PA时,PB=PA=t cm,CP=(4-t)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,
∴t2=32+(4-t)2,解得t=258.
综上,当△ABP为等腰三角形时,t=5或8或258.
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章末培优专练
勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具,在对勾股定理的研究中会逐渐体会到分类讨论思想、数形结合思想、转化思想.第1题是利用三角形全等及勾股定理的知识利用直角三角形三边的关系来求解.第3题类比直角三角形三边之间的关系,利用勾股定理探究非直角三角形三边之间的关系.
1.[转化思想结合整体法求多个正方形的面积和]在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4= .?
答案
1.4 【解析】 如图,利用“A.A.S.”容易证明Rt△ACB≌Rt△BDE,所以BC=ED,所以AC2+ED2=AC2+BC2=AB2,所以S1+ S2=1.同理S3+S4=3.所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.
2.[以h,c+h,a+b为边长的三角形的形状的探究(a,b为直角边长,c为斜边长,h为斜边上的高)]已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,斜边上的高为h,试判断以h,c+h,a+b为边长的三角形的形状,并说明理由.
答案
2.【解析】 以h,c+h,a+b为边长的三角形是直角三角形.理由如下:
∵△ABC是直角三角形,a,b为直角边长,c为斜边长,∴c2=a2+b2.
∵12ab=12ch,∴ab=ch.
∵(c+h)2-(a+b)2=c2+2ch+h2-(a2+b2+2ab)=(c2-a2-b2)+(2ch-2ab)+h2=h2,
∴以h,c+h,a+b为边长的三角形是直角三角形.
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3.[非直角三角形三边关系的探究]在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.
(1)①若∠C为直角,则由勾股定理得a2+b2=c2.若∠C为锐角,求证:a2+b2>c2.
②若∠C为钝角,试判断a2+b2与c2的关系,并证明.
(2)若a=3,b=4,且△ABC是钝角三角形,求第三边的长c的取值范围.
答案
3.【解析】 (1)①过点A作AD⊥BC于点D,如图1所示,
则BD=BC-CD=a-CD.
在Rt△ABD中,AB2-BD2=AD2,
在Rt△ACD中,AC2-CD2=AD2,
∴AB2-BD2=AC2-CD2,∴c2-(a-CD)2=b2-CD2,
整理得a2+b2=c2+2a·CD.
∵a>0,CD>0,∴a2+b2>c2.
答案
②a2+b2过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,
如图2所示,则BD=BC+CD=a+CD,
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2,
在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2,
∴AB2-BD2=AC2-CD2,∴c2-(a+CD)2=b2-CD2,
整理得a2+b2=c2-2a·CD,
∵a>0,CD>0,∴a2+b2(2)当∠C为钝角时,由(1)②得????2+????2当∠B为钝角时,由(1)②得b-a综上所述,第三边的长c的取值范围为5?
4.[利用勾股定理进行方案设计]如图,A,B是公路l(l为东西走向)同旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=2 km,B村到公路l的距离BD=4 km,CD=8 km.
(1)求出A,B两村之间的距离的平方的值;
(2)为了方便运输两村的垃圾,现计划在公路边建一个垃圾中转站M,要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小,并求距离之和的最小值;
(3)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置.(保留清晰的作图痕迹,不写作法)
答案
4.【解析】 (1)如图1,连接AB,过点A作AE⊥BD于点E,
则AE=CD=8 km,BE=BD-AC=2 km.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB2=AE2+BE2=82+22=68,
所以A,B两村之间的距离的平方的值为68.
(2)如图2,作点A关于直线l的对称点A',
连接A'B交直线l于点M,连接MA,MB,
则点M即所求作的点,此时MA+MB的值最小.
过点A'作A'F⊥BD,交BD的延长线于点F,
则BF=BD+DF=BD+A'C=BD+AC=4+2=6(km),
A'F=CD=8 km.
在Rt△A'BF中,由勾股定理,得A'B2=82+62=100,
从而A'B=10 km,所以距离之和的最小值为10.
(3)如图3,连接AB,作AB的垂直平分线GH,交直线l于点P,
连接PA,PB,则PA=PB,所以点P即所求.
1.[2019湖南益阳中考]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心、AN长为半径画弧,再以点B为圆心、BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案
1.B 【解析】 如图,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.故选B.
2.[2019浙江宁波中考]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 ( )
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
答案
2.C 【解析】 设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长为b,较短直角边长为a,由勾股定理得c2=a2+b2,阴影部分的面积为c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),较小两个正方形重叠部分的宽为a-(c-b),长为a,则较小两个正方形重叠部分的面积为a(a+b-c),所以知道题图中阴影部分的面积一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.
3.[2019辽宁大连中考]如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8.则D'F的长为 ( )
A.25
B.4
C.3
D.2
?
答案
3.C 【解析】 ∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠D=90°,CD=AB=4,AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF. 由折叠的性质得∠AEF=∠CEF,AE=CE,∠D'=∠D=90°,AD'=CD=4,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE=CE.设AF=AE=CE=x,则BE=8-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+BE2=AE2,∴42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5. 在Rt△AFD'中,由勾股定理得D'F2=AF2-AD'2=52-42=9,∴D'F=3.故选C.
4.[2020黑龙江绥化中考]在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是 .?
答案
4.17 【解析】 根据题意得,AC2+BC2=AB2,所以(AB-2)2+82=AB2,所以AB=17.
5.[2020湖北黄冈中考]我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深几何?”(注:丈、尺是长度单位,1丈=10尺)这段话翻译成现代汉语,即为:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,则水池里水的深度是 尺.?
答案
5.12 【解析】 设水池里水的深度是x尺,则芦苇的高是(x+1)尺.由题意,根据勾股定理,得x2+52=(x+1)2,解得x=12,所以水池里水的深度是12尺.
6.[2020四川雅安中考]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC, BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2= .?
答案
6.20 【解析】 因为AC⊥BD,所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.由勾股定理,得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+ DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,所以AB2+CD2=AD2+BC2.因为AD=2,BC=4,所以AB2+CD2=22+42=20.
7.[2020江苏苏州中考]如图,在△ABC中,已知AB=2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点,则EC= .?
答案
7.1 【解析】 设AE=ED=x,CD=y,∴BD=2y.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2=4x2+ 4y2=4,∴x2+y2=1.在Rt△CDE中,EC2=x2+y2=1,∴EC=1.
8.[2019北京中考]如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °.(点A,B,P是网格线交点)?
答案
8.45 【解析】 设每个小正方形的边长为1.如图,延长AP交格点于点D,连接BD,则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10, ∴PD=BD,PD2+DB2=PB2,∴∠PDB=90°,∠DPB=∠DBP=45°,∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.
9.[2019河北中考]已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A=B2,求整式B.
联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:
答案
9.【解析】 尝试 A=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=(n2+1)2.
发现 ∵A=B2,B>0,∴B=n2+1.
联想 从上到下依次填入17,37.
当2n=8时,n=4,∴n2+1=42+1=17;当n2-1=35时,n2+1=37.
全章综合检测
满分：100分 建议用时：90分钟
一、选择题(本大题共8个小题,每题4分,共32分)
1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A.3,4,5 B.2,3,4
C.4,6,7 D.5,11,12
答案
1.A 【解析】 ∵32+42=52,∴长度为3,4,5的三条线段能组成直角三角形,故A选项符合题意;∵22+32≠42,∴长度为2,3,4的三条线段不能组成直角三角形,故B选项不符合题意;同理可得,选项C,D也不符合题意.故选A.
2.[2020四川雅安期中]我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2.D 【解析】 根据勾股定理可得,a2+b2=13.∵四个直角三角形的面积是12ab×4=13-1=12,∴2ab=12,∴(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.故选D.
?
3.[2021山西省实验中学期中]在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”译文:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,则绳索长( )
A.12.5尺
B.13.5尺
C.14.5尺
D.15.5尺
答案
3.C 【解析】 设绳索长x尺,根据勾股定理得,102+(x-4)2=x2,解得x=14.5,所以绳索长14.5尺.故选C.
4.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里、12里、13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 ( )
A.7.5 千米2 B.15 千米2
C.75 千米2 D.750 千米2
答案
4.A 【解析】 将里换算为千米,则该三角形沙田的三边长分别为2.5 千米、6 千米、6.5千米.因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以该沙田的面积S=12×6×2.5=7.5(千米2 ).故选A.
?
5.[2020江苏盐城期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 ( )
A.65
B.75
C.85
D.95
?
答案
5.C 【解析】 连接AD.由题意知PQ垂直平分AB,∴AD=BD.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,设CD=x,则AD= BD=5-x,在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,∴9+x2=(5-x)2,解得CD=85.故选C.
?
6.如图,正方形ABCD的边长为1,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2??按此规律继续下去,则S2 021的值为 ( )
A.122?019
B.122?020
C.122?021
D.122?022
?
答案
6.B 【解析】 在图中标上字母E,如图.由题意得DE2+CE2=CD2,DE=CE,∴S2+S2= S1.观察,发现规律:S1=12=1,S2=12S1=12,S3=12S2=(12)2,S4=12S3=(12)3,?,Sn=(12)n-1.当n=2 021时, S2 021=(12)2 020=122?020.故选B.
?
7.[2021四川成都市实验中学月考]如图,长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C 5 cm,一只蜘蛛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一只虫子,需要爬行的最短路径长是 ( )
A.25 cm
B.24 cm
C.20 cm
D.500 cm
?
答案
7.A 【分析】 分三种情况讨论:把左侧面展开到水平面上,连接AB,如图1;把右侧面展开到正面上,连接AB,如图2;把向上的面展开到正面上,连接AB,如图3.然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB,再进行大小比较即可.
【解析】 如图1,连接AB,AB=(10+20)2+52=925(cm).如图2,连接AB,AB=202+(10+5)2=25(cm).如图3,连接AB,AB=102+(20+5)2=725(cm).∵925>725>25,∴需要爬行的最短路径长是25 cm.故选A.
?
8.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE所在直线折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为 ( )
A.73 B.83
C.3 D.103
?
答案
8.D 【解析】 根据勾股定理得BD=52+122=13.由折叠的性质得A'D=AD=5,AE=A'E,∠DA'E=∠A=∠EA'B=90°,所以A'B=BD-A'D=8.设AE=A'E=x,则BE=12-x.在Rt△A'BE中,A'E2+A'B2=BE2,即x2+82=(12-x)2,所以x=103,即AE的长为103.故选D.
?
运用勾股定理求解折叠问题的思路
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,在几何图形的折叠问题中,可借助勾股定理来求线段的长度,通常先把所求线段的长度设为未知数,再根据勾股定理列出方程,通过解方程求得线段的长度,这里考查的是数学建模素养.
归纳总结
二、填空题(本大题共4个小题,每题6分,共24分)
9.用反证法证明“多边形中至多有三个锐角”时,假设多边形内角中存在四个锐角,则这四个锐角的外角和大于360°,这与 矛盾,所以多边形中至多有三个锐角.?
答案
9.多边形的外角和为360°
10.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 °.?
答案
10.45 【解析】 连接AC,由勾股定理,得AC2=12+22=5,BC2=12+22=5,AB2=12+32=10,∴AC=BC,且AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.
11.[2021河南焦作十八中月考]为了比较5+1与10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得5+1 ?10.(填“>”或“<”或“=”)
?
答案
11.> 【解析】 ∵∠C=90°,BC=3,BD=AC=1,∴CD=2,AD=????????2+????????2=5,AB=????????2+????????2=10,∴BD+AD= ?5+1.在△ABD中,AD+BD>AB,∴5+1>10.
?
12.[2020江西抚州期末]Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是 .?
答案
12.3.6或4.32或4.8 【解析】 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=????????2+????????2=5,S△ABC=12AB·BC=6.沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:①当AB=AP=3时,如图1所示,S等腰三角形ABP=????????????????×S△ABC=35×6=3.6;②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示,作△ABC的高BD,则BD=????????·????????????????=3×45=2.4,∴AD=DP=32?2.42=1.8,∴AP=2AD=3.6,∴S等腰三角形ABP=????????????????×S△ABC=3.65×6=4.32;③当CB=CP=4时,如图3所示,S等腰三角形BCP=????????????????×S△ABC=45×6=4.8.综上所述,这个等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.
?
三、解答题(本大题共3个小题,共44分)
13.(12分)在正方形网格中,小正方形的顶点叫做格点,小华按下列要求作图:
①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一条实线上;
②连接三个格点,使之构成一个直角三角形.
小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC,请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,并证明你所画出的图形是直角三角形.(要求:三个网格中的直角三角形互不全等)
答案
13.【解析】 如图1,∵MN2=22+42=20,NH2=12+32=10,
MH2=12+32=10,
∴MH2+NH2=MN2,∴△MNH是直角三角形.
如图2,∵EF2=22+42=20,EG2=12+12=2,FG2=32+32=18,
∴EG2+FG2=EF2,∴△EFG是直角三角形.
14.(15分)为了积极响应国家新农村建设,某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图,笔直公路MN的一侧有一个村庄A,村庄A到公路MN的距离AB为600 m,假设宣讲车周围1 000 m以内(包括1 000 m处)能听到广播宣传,宣讲车以200 m/min的速度在公路MN上沿MB方向行驶,村庄A能听到广播宣传吗?若能,则总共能听到多长时间的广播宣传?
答案
14.【解析】 ∵村庄A到公路MN的距离为600 m,600<1 000,
∴村庄A能听到广播宣传.
假设当宣讲车行驶到P点(P点在MB中间)时,
村庄A开始听到广播宣传,
行驶到Q点(Q点在BN中间)时,
村庄A开始不能听到广播宣传,
则AP=AQ=1 000 m,AB=600 m.
在Rt△ABP中,由勾股定理得,
BP2=AP2-AB2,∴BP=BQ=800(m),
∴PQ=BP+BQ=1 600 m,
∴村庄A能听到广播宣传的时间为1 600÷200=8(min).
15.(17分)[2021辽宁沈阳大东区期中]拉杆箱是人们出行的常用品,采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图,某种拉杆箱的箱体AB长65 cm,拉杆最大伸长距离BC为35 cm,在箱体底端装有一圆形滚轮,当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,点A到地面(用DN表示)的距离AD为3 cm,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移55 cm到A'处,求拉杆把手C离地面的距离.(假设C点的位置保持不变)
答案
15.【解析】 如图,过点C作CE⊥DN于点E,延长AA'交CE于点F,
则∠AFC=90°.
设A'F=x cm,则AF=(55+x)cm.
由题可得AC=65+35=100(cm),A'C=65 cm.
在Rt△A'CF中,CF2=A'C2-A'F2=652-x2.
在Rt△ACF中,CF2=1002-(55+x)2.
∴652-x2=1002-(55+x)2,解得x=25,∴A'F=25 cm,
∴CF2=652-252=3 600,∴CF=60 cm.
∵EF=AD=3 cm,∴CE=CF+EF=60+3=63(cm),
∴拉杆把手C离地面的距离为63 cm.
数学·华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
课时1 直角三角形三边的关系
1.易错题在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若∠A=90°,则 ( )
A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2
C.c2+a2=b2 D.b+a=c
知识点 直角三角形三边的关系
答案
1.B
本题易忽视∠A=90°,受思维定式的影响,想当然地认为∠C为直角,从而错选A.解答此类简单题时,一定不能掉以轻心.
易错分析
2.原创题2020年9月11日,第九届应氏杯世界职业围棋锦标赛八强战收官,太原籍棋手赵晨宇晋级四强.如图是一个围棋棋盘的局部.若棋盘是由边长为1的小正方形组成的,则黑、白两棋子的距离为 ( )
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
知识点 直角三角形三边的关系
答案
2.C 【解析】 如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,由勾股定理得,AB=????????2+????????2=32+42=5.故选C.
?
3.[2021山东青岛城阳区期中]如图,阴影部分是一个长方形,它的面积是 ( )
A.14 cm2
B.16 cm2
C.18 cm2
D.20 cm2
知识点 直角三角形三边的关系
答案
3.D 【解析】 由勾股定理得,长方形的长为62+82=10(cm),所以阴影部分的面积=10×2=20(cm2).故选D.
?
4.在Rt△ABC中,斜边BC的长为3,则AB2+AC2+BC2的值为 ( )
A.18 B.12 C.9 D.6
知识点 直角三角形三边的关系
答案
4.A 【解析】 根据题意得,AB2+AC2=BC2. ∵BC=3,∴AB2+AC2+BC2=BC2+BC2=32+32=18.故选A.
5.[2021江苏南京玄武区模拟]如图,在△ABC中,AB⊥BC,以点C为圆心、CB的长为半径作弧交AC于点D,再以点A为圆心、AD的长为半径作弧交AB于点E.若AC=13,BC=5,则EB的值是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
知识点 直角三角形三边的关系
答案
5.D 【解析】 ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.在Rt△ABC中,∵AC=13,BC=5,∴AB=????????2?????????2=12.∵CD=BC=5,∴AE= AD=AC-CD=13-5=8,∴BE=AB-AE=12-8=4.故选D.
?
6.一个直角三角形的周长为24,斜边长与一直角边长之比为5∶4,则这个直角三角形的面积是 .?
知识点 直角三角形三边的关系
答案
6.24 【解析】 设斜边长是5k(k>0),一直角边长是4k,根据勾股定理,得另一条直角边长是3k.因为该直角三角形的周长为24,所以4k+5k+3k=24,解得k=2,所以该直角三角形的三边长分别是6,8,10,所以这个直角三角形的面积为12×6× 8=24.
?
7.[2021吉林长春期末]如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB于点M.若OC=17,OM=15,则点C到射线OA的距离为
.?
知识点 直角三角形三边的关系
答案
7.8 【解析】 如图,过点C作CF⊥OA于点F.∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB, CF⊥OA,∴CM=CF.在Rt△OCM中,∵OC=17,OM=15,∴CM=172?152=8,∴CF=8, ∴点C到射线OA的距离为8.
?
8.如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后,恰好能与△ACP'完全重合.若AP=1,则PP'的长为 .?
知识点 直角三角形三边的关系
答案
8.2 【解析】 根据旋转的性质,得AP'=AP=1,∠BAP=∠CAP',∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAP',∴∠PAP'= ∠BAC=90°.在Rt△PAP'中,根据勾股定理,得PP'=12+12=2.
?
9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15.
(1)求AB的长;
(2)求CD的长.
知识点 直角三角形三边的关系
答案
9.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,
由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,所以AB=202+152=25,
所以AB的长是25.
(2)因为S△ABC=12AC·BC=12AB·CD,
所以AC·BC=AB·CD,所以20×15=25CD,
所以CD=12.
?
1.[2020江苏常州期中]如图,在△ABC中,∠B=90°,AC=9,BC=4,则正方形ABDE的面积为 ( )
A.18
B.36
C.65
D.72
答案
1.C 【解析】 在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=9,BC=4,根据勾股定理,得AB2=AC2-BC2=92-42=65,则S正方形ABDE=AB2=65.故选C.
2.易错题[2021江苏无锡惠山区期中]若实数m,n满足|m-3|+?????4=0,且m,n恰好是Rt△ABC的两条边长,则△ABC的周长是 ( )
A.12或7+7 B.5
C.12 D.5或7
?
答案
2.A 【解析】 根据题意得,|m-3|=0,?????4=0,∴m=3,n=4.当4是直角边长时,斜边长=32+42=5,则△ABC的
周长=3+ 4+5=12;当4是斜边长时,另一条直角边长=42?32=7,则△ABC的周长=3+4+7=7+7.故选A.
?
3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,若按如图方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则CE的长为 ( )
A.52
B.254
C.72
D.74
?
答案
3.D 【解析】 根据题意,得BE=AE.设CE=x,则AE=BE=8-x.在Rt△BCE中,由勾股定理,得x2+62=(8-x)2,所以x=74.故选D.
?
4.[2021四川成都锦江区期中]如图,分别以直角三角形的三边为一边的等边三角形的面积从小到大依次记为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是 ( )
A.S1+S2>S3
B.S1+S2
D.????12+????22>????32
?
答案
4.C 【解析】 设三个等边三角形的边长从小到大依次为a1,a2,a3,所以三个等边三角形的面积依次为S1=34????12,S2= 34????22,S3=34????32.因为????12+????22=????32,所以S1+S2=S3.故选C.
?
5.[2021山东青岛期末]如图,AB=AC,则数轴上点C所表示的数为 .?
答案
5.5-1 【解析】 由勾股定理得,AB=22+12=5,∴AC=5.∵点A表示的数是-1,∴点C表示的数是5-1.
?
6.如图是一株美丽的勾股树,图中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是 .?
?
答案
6.47 【解析】 因为以正方形A,B的各一边为直角边的直角三角形的斜边的平方为32+52=34,以正方形C,D的各一边为直角边的直角三角形的斜边的平方为22+32=13,所以最大正方形E的面积为34+13=47.
7.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是 .?
答案
7.245 【解析】 过点A作BC边上的高AD,由等腰三角形三线合一的性质知BD=12BC=3,由勾股定理得AD= ????????2?????????2=52?32=4.当BP⊥AC时,BP最短,此时12AC·BP=12AD·BC,所以BP的最小值是245.
?
8.[2020浙江温州中考]如图,在△ABC和△DCE中,AC=DE,∠B=∠DCE=90°,点A,C,D依次在同一直线上,且AB∥DE.
(1)求证:△ABC≌△DCE.
(2)连接AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长.
答案
8.【解析】 (1)∵AB∥DE,∴∠BAC=∠D.
又∵∠B=∠DCE=90°,AC=DE,∴△ABC≌△DCE.
(2)∵△ABC≌△DCE,∴CE=BC=5.
又∵AC=12,∠ACE=90°,
∴AE=????????2+????????2=52+122=13.
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14.1 勾股定理
课时2 勾股定理的验证及简单应用
1.曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.如图是他用两个全等的直角三角形拼出的图形,该图形整体上拼成了一个直角梯形,所以它的面积有两种表示方法,既可以表示为
,又可以表示为 .对比两种表示方法可得 ,化简,可得a2+b2=c2.他的这个证法也成了数学史上的一段佳话.?
知识点1 勾股定理的验证
答案
1.12(a+b)2 12ab+12c2+12ab 12(a+b)2=12ab+12c2+12ab
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用拼图法验证勾股定理
拼图法是探究勾股定理的有效方法,一般应遵循以下步骤:拼出图形?????????????找出图形面积的不同表达式?????????????根据面积关系列等式?????????????恒等变形?????????????推导勾股定理.
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归纳总结
2.如图是用四个能够完全重合的直角三角形拼出的图形,其中直角边长分别为a,b,斜边长为c,用含a,b,c的代数式表示:
(1)大正方形的边长为 ,面积为 ;?
(2)小正方形的边长为 ,面积为 ;?
(3)四个直角三角形的面积和为 ,根据图中面积关系,可列出a,b,c之间的关系式为 .?
知识点1 勾股定理的验证
答案
2.(1)a+b (a+b)2;(2)c c2;(3)2ab a2+b2=c2
3.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”,Rt△ABC中,∠ACB=90°.若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题.
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.
知识点1 勾股定理的验证
答案
3.【解析】 (1)∵大正方形的面积为c2,直角三角形的面积为12ab,小正方形的面积为(b-a)2,
∴c2=4×12ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2,即c2=a2+b2.
(2)由题意可知,(b-a)2=2,4×12ab=10-2=8,
∴2ab=8,∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18.
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4.如图,将长为12 cm的橡皮筋放置在数轴上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升4.5 cm至D点,则拉长后橡皮筋的长为 ( )
A.20 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.15 cm
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
4.D 【解析】 在Rt△ACD中,AC=12AB=6 cm,CD=4.5 cm,根据勾股定理,得AD=????????2+????????2=7.5 cm,所以AD+BD= 2AD=15 cm.故选D.
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5.[2021山东青岛二十九中期中]如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 ( )
A.145 mm
B.150 mm
C.155 mm
D.160 mm
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
5.B 【解析】 由题图可知AC=150-60=90(mm),BC=180-60=120(mm),∠C=90°.由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=902+ 1202=22 500,所以AB=150 mm.故选B.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.
(1)若a=12,b=5,则c= ;?
(2)若c=41 cm,b=9 cm,则a= .?
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
6.(1)13;(2)40 cm 【解析】 (1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=12,b=5,∴c=122+52=13.(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°, c=41 cm,b=9 cm,∴a=412?92=40(cm).
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7.[2020湖南长沙长郡教育集团期末]如图,某种货车的车高AC为4 m,卸货时货车后面的支架AB弯折落在地面A1处,经测量A1C=2 m,则弯折点B与地面的距离为 m.?
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
7.32 【解析】 由题意得AB=A1B,∠BCA1=90°.设BC=x m,则AB=A1B=(4-x)m.在Rt△A1BC中,根据勾股定理得,A1C2+ BC2=A1B2,即22+x2=(4-x)2,解得x=32,所以弯折点B与地面的距离为32 m.
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利用勾股定理构建方程模型
勾股定理中含有等量关系,在几何问题的求解过程中,可以利用勾股定理构建方程模型,通过解方程求线段的长度,从而使问题得到解决.
名师点睛
8.如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯,测得内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6 cm,则吸管的长至少为 cm.?
知识点2 勾股定理的简单应用
答案
8.17.6 【解析】 设吸管如题图位置放置时玻璃杯内部分长x cm.由勾股定理,得x=122+52=13,所以吸管的长至少为x+4.6=13+4.6=17.6(cm).
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1.[2020陕西宝鸡期中]如图,在高为3 m,斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少为 ( )
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
答案
1.C 【解析】 在Rt△ABC中,AC=????????2?????????2=52?32=4(m),故地毯的长度至少为AC+BC=7(m).故选C.
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2.如图,笑笑将一张A4纸(尺寸为210 mm×297 mm,AC>AB)剪去一个直角三角形后,量得CF=90 mm,BE=137 mm,则剪去的直角三角形的斜边长为 ( )
A.80 mm
B.120 mm
C.160 mm
D.200 mm
答案
2.D 【解析】 如图,延长BE,CF交于点D,则△EFD是直角三角形,根据勾股定理得EF2= (210-90)2+(297-137)2=1202+1602=40 000,所以EF=200 mm.故选D.
3.[2021湖北武汉模拟]在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是:如图,推开双门(AD和BC),门边缘的D,C两点到门槛AB的距离均为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,则门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 ( )
A.100寸
B.101寸
C.102寸
D.103寸
答案
3.B 【解析】 设OA=OB=AD=BC=r寸,如图,过D作DE⊥AB于点E,则DE=10寸,OE= 12CD=1寸,AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,根据勾股定理得,AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5,所以2r=101,所以门的宽度(两扇门的宽度和)AB为101寸.故选B.
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注意挖掘隐含条件解题
本题的隐含条件是OA=OB=AD=BC,这可依据生活常识进行挖掘,离开这个条件,本题将无法求解.
名师点睛
4.一艘小船早晨8:00出发,它以每小时8海里的速度向正东方向航行,1小时后,另一艘小船从同一地点以每小时12海里的速度向正南方向航行,上午10:00时,两艘小船相距 海里.?
答案
4.20 【解析】 如图所示,射线OB的方向是正东方向,射线OA的方向是正南方向.设两艘小船从点O出发,上午10:00分别到达点B,A处.在直角三角形OAB中,因为OB=2×8=16(海里),OA=12海里,所以AB=122+162=20(海里),所以上午10:00时,两艘小船相距20海里.
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5.易错题[2021河南省实验中学月考]已知CD是△ABC的边AB上的高.若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为
.?
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答案
5.12或28 【解析】 分两种情况:①当△ABC是锐角三角形时,如图1.∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°.∵CD=3,AD=1, ∴AC=2.∵AB=2AC,∴AB=4,∴BD=AB-AD=4-1=3,∴BC=????????2+????????2=(3)2+32=12.②当△ABC是钝角三角形时,如图2,同理得AC=2,AB=4,∴BD=BA+AD=4+1=5,∴BC=????????2+????????2=(3)2+52=28.综上所述,BC的长为12或28.
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6.[2020江苏无锡期中]如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸(假设绳子是直的),开始时绳子BC的长为17 m,此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,求船向岸边移动的距离.
答案
6.【解析】 在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=17 m,AC=8 m,
根据勾股定理得,AB=????????2?????????2=172?82=15(m).
∵此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,
∴CD=17-1×7=10(m),
∴AD=????????2?????????2=102?82=6(m),
∴BD=AB-AD=15-6=9(m),
∴船向岸边移动了9 m.
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素养提升
7.[2021河南南阳期末]勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程.
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
证明:如图1,连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
证明:连接 .?
∵S五边形ACBED= ,?
S五边形ACBED= ,?
∴ ,?
∴a2+b2=c2.
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答案
7.【解析】 证法一 连接BD,过点B作DE边上的高BF,如图,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△AED=12ab+12b2+12ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
证法二 连接BD,BE,过点B作DE边上的高BF,如图,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED=12b(a+b)+12ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),
∴12b(a+b)+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
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14.1 勾股定理
课时3 直角三角形的判定
1.给出下列长度的四组线段:①1,2,3;②3,4,5;③6,7,8;④a-1,a+1,4a(a>1).其中能构成直角三角形的有 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
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知识点1 勾股定理的逆定理
答案
1.A 【解析】 ①12+(2)2=(3)2,故长度为1,2,3的线段能构成直角三角形;②42+32=52,故长度为3,4,5的线段能构成直角三角形;③62+72≠82,故长度为6,7,8的线段不能构成直角三角形;④(a-1)2+(a+1)2≠(4a)2,故长度为a-1,a+1,4a的线段不能构成直角三角形.所以能构成直角三角形的是①②.故选A.
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2.若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+(b+c)2=2bc+2c2,则△ABC为 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
2.A 【解析】 因为a2+(b+c)2=2bc+2c2,所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,由于条件不足,故D项中的结论无法得到.故选A.
判断一个三角形是不是直角三角形
(1)利用定义从角上判断,即如果已知条件与角度有关,判断是否有一个角度为90°,若有,则是直角三角形,若没有,则不是直角三角形;(2)利用勾股定理的逆定理从边上判断,即若已知条件与边有关,一般通过计算得出三边的数量关系,看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方,若相等,则是直角三角形,若不相等,则不是直角三角形.
归纳总结
3.[2020广东深圳期中]如图,将△ABC放在网格中(每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上,则∠ABC的度数为 °.?
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
3.45 【解析】 由勾股定理得AC2=12+22=5,BC2=12+32=10,AB2=12+22=5,∴AB=AC,AC2+AB2=BC2,∴△ACB是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°.
4.在△ABC中,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数),则△ABC是直角三角形吗?若是,哪条边所对的角是直角?请说明理由.
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
4.【解析】 △ABC是直角三角形.理由如下:
在△ABC中,∵AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n>1),
∴AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)2=AC2,
即BC2+AB2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,边AC所对的角是直角.
5.[2021天津和平区月考]如图,已知CD=3,AD=4,BC=12,AB=13,∠ADC=90°,求图中阴影部分的面积.
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
5.【解析】 在Rt△ADC中,由勾股定理得,
AC=????????2+????????2=42+32=5.
∵AC=5,AB=13,BC=12,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,
∴S阴影=S△ACB-S△ADC=12AC·BC-12AD·CD=12×5×12-12×4×3=24.
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6.[2021广东佛山南海区期末]下列各组数中,是勾股数的是 ( )
A.0.3,0.4,0.5 B.9,40,41
C.2,3,4 D.1,2,3
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知识点2 勾股数
答案
6.B 【解析】 0.3,0.4,0.5,2,3不是正整数,故选项A,D不符合题意;92+402=412,且9,40,41是正整数,故选项B符合题意;2,3,4是正整数,但22+32≠42,所以2,3,4不是勾股数,故选项C不符合题意.故选B.
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7.[2021四川成都期中]若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,这样的三个正整数a,n,n+1我们称为一组“完美勾股数”.当n<150时,这样的“完美勾股数”共有 组.?
知识点2 勾股数
答案
7.8 【解析】 ∵(n+1)2-n2=2n+1,∴a2=2n+1.∵n<150,∴a2=2n+1<301.在0与301之间的非偶数完全平方数有9,25,49, 81,121,169,225,289,一共8个,∴这样的“完美勾股数”共有8组.
8.木工师傅要做一个长方形桌面,做完后他测得桌面的长为60 cm、宽为25 cm,对角线长为65 cm,则这个桌面 . (填“合格”或“不合格”)?
知识点3 勾股定理逆定理的简单应用
答案
8.合格 【解析】 因为602+252=652,所以这个桌面合格.
9.A,B,C三地的两两距离如图所示,A在B的正东方向,则C在B的 方向.?
知识点3 勾股定理逆定理的简单应用
答案
9.正北 【解析】 ∵AB=12 km,BC=5 km,AC=13 km,∴BC2+AB2=52+122=25+144=169,AC2=132=169,∴BC2+AB2= AC2,∴∠CBA=90°.∵A在B的正东方向,∴C在B的正北方向.
10.在城阳区“五水绕城”生态环境提升项目中,有一块三角形空地要进行绿化.如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上的一点,CE=25 m,BC=65 m,BE=60 m.
(1)判断△ABE的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的周长.
知识点3 勾股定理逆定理的简单应用
答案
10.【解析】 (1)△ABE是直角三角形.理由如下:
∵BC2=652=4 225,BE2=602=3 600,CE2=252=625,
∴BE2+CE2=BC2,∴∠BEC=90°,∴∠BEA=90°,
∴△ABE是直角三角形.
(2)设AB=AC=x m,则AE=(x-25)m.
由(1)可知△ABE是直角三角形,∠BEA=90°,
∴BE2+AE2=AB2,
∴602+(x-25)2=x2,解得x=84.5.
故△ABC的周长为AB+AC+BC=84.5×2+65=234(m).
1.如果三条线段m,n,b满足b2=(m+n)(m-n),那么这三条线段组成的三角形是 ( )
A.等腰三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.等边三角形
D.以m为斜边的直角三角形
答案
1.D 【解析】 ∵b2=(m+n)(m-n),∴b2=m2-n2,∴b2+n2=m2,∴这三条线段组成的三角形是以m为斜边的直角三角形.故选D.
2.[2021广东深圳罗湖区期中]如图,在一个由边长为1的小正方形组成的6×6的网格纸上,有A,B,C,D,E,F,G七个点(均在格点上),则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是 ( )
A.点A、点B、点C
B.点A、点D、点G
C.点B、点E、点F
D.点B、点G、点E
答案
2.C 【解析】 AB2=12+62=37,AC2=42+52=41,BC2=12+32=10,37+10≠41,不可以构成直角三角形,故选项A不符合题意;同理可得选项B,D也不符合题意;BE2=62+42=52,BF2=52+52=50,EF2=12+12=2,50+2=52,可以构成直角三角形,故选项C符合题意.故选C.
3. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,则∠BPC的度数为 ( )
A.120°
B.135°
C.140°
D.145°
答案
3.B 【解析】 如图,过点C作CE⊥CP,并截取CE=CP,连接BE,PE,∴△PCE为等腰直角三角形,∴∠CPE=45°,PE2=PC2+CE2=8. ∵∠ACP+∠PCB=∠BCE+∠PCB=90°, ∴∠ACP=∠BCE. 又∵AC=BC, CP=CE,∴△APC≌△BEC,∴BE=PA=3.∵PB2=1, BE2=9,∴PE2+PB2=BE2,∴△BPE是直角三角形,且∠BPE=90°,∴∠BPC=∠CPE+ ∠BPE=45°+90°=135°.故选B.
4.[2021广东佛山南海区期中]如图,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使点C落在AB上的点E处,则DC的长为 . ?
答案
4.103 【解析】 因为52+122=132,即AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形,∠C=90°.根据题意,得AE=AC=5,DC=DE, ∠AED=∠BED=∠C=90°.设DC=x,则DE=x,BD=12-x.在Rt△BDE中,由勾股定理,得x2+(13-5)2=(12-x)2,解得x=103.
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5.若a,b,c是△ABC的边,且a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,则△ABC的面积是 .?
答案
5.24 【解析】 ∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,∴(a2-12a+36)+(b2-16b+64)+(c2-20c+100)=0,∴(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2= 0,∴a-6=0,b-8=0,c-10=0,∴a=6,b=8,c=10,∴a2+b2=62+82=100,c2=102=100,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°, ∴△ABC的面积是12×6×8=24.
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6.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),?.分析上面勾股数组可以发现:4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),??分析上面规律,第5个勾股数组为 .?
答案
6.(11,60,61) 【解析】 根据题意得第5个勾股数组中间的数为5×(11+1)=60,第1个数为11,第3个数为60+1=61,所以第5个勾股数组为(11,60,61).
7.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=14BC.求证:AF⊥EF.
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答案
7.【解析】 设正方形ABCD的边长为a,则DF=FC=????2,EC=????4.
在Rt△CEF中,由勾股定理,
得EF2=FC2+EC2=(????2)2+(????4)2=516a2,
同理AF2=54a2,
∴EF2+AF2=516a2+54a2=2516a2.
在Rt△ABE中,BE=a-14a=34a,
由勾股定理,得AE2=AB2+BE2=a2+(34a)2=2516a2,
∴AF2+EF2=AE2,
∴△AEF是直角三角形,且∠AFE=90°,
∴AF⊥EF.
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素养提升
8.[2021四川师范大学附属第一实验中学期中]在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH(如图),测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)CH是否为从村庄C到河边的最近路(即CH与AB是否垂直)?请通过计算加以说明.
(2)求原来的路线AC的长.
答案
8.【解析】 (1)CH是从村庄C到河边的最近路.理由如下:
在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,
∴CH2+BH2=BC2,∴△CHB是直角三角形,∠CHB=90°,
∴CH⊥AB,∴CH是从村庄C到河边的最近路.
(2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米,
在Rt△ACH中,由勾股定理得AC2=AH2+CH2 ,
∴x2=(x-1.8)2+2.42 ,解得x=2.5.
答:原来的路线AC的长为2.5千米.
14.1 勾股定理
课时4 反证法
1.[2021山东烟台期末]用反证法证明“在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC”时,应先假设 ( )
A.AB=AC B.∠B=∠C
C.AB≠AC D.∠B≠∠C
知识点 反证法
答案
1.A
2.用反证法证明“若五个正数的和等于1,则这五个正数中至少有一个正数大于或等于15”时,应先假设这五个正数 ( )
A.都大于15 B.都小于15
C.没有一个小于15 D.没有一个大于15
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知识点 反证法
答案
2.B 【解析】 假设结论的反面成立,则需找出“至少有一个正数大于或等于15”的反面,即这五个正数都小于15.故选B.
?
3.用反证法证明:一条线段只有一个中点.先假设线段AB有两个中点M,N,不妨设M在N的左边,则AM
答案
3.AM=AN=12AB
?
4.求证:两直线平行,内错角相等.理论依据1:内错角相等,两直线平行.理论依据2:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.如图1,AB∥CD,且AB,CD被EF所截.求证:∠AOF=∠EO'D.以下是打乱的用反证法证明的过程:
①如图2,过点O作直线A'B',使∠A'OF=∠EO'D.
②依据理论依据1,可得A'B'∥CD.
③假设∠AOF≠∠EO'D.
④所以∠AOF=∠EO'D.
⑤与理论依据2矛盾,假设不成立.
证明步骤的正确顺序是 .(填序号即可)?
知识点 反证法
答案
4.③①②⑤④
5.求证:若a,b都是正整数,ab能被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
5.【解析】 假设a,b中没有一个能被5整除,即a,b都没有因数5,
则ab没有因数5,
所以ab不能被5整除,
这与已知条件ab能被5整除矛盾,
所以假设不成立,因此a,b中至少有一个能被5整除.
反证法的步骤
(1)假设结论的反面是正确的;(2)通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;(3)说明假设不成立,进而得出原结论正确.
归纳总结
6.[2020陕西渭南期中]用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.求证:∠1=∠A+∠B.
知识点 反证法
答案
6.【解析】 假设∠1≠∠A+∠B.
在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠1+∠ACB=180°,∴∠1=180°-∠ACB,
∴∠1=∠A+∠B,与假设相矛盾,
∴假设不成立,
∴∠1=∠A+∠B.
7.求证:有理数与无理数的和一定是无理数.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
7.【解析】 已知:a是有理数,b是无理数.
求证:a+b是无理数.
证明:假设a+b=m不是无理数,
则m是有理数,则b=m-a是有理数,
这与已知条件b是无理数矛盾,
所以a+b是无理数.
8.求证:如果实数a,b满足a2+b2=0,那么a=0且b=0.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
8.【解析】 假设a≠0或b≠0,
则a≠0且b≠0或a≠0且b=0或a=0且b≠0.
当a≠0且b≠0时,a2>0,b2>0,∴a2+b2>0,
这与a2+b2=0矛盾.
同理可得当a≠0且b=0或a=0且b≠0时,a2+b2>0,
这与a2+b2=0矛盾.
所以假设不成立,因此a=0且b=0.
9.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部的一点,且∠APB≠∠APC.求证:PB≠PC.(用反证法证明)
知识点 反证法
答案
9.【解析】 假设PB=PC.
∵AB=AC,PB=PC,AP=AP,
∴△ABP≌△ACP(S.S.S.),∴∠APB=∠APC,
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾,
∴假设不成立,∴PB≠PC.
易错疑难集训（一）
1.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(c2-a2-b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
疑难点 判断三角形的形状
答案
1.C 【解析】 ∵(c2-a2-b2)2+|a-b|=0,∴c2-a2-b2=0且a-b=0,∴a2+b2=c2且a=b,∴△ABC的形状为等腰直角三角形.故选C.
2.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若a2+b2≠c2,则这个三角形是不是直角三角形?请说明理由.
疑难点 判断三角形的形状
答案
2.【解析】 当c是最长边时,
因为a2+b2≠c2,所以△ABC不是直角三角形;
当c不是最长边时,即使a2+b2≠c2,
但可能a2+c2=b2或b2+c2=a2,则此三角形可能是直角三角形.
3.如图,在操场上竖立着一根长2米的测影竿CD,早晨测得它的影长BD为4米,中午测得它的影长AD为1米,则A,B,C三点能否构成直角三角形?为什么?
疑难点 判断三角形的形状
答案
3.【解析】 A,B,C三点能构成直角三角形.理由如下:
∵AC2=12+22=5,BC2=22+42=20,AB2=(1+4)2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,即A,B,C三点能构成直角三角形.
4.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第三条边长,并求出a的取值范围;
(2)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.
疑难点 判断三角形的形状
答案
4.【解析】 (1)由第一条边长为a米,得第二条边长为(2a+2)米,
所以第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)(米).
根据三角形三边之间的关系,得2a+2-a<28-3a<2a+2+a,
解得133
疑难点 判断三角形的形状
答案
(2)能,此时直角三角形的三边长分别是5米、12米、13米.
因为133
当三角形的三边长分别是5米、12米、13米时,
52+122=169,132=169,所以52+122=132,
所以三角形是直角三角形;
当三角形的三边长分别是6米、14米、10米时,
62+102=136,142=196,所以62+102≠142,
所以三角形不是直角三角形.
所以能使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数,三边长分别是5米、12米、13米.
?
5.[2021吉林长春新区期末]林老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下表格:
?
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含n(n>1)的代数式表示a,b,c;
(2)猜想以a,b,c为边长的三角形是否为直角三角形,并证明你的猜想.
疑难点 判断三角形的形状
n
2
3
4
5
?
a
22-1
32-1
42-1
52-1
?
b
4
6
8
10
?
c
22+1
32+1
42+1
52+1
?
疑难点 判断三角形的形状
答案
5.【解析】 (1)由题中表格可以得出:
n=2时,a=22-1,b=2×2,c=22+1,
n=3时,a=32-1,b=2×3,c=32+1,
n=4时,a=42-1,b=2×4,c=42+1,
??
∴a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).
(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.证明如下:
∵a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4+2n2+1,
c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,
∴a2+b2=c2,∴以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.
14.2 勾股定理的应用
课时1 勾股定理的应用(1)
1.[2021山西太原期中]2020年9月22日是第三个中国农民丰收节,小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18 cm、高为12 cm的圆柱粮仓模型(如图1).如图2,BC是底面直径,AB是圆柱的高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带,使装饰带经过A,C两点(接头不计),则装饰带的长度最短为 ( )
A.20 cm
B.25 cm
C.30 cm
D.35 cm
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
1.C 【解析】 如图,圆柱的侧面展开图为长方形,AC=A'C,且点C为BB'的中点.∵AB= 12 cm,BC=12×18=9(cm),根据勾股定理得,AC2=AB2+BC2,∴AC=15 cm,∴装饰带的长度最短为2AC=30 cm.故选C.
?
2.[2020河南省实验中学期中]如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从点A到点A'镶有一圈金属丝.若三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则金属丝的长度至少为 ( )
A.8 cm
B.13 cm
C.12 cm
D.15 cm
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
2.B 【解析】 如图,将三棱柱的侧面沿AA'展开,则AA'2=52+(3×4)2=169,所以AA'= 13 cm.故选B.
3.[2021重庆期末]一个三级台阶如图,每一级的长、宽、高分别为8 dm、3 dm、2 dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm.?
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
3.17 【解析】 三级台阶平面展开图为长方形(如图),长为8 dm,宽为(2+3)×3=15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程为x dm,由勾股定理得x2=82+152=172,所以x=17.
4.[2020山东东营垦利区期中]我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈四尺,周六尺,有葛藤自根缠绕而上,三周而达其顶,问葛藤之长几何.”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱体的高为二十四尺,底面周长为六尺,有葛藤从点A处缠绕而上,绕三周后其末端恰好到达B处,则葛藤的最短长度是 尺.?
知识点1 展开图中的勾股定理
答案
4.30 【解析】 将圆柱体侧面沿AB展开得到如图所示的长方形.在Rt△ADC中,DC=8尺,AC=6尺, ∴AD2=82+62=100,∴AD=10尺.∵葛藤从点A处缠绕而上,绕三周后其末端恰好到达B处,∴葛藤的最短长度是10×3=30(尺).
运用转化思想化“曲”为“直”
解决这类问题的关键就是转化,即把曲面转化为平面,曲线转化成直线,构造直角三角形,利用勾股定理求出未知线段的长.
名师点睛
5.[2021广东深圳期中]如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,那么小巷的宽度为 ( )
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
D.2.4米
知识点2 实际应用中的勾股定理
答案
5.C 【解析】 如图,在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42= 6.25.在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25, ∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选C.
6.如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距25 km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路AB上建设一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距离A站 km处.?
知识点2 实际应用中的勾股定理
答案
6.10 【解析】 因为C,D两村到E站的距离相等,所以CE=DE.在Rt△DAE和Rt△CBE中,由勾股定理,得DE2=AD2+ AE2,CE2=BE2+BC2,所以AD2+AE2=BE2+BC2.设AE=x km,则BE=(25-x) km,则152+x2=(25-x)2+102,解得x=10,所以E站应建在距离A站10 km处.
7.[2021江苏盐城期中]已知某开发区有一块四边形的空地ABCD,如图,现计划在空地上种植草皮,经测量,∠A=90°,AB= 3 m,BC=12 m,CD=13 m,DA=4 m,若每平方米草皮需要200元,则总共需要投入多少钱?
知识点2 实际应用中的勾股定理
答案
7.【解析】 如图,连接BD,在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52.
在△CBD中,CD2=132,BC2=122,
而122+52=132,即BC2+BD2=CD2,所以∠DBC=90°.
S四边形?????????????????=S△BAD+S△DBC=12·AD·AB+12·DB·BC=12×4×3+12×5×12=36(m2),
所以总共需要投入36×200=7 200(元).
?
1.张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游.如图,张明家(记作A)在成都东站(记作B)南偏西30°的方向且与成都东站相距4 000米,王强家(记作C)在成都东站南偏东60°的方向且与成都东站相距3 000 米,则张明家与王强家的距离为
( )
A.6 000米
B.5 000米
C.4 000米
D.2 000米
答案
1.B 【解析】 如图,连接AC.依题意得∠ABC=90°,AB=4 000米,BC=3 000米,则由勾股定理,得AC=????????2+????????2=4?0002+3?0002=5 000(米).故选B.
?
2.[2020湖北武汉市实验初级中学月考]如图,一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C,爬行的最短路线有 ( )
A.3条
B.4条
C.6条
D.12条
答案
2.C 【解析】 如图,若蚂蚁爬行时经过面AD,蚂蚁沿AD1?????????????D1C(或AD2?????????????D2C)爬行(其中D1,D2分别为其所在棱的中点)时,最短路线有2条;同理,若蚂蚁爬行时经过面AB,最短路线也有2条;若蚂蚁爬行时经过面AE,最短路线也有2条.因此,蚂蚁爬行的最短路线有6条.故选C.
?
3.[2020重庆第二外国语学校期中]如图,长方体的底面长方形的长和宽分别为4 cm和2 cm,高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm.?
答案
3.13 【解析】 长方体的侧面展开图如图所示,连接PQ,则PQ即蚂蚁爬行的最短路径.因为长方体的底面长方形的长和宽分别为4 cm和2 cm,高为5 cm,所以PA=4+2+4+ 2=12(cm), QA=5 cm,所以PQ=????????2+????????2=13 cm.
?
4.[2021山西晋中期中]如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地2.5米,即AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于 米.?
答案
4.1.5 【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,则ED=BC=1.2米,BE=CD=1.6米.∵AB=
2.5米,∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(米).在Rt△ADE中,由勾股定理得,AD=????????2+????????2=0.92+1.22=1.5(米).
?
5.小汽车在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上,在没有限速标志、标线的情况下,最高速度不得超过70 km/h.如图,省内一辆小汽车自右向左在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点A正前方30 m的C处,过了2.5 s后行驶到B处,此时测得小汽车与车速观察点A之间的距离为50 m,这辆小汽车超速了吗?
答案
5.【解析】 连接AC,BC,AB,在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,
根据勾股定理可得BC=????????2?????????2=40(m),
∴小汽车的速度为v=402.5=16(m/s),16 m/s=57.6 km/h.
∵70>57.6,∴这辆小汽车没有超速.
答:这辆小汽车没有超速.
?
6.[2021山西运城盐湖区期中]如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离为250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN为120 m,BM的长为150 m.
(1)求从供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
答案
6.【解析】 (1)在Rt△MNB中,
BN=????????2?????????2=1502?1202=90(m),
∴AN=AB-BN=250-90=160(m).
在Rt△AMN中,AM=????????2+????????2=1602+1202=200(m),
∴从供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长=200+150=350(m).
(2)∵AB=250 m,AM=200 m,BM=150 m,
∴AB2=BM2+AM2,
∴△ABM是直角三角形,∠BMA=90°,∴BM⊥AC,
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM的长,即150 m.
?
14.2 勾股定理的应用
课时2 勾股定理的应用(2)
1.如图,△ABC的顶点A,B,C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 ( )
A.45
B.85
C.165
D.245
?
答案
1.C 【解析】 如图,连接AE,S△ABC=12BC·AE=12BD·AC.∵AE=4,AC=42+32=5, BC=4,∴12×4×4=12×5BD,解得BD=165.故选C.
?
2.[2020山东枣庄市中区月考]如图,OP=1,过点P作PP1⊥OP于点P,且PP1=1,得OP1=2;再过点P1作P1P2⊥OP1于点P1,且P1P2=1,得OP2=3;又过点P2作P2P3⊥OP2于点P2,且P2P3=1,得OP3=2??依此方法继续作下去,S1,S2,S3,?分别表示各个三角形的面积,那么????12+????22+????32+?+????92的值是 ( )
A.454
B.554
C.552
D.55
?
答案
2.A 【解析】 由勾股定理得OP1=2,OP2=3,OP3=2,OP4=22+12=5,依此类推可得OPn=????+1,∴????12=14,
????22=24,????32=34,?,????92=94,∴????12+????22+????32+?+????92=14+24+34+?+94=454.故选A.
?
3.[2021浙江台州期中]如图1,在一款名为超级玛丽的游戏中,玛丽在一个高为10 m的高台A处,利用旗杆顶部的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17 m、高为3 m的矮台B,示意图如图2,在这个过程中,玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为 m.?
答案
3.2 【解析】 如图,过点A作AE⊥OM于点E,过点B作BF⊥OM于点F.∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°, ∴∠AOE=∠OBF. 在△AOE和△OBF中,∵∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF,AO=OB,∴△AOE≌△OBF(A.A.S.), ∴OE=BF,AE=OF,∴OE+OF=AE+BF=CD=17 m. ∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7(m),∴2EO+EF=17,则2EO=10, ∴OE=5 m,OF=12 m,∴OM=OF+FM=15 m.∵OF=12 m,BF=OE=5 m,∴OB2=122+52=169,∴OB=13 m,∴ON=OB=
13 m,∴MN=OM-ON=15-13=2(m),∴玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为2 m.
4.如图,在△ABC中,AC=3,D为BC上一点,CD=4,AD=5,BD=2,求AB的长.
答案
4.【解析】 ∵AC=3,CD=4,AD=5,∴AC2+CD2=AD2,
∴△ADC是直角三角形,∠C=90°.
在Rt△ACB中,由勾股定理得,
AB=????????2+????????2=32+(4+2)2=45.
?
5.[2021山西太原期中]如图是四边形木板ABCD,其中AB=16 cm,BC=24 cm,CD=9 cm,AD=25 cm,∠B=∠C=90°.李师傅找到BC边的中点P,连接AP,DP,发现△APD是直角三角形.请你通过计算说明理由.
答案
5.【解析】 ∵点P为BC的中点,∴BP=CP=12BC=12 cm.
在Rt△ABP中,根据勾股定理可得,
AB2+BP2=AP2,∴162+122=AP2,
∴AP=20 cm,同理可得DP=15 cm.
∵152+202=252,∴AP2+DP2=AD2,
∴△APD是直角三角形.
?
6.[2021四川成都期中]如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,点F为BC的中点,BE与DF, DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗?若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由.
(2)求证:BG2-GE2=EA2.
答案
6.【解析】 (1)线段BH与AC相等.证明如下:
因为∠BDC=∠BEA=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
所以∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
所以DB=DC,∠ABE=∠DCA.
在△DBH和△DCA中,
因为∠DBH=∠DCA,BD=CD,∠BDH=∠CDA=90°,
所以△DBH≌△DCA(A.S.A.),所以BH=AC.
(2)如图,连接CG.
因为F为BC的中点,DB=DC,所以DF垂直平分BC,
所以BG=CG.
因为∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
所以EC=EA.
在Rt△CGE中,由勾股定理,得CG2-GE2=EC2,
所以BG2-GE2=EA2.
专项 勾股定理的两种常见
应用
1.如图,直角三角形OBC的直角边BC的长为1,线段OB绕点O旋转,使点B落在数轴上并记为点A,则数轴上点A表示的实数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.5
?
类型1 利用勾股定理解决数轴问题
答案
1.D 【解析】 由勾股定理得线段OB的长为5,所以线段OA的长为5,所以点A表示的实数是5.故选D.
?
2.如图,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以O为圆心、OC长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为 .?
类型1 利用勾股定理解决数轴问题
答案
2.7 【解析】 ∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴CO⊥AB.在Rt△OBC中,OC=????????2?????????2=42?32=7.
∵以O为圆心、CO长为半径画弧交数轴于点M,∴OM=OC=7,∴点M对应的实数为7.
?
3.在数轴上作出表示-13的点.
?
类型1 利用勾股定理解决数轴问题
答案
3.【解析】 如图,在数轴上O表示原点,点A表示-3.作BA垂直于数轴,使AB的长等于数轴上两个单位的长度,连接OB,则OB=22+32=13.以点O为圆心、OB长为半径画弧,交数轴于点C,则点C就表示-13.
?
4.[2021黑龙江大庆期中]如图,将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是 ( )
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
4.A 【解析】 设CN=x cm,则DN=(8-x)cm,由折叠的性质知EN=DN=(8-x)cm,而EC=12BC=4 cm.在Rt△ECN中,由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=16+x2,整理得16x=48,所以x=3.故选A.
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5.如图,在长方形纸片ABCD中,点E在AB边上,将长方形ABCD沿DE所在直线折叠,点A恰好落在BC边上的点F处.若AE=5,BF=3,则CF的长为 .?
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
5.12 【解析】 ∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠C=90°,AB=CD,AD=BC,由折叠的性质可得EF=AE=5.在Rt△BEF中,BE2=EF2-BF2=52-32=16,∴BE=4,∴AB=AE+BE=9,∴CD=9.在Rt△DFC中,DF2=CD2+CF2,由折叠的性质得DF=AD, ∴(CF+3)2=92+CF2,∴CF=12.
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D,E分别在AC,BC上,且DE∥AB.将△ABC沿DE所在直线折叠,使C点落在斜边AB上的F点处,求AF的长.
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
6.【解析】 如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE.
因为DE∥AB,所以CF⊥AB.
因为∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
所以AB=????????2+????????2=10.
因为12AC·BC=12AB·CF,
所以CF=4.8,所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62,
所以AF=3.6.
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7.[2021河南洛阳外国语学校月考]如图,在长方形纸片ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿AE所在直线折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,求DE的长.
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
类型2 利用勾股定理解决折叠问题
答案
7.【解析】 根据折叠的性质得AF=AD=5,DE=FE.
设线段AB的垂直平分线PQ分别交AB,DC于点P,Q,
则PQ=AD=5,AP=DQ=4.
如图1,当点E在DC上时,
FP=52?42=3,所以FQ=PQ-FP=2.
设DE=x,则FE=x,QE=4-x.
在Rt△EQF中,(4-x)2+22=x2,所以x=52.
如图2,当点E在DC的延长线上时,FP=52?42=3,
所以FQ=FP+PQ=8.
设DE=x,则FE=x,QE=x-4.
在Rt△EQF中,(x-4)2+82=x2,所以x=10.
综上所述,DE=52或10.
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易错疑难集训（二）
1.[2021陕西榆林高新第一中学月考]如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池.该U型池可以看作是一个长方体去掉了一个“半圆柱”,中间可供滑行部分的截面是半径为8 m的半圆,其边缘AB=CD=20 m,点E在CD上,CE=2 m.一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离约是多少?(边缘部分的厚度忽略不计,π取3)
疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
1.【解析】 把“半圆柱”侧面展开后,连接AE,如图所示.
由题意可知AD=8π≈8×3=24(m),
DE=CD-CE=20-2=18(m).
在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2≈182+242=900,
所以AE≈30 m.
所以他滑行的最短距离约是30 m.
2.H.E.杜登尼是19世纪英国知名的谜题创作者.“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上,它是杜登尼最有名的谜题之一.如图,在一个30英尺×12英尺×12英尺的长方体房间,一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的地方,苍蝇则在对面墙的中间离地板1英尺的地方.苍蝇是如此害怕,以至于无法动弹.试问,蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短路径长是多少?
疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
2.【解析】 当按图1方式展开时,
由题意可知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=32 英尺,AC=24 英尺,
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=242+322=402,
从而AB=40英尺.
疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
当按图2方式展开时,易知AB=42英尺.
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当按图3方式展开时,在Rt△ABC1中,
AB2=A????12+B????12=172+372=1 658.
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?
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疑难点1 利用勾股定理求解最短路径
答案
当按图4方式展开时,AB的值显然大于按图1方式展开时AB的值.
综上,可得AB的最小值为40.
答:蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短路径长是40英尺.
运用勾股定理求最短路径长的步骤
确定立体图形上的最短路径,需要先将立体图形展开成平面图形,再构造直角三角形进行计算,最后通过比较得出最短路径长.
归纳总结
3.[2021浙江杭州模拟]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm.若点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿A?????????????C?????????????B?????????????A运动,设运动时间为t s(t>0).
(1)若点P在AC上,且满足PA=PB,求出此时t的值;
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求出此时t的值.
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疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
3.【解析】 (1)在Rt△ABC中,
由勾股定理得AC=????????2?????????2=52?32=4(cm).
此时PA=PB=2t cm,PC=(4-2t)cm,其中0
即(4-2t)2+32=(2t)2,解得t=2516,
∴当t=2516时,点P在AC上,且满足PA=PB.
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疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
(2)当点P在∠BAC的平分线上时,如图,连接AP,过点P作PE⊥AB于点E,
此时BP=(7-2t)cm,PE=PC=(2t-4)cm,BE=5-4=1(cm),
其中0
即(2t-4)2+12=(7-2t)2,解得t=83.
当t=6时,点P与点A重合,也符合条件.
∴当t=83或6时,点P恰好在∠BAC的平分线上.
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4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
4.【解析】 (1)∵∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,
∴BC=4 cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,
BP=BC=4 cm,∴t=4.
疑难点2 勾股定理中的动点问题
答案
②当∠BAP为直角时,BP=t cm,CP=(t-4)cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+[32+(t-4)2]=t2,解得t=254.
综上,当△ABP为直角三角形时,t=4或254.
(2)①当BP=BA=5 cm时,t=5.
②当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,∴t=8.
③当PB=PA时,PB=PA=t cm,CP=(4-t)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,
∴t2=32+(4-t)2,解得t=258.
综上,当△ABP为等腰三角形时,t=5或8或258.
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章末培优专练
勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具,在对勾股定理的研究中会逐渐体会到分类讨论思想、数形结合思想、转化思想.第1题是利用三角形全等及勾股定理的知识利用直角三角形三边的关系来求解.第3题类比直角三角形三边之间的关系,利用勾股定理探究非直角三角形三边之间的关系.
1.[转化思想结合整体法求多个正方形的面积和]在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4= .?
答案
1.4 【解析】 如图,利用“A.A.S.”容易证明Rt△ACB≌Rt△BDE,所以BC=ED,所以AC2+ED2=AC2+BC2=AB2,所以S1+ S2=1.同理S3+S4=3.所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.
2.[以h,c+h,a+b为边长的三角形的形状的探究(a,b为直角边长,c为斜边长,h为斜边上的高)]已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,斜边上的高为h,试判断以h,c+h,a+b为边长的三角形的形状,并说明理由.
答案
2.【解析】 以h,c+h,a+b为边长的三角形是直角三角形.理由如下:
∵△ABC是直角三角形,a,b为直角边长,c为斜边长,∴c2=a2+b2.
∵12ab=12ch,∴ab=ch.
∵(c+h)2-(a+b)2=c2+2ch+h2-(a2+b2+2ab)=(c2-a2-b2)+(2ch-2ab)+h2=h2,
∴以h,c+h,a+b为边长的三角形是直角三角形.
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3.[非直角三角形三边关系的探究]在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.
(1)①若∠C为直角,则由勾股定理得a2+b2=c2.若∠C为锐角,求证:a2+b2>c2.
②若∠C为钝角,试判断a2+b2与c2的关系,并证明.
(2)若a=3,b=4,且△ABC是钝角三角形,求第三边的长c的取值范围.
答案
3.【解析】 (1)①过点A作AD⊥BC于点D,如图1所示,
则BD=BC-CD=a-CD.
在Rt△ABD中,AB2-BD2=AD2,
在Rt△ACD中,AC2-CD2=AD2,
∴AB2-BD2=AC2-CD2,∴c2-(a-CD)2=b2-CD2,
整理得a2+b2=c2+2a·CD.
∵a>0,CD>0,∴a2+b2>c2.
答案
②a2+b2
如图2所示,则BD=BC+CD=a+CD,
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2,
在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2,
∴AB2-BD2=AC2-CD2,∴c2-(a+CD)2=b2-CD2,
整理得a2+b2=c2-2a·CD,
∵a>0,CD>0,∴a2+b2
4.[利用勾股定理进行方案设计]如图,A,B是公路l(l为东西走向)同旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=2 km,B村到公路l的距离BD=4 km,CD=8 km.
(1)求出A,B两村之间的距离的平方的值;
(2)为了方便运输两村的垃圾,现计划在公路边建一个垃圾中转站M,要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小,并求距离之和的最小值;
(3)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置.(保留清晰的作图痕迹,不写作法)
答案
4.【解析】 (1)如图1,连接AB,过点A作AE⊥BD于点E,
则AE=CD=8 km,BE=BD-AC=2 km.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB2=AE2+BE2=82+22=68,
所以A,B两村之间的距离的平方的值为68.
(2)如图2,作点A关于直线l的对称点A',
连接A'B交直线l于点M,连接MA,MB,
则点M即所求作的点,此时MA+MB的值最小.
过点A'作A'F⊥BD,交BD的延长线于点F,
则BF=BD+DF=BD+A'C=BD+AC=4+2=6(km),
A'F=CD=8 km.
在Rt△A'BF中,由勾股定理,得A'B2=82+62=100,
从而A'B=10 km,所以距离之和的最小值为10.
(3)如图3,连接AB,作AB的垂直平分线GH,交直线l于点P,
连接PA,PB,则PA=PB,所以点P即所求.
1.[2019湖南益阳中考]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心、AN长为半径画弧,再以点B为圆心、BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案
1.B 【解析】 如图,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.故选B.
2.[2019浙江宁波中考]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 ( )
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
答案
2.C 【解析】 设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长为b,较短直角边长为a,由勾股定理得c2=a2+b2,阴影部分的面积为c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),较小两个正方形重叠部分的宽为a-(c-b),长为a,则较小两个正方形重叠部分的面积为a(a+b-c),所以知道题图中阴影部分的面积一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.
3.[2019辽宁大连中考]如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8.则D'F的长为 ( )
A.25
B.4
C.3
D.2
?
答案
3.C 【解析】 ∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠D=90°,CD=AB=4,AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF. 由折叠的性质得∠AEF=∠CEF,AE=CE,∠D'=∠D=90°,AD'=CD=4,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE=CE.设AF=AE=CE=x,则BE=8-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+BE2=AE2,∴42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5. 在Rt△AFD'中,由勾股定理得D'F2=AF2-AD'2=52-42=9,∴D'F=3.故选C.
4.[2020黑龙江绥化中考]在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是 .?
答案
4.17 【解析】 根据题意得,AC2+BC2=AB2,所以(AB-2)2+82=AB2,所以AB=17.
5.[2020湖北黄冈中考]我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深几何?”(注:丈、尺是长度单位,1丈=10尺)这段话翻译成现代汉语,即为:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,则水池里水的深度是 尺.?
答案
5.12 【解析】 设水池里水的深度是x尺,则芦苇的高是(x+1)尺.由题意,根据勾股定理,得x2+52=(x+1)2,解得x=12,所以水池里水的深度是12尺.
6.[2020四川雅安中考]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC, BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2= .?
答案
6.20 【解析】 因为AC⊥BD,所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.由勾股定理,得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+ DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,所以AB2+CD2=AD2+BC2.因为AD=2,BC=4,所以AB2+CD2=22+42=20.
7.[2020江苏苏州中考]如图,在△ABC中,已知AB=2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点,则EC= .?
答案
7.1 【解析】 设AE=ED=x,CD=y,∴BD=2y.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2=4x2+ 4y2=4,∴x2+y2=1.在Rt△CDE中,EC2=x2+y2=1,∴EC=1.
8.[2019北京中考]如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °.(点A,B,P是网格线交点)?
答案
8.45 【解析】 设每个小正方形的边长为1.如图,延长AP交格点于点D,连接BD,则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10, ∴PD=BD,PD2+DB2=PB2,∴∠PDB=90°,∠DPB=∠DBP=45°,∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.
9.[2019河北中考]已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A=B2,求整式B.
联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:
答案
9.【解析】 尝试 A=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=(n2+1)2.
发现 ∵A=B2,B>0,∴B=n2+1.
联想 从上到下依次填入17,37.
当2n=8时,n=4,∴n2+1=42+1=17;当n2-1=35时,n2+1=37.
全章综合检测
满分：100分 建议用时：90分钟
一、选择题(本大题共8个小题,每题4分,共32分)
1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A.3,4,5 B.2,3,4
C.4,6,7 D.5,11,12
答案
1.A 【解析】 ∵32+42=52,∴长度为3,4,5的三条线段能组成直角三角形,故A选项符合题意;∵22+32≠42,∴长度为2,3,4的三条线段不能组成直角三角形,故B选项不符合题意;同理可得,选项C,D也不符合题意.故选A.
2.[2020四川雅安期中]我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2.D 【解析】 根据勾股定理可得,a2+b2=13.∵四个直角三角形的面积是12ab×4=13-1=12,∴2ab=12,∴(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.故选D.
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3.[2021山西省实验中学期中]在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”译文:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,则绳索长( )
A.12.5尺
B.13.5尺
C.14.5尺
D.15.5尺
答案
3.C 【解析】 设绳索长x尺,根据勾股定理得,102+(x-4)2=x2,解得x=14.5,所以绳索长14.5尺.故选C.
4.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里、12里、13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 ( )
A.7.5 千米2 B.15 千米2
C.75 千米2 D.750 千米2
答案
4.A 【解析】 将里换算为千米,则该三角形沙田的三边长分别为2.5 千米、6 千米、6.5千米.因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以该沙田的面积S=12×6×2.5=7.5(千米2 ).故选A.
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5.[2020江苏盐城期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 ( )
A.65
B.75
C.85
D.95
?
答案
5.C 【解析】 连接AD.由题意知PQ垂直平分AB,∴AD=BD.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,设CD=x,则AD= BD=5-x,在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,∴9+x2=(5-x)2,解得CD=85.故选C.
?
6.如图,正方形ABCD的边长为1,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2??按此规律继续下去,则S2 021的值为 ( )
A.122?019
B.122?020
C.122?021
D.122?022
?
答案
6.B 【解析】 在图中标上字母E,如图.由题意得DE2+CE2=CD2,DE=CE,∴S2+S2= S1.观察,发现规律:S1=12=1,S2=12S1=12,S3=12S2=(12)2,S4=12S3=(12)3,?,Sn=(12)n-1.当n=2 021时, S2 021=(12)2 020=122?020.故选B.
?
7.[2021四川成都市实验中学月考]如图,长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C 5 cm,一只蜘蛛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一只虫子,需要爬行的最短路径长是 ( )
A.25 cm
B.24 cm
C.20 cm
D.500 cm
?
答案
7.A 【分析】 分三种情况讨论:把左侧面展开到水平面上,连接AB,如图1;把右侧面展开到正面上,连接AB,如图2;把向上的面展开到正面上,连接AB,如图3.然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB,再进行大小比较即可.
【解析】 如图1,连接AB,AB=(10+20)2+52=925(cm).如图2,连接AB,AB=202+(10+5)2=25(cm).如图3,连接AB,AB=102+(20+5)2=725(cm).∵925>725>25,∴需要爬行的最短路径长是25 cm.故选A.
?
8.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE所在直线折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为 ( )
A.73 B.83
C.3 D.103
?
答案
8.D 【解析】 根据勾股定理得BD=52+122=13.由折叠的性质得A'D=AD=5,AE=A'E,∠DA'E=∠A=∠EA'B=90°,所以A'B=BD-A'D=8.设AE=A'E=x,则BE=12-x.在Rt△A'BE中,A'E2+A'B2=BE2,即x2+82=(12-x)2,所以x=103,即AE的长为103.故选D.
?
运用勾股定理求解折叠问题的思路
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,在几何图形的折叠问题中,可借助勾股定理来求线段的长度,通常先把所求线段的长度设为未知数,再根据勾股定理列出方程,通过解方程求得线段的长度,这里考查的是数学建模素养.
归纳总结
二、填空题(本大题共4个小题,每题6分,共24分)
9.用反证法证明“多边形中至多有三个锐角”时,假设多边形内角中存在四个锐角,则这四个锐角的外角和大于360°,这与 矛盾,所以多边形中至多有三个锐角.?
答案
9.多边形的外角和为360°
10.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 °.?
答案
10.45 【解析】 连接AC,由勾股定理,得AC2=12+22=5,BC2=12+22=5,AB2=12+32=10,∴AC=BC,且AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.
11.[2021河南焦作十八中月考]为了比较5+1与10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得5+1 ?10.(填“>”或“<”或“=”)
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答案
11.> 【解析】 ∵∠C=90°,BC=3,BD=AC=1,∴CD=2,AD=????????2+????????2=5,AB=????????2+????????2=10,∴BD+AD= ?5+1.在△ABD中,AD+BD>AB,∴5+1>10.
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12.[2020江西抚州期末]Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是 .?
答案
12.3.6或4.32或4.8 【解析】 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=????????2+????????2=5,S△ABC=12AB·BC=6.沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:①当AB=AP=3时,如图1所示,S等腰三角形ABP=????????????????×S△ABC=35×6=3.6;②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示,作△ABC的高BD,则BD=????????·????????????????=3×45=2.4,∴AD=DP=32?2.42=1.8,∴AP=2AD=3.6,∴S等腰三角形ABP=????????????????×S△ABC=3.65×6=4.32;③当CB=CP=4时,如图3所示,S等腰三角形BCP=????????????????×S△ABC=45×6=4.8.综上所述,这个等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.
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三、解答题(本大题共3个小题,共44分)
13.(12分)在正方形网格中,小正方形的顶点叫做格点,小华按下列要求作图:
①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一条实线上;
②连接三个格点,使之构成一个直角三角形.
小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC,请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,并证明你所画出的图形是直角三角形.(要求:三个网格中的直角三角形互不全等)
答案
13.【解析】 如图1,∵MN2=22+42=20,NH2=12+32=10,
MH2=12+32=10,
∴MH2+NH2=MN2,∴△MNH是直角三角形.
如图2,∵EF2=22+42=20,EG2=12+12=2,FG2=32+32=18,
∴EG2+FG2=EF2,∴△EFG是直角三角形.
14.(15分)为了积极响应国家新农村建设,某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图,笔直公路MN的一侧有一个村庄A,村庄A到公路MN的距离AB为600 m,假设宣讲车周围1 000 m以内(包括1 000 m处)能听到广播宣传,宣讲车以200 m/min的速度在公路MN上沿MB方向行驶,村庄A能听到广播宣传吗?若能,则总共能听到多长时间的广播宣传?
答案
14.【解析】 ∵村庄A到公路MN的距离为600 m,600<1 000,
∴村庄A能听到广播宣传.
假设当宣讲车行驶到P点(P点在MB中间)时,
村庄A开始听到广播宣传,
行驶到Q点(Q点在BN中间)时,
村庄A开始不能听到广播宣传,
则AP=AQ=1 000 m,AB=600 m.
在Rt△ABP中,由勾股定理得,
BP2=AP2-AB2,∴BP=BQ=800(m),
∴PQ=BP+BQ=1 600 m,
∴村庄A能听到广播宣传的时间为1 600÷200=8(min).
15.(17分)[2021辽宁沈阳大东区期中]拉杆箱是人们出行的常用品,采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图,某种拉杆箱的箱体AB长65 cm,拉杆最大伸长距离BC为35 cm,在箱体底端装有一圆形滚轮,当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,点A到地面(用DN表示)的距离AD为3 cm,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移55 cm到A'处,求拉杆把手C离地面的距离.(假设C点的位置保持不变)
答案
15.【解析】 如图,过点C作CE⊥DN于点E,延长AA'交CE于点F,
则∠AFC=90°.
设A'F=x cm,则AF=(55+x)cm.
由题可得AC=65+35=100(cm),A'C=65 cm.
在Rt△A'CF中,CF2=A'C2-A'F2=652-x2.
在Rt△ACF中,CF2=1002-(55+x)2.
∴652-x2=1002-(55+x)2,解得x=25,∴A'F=25 cm,
∴CF2=652-252=3 600,∴CF=60 cm.
∵EF=AD=3 cm,∴CE=CF+EF=60+3=63(cm),
∴拉杆把手C离地面的距离为63 cm.