2021-2022学年八年级上册华东师大版数学第12章　整式的乘除 习题课件 （439张）

分层练透教材 多重拓展培优
数学·华师版·八年级上册
第12章　整式的乘除
12.1　幂的运算
课时1　同底数幂的乘法
1.下列各项中,不是同底数幂的是 (　　)
A.a2与a3 B.(-2)2与(-2)5
C.b2与(2b)2 D.-12与(-12)5
?
知识点1 同底数幂的认识
答案
1.C　【解析】　选项A,a2与a3的底数都是a,所以a2与a3是同底数幂;选项B,(-2)2与(-2)5的底数都是-2,所以(-2)2与(-2)5是同底数幂;选项C,b2的底数是b,(2b)2的底数是2b,底数不相同,所以b2与(2b)2不是同底数幂;选项D,-12可看作(-12)1,底数是-12,(-12)5的底数也是-12,所以-12与(-12)5是同底数幂.故选C.
?
2.[2021吉林长春绿园区期末]计算x2·x3的结果正确的是 (　　)
A.x5 B.x6 C.x8 D.5
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
2.A　【解析】　x2·x3=x2+3=x5.故选A.
3.计算xm+n·x-2m+3n的结果正确的是 (　　)
A.x3m+4n B.x-m+n C.x-m+4n D.x-6mn
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
3.C　【解析】　xm+n·x-2m+3n=x(m+n)+(-2m+3n)=x-m+4n.故选C.
　　(1)同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且同底数幂是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.(2)当两个幂的底数互为相反数时,可根据幂的符号法则将其转化为同底数幂进行运算.(3)注意同底数幂的乘法与整式加法法则的区别:如a3 +a3=2a3,这是合并同类项,而a3·a3=a3+3=a6,这是同底数幂的乘法.另外,计算a+a2时,a与a2不是同类项,不能合并,而a·a2=a1+2=a3.
名师点睛
4.[2021浙江杭州西湖区月考]给出下列四个算式:①a6·a6=a6;②m3+m2=m5;③x2·x·x8=x10;④y2+y2=y4.其中计算正确的有
(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
4.A　【解析】　a6·a6=a6+6=a12,故①错误;m3和m2不是同类项,不能合并,故②错误;x2·x·x8=x2+1+8=x11,故③错误;y2+y2= 2y2,故④错误.故其中计算正确的有0个.故选A.
5.[2020河南中考]电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1 GB=210MB,1 MB=210KB,1 KB=210B.某视频文件的大小约为1 GB,1 GB等于 (　　)
A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
5.A　【解析】　由题意,得1 GB=1×210×210×210B=210+10+10B=230B.故选A.
6.[2020上海浦东新区月考]计算:x3·(-x)3=　　　　.?
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
6.-x6　【解析】　x3·(-x)3=x3·(-x3)=-x6.
7.计算:105×(-10)4×106=　　　　.?
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
7.1015　【解析】　105×(-10)4×106=105×104×106=1015.
8.比较大小:52×5　　　　35×3.(填“>”“<”或“=”)?
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
8.<　【解析】　因为52×5=52+1=125,35×3=35+1=729,125<729,所以52×5<35×3.
9.计算:
(1)(x+y)3·(x+y)4;
(2)易错题-a3·(-a)2·(-a)5;
(3)易错题(a+b-c)2(c-a-b)3.
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
9.【解析】　(1)(x+y)3·(x+y)4=(x+y)3+4=(x+y)7.
(2)-a3·(-a)2·(-a)5=-a3·a2·(-a5)=a3+2+5=a10.
(3)解法一　(a+b-c)2(c-a-b)3=(c-a-b)2(c-a-b)3=(c-a-b)2+3=(c-a-b)5.
解法二　(a+b-c)2(c-a-b)3=(a+b-c)2[-(a+b-c)]3=-(a+b-c)2+3=-(a+b-c)5.
10.已知a·ax·a2x+1=a29,求x的值.
知识点2 同底数幂的乘法法则
答案
10.【解析】　因为a·ax·a2x+1=a29,
所以a1+x+2x+1=a29,所以3x+2=29,解得x=9.
11.[2021湖南长沙望城区期中]在a·(　)=a4中,括号内的代数式应为 (　　)
A.a2 B.a3 C.a4 D.a5
知识点3 同底数幂的乘法法则的逆向运用
答案
11.B
12.[2021四川成都锦江区期末]如果xm=2,xn=14,那么xm+n的值为 (　　)
A.2 B.8 C.12 D.214
?
知识点3 同底数幂的乘法法则的逆向运用
答案
12.C　【解析】　xm+n=xm·xn=2×14=12.故选C.
?
13.若2a+b=56,2a=7,则b=　　　　.?
知识点3 同底数幂的乘法法则的逆向运用
答案
13.3　【解析】　∵2a+b=2a·2b=56,2a=7,∴2b=8=23,∴b=3.
14.若2x=3,2y=5,则2x+y+1的值为　　　　.?
知识点3 同底数幂的乘法法则的逆向运用
答案
14.30　【解析】　2x+y+1=2x×2y×2=3×5×2=30.
1.下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是 (　　)
A.(a+b)·(a+b)2
B.(a-b)·(a+b)2
C.-(a-b)·(b-a)2
D.-(a-b)·(b-a)2·(a-b)2
答案
1.B
2.[2021福建厦门湖里中学期中]若3m+1=243,则3m+2的值为 (　　)
A.243 B.245 C.729 D.2 187
答案
2.C　【解析】　∵3m+1=243,∴3m+2=3m+1×3=243×3=729.故选C.
3.[2021湖南长沙望城区期中]若x,y为正整数,且2x·22y=29,则x,y的值有 (　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
答案
3.D　【解析】　∵2x·22y=29,∴2x+2y=29,∴x+2y=9.∵x,y为正整数,∴9-2y>0,∴0?
4.已知10α=3,10β=5,10γ=7,则把105写成底数是10的幂的形式是　　　　.?
答案
4.10α+β+γ　【解析】　∵105=3×5×7,3=10α,5=10β,7=10γ,∴105=10α·10β·10γ=10α+β+γ.
5.计算:35×3×27×(-9)=　　　　.(写成幂的形式)?
答案
5.-311　【解析】　35×3×27×(-9)=35×3×33×(-32)=-35+1+3+2=-311.
6.[2020湖南长沙月考]若3x+2=36,则3????2=　　　　.?
?
答案
6.2　【解析】　∵3x+2=36,∴3x×32=36,∴3x=4,∴3????2=42=2.
?
7.[2021浙江杭州江干区期末]若2x+y-2=0,则52x·5y=　　　　　.?
答案
7.25　【解析】　∵2x+y-2=0,∴2x+y=2,∴52x·5y=52x+y=52=25.
8.一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n(n≥2且n为整数)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为　　　　.(参考数据:1.25≈2.5,1.26≈3.0,1.27≈3.6)?
答案
8.14　【解析】　∵第一个月募集到资金1万元,∴第二个月募集到资金(1+20%)=1.2(万元),第三个月募集到资金(1+ 20%)2=1.22(万元)??第n个月募集到资金(1+20%)n-1=1.2n-1(万元).根据题意,得1.2n-1>10.∵1.25×1.26≈2.5×3.0=7.5<10, 1.26×1.26≈3.0×3.0=9.0<10,1.26×1.27≈3.0×3.6=10.8>10,∴当1.2n-1=1.26×1.27=1.213,∴n-1=13,n=14时,募集到的资金首次突破10万元.
9.计算下列各式的值.(结果用幂的形式表示)
(1)a2·a3-(-a3)·a4+a6·(-a)-(-a)·a4;
(2)(a-b)2·(b-a)3+(a-b)4·(b-a).
答案
9.【解析】　(1)a2·a3-(-a3)·a4+a6·(-a)-(-a)·a4
=a5+a7-a7+ a5
=2a5.
(2)(a-b)2·(b-a)3+(a-b)4·(b-a)
=(a-b)2·[-(a-b)3]+(a-b)4·[-(a-b)]
=-(a-b)5-(a-b)5
=-2(a-b)5.
10.[2021江苏泰州期中]我们约定a☆b=10a×10b,如2☆3=102×103=105.
(1)试求12☆3和4☆8的值;
(2)(a+b)☆c是否与a☆(b+c)相等?并说明理由.
答案
10.【解析】　(1)12☆3=1012×103=1015;
4☆8=104×108=1012.
(2)相等,理由如下:
∵(a+b)☆c=10a+b×10c=10a+b+c,
a☆(b+c)=10a×10b+c=10a+b+c,
∴(a+b)☆c=a☆(b+c).
11.已知3m+n能被10整除,试说明3m+4+n也能被10整除.
答案
11.【解析】　3m+4+n=34×3m+n=81×3m+n=80×3m+(3m+n).
因为3m+n能被10整除,80×3m能被10整除,
所以3m+4+n也能被10整除.
素养提升
12.[2020江苏苏州相城区期中]如果ac=b,那么我们规定(a,b)=c,例如因为23=8,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定填空:(3,27)=　　　　,(5,25)=　　　　,(2,32)=　　　　.?
(2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.试说明a+b=c.
答案
12.【解析】　(1)3　2　5
(2)∵(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,
∴3a=5,3b=6,3c=30.
∵5×6=30,
∴3a×3b=3a+b=3c,
∴a+b=c.
课时2　幂的乘方
12.1　幂的运算
1.下列属于幂的乘方的是 (　　)
A.x2 B.(xy)2 C.(x2y)3 D.(x2)3
知识点1 幂的乘方的认识
答案
1.D　【解析】　选项A,x2只是一个幂,没有其他运算,因此不属于幂的乘方;选项B,(xy)2的底数是xy,是积不是幂,因此从整体上看(xy)2不是幂的乘方;选项C,(x2y)3的底数x2y是一个单项式,不是一个幂的形式,因此(x2y)3不是幂的乘方;选项D,(x2)3的底数是x2,是幂的形式,因此(x2)3是幂的乘方.故选D.
　　要判断一种运算是否属于幂的乘方,首先要从整体上看它是否是乘方形式,若是乘方形式,再看这个乘方运算的底数是不是幂的形式,若是,则整体上就是幂的乘方.
名师点睛
2.[2020浙江衢州中考]计算(a2)3,正确的结果是(　　)
A.a5 B.a6 C.a8 D.a9
知识点2 幂的乘方的运算法则
答案
2.B　【解析】　(a2)3=a2×3=a6.故选B.
3.下列各式计算结果不等于a20的是 (　　)
A.(a2)10 B.(a5)4
C.(a4)5 D.(a15)5
知识点2 幂的乘方的运算法则
答案
3.D　【解析】　根据幂的乘方法则可知选项A,B,C的计算结果均等于a20,选项D中,(a15)5=a15×5=a75.故选D.
4.[2020河北中考]若k为正整数,则(????+????+?+????????个????)k=(　　)
A.k2k B.k2k+1
C.2kk D.k2+k
?
知识点2 幂的乘方的运算法则
答案
4.A　【解析】　(????+????+?+????　????个????)k=(k·k)k=(k2)k=k2k.故选A.
?
5.计算:[(a-b)2]3=　　　　.?
知识点2 幂的乘方的运算法则
答案
5.(a-b)6　【解析】　[(a-b)2]3=(a-b)2×3=(a-b)6.
6.计算:(-32)5=　　　　,[(-3)2]5=　　　　.(结果写成幂的形式)?
知识点2 幂的乘方的运算法则
答案
6.-310　310　【解析】　(-32)5=-(32)5=-32×5=-310.[(-3)2]5=(-3)2×5=(-3)10=310.
7.[2021陕西西安西工大附中期中]计算a3·(-a3)2的结果是 (　　)
A.a8 B.-a8 C.a9 D.a12
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
7.C　【解析】　a3·(-a3)2=a3·a6=a9.故选C.
8.计算(a2)3-5a3·a3的结果是 (　　)
A.a5-5a6
B.a6-5a9
C.-4a6
D.4a6
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
8.C　【解析】　(a2)3-5a3·a3=a6-5a6=-4a6.故选C.
9.[2020辽宁锦州期中]若3×9m×27m=321,则m的值为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
9.B　【解析】　因为3×9m×27m=3×(32)m×(33)m=3×32m×33m=31+2m+3m=321,所以1+2m+3m=21,所以m=4.故选B.
10.易错题计算:-x2·(x2)2·(x2)3=　　　　.?
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
10.-x12　【解析】　解法一　-x2·(x2)2·(x2)3=-x2·x4·x6=-x2+4+6=-x12.
解法二　-x2·(x2)2·(x2)3=-(x2)1+2+3=-(x2)6=-x2×6=-x12.
11.比较大小:1022×(105)6　　　　1030×(1011)2.(填“>”“<”或“=”)?
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
11.=　【解析】　因为1022×(105)6=1022×1030=1052,1030×(1011)2=1030×1022=1052,所以1022×(105)6=1030×(1011)2.
12.计算下列各题:
(1)[2021江苏盐城期末](-a2)3·(-a3)2; (2)(x4)2+(x3)3-x·(-x2)2·x3; (3)6a8-2(a3)2·a2.
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
12.【解析】　(1)(-a2)3·(-a3)2
=-a6·a6
=-a12.
(2)(x4)2+(x3)3-x·(-x2)2·x3
=x8+x9-x·x4·x3
=x8+x9-x1+4+3
=x8+x9-x8
=x9.
(3)6a8-2(a3)2·a2
=6a8-2a6·a2
=6a8-2a8
=4a8.
13.[2021四川绵阳期中]已知a5·(am)3=a11,求m的值.
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
13.【解析】　∵a5·(am)3=a5·a3m=a3m+5=a11,
∴3m+5=11,解得m=2.
14.若2x+5y-3=0,求4x·32y的值.
知识点3 与幂的乘方有关的运算
答案
14.【解析】　∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3,
∴4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.
15.[2021天津南开区期中]已知????2????=3,则(x3n)2-3(????2)2????的值是 (　　)
A.1 B.-1 C.0 D.2
?
知识点4 幂的乘方法则的逆向运用
答案
15.C　【解析】　(x3n)2-3(x2)2n=(x2n)3-3(x2n)2=33-3×32=27-27=0.故选C.
16.已知am=5,则????3?????的值为　　　　.?
?
知识点4 幂的乘方法则的逆向运用
答案
16.125　【解析】　a3m=(am)3=53=125.
17.已知10x=3,10y=2.
(1)求102x+y的值;
(2)求103x+2y的值.
知识点4 幂的乘方法则的逆向运用
答案
17.【解析】　(1)102x+y=(10x)2×10y=32×2=18.
(2)103x+2y=(10x)3×(10y)2=33×22=108.
1.给出下列四个算式:①(a3)3=a3+3=a6;②(-x2)4=-x2×4=-x8;③[(b2)2]2=b2×2×2=b8;④[-(y+1)2]5=-(y+1)10.其中计算正确的有
(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案
1.C　【解析】　题中只有③④是正确的,①中(a3)3=a3×3=a9,②中(-x2)4=x2×4=x8.故选C.
2.已知2x×8x=163,则x的值为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案
2.B　【解析】　由题意,得2x·23x=24x=212,∴4x=12,解得x=3.故选B.
3.若[(x3)m]2=x12,则m的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.7
答案
3.B　【解析】　因为[(x3)m]2=x6m=x12,所以6m=12,m=2.故选B.
4.[2021广西玉林期中]若22m+1+4m=48,则m的值是 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.8
答案
4.C　【解析】　∵22m+1+4m=22m+1+22m=48,∴(2+1)×22m=3×24,即3×22m=3×24,∴2m=4,解得m=2.故选C.
?
5.[2021广东深圳福田区期中]若(a4)3=am·a,则m=　　　　　.?
答案
5.11　【解析】　∵(a4)3=am·a,∴a12=am+1,∴12=m+1,解得m=11.
6.若a3m+n=54,am=3,则an=　　　　　.?
答案
6.2　【解析】　∵a3m+n=(am)3·an=54,am=3,∴27an=54,∴an=2.
7.若2x=3,4y=5,则2x+2y的值为　　　　.?
答案
7.15　【解析】　 ∵2x=3,4y=5,∴2x+2y=2x×(22)y=3×5=15.
8.[2021四川成都青白江区期末]若x=4m+1,y=64m-3,用x的代数式表示y,则y=　　　　　.?
答案
8.(x-1)3-3　【解析】　∵x=4m+1,∴4m=x-1,∴64m=43m=(4m)3=(x-1)3,∴y=64m-3=(x-1)3-3.
9.计算:
(1)x·x2·x3+(-x2)·(-x)4+[(-x)2]3;
(2)[(a+2b)2]3·(-a-2b)+(a+2b)·[(a+2b)3]2.
答案
9.【解析】　(1)x·x2·x3+(-x2)·(-x)4+[(-x)2]3
=x6-x6+x6
=x6.
(2)[(a+2b)2]3·(-a-2b)+(a+2b)·[(a+2b)3]2
=-(a+2b)6·(a+2b)+(a+2b)·(a+2b)6
=-(a+2b)7+(a+2b)7
=0.
10.[2020河北邯郸锦玉中学期中]已知272=a6=9b,求2a2+2ab的值.
答案
10.【解析】　 由272=a6,得36=a6,∴a=±3.
由272=9b,得36=32b,∴2b=6,解得b=3.
当a=3,b=3时,2a2+2ab=2×32+2×3×3=36.
当a=-3,b=3时,2a2+2ab=2×(-3)2+2×(-3)×3=18-18=0.
所以2a2+2ab的值为36或0.
11.已知2x=a,4y=b,8z=ab,试猜想x,y,z之间的数量关系,并说明理由.
答案
11.【解析】　猜想x+2y=3z.理由如下:
因为2x·4y=ab,8z=ab,
所以2x·4y=8z,所以2x+2y=23z,
所以x+2y=3z.
素养提升
12.[2020重庆沙坪坝区月考]阅读下列两则材料,解决问题.
材料一:比较322和411的大小.
解:∵411=(22)11=222,3>2,
∴322>222,即322>411.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数(底数大于1)的大小,来确定两个幂的大小.
材料二:比较28和82的大小.
解:∵82=(23)2=26,8>6,
∴28>26,即28>82.
小结:底数相同(底数大于1)的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.
(1)比较344,433,522的大小;
(2)比较8131,2741,961的大小;
(3)已知a2=2,b3=3,比较a,b的大小.(a,b均为大于1的数)
答案
12.【解析】　(1)∵344=(34)11=8111,
433=(43)11=6411,
522=(52)11=2511,
81>64>25,
∴8111>6411>2511,
即344>433>522.
(2)∵8131=(34)31=3124,
2741=(33)41=3123,
961=(32)61=3122,
124>123>122,
∴3124>3123>3122,
即8131>2741>961.
答案
(3)∵a2=2,b3=3,
∴a6=8,b6=9,
∵8<9,∴a6又∵a,b均为大于1的数,∴a转化比较法
本题(1)(2)中给出的两组数,直接比较大小非常困难,通过正用或逆用幂的乘方法则,转化为同底数或同指数的幂后再进行比较.若底数大于1,当底数相同时,指数越大的幂越大;当指数相同时,底数越大的幂越大.
归纳总结
课时3　积的乘方
12.1　幂的运算
1.下列属于积的乘方的是 (　　)
A.(x+y)2
B.x2·x5
C.(x2)3
D.(2xy)3
知识点1 积的乘方的认识
答案
1.D　【解析】　选项A,(x+y)2是两数和的乘方;选项B,x2·x5是同底数幂的乘法;选项C,(x2)3是幂的乘方;选项D,(2xy)3的底数2xy表示2,x,y的积,因此(2xy)3是积的乘方.故选D.
2.[2021上海松江区期末]下列计算正确的是 (　　)
A.(3a)2=3a2 B.(-2a)3=-8a3
C.(ab2)3=a3b5 D.(23a)2=43a2
?
知识点2 积的乘方法则
答案
2.B　【解析】　(3a)2=9a2,(-2a)3=-8a3,(ab2)3=a3b6,(23a)2=49a2.故选B.
?
3.易错题[2020陕西中考]计算:(-23x2y)3= (　　)
A.-2x6y3 B.827x6y3
C.-827x6y3 D.-827x5y4
?
知识点2 积的乘方法则
答案
3.C　【解析】　(-23x2y)3=(-23)3·(x2)3·y3=-827x6y3.故选C.
?
4.若(2x)3=64,则x等于　　　　.?
知识点2 积的乘方法则
答案
4.2　【解析】　∵(2x)3=8x3=64,∴x3=8,∴x=2.
5.易错题已知xm=2,ym=3,则(x2y)m=　　　　.?
知识点2 积的乘方法则
答案
5.12　【解析】　(x2y)m=x2m·ym=(xm)2·ym=22×3=4×3=12.
6.计算:
(1)易错题(-xy)3;　　　 (2)(3xy)3;
(3)(-13a3b)2;　　　　 (4)[-3(x-1)(y-1)]2.
?
知识点2 积的乘方法则
答案
6.【解析】　(1)(-xy)3=(-1)3·x3·y3=-x3y3.
(2)(3xy)3=33·x3·y3=27x3y3.
(3)(-13a3b)2=(-13)2·(a3)2·b2=19a6b2.
(4)[-3(x-1)(y-1)]2=(-3)2·(x-1)2·(y-1)2=9(x-1)2(y-1)2.
?
　　第(1)题中(-xy)3的底数表示-1,x,y的积,乘方时注意对-1的乘方;第(4)题底数中含有多项式x-1,y-1,注意不论是单项式还是多项式,只要是积的乘方,都可以用积的乘方法则计算.
名师点睛
7.[2021四川雅安期末]计算22 021×(-12)2 022的结果是 (　　)
A.-1 B.12 C.-12 D.1
?
知识点3 积的乘方法则的逆向运用
答案
7.B　【解析】　22 021×(-12)2 022=22 021×(-12)2 021×(-12)=[2×(-12)]2 021×(-12)=-1×(-12)=12.故选B.
?
8.若x与y互为倒数,则9-x88·y88的值为　　　　.?
知识点3 积的乘方法则的逆向运用
答案
8.8　【解析】　因为x与y互为倒数,所以xy=1,所以9-x88·y88=9-(xy)88=9-188=9-1=8.
9.[2021山西太原期中]一个正方体的棱长为2×102 mm,则它的体积是 (　　)
A.8×102 mm3 B.8×105 mm3
C.8×106 mm3 D.6×106 mm3
知识点4 与积的乘方有关的运算
答案
9.C　【解析】　它的体积为(2×102)3=23×(102)3=8×106(mm3).故选C.
10.易错题[2021四川眉山期中]计算:4(-m2)3+(-2m3)2=　　　　.?
知识点4 与积的乘方有关的运算
答案
10.0　【解析】　4(-m2)3+(-2m3)2=-4m6+4m6=0.
11.计算下列各题:
(1)(2a)3·(a2)2;　 (2)(2x2y)3-5x6y3; (3)x·x2·(x3)2-(2x3)3.
知识点4 与积的乘方有关的运算
答案
11.【解析】　(1)(2a)3·(a2)2
=8a3·a4
=8a7.
(2)(2x2y)3-5x6y3
=23·(x2)3·y3-5x6y3
=8x6y3-5x6y3
=3x6y3.
(3)x·x2·(x3)2-(2x3)3
=x3·x6-23·(x3)3
=x9-8x9
=-7x9.
12.[2021重庆沙坪坝区月考]已知x2n=5,求(2x3n)2-3(xn)4的值.
知识点4 与积的乘方有关的运算
答案
12.【解析】　(2x3n)2-3(xn)4
=4x6n-3x4n
=4(x2n)3-3(x2n)2
=4×53-3×52
=425.
13.若A=(2xy2)3-x3(y3)2,B=5x3y6,当x=3,y=1时,求A-B的值.
知识点4 与积的乘方有关的运算
答案
13.【解析】　因为A=(2xy2)3-x3(y3)2=8x3y6-x3y6=7x3y6,B=5x3y6,所以A-B=7x3y6-5x3y6=2x3y6,
所以当x=3,y=1时,A-B=2×33×16=54.
14.原创题已知(xa+1yb+1)5=x10y15,求3a(b+1)的值.
知识点4 与积的乘方有关的运算
答案
14.【解析】　因为(xa+1yb+1)5=x5a+5y5b+5=x10y15,
所以5a+5=10,5b+5=15,所以a=1,b=2,
所以3a(b+1)=9.
1.下列各式成立的有 (　　)
①(2x2)3=6x6;②(a3y3)2=(ay)6;③(32m2)3=272m6;④(-3a2b2)4=81a8b8.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?
答案
1.B　【解析】　(2x2)3=8x6,(32m2)3=278m6,易知②④成立.故选B.
?
2.[2021河北唐山模拟]将25×56的结果用科学记数法表示为 (　　)
A.1×105 B.5×105
C.2×105 D.5×106
答案
2.B　【解析】　25×56=(2×5)5×5=5×105.故选B.
3.下列计算中,正确的是 (　　)
A.(-2mn)3=8m3n3
B.(m+n)3(m+n)2=m5+n5
C.-(a3b2)3=-a9b6
D.(-13a4b)2=16a6b2
?
答案
3.C　【解析】　(-2mn)3=-8m3n3,(m+n)3(m+n)2=(m+n)5,-(a3b2)3=-a9b6,(-13a4b)2=19a8b2.故选C.
?
4.如果(3ambm+n)3=27a9b3,那么m·n的值是 (　　)
A.-6 B.6 C.1 D.-1
答案
4.A　【解析】　 ∵(3ambm+n)3=27a3mb3(m+n)=27a9b3,∴3m=9,3(m+n)=3,∴m=3,m+n=1,∴m=3,n=-2,∴m·n=3×(-2)=-6.故选A.
5.[2021江苏苏州月考]已知2n=a,3n=b,24n=c,那么a,b,c之间满足的等量关系是 (　　)
A.c=ab B.c=ab3
C.c=a3b D.c=a2b
答案
5.C　【解析】　∵2n=a,3n=b,24n=c,∴c=24n=(8×3)n=(23×3)n=(23)n·3n=(2n)3·3n=a3b,即c=a3b.故选C.
6. 计算:(a-b)3·(b-a)3+[2(a-b)2]3=　　　　.?
答案
6.7(a-b)6　【解析】　(a-b)3·(b-a)3+[2(a-b)2]3=-(a-b)6+8(a-b)6=7(a-b)6.
7.若一个正方形的周长为2ab2,则这个正方形的面积是　　　　.?
答案
7.14a2b4　【解析】　因为这个正方形的周长为2ab2,所以这个正方形的边长为12ab2,所以这个正方形的面积是(12ab2)2= 14a2b4.
?
8.若a=78,b=87,则5656=　　　　.(用含a,b的式子表示)?
答案
8.a7b8　【解析】　5656=(7×8)56=756×856=77×8×87×8=(78)7×(87)8=a7b8.
9.计算:
(1)x·x3·x4+(x2)4-(-2x4)2;
(2)(-3×102)4×(2×102)2(结果写成幂的形式);
(3)(0.5×323)199×(-2×311)200;
(4)(-3a2)3·a3+(-4a)2·a7-(5a3)3.
?
答案
9.【解析】　(1)x·x3·x4+(x2)4-(-2x4)2
=x8+x8-4x8
=-2x8.
(2)(-3×102)4×(2×102)2
=81×108×4×104
=324×1012
=3.24×1014.
答案
(3)(0.5×323)199×(-2×311)200
=(0.5×113)199×(-2×311)199×(-2×311)
=(-0.5×113×2×311)199×(-2×311)
=(-1)199×(-2×311)
=611.
(4)(-3a2)3·a3+(-4a)2·a7-(5a3)3
=-27a6·a3+16a2·a7-125a9
=-27a9+16a9-125a9
=-136a9.
?
素养提升
10.[2021江西宜春袁州区期中]我们定义:三角形 =ab·ac,五角星 =z·(xm·yn).
(1)求 的值;
(2)若 =4,求 的值.
答案
10.【解析】　(1)由题意可得,
=31×32=33=27.
(2)∵ =4,
∴3x×32y=4,∴3x+2y=4,
∴ =2×(9x×81y)=2×[(3x)2×(32y)2]=2×[(3x×32y)2]=2×(3x+2y)2=2×42=2×16=32.
11.已知2a=5b=10,判断a+b和ab的大小关系.
答案
11.【解析】　∵2a=10,
∴(2a)b=10b,2ab=10b①.
∵5b=10,
∴(5b)a=10a,5ab=10a②.
①×②,得2ab×5ab=10a×10b=10a+b,
又∵2ab×5ab=(2×5)ab=10ab,
∴10a+b=10ab,∴ab=a+b.
课时4　同底数幂的除法
12.1　幂的运算
1.[2020河北中考]墨迹覆盖了等式“x3 x=x2(x≠0)”中的运算符号,则覆盖的是 (　　)
A.+ B.- C.× D.÷
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
1.D
2.[2020江苏扬州中考]下列各式中,计算结果为m6的是 (　　)
A.m2·m3 B.m3+m3
C.m12÷m2 D.(m2)3
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
2.D　【解析】　m2·m3=m2+3=m5,m3+m3=2m3,m12÷m2=m12-2=m10,(m2)3=m2×3=m6.故选D.
3.易错题[2020安徽中考]计算(-a)6÷a3的结果是 (　　)
A.-a3 B.-a2 C.a3 D.a2
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
3.C　【解析】　(-a)6÷a3=a6÷a3=a6-3=a3.故选C.
4.下列各式成立的是 (　　)
A.xm+xn=xm+n
B.x8÷x4=x2
C.x5÷x2=x3
D.(-x)7÷(-x)5=-x2
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
4.C　【解析】　选项A,xm与xn不是同类项,不能合并;选项B,x8÷x4=x8-4=x4;选项C正确;选项D,(-x)7÷(-x)5=(-x)7-5=(-x)2=
x2.故选C.
5.填空:a5=a10÷　　　　=　　　　÷a3.?
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
5.a5　a8
6.计算826÷810÷813的结果是　　　　.?
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
6.512　【解析】　826÷810÷813=826-10-13=83=512.
7.易错题计算:x14÷(x10÷x2)=　　　　.?
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
7.x6　【解析】　x14÷(x10÷x2)=x14÷x8=x6.
8.根据里氏震级的定义,地震所释放的相对能量E与地震级数n的关系为E=10n,那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的　　　　倍.?
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
8.100　【解析】　109÷107=102=100.
9.已知162×43=4x+y,9x÷3y=9,求x,y的值.
知识点1 同底数幂的除法法则
答案
9.【解析】　∵162×43=4x+y,∴44×43=47=4x+y,
∴x+y=7.
∵9x÷3y=9,∴32x÷3y=32x-y=32,
∴2x-y=2,
∴可得方程组????+????=7,2?????????=2, 解得????=3,????=4.
?
10.[2021广东汕头龙湖区期末]若3x=15,3y=5,则3x-y等于 (　　)
A.5 B.3 C.15 D.10
知识点2 同底数幂除法法则的逆向运用
答案
10.B　【解析】　3x-y=3x÷3y=15÷5=3.故选B.
11.[2020四川宜宾期末]已知5x=3,5y=2,则52x-3y= (　　)
A.34 B.1 C.23 D.98
?
知识点2 同底数幂除法法则的逆向运用
答案
11.D　【解析】　∵5x=3,5y=2,∴52x=32=9,53y=23=8,∴52x-3y=52????53????=98.故选D.
?
12.[2021上海浦东新区期末]若am=6,an=4,则a2m-n=　　　　　.?
知识点2 同底数幂除法法则的逆向运用
答案
12.9　【解析】　∵am=6,an=4,∴a2m-n=(am)2÷an=62÷4=36÷4=9.
13.已知3x=12,3y=23,则9x-y的值为　　　　.?
?
知识点2 同底数幂除法法则的逆向运用
答案
13.916　【解析】　9x-y=9x÷9y=(32)x÷(32)y=(3x)2÷(3y)2=(12)2÷(23)2=14÷49=916.
?
14.若42x+1=64,则42x-1的值为　　　　.?
知识点2 同底数幂除法法则的逆向运用
答案
14.4　【解析】　由42x+1=42x×4=64,可得42x=16,所以42x-1=42x÷4=4.
15.[2021黑龙江哈尔滨道里区期末]已知3a=10,9b=5,求3a-2b的值.
知识点2 同底数幂除法法则的逆向运用
答案
15.【解析】　∵9b=5,∴32b=5,
又∵3a=10,
∴3a-2b=3a÷32b=10÷5=2.
16.计算(a5·a6)÷a8的结果是 (　　)
A.a30 B.a22 C.a2 D.a3
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
16.D　【解析】　(a5·a6)÷a8=a11÷a8=a3.故选D.
17.[2020江苏南京中考]计算(a3)2÷a2的结果是 (　　)
A.a3 B.a4 C.a7 D.a8
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
17.B　【解析】　(a3)2÷a2=a3×2÷a2=a6-2=a4.故选B.
18.[2021江苏南京玄武区一模]计算a8÷(-a3)2·a5的结果是 (　　)
A.-a8 B.-a7 C.a7 D.a8
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
18.C　【解析】　a8÷(-a3)2·a5=a8÷a6·a5=a8-6+5=a7.故选C.
19.计算:(2x2)4÷(2x2)2=　　　　.?
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
19.4x4　【解析】　(2x2)4÷(2x2)2=(2x2)4-2=(2x2)2=4x4.
20.计算:(-m5÷m2÷m)3=　　　　.?
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
20.-m6　【解析】　(-m5÷m2÷m)3=(-m2)3=-m6.
21.[2021黑龙江伊春期末]计算:(-a3)5÷[(-a2)·(-a3)2]=　　　　　.?
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
21.a7　【解析】　(-a3)5÷[(-a2)·(-a3)2]=(-a15)÷[(-a2)·a6]=(-a15)÷(-a8)=a7.
22.若xa+b=10,则x6a÷x5a·xb的值为　　　　.?
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
22.10　【解析】　x6a÷x5a·xb=xa·xb=xa+b=10.
23.计算:
(1)易错题(-x4)3÷(-x)6;(2)(y2)3·(y3)4÷(y5)3;
(3)(-a2)4÷(a3)2·a4;(4)y4+(y2)4÷y4-(-y2)2.
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
23.【解析】　(1)(-x4)3÷(-x)6
=-x12÷x6
=-x6.
(2)(y2)3·(y3)4÷(y5)3
=y6·y12÷y15
=y6+12-15
=y3.
知识点3 幂的运算法则的综合应用
答案
(3)(-a2)4÷(a3)2·a4
=a8÷a6·a4
=a8-6+4
=a6.
(4)y4+(y2)4÷y4-(-y2)2
=y4+y8÷y4-y4
=y4+y4-y4
=y4.
1.在式子xm+n÷(　)=xm-2中,括号内的代数式应为 (　　)
A.xn+2 B.xm+n+3
C.xm-2+n D.xm-n
答案
1.A　【解析】　因为xm+n÷xm-2=xm+n-(m-2)=xn+2,所以题中括号内的代数式应为xn+2.故选A.
2.若am=3,则a5m÷a2m的值为 (　　)
A.33m
B.27
C.9
D.3
答案
2.B　【解析】　a5m÷a2m =a3m=(am)3=33=27.故选B.
3.计算x5m+3n+1÷(xn)2·(-xm)2的结果是 (　　)
A.-x7m+n+1
B.x7m+n+1
C.x7m-n+1
D.x3m+n+1
答案
3.B　【解析】　 x5m+3n+1÷(xn)2·(-xm)2=x5m+3n+1÷x2n·x2m=x5m+3n+1-2n+2m=x7m+n+1.故选B.
4.计算16m÷4n÷2的结果为 (　　)
A.2m-n-1
B.22m-n-1
C.23m-2n-1
D.24m-2n-1
答案
4.D　【解析】　16m÷4n÷2=24m÷22n÷2=24m-2n-1.故选D.
5.已知2a=3,8b=4,则23a-3b+1的值为 (　　)
A.25
B.-2
C.-1
D.272
?
答案
5.D　【解析】　∵2a=3,8b=4,∴23a-3b+1=(2a)3÷(8b)×2=33÷4×2=272.故选D.
?
6.若2m+1=10,2n+2=12,则2m-n的值是　　　　.?
答案
6.53　【解析】　∵2m+1=2m·2=10,2n+2=2n·4=12,∴2m=5,2n=3,∴2m-n=2m÷2n=53.
?
7.[2021河北唐山路北区期末]若xa=4,xb=3,xc=8,则x2a+b-c的值为　　　　　.?
答案
7.6　【解析】　因为xa=4,xb=3,xc=8,所以x2a+b-c=(xa)2·xb÷xc=42×3÷8=6.
8.[2021江苏常州期末]已知2x-6y-6=0,则2x÷8y=　　　　　.?
答案
8.8　【解析】　因为2x-6y-6=0,所以2(x-3y)=6,x-3y=3,所以2x÷8y=2x÷23y=2x-3y=23=8.
9.已知10m=20,10n=15,那么9m÷32n的值为　　　　.?
?
答案
9.81　【解析】　10m÷10n=20÷15=100=102,∴10m-n=102,∴m-n=2,∴9m÷32n=9m÷9n=9m-n=92=81.
?
10.已知2x=3,3y=2,则6x+y×2x-y÷3x的值为　　　　.?
答案
10.18　【解析】　 ∵2x=3,3y=2,∴6x+y×2x-y÷3x=2x+y×3x+y×2x-y÷3x=22x×3y=9×2=18.
11.已知(xa÷x2b)3÷xa-b与-2 020x2为同类项,求4a-10b+2 020的值.
答案
11.【解析】　(xa÷x2b)3÷xa-b
=(xa-2b)3÷xa-b
=x3a-6b÷xa-b
=x2a-5b.
∵(xa÷x2b)3÷xa-b与-2 020x2为同类项,
∴2a-5b=2,
∴4a-10b+2 020=2(2a-5b)+2 020=4+2 020=2 024.
12.若3x=4,3y=6,求92x-y+27x-y的值.
答案
12.【解析】　∵3x=4,3y=6,
∴92x-y+27x-y=(32)2x-y+(33)x-y=34x-2y+33x-3y=(3x)4÷(3y)2+(3x)3÷(3y)3=25636+64216=20027.
?
13.声音的强弱用分贝表示,通常人们讲话时的声音是50分贝,它表示声音的强度是105,汽车的声音是100分贝,它表示声音的强度是1010,喷气式飞机的声音是150分贝.问:
(1)汽车声音的强度是人们讲话时的声音的强度的多少倍?
(2)喷气式飞机的声音的强度是汽车的声音的强度的多少倍?
答案
13.【解析】　(1)1010÷105=105.
答:汽车声音的强度是人们讲话时的声音的强度的105倍.
(2)1015÷1010=105.
答:喷气式飞机的声音的强度是汽车的声音的强度的105倍.
专项1　巧用幂的运算性质
简化运算的四大类型
1.计算:
(1)x3y2·(xy2)3÷(xy)5;(2)(a2)3·(a2)4÷(-a2)5.
答案
1.【解析】　(1)x3y2·(xy2)3÷(xy)5
= x3y2·x3y6÷x5y5
=x3+3-5y2+6-5
=xy3.
(2)解法一　(a2)3·(a2)4÷(-a2)5
=a6·a8÷(-a10)
=-a4.
类型1 正用性质
答案
解法二　(a2)3·(a2)4÷(-a2)5
=(a2)3·(a2)4÷[-(a2)5]
=-(a2)3+4-5
=-(a2)2
=-a4.
类型1 正用性质
　　在进行幂的混合运算时,要弄清顺序和法则,切忌思维混乱,法则混淆.
名师点睛
2.(1)若9x=4,27y=5,求32x-3y+32x+3y的值;
(2)已知:3a=4,3b=10,3c=25.试说明:2b=a+c.
答案
2.【解析】　(1)∵9x=4,27y=5,
∴(32)x=4,(33)y=5,
∴32x=4,33y=5,
∴32x-3y=32????33????=45,32x+3y=32x·33y=4×5=20,
∴32x-3y+32x+3y=45+20=2045.
(2)∵32b=(3b)2=102=100,3a+c=3a×3c=4×25=100,
∴32b=3a+c,∴2b=a+c.
?
类型2 逆用性质
3.[2021上海静安区月考]已知23=a,35=b,则630=　　　　.(用含a,b的代数式表示)?
答案
3.a10b6　【解析】　∵23=a,35=b,∴630=230·330=(23)10·(35)6=a10b6.
类型3 转化思想
4.化简:
(1)(x-y)2·(y-x)7·[-(x-y)]3;
(2)(x+y)5÷(-x-y)2÷(x+y).
答案
4.【解析】　(1)(x-y)2·(y-x)7·[-(x-y)]3
=(x-y)2·[-(x-y)]7·[-(x-y)3]
=(x-y)12.
(2)(x+y)5÷(-x-y)2÷(x+y)
=(x+y)5÷(x+y)2÷(x+y)
=(x+y)5-2-1
=(x+y)2.
类型3 转化思想
5.若3x+2y-3=0,求27x·9y的值.
答案
5.【解析】　27x·9y=(33)x·(32)y=33x·32y=33x+2y.
因为3x+2y-3=0,所以3x+2y=3,
所以27x·9y=33=27.
类型3 转化思想
6.[2021上海市实验学校西校月考]若n为正整数,且x2n=2,求(3x3n)2-3(x2)2n的值.
答案
6.【解析】　∵x2n=2,
∴(3x3n)2-3(x2)2n
=9x6n-3x4n
=9(x2n)3-3(x2n)2
=9×23-3×22
=9×8-3×4
=60.
类型3 转化思想
7.计算:0.252 020×(-4)2 021-8673×0.52 020.
答案
7.【解析】　0.252 020×(-4)2 021-8673×0.52 020
=0.252 020×(-4)2 020×(-4)-2673×3×0.52 020
=[0.25×(-4)]2 020×(-4)-22 019×0.52 019×0.5
=-4-(2×0.5)2 019×0.5
=-4-0.5
=-4.5.
类型3 转化思想
8.阅读下列材料:
若a3=2,b5=3,则a,b的大小关系是a　　　　b.(填“<”或“>”)?
解:∵a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33=27,32>27,∴a15>b15,∴a>b.
解答下列问题:
(1)上述求解过程中,逆用的幂的运算性质是 (　　)
A.同底数幂的乘法 B.同底数幂的除法
C.幂的乘方 D.积的乘方
(2)已知x7=2,y9=3,试比较x与y的大小.
答案
8.【解析】　(1)C
(2)∵x63=(x7)9=29=512,y63=(y9)7=37=2 187,2 187>512,
∴x63类型3 转化思想
9.已知两个单项式13am+2nb与-2a4bk是同类项,求2m·4n·8k的值.
?
答案
9.【解析】　由已知可得????+2????=4,????=1,
则2m·4n·8k=2m·22n·8k=2m+2n·8k=24×8=128.
?
类型4 方程思想
10.已知3×9m×27m=317+m,求(-m2)3÷(m3·m2)的值.
答案
10.【解析】　因为3×9m×27m=317+m,
所以3×(32)m×(33)m=317+m,即3×32m×33m=317+m,
所以31+2m+3m=317+m,
所以1+5m=17+m,所以m=4.
所以(-m2)3÷(m3·m2)=-m6÷m5=-m6-5=-m=-4.
类型4 方程思想
易错疑难集训（一）
1.[2021北京东城区期末]下列各式中,运算正确的是 (　　)
A.a3·a3=2a3 B.(a2)3=a6
C.(2a2)3=2a6 D.a6÷a2=a3
易错点 幂的运算中的雷区
答案
1.B　【解析】　∵a3·a3=a6,(a2)3=a6,(2a2)3=8a6,a6÷a2=a4,∴只有选项B正确.
2.下列各式计算结果为a7的是 (　　)
A.(-a)2·(-a)5
B.(-a)2·(-a5)
C.(-a2)·(-a)5
D.(-a)·(-a)6
易错点 幂的运算中的雷区
答案
2.C　【解析】　(-a)2·(-a)5=(-a)2+5=(-a)7=-a7,(-a)2·(-a5)=a2·(-a5)=-a7,(-a2)·(-a)5=a2·a5=a7,(-a)·(-a)6=(-a)1+6=-a7.故选C.
3.计算-(m-n)3÷2(n-m)2的结果是 (　　)
A.-12(m-n)
B.2(m-n)
C.-2(m-n)
D.12(m-n)
?
易错点 幂的运算中的雷区
答案
3.A　【解析】　-(m-n)3÷2(n-m)2=-(m-n)3÷2(m-n)2=-12(m-n).故选A.
?
　　在有关幂的运算中,符号问题是一个不可忽视的大问题,解题时须注意:①负数的偶次方为正,负数的奇次方为负;②当底数为多项式时,在变号时通常变偶次方的底数,这样幂前面不会产生负号.
名师点睛
4.计算:
(1)m4·m·m7;
(2)(m2)5÷m÷(-m3)2÷m;
(3)-a3·a4·a+(-a2)4+(-2a4)2;
(4)(-x2)3·(-x2)2-x·(-x3)3.
易错点 幂的运算中的雷区
答案
4.【解析】　(1)m4·m·m7
=m4+1+7
=m12.
(2)(m2)5÷m÷(-m3)2÷m
=m10÷m÷m6÷m
=m10-1-6-1
=m2.
易错点 幂的运算中的雷区
答案
(3)-a3·a4·a+(-a2)4+(-2a4)2
=-a3+4+1+a2×4+4a8
=-a8+a8+4a8
=4a8.
(4)(-x2)3·(-x2)2-x·(-x3)3
=-x6·x4-x·(-x9)
=-x10+x10
=0.
课时1　单项式与单项式相乘
12.2　整式的乘法
1.[2020广西柳州中考]2ab·a2的计算结果是 (　　)
A.2ab B.4ab C.2a3b D.4a3b
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
1.C
2.[2021辽宁大连期末]计算(-2x2y3)·3xy2结果正确的是 (　　)
A.-6x2y6 B.-6x3y5
C.-5x3y5 D.-24x7y5
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
2.B　【解析】　(-2x2y3)·3xy2=-6x2+1y3+2=-6x3y5.故选B.
3.3a·(-2a)2= (　　)
A.-12a3 B.-6a2 C.12a3 D.6a3
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
3.C　【解析】　3a·(-2a)2=3a·4a2=12a3.故选C.
　　单项式与单项式相乘的注意事项
　　(1)系数与系数相乘,积的系数等于各因式系数的积.(2)相同字母的幂相乘时,利用同底数幂的乘法法则“底数不变,指数相加”进行计算.(3)对于只在一个单项式中出现的字母,应连同它的指数一起写在积里,应特别注意不能漏掉这部分因式.(4)单项式乘法中若含有乘方运算,应按“先乘方再乘法”的顺序进行.
名师点睛
4.下列运算正确的是 (　　)
A.3x2y·2xy=5x3y2
B.3x·(-2xy)=-6x2
C.5a2·3a3b=15a6b
D.(-xy)(-xy)=x2y2
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
4.D　【解析】　选项A,系数应为6;选项B,运算结果应为-6x2y;选项C,运算结果应为15a5b;选项D,(-xy)(-xy)=(-1)2x2y2=
x2y2, 运算正确.故选D.
5.[2021四川成都期末]若ab3=-2,则(-3ab)·2ab5=(　　)
A.-12 B.-24 C.12 D.24
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
5.B　【解析】　(-3ab)·2ab5=-6a2b6=-6(ab3)2=-6×(-2)2=-24.故选B.
6.[2021吉林船营区期末]计算(2x)3·(-5xy2)的结果为　　　　　.?
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
6.-40x4y2　【解析】　(2x)3·(-5xy2)=8x3·(-5xy2)=-40x4y2.
7.计算2a4·(-3b4)·(-12a2b2c)的结果是　 .?
?
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
7.3a6b6c　【解析】　2a4·(-3b4)·(-12a2b2c)=[2×(-3)×(-12)]·(a4·a2)·(b4·b2)·c=3a6b6c.
?
8.计算:
(1)(-3xy)·(-5x2);　 (2)(3ab)2·(-2a)2; (3)(xy3)2·(-2x2y)3.
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
8.【解析】　(1)(-3xy)·(-5x2)
=[(-3)×(-5)]·(x·x2)·y
=15x3y .
(2)(3ab)2·(-2a)2
=9a2b2·4a2
=(9×4)·(a2·a2)·b2
=36a4b2.
(3)(xy3)2·(-2x2y)3
=x2y6·(-8x6y3)
=-8·(x2·x6)·(y6·y3)
=-8x8y9.
9.已知2x3y2·(-3xmy3)·5x2yn=-30x6y7,求m+n的值.
知识点1 单项式与单项式相乘
答案
9.【解析】　2x3y2·(-3xmy3)·5x2yn
=[2×(-3)×5]·(x3·xm·x2)·(y2·y3·yn)
=-30x5+my5+n.
依题意,-30x5+my5+n=-30x6y7,
所以5+m=6,5+n=7,所以m=1,n=2,
所以m+n=3.
10.[2021湖南长沙雅礼教育集团期中]长方形的长为3x2y,宽为2xy3,则它的面积为 (　　)
A.5x3y4 B.6x2y3 C.6x3y4 D.32xy2
?
知识点2 单项式与单项式相乘的应用
答案
10.C　【解析】　长方形的面积为3x2y·2xy3=6x3y4.故选C.
11.小李家住房的平面结构示意图如图所示(单位:m),小李打算把卧室和客厅铺上木地板,请你帮他算一算,他至少应买木地板 (　　)
A.12xy m2
B.10xy m2
C.8xy m2
D.6xy m2
知识点2 单项式与单项式相乘的应用
答案
11.A　【解析】　2x·4y+(4x-2x)·2y=8xy+4xy=12xy(m2).故选A.
12.宇宙空间的距离通常以光年为单位,1光年是光在一年内通过的距离,已知光的速度约为3×105 km/s,一年约有3.154×107 s,则1光年约为　　　　km.?
知识点2 单项式与单项式相乘的应用
答案
12.9.462×1012　【解析】　3×105×3.154×107=9.462×1012(km),所以1光年约为9.462×1012 km.
13.如果要将一个长为2×103 分米、宽为4×102 分米、高为80 分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化,那么请你想一想,能否恰好有一个正方体贮水池被这些废水刚好装满?若有,求出正方体贮水池的棱长;若没有,请说明理由.
知识点2 单项式与单项式相乘的应用
答案
13.【解析】　有.
因为长方体废水池的容积为(2×103)×(4×102)×(8×10)=64×106=(4×102)3(分米3),
所以正方体贮水池的棱长为4×102 分米.
1.下列计算错误的是 (　　)
A.(4×106)×(8×103)=3.2×1010
B.(-34ax)·(-43by)=abxy
C.-0.2xy2+15x·xy=0
D.[2(x-y)3]2·3(y-x)3=-12(x-y)9
?
答案
1.C　【解析】　选项C中-0.2xy2与15x2y不是同类项,不能合并,其他选项都正确.故选C.
?
2.[2021山东德州期末]如果单项式-2xa-2by2a+b与x3y8b是同类项,那么这两个单项式的积是 (　　)
A.-2x6y16 B.-2x6y32
C.-2x3y8 D.-4x6y16
答案
2.B　【解析】　由-2xa-2by2a+b与x3y8b是同类项,可得?????2????=3,2????+????=8????, 解得????=7,????=2, 所以这两个单项式分别为-2x3y16,x3y16,它们的积是-2x6y32.故选B.
?
3.边长分别为2a和a的两个正方形按如图的方式摆放,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.2a2
B.2
C.5a2-3a
D.72a2
答案
3.A　【解析】　题图中阴影部分的面积为(2a·2a+a2)-12·2a·(2a+a)=5a2-3a2=2a2.故选A.
?
4.[2021重庆渝中区月考]计算(-12xy3)2·6x2y的结果是　　　　　.?
?
答案
4.32x4y7　【解析】　(-12xy3)2·6x2y=14x2y6·6x2y=32x4y7.
?
5.若2a3y2·(-4a2y3)=ma5yn,则m+n的值为　　　　.?
答案
5.-3　【解析】　 ∵2a3y2·(-4a2y3)=-8a5y5=ma5yn,∴m=-8,n=5,∴m+n=-8+5=-3.
6.已知am=7,bn=17,则(-16a3mbn)2·(3amb2n)3的值为　　　　.?
?
答案
6.214　【解析】　(-16a3mbn)2·(3amb2n)3=136a6mb2n·27a3mb6n=34a9mb8n=34(am)9·(bn)8=34×79×(17)8=34×7×78×(17)8=34×7×(7×17)8=214.
?
7.[2021陕西西安月考]若1+2+3+?+n=m,且ab=1,m为正整数,则(abn)(a2bn-1)?(an-1b2)(anb)=　　　　.?
答案
7.1　【解析】　∵ab=1,m为正整数,∴(abn)(a2bn-1)?(an-1b2)·(anb)=a1+2+?+n-1+nbn+n-1+?+2+1=ambm=(ab)m=1m=1.
8.计算:
(1)[2021山东滨州期中]14x3y2·(-2xy2z)+(-2xy)·12xy·3x2y2z;
(2)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2.
?
答案
8.【解析】　(1)14x3y2·(-2xy2z)+(-2xy)·12xy·3x2y2z
=-12x4y4z-3x4y4z
=-72x4y4z.
(2)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2
=45a3b3-36a3b3-16a3b3
=-7a3b3.
?
9.先化简,再求值:-10(-a3b2c)2·15a·(bc)3-(2abc)3·(-a2b2c)2,其中a,b,c满足|a+5|+(b-15)2+2?????=0.
?
答案
9.【解析】　-10(-a3b2c)2·15a·(bc)3-(2abc)3·(-a2b2c)2
=-10a6b4c2·15a·b3c3-8a3b3c3·a4b4c2
=-2a7b7c5-8a7b7c5
=-10a7b7c5.
∵|a+5|+(b-15)2+2?????=0,
∴a=-5,b=15,c=2,
原式=-10×(-5)7×(15)7×25
=-10×(-5×15)7×25
=320.
?
素养提升
10.如果“三角” 表示(-4xyz)2,“方框” 表示-5abdc,求 × 的值.
答案
10.【解析】　根据题意,得 ×
=(-8mn)2×(-5n2m5)
=64m2n2×(-5n2m5)
=-320m7n4.
课时2　单项式与多项式相乘
12.2　整式的乘法
1.[2021黑龙江哈尔滨南岗区期末]计算3a(5a-2b)的结果是 (　　)
A.15a-6ab B.8a2-6ab
C.15a2-5ab D.15a2-6ab
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
1.D
2.[2021天津期末]在一次数学课上,学习了单项式乘多项式,小明回家后,拿出课堂笔记本复习,发现这样一道题:
-3x(-2x2+3x-1)=6x3□+3x.“□”的地方被墨水污染了,你认为“□”处应是 (　　)
A.+9x2 B.-9x2 C.+9x D.-9x
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
2.B　【解析】　-3x(-2x2+3x-1)=6x3-9x2+3x.故选B.
3.[2021山东泰安期中]下列运算中,正确的是 (　　)
A.-2x(3x2y-2xy)=-6x3y-4x2y
B.2xy2(-x2+2y2+1)=-4x3y4
C.(3ab2-2ab)abc=3a2b3-2a2b2
D.(ab)2(2ab2-c)=2a3b4-a2b2c
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
3.D　【解析】　-2x(3x2y-2xy)=-6x3y+4x2y,2xy2(-x2+2y2+1)=-2x3y2+4xy4+2xy2,(3ab2-2ab)abc=3a2b3c-2a2b2c,(ab)2·(2ab2-c)=a2b2·(2ab2-c)=2a3b4-a2b2c.故选D.
4.[2020广西崇左期末]若x(x+a)=x2-x,则不等式ax+3>0的解集是 (　　)
A.x>3 B.x<3 C.x>-3 D.x<-3
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
4.B　【解析】　∵x(x+a)=x2-x,∴x2+ax=x2-x,∴a=-1,则不等式ax+3>0即-x+3>0的解集是x<3.故选B.
5.计算:2a2·(3ab2+7c)=　　　　.?
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
5.6a3b2+14a2c
6.计算:-13x2(6x2-2x+1)=　　　　.?
?
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
6.-2x4+23x3-13x2
?
7.计算:
(1)12x2·(2x+1);(2)(23a2b-3ab2)·3ab;
(3)[2021上海松江区期中]6m·(3m2-23m-1).
?
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
7.【解析】　(1)12x2·(2x+1)
=12x2·2x+12x2
=x3+12x2.
(2)(23a2b-3ab2)·3ab
=23a2b·3ab+(-3ab2)·3ab
=2a3b2-9a2b3.
(3)6m·(3m2-23m-1)=18m3-4m2-6m.
?
8.计算:
(1)(-43ab)2·(-92a2b-12ab+34b2);
(2)[2021上海松江区期末]6a2(13ab-b2)-2a2b(a-b).
?
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
8.【解析】　(1)(-43ab)2·(-92a2b-12ab+34b2)
=169a2b2(-92a2b-12ab+34b2)
=-8a4b3-643a3b3+43a2b4.
(2)6a2(13ab-b2)-2a2b(a-b)
=6a2·13ab-6a2·b2-2a2b·a+2a2b·b
=2a3b-6a2b2-2a3b+2a2b2
=-4a2b2.
?
9.先化简,再求值:y(y2-1)-y2(y+y3),其中y=-1.
知识点1 单项式与多项式相乘
答案
9.【解析】　y(y2-1)-y2(y+y3)
=y3-y-y3-y5
=-y-y5,
当y=-1时,原式=-(-1)-(-1)5=1-(-1)=1+1=2.
10.如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2,底边上的高为6xy,那么这个三角形的面积为 (　　)
A.6x3y2+3x2y2-3xy3
B.6x2y2+3xy-3xy2
C.6x2y2+3x2y2-y2
D.6x2y+3x2y2
知识点2 单项式与多项式相乘的应用
答案
10.A　【解析】　这个三角形的面积为12×(2x2y+xy-y2)×6xy=6x3y2+3x2y2-3xy3.故选A.
?
11.求如图所示图形的面积.
知识点2 单项式与多项式相乘的应用
答案
11.【解析】　题图所示图形的面积可表示为a(b-m)+m(a-n).
因为a(b-m)+m(a-n)
=ab-am+am-mn
=ab-mn,
所以题图所示图形的面积为ab-mn.
12.一块长方形铁皮长(6a2+4b2)m,宽5a4 m,在它的四个角上各剪去一个边长为2a3 m的小正方形,然后将剩余部分折成一个无盖的盒子,则这个盒子的表面积是多少?
知识点2 单项式与多项式相乘的应用
答案
12.【解析】　由题意得,这个盒子的表面积为 (6a2+4b2)·5a4-4(2a3)2=30a6+20a4b2-16a6=(14a6+20a4b2)(m2).
1.下列各题计算正确的是 (　　)
A.(ab-1)(-4ab2)=-4a2b3-4ab2
B.(3x2+xy-y2)·3x2=9x4+3x3y-y2
C.(-3a)·(a2-2a+1)=-3a3+6a2
D.(-2x)·(3x2-4x-2)=-6x3+8x2+4x
答案
1.D　【解析】　A项应为(ab-1)(-4ab2)=-4a2b3+4ab2,B项应为(3x2+xy-y2)·3x2=9x4+3x3y-3x2y2,C项应为(-3a)(a2-2a+1)=
-3a3+6a2-3a,只有D项计算正确.故选D.
2.[2021江苏苏州月考]要使-x3(x2+ax+1)+2x4的展开式中不含x4项,则a应等于 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
2.B　【解析】　-x3(x2+ax+1)+2x4=-x5-ax4-x3+2x4=-x5+(2-a)x4-x3.∵-x3(x2+ax+1)+2x4的展开式中不含x4项,∴2-a=0,
∴a=2.故选B.
3.若定义????????　????????=ad-bc,则2????　　????3????　?????5= (　　)
A.-x2-5x
B.x2+10x
C.-x2+10x
D.-x2-10x
?
答案
3.D　【解析】　根据题意,得2????　　????3????　?????5=2x(x-5)-3x2=2x2-10x-3x2=-x2-10x.故选D.
?
4.现规定一种运算:a*b=ab+a-b,其中a,b为实数.则a*b+(b-a)*b等于　　　　.?
答案
4.b2-b　【解析】　a*b+(b-a)*b=(ab+a-b)+[(b-a)·b+(b-a)-b]=b2-b.
5.已知a(x2+x-c)+b(2x2-x-2)=7x2+4x+3,则a+b+c的值是　　　　.?
答案
5.5　【解析】　∵a(x2+x-c)+b(2x2-x-2)=ax2+ax-ac+2bx2-bx-2b=(a+2b)x2+(a-b)x-(ac+2b)=7x2+4x+3,∴a+2b=7,a-b=4,
-(ac+2b)=3,解得a=5,b=1,c=-1,∴a+b+c=5+1-1=5.
6.某同学在计算一个多项式乘以2a时,因抄错运算符号,算成了加上2a,得到的结果是a2+2a-1,那么正确的计算结果是　　　　.?
答案
6.2a3-2a　【解析】　(a2+2a-1-2a)·2a=(a2-1)·2a=2a3-2a.
7.计算:
(1)x(x2-x+1)-(2x)2·(x+3);
(2)x(x2-x-1)+3(x2+x)-18(3x2+6x).
?
答案
7.【解析】　(1)x(x2-x+1)-(2x)2·(x+3)
=x3-x2+x-4x2·(x+3)
=x3-x2+x-4x3-12x2
=-3x3-13x2+x.
(2)x(x2-x-1)+3(x2+x)-18(3x2+6x)
=x3-x2-x+3x2+3x-38x2-34x
=x3+138x2+54x.
?
8.解方程:2x(x+1)-(3x-2)x=1-x2.
答案
8.【解析】　2x(x+1)-(3x-2)x=1-x2,
去括号,得2x2+2x-3x2+2x=1-x2,
整理,得4x=1,
解得x=14.
?
素养提升
9.阅读下列文字,并解决问题.
已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.
分析:考虑到满足x2y=3的x,y的可能值较多,不可以逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.
解:2xy(x5y2-3x3y-4x)
=2x6y3-6x4y2-8x2y
=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y
=2×33-6×32-8×3
=-24.
请你用上述方法解决问题:已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.
答案
9.【解析】　(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)
=-4a3b3+6a2b2-8ab
=-4×(ab)3+6(ab)2-8ab
=-4×33+6×32-8×3
=-108+54-24
=-78.
10.如图,正方形ABCD与正方形ECGF的边长分别为a,b.
(1)分别写出△BGF与△DEF的面积;(用含a,b的代数式表示)
(2)求图中阴影部分的面积;
(3)若a=2不变,当b的取值分别是4和6时,阴影部分的面积是否会发生变化?若b取任意一个正数呢?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请求出阴影部分的面积.
答案
10.【解析】　(1)△BGF的面积为12BG·FG=12(a+b)b=????????+????22.
△DEF的面积为12DE·EF=12(b-a)b=????2?????????2.
(2)题图中阴影部分的面积为a2+b2-12a2-????????+????22?????2?????????2=12a2.
(3)当b的取值分别是4和6时,题图中阴影部分的面积不会发生变化,
b取任意一个正数,题图中阴影部分的面积均为12×4=2.
?
课时3　多项式与多项式相乘
12.2　整式的乘法
1.下列计算错误的是 (　　)
A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4
B.(a+4)(a-5)=a2-a-20
C.(m-3)(m+3)=m2-9
D.(y-3)(y-6)=y2+18
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
1.D　【解析】　易知A,B,C项正确;D项,(y-3)(y-6)=y2-6y-3y+18=y2-9y+18,D项错误.故选D.
多项式与多项式相乘的注意事项
(1)不重不漏(可以利用合并同类项前,积的项数与多项式项数的积的关系来检验);(2)符号问题;(3)结果中若有同类项,则要合并同类项,使结果最简.
名师点睛
2.易错题[2021吉林长春南关区期中]计算(a+3)(-a+1)的结果是(　　)
A.-a2-2a+3 B.-a2+4a+3
C.-a2+4a-3 D.a2-2a-3
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
2.A　【解析】　(a+3)(-a+1)=-a2-3a+a+3=-a2-2a+3.故选A.
3.[2021湖北十堰期中]若x+y=1且xy=-2,则代数式(1-x)(1-y)的值等于 (　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
3.A　【解析】　∵x+y=1,xy=-2,∴(1-x)(1-y)=1-y-x+xy=1-(x+y)+xy=1-1+(-2)=-2.故选A.
4.(2a-3b)·(3a-2b)的结果是 (　　)
A.6a2-9ab+6b2
B.6a2-6b2
C.6a2+6b2
D.6a2-13ab+6b2
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
4.D　【解析】　(2a-3b)·(3a-2b)=6a2-4ab-9ab+6b2=6a2-13ab+6b2.故选D.
5.计算(2x2-4)(2x-1-32x)的结果是 (　　)
A.-x2+2
B.x3+4
C.x3-4x+4
D.x3-2x2-2x+4
?
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
5.D　【解析】　(2x2-4)(2x-1-32x)=(2x2-4)(12x-1)=x3-2x2-2x+4.故选D.
?
6.若计算(1+x)(2x2+ax+1)的结果中x2项的系数为-2,则a的值为 (　　)
A.-2 B.1 C.-4 D.-1
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
6.C　【解析】　(1+x)(2x2+ax+1)=2x2+ax+1+2x3+ax2+x=2x3+(a+2)x2+(a+1)x+1.因为结果中x2项的系数为-2,所以a+2=
-2,所以a=-4.故选C.
7.[2021广西梧州一模]计算:(a+3)(2a-6)=　　　.?
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
7.2a2-18　【解析】　(a+3)(2a-6)=2a2-6a+6a-18=2a2-18.
8.若a2+a=1,则(a-5)(a+6)=　　　　.?
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
8.-29　【解析】　∵a2+a=1,∴(a-5)(a+6)=a2+a-30=1-30=-29.
9.[2020广东惠州期末]若(x+2)(x-6)=x2+px+q,则p+q=　　　　.?
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
9.-16　【解析】　由(x+2)(x-6)=x2-4x-12=x2+px+q,可得p=-4,q=-12,所以p+q=-4-12=-16.
10.计算:
(1)[2021上海嘉定区期末](-x+2y)(x-5y); (2)(x-2)(x+5)-x(x-2); (3)(x-1)(3x2+2x+1).
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
10.【解析】　(1)(-x+2y)(x-5y)
=(-x)·x+(-x)·(-5y)+2y·x+2y·(-5y)
=-x2+5xy+2xy-10y2
=-x2+7xy-10y2.
(2)(x-2)(x+5)-x(x-2)
=x2+5x-2x-10-x2+2x
=5x-10.
(3)(x-1)(3x2+2x+1)
=x·3x2+x·2x+x-3x2-2x-1
=3x3+2x2+x-3x2-2x-1
=3x3-x2-x-1.
11.先化简,再求值:(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中x=-2.
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
11.【解析】　(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4)
=(6x2-9x+2x-3)-(6x2-24x-5x+20)
=(6x2-7x-3)-(6x2-29x+20)
=6x2-7x-3-6x2+29x-20
=22x-23.
当x=-2时,原式=22×(-2)-23=-67.
12.[2020上海虹口区月考]解不等式:2x(3x-5)-(2x-3)(3x+4)≤3(x+4).
知识点2 多项式与多项式相乘的应用
答案
12.【解析】　2x(3x-5)-(2x-3)(3x+4)≤3(x+4),
6x2-10x-(6x2-x-12)≤3x+12,
-9x+12≤3x+12,
-12x≤0,
解得x≥0.
13.[2021吉林长春双阳区期末]如图(单位:米),某市有一块长为(3a+b)米、宽为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则需要绿化的面积是多少平方米?并求出a=6,b=4时的绿化面积.
知识点2 多项式与多项式相乘的应用
答案
13.【解析】　S阴影=(3a+b)(2a+b)-(a+b)2
=6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2
=(5a2+3ab)(米2),
当a=6,b=4时,绿化面积为5a2+3ab=5×36+3×6×4=180+72=252(米2).
1.[2021贵州遵义期末]根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是 (　　)
A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2
B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2
C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2
D.(a+3b)(a-b)=a2+2ab-3b2
答案
1.A
2.[2021吉林长春二道区期末](mx+8)(2-3x)展开后不含x的一次项,则m为 (　　)
A.3 B.0 C.12 D.24
答案
2.C　【解析】　(mx+8)(2-3x)=2mx-3mx2+16-24x=-3mx2+(2m-24)x+16.∵(mx+8)(2-3x)展开后不含x的一次项,∴2m-24=0,∴m=12.故选C.
3.若(x+a)(x+b)=x2+cx+6,其中a,b,c为整数,则c的可能取值有 (　　)
A.1个 B.2个 C.4个 D.8个
答案
3. C　【解析】　由(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+cx+6,得a+b=c,ab=6.因为a,b,c为整数,所以a,b的可能取值为1,6;2,3;
3,2;6,1;-1,-6;-2,-3;-3,-2;-6,-1.所以c的可能取值为7,-7,5,-5,共4个.故选C.
4.若整式x+m与2-x的乘积是一个关于x的二次二项式,则m的值是　　　　.?
答案
4.2或0　【解析】　(x+m)(2-x)=-x2+(2-m)x+2m.∵x+m与2-x的乘积是一个关于x的二次二项式,∴2-m=0或2m=0,∴m=2或m=0.
5.如图,现有A,C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张,用它们可以拼成一些新的长方形.如果要拼成一个长为(3a+2b)、宽为(a+b)的长方形,那么需要B类长方形卡片　　　　张.?
答案
5.5　【解析】　长为(3a+2b)、宽为(a+b)的长方形的面积为(3a+2b)(a+b)=3a2+5ab+2b2.因为A类卡片的面积为a2,B类卡片的面积为ab,C类卡片的面积为b2,所以需要A类卡片3张,B类卡片5张,C类卡片2张.
6.[2020河南许昌二中期中]小明、小莉二人共同计算一道整式乘法题:(2x+a)·(3x+b).小明抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2+11x-10;小莉漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.
(1)试求式子中a,b的值;
(2)请你计算出这一道整式乘法题的正确结果.
答案
6.【解析】　(1)∵(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10,
(2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10,
∴2b-3a=11,a+2b=-9,
解得a=-5,b=-2.
(2)由(1)得(2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.
7.[2021湖南长沙青竹湖湘一外国语学校月考]图1的长方形的宽与长分别为m+3,m+13,面积为S1;图2的长方形的宽与长分别为m+5,m+7,面积为S2.(其中m为正整数)
　　
(1)写出两个长方形的面积S1,S2,并比较S1,S2的大小.
(2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等.试探究该正方形的面积与图1中长方形的面积的差是不是一个常数,如果是,求出这个常数;如果不是,说明理由.
(3)在(1)的条件下,若某个图形的面积介于S1,S2之间(不包括S1,S2)且面积为整数,这样的整数值有且只有19个,求m的值.
答案
7.【解析】　(1)∵S1=(m+13)(m+3)=m2+16m+39,
S2=(m+7)(m+5)=m2+12m+35,m为正整数,
∴S1-S2=4m+4>0,
∴S1>S2.
(2)∵一个正方形的周长与题图1中的长方形的周长相等,
∴这个正方形的边长为2[(????+3)+(????+13)]4=m+8,
∴这个正方形的面积为(m+8)2=m2+16m+64,
m2+16m+64-(m2+16m+39)=25,
∴该正方形的面积与题图1中长方形的面积的差是一个常数,这个常数为25.
(3)由(1)得,S1-S2=4m+4,
由19<4m+4≤20,得154∵m为正整数,∴m=4.
?
素养提升
8.[2020江苏苏州吴江区期中]观察以下等式:
(x+1)(x2-x+1)=x3+1,
(x+3)(x2-3x+9)=x3+27,
(x+6)(x2-6x+36)=x3+216,
??
(1)按以上等式的规律填空:(a+b)(　　　　)=a3+b3.?
(2)利用多项式的乘法法则,说明(1)中的等式成立.
(3)利用(1)中的公式化简(x+y)(x2-xy+y2)-(x+2y)(x2-2xy+4y2).
答案
8.【解析】　(1)a2-ab+b2
(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3.
(3)(x+y)(x2-xy+y2)-(x+2y)(x2-2xy+4y2)
=(x3+y3)-(x3+8y3)
=-7y3.
9.[2021四川成都新都区期末]你能求(x-1)(x2 021+x2 020+x2 019+?+x+1)的值吗?遇到这样的问题,我们可以先思考一下,从简单的情形入手,先分别计算下列各式的值:
①(x-1)(x+1)=x2-1;
②(x-1)(x2+x+1)=x3-1;
③(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;
??
由此我们可以得到(x-1)(x2 021+x2 020+x2 019+?+x+1)=　　　　　.?
请你利用上面的结论,再完成下面两题:
(1)计算(-2)99+(-2)98+(-2)97+?+(-2)+1的值;
(2)若x3+x2+x+1=0,求x2 021的值.
答案
9.【解析】　x2 022-1
(1)(-2)99+(-2)98+(-2)97+?+(-2)+1
=(-2-1)·(?2)99+(?2)98+?+(?2)+1?3
=1?21003.
(2)∵(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,x3+x2+x+1=0,
∴x4=1,则x=±1.
∵x3+x2+x+1=0,∴x<0,
∴x=-1,∴x2 021=-1.
?
专项2　整式乘法常考的
五种类型
1.计算:x(x+3)-(x+1)(x-3)+(2x+1)(x-1).
答案
1.【解析】　x(x+3)-(x+1)(x-3)+(2x+1)(x-1)
=x2+3x-(x2-2x-3)+(2x2-x-1)
=x2+3x-x2+2x+3+2x2-x-1
=2x2+4x+2.
类型1 直接计算
2.先化简,再求值:(x-2)(x+1)-2(x-3)(x+2),其中x=-3.
答案
2.【解析】　(x-2)(x+1)-2(x-3)(x+2)
=(x2+x-2x-2)-2(x2+2x-3x-6)
=x2+x-2x-2-2x2-4x+6x+12
=-x2+x+10.
当x=-3时,
原式=-9-3+10=-2.
类型2 化简求值
3.解不等式:2x-(x-5)(x+1)>x(1-x)+3.
答案
3.【解析】　2x-(x-5)(x+1)>x(1-x)+3,
2x-(x2-4x-5)>x-x2+3,
2x-x2+4x+5>x-x2+3,
5x>-2,
解得x>-25.
?
类型3 解方程或不等式
4.已知(x+a)(x2-x+c)化简后不含x2项和x项,求a,c的值.
答案
4.【解析】　∵(x+a)(x2-x+c)
=x3-x2+cx+ax2-ax+ac
=x3+(a-1)x2+(c-a)x+ac,
(x+a)(x2-x+c)化简后不含x2项和x项,
∴a-1=0,c-a=0,
解得a=1,c=1.
类型4 求“不含项”问题中字母的值
5.在整式乘法的学习中,我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题,借助直观、形象的几何图形,加深对整式乘法的认识和理解,感悟代数与几何的内在联系.现有边长分别为a,b的正方形Ⅰ号卡片和Ⅱ号卡片,以及长为a、宽为b的长方形Ⅲ号卡片(如图),卡片足够多,我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形.(卡片间不重叠、无缝隙)
?
根据已有的学习经验,解决下列问题:
(1)如图是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的正方形,那么这个几何图形的面积可以表示的等式是　 ;?
(2)小聪同学用x张Ⅰ号卡片、y张Ⅱ号卡片、z张Ⅲ号卡片拼出了一个长为5a+b、宽为a+3b的长方形,那么x+y+z=
　　　　;?
类型5 几何图形的面积与代数恒等式
(3)小明同学写出一个代数恒等式(a+2b)(2a-b)=2a2+3ab-2b2,请你用所给卡片拼接成几何图形,并用面积来解释这个等式的正确性.
类型5 几何图形的面积与代数恒等式
答案
5.【解析】　(1) (a+b)2=a2+2ab+b2
(2)24
∵长方形的面积为xa2+yb2+zab=(5a+b)(a+3b)=5a2+15ab+ab+3b2=5a2+16ab+3b2,∴x=5, y=3,z=16,∴x+y+z=24.
(3)如图,阴影部分是一个长方形,相邻两边长分别是a+2b和2a-b,其面积是(a+2b)(2a-b).同时阴影部分也可看作是2个边长为a的正方形与4个长为a、宽为b的长方形拼接后再挖去1个长为a、宽为b的长方形和2个边长为b的正方形得到的图形.其面积可记为2a2+ 4ab-ab-2b2=2a2+3ab-2b2.从而得到代数恒等式(a+2b)(2a-b)=2a2+3ab-2b2.
课时1　两数和乘以这两数的差
12.3　乘法公式
1.易错题[2021广东深圳期末]给出下列各式:①(a-b)(b+a);②(a-b)(-a-b);③(-a-b)(a+b);④(a-b)(-a+b).其中能用平方差公式计算的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点1 平方差公式的认识
答案
1.B　【解析】　因为(a-b)(b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2,(a-b)(-a-b)=(-b+a)(-b-a)=b2-a2,(-a-b)(a+b)=-(a+b)(a+b),(a-b)(-a+b)=
-(a-b)(a-b),所以只有①②两个能用平方差公式计算.故选B.
2.在运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算(-x+2 020)(-x-2 020)时,　　　　相当于公式里的a,　　　　相当于公式里的b,计算的结果是　　　　.?
知识点1 平方差公式的认识
答案
2.-x　2 020　x2-2 0202
3.[2021湖北武汉洪山区期末]如图,阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形,给出下列3种割拼方法,其中能够验证平方差公式的是 (　　)
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
知识点2 平方差公式的几何背景
答案
3.D　【解析】　在①中,阴影部分的面积相等,左边图形阴影部分的面积为a2-b2,右边图形中阴影部分的面积为(a+
b)(a-b),故可得a2-b2=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式;在②中,阴影部分的面积相等,左边图形阴影部分的面积为a2-b2,右边图形阴影部分的面积为12(2b+2a)·(a-b)=(a+b)(a-b),可得a2-b2=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式;在③中,阴影部分的面积相等,左边图形阴影部分的面积为a2-b2,右边图形阴影部分的面积为(a+b)·(a-b),可得a2-b2=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式.故选D.
?
4.[2020浙江杭州中考](1+y)(1-y)= (　　)
A.1+y2
B.-1-y2
C.1-y2
D.-1+y2
知识点3 利用平方差公式进行计算
答案
4.C
5.计算(2x3-3a)(-2x3-3a)的结果是 (　　)
A.-4x6-9a2
B.-4x6+9a2
C.-4x6-12ax3+9a2
D.-4x6+12ax3-9a2
知识点3 利用平方差公式进行计算
答案
5.B　【解析】　 (2x3-3a)(-2x3-3a)=-(2x3+3a)(2x3-3a)=-4x6+9a2.故选B.
6.引入新数i,已知i2=-1,那么(1+i)(1-i)的平方根是　　　　.?
知识点3 利用平方差公式进行计算
答案
6.±2 　【解析】　∵i2=-1,∴(1+i)(1-i)=1-i2=2,∴(1+i)·(1-i)的平方根是±2.
?
7.[2020浙江衢州中考]定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8.则(x-1)※x的结果为　　　　　.?
知识点3 利用平方差公式进行计算
答案
7.x2-1　【解析】　根据规定的运算,得(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-1.
8.计算:
(1)[2020湖南衡阳中考]b(a+b)+(a+b)(a-b);
(2)(2x-5)(-2x-5)-(x+3)(2x-1).
知识点3 利用平方差公式进行计算
答案
8.【解析】　(1)b(a+b)+(a+b)(a-b)
=ab+b2+a2-b2
=a2+ab.
(2)(2x-5)(-2x-5)-(x+3)(2x-1)
=(-5+2x)(-5-2x)-(x+3)(2x-1)
=(-5)2-(2x)2-(2x2-x+6x-3)
=25-4x2-(2x2+5x-3)
=25-4x2-2x2-5x+3
=-6x2-5x+28.
9.计算2 0202-2 019×2 021的结果是 (　　)
A.1
B.-1
C.2 020
D.2 022
知识点4 利用平方差公式进行数的简便运算
答案
9.A　【解析】　2 0202-2 019×2 021=2 0202-(2 020-1)×(2 020+1)=2 0202-2 0202+1=1.故选A.
10.利用平方差公式计算:
(1)197×203;　　 (2)4013×3923.
?
知识点4 利用平方差公式进行数的简便运算
答案
10.【解析】　(1)197×203
=(200-3)×(200+3)
=40 000-9
=39 991.
(2)4013×3923
=(40+13)×(40-13)
=402-(13)2
=1 59989.
?
11.[2020北京朝阳区期末]原有长方形绿地一块,现进行如下改造:将长减少2 m,将宽增加2 m.改造后得到一块正方形绿地,它的面积是原长方形绿地面积的2倍,则改造后正方形绿地的面积为　　　　m2.?
知识点5 平方差公式的应用
答案
11.8　【解析】　设改造后正方形绿地的边长为x m,则改造前长方形绿地的长是(x+2)m,宽是(x-2)m.根据题意得2(x+2)(x-2)=2(x2-4)=x2,可得x2=8.所以改造后正方形绿地的面积为8 m2.
12.求如图所示的长方体的体积.
知识点5 平方差公式的应用
答案
12.【解析】　(a+b)(a-b)(a2+b2)
=(a2-b2)(a2+b2)
=a4-b4.
所以题图中长方体的体积为a4-b4.
1.下列各式运算结果不等于m2-4n2的是 (　　)
A.(m-2n)(m+2n)
B.-(2n+m)(2n-m)
C.(-m-2n)(-m+2n)
D.(m+2n)(-m+2n)
答案
1.D　【解析】　易知A,B,C的运算结果均为m2-4n2,选项D,(m+2n)(-m+2n)=(2n+m)(2n-m)=4n2-m2≠m2-4n2.故选D.
2.若(5x+6y)(5x-6y)=ax2-by2,则a+b= (　　)
A.25
B.36
C.61
D.11
答案
2.C　【解析】　因为(5x+6y)(5x-6y)=25x2-36y2=ax2-by2,所以a=25,b=36,所以a+b=61.故选C.
3.[2020上海浦东新区期中]若x2-y2=-1,则(x-y)2 021·(x+y)2 021=　　　　.?
答案
3.-1　【解析】　(x-y)2 021·(x+y)2 021=[(x+y)(x-y)]2 021=(x2-y2)2 021=(-1)2 021=-1.
4.如果(2a+2b+1)(2a-1+2b)=63,那么a+b=　　　　.?
答案
4.±4　【解析】　设x=a+b,原式可变形为(2x+1)(2x-1)=63,则4x2-1=63,4x2=64,x2=16,x=±4,所以a+b=±4.
5.计算:
(1)(xn+2y)(xn-2y);
(2)(a-3)(a2+9)(a+3)-(a2+3)(a2-2).
答案
5.【解析】　(1)(xn+2y)(xn-2y)
=(xn)2-(2y)2
=x2n-4y2.
(2)(a-3)(a2+9)(a+3)-(a2+3)(a2-2)
=(a+3)(a-3)(a2+9)-(a4-2a2+3a2-6)
=(a2-9)(a2+9)-(a4+a2-6)
=a4-81-a4-a2+6
=-a2-75.
6.先化简,再求值:
(1)[2020山东济宁中考](x+1)(x-1)+x(2-x),其中x=12;
(2)(a+b)(a-b)+2a2,其中a=-1,b=-2.
?
答案
6.【解析】　(1)(x+1)(x-1)+x(2-x)
=x2-1+2x-x2
=2x-1.
当x=12时,
原式=2×12-1=0.
(2)(a+b)(a-b)+2a2
=a2-b2+2a2
=3a2-b2,
当a=-1,b=-2时,原式=3×(-1)2-(-2)2=-1.
?
7.小红家有一块L型菜地,要把L型菜地按如图所示(单位:m)的那样分成面积相等的两个梯形,然后种上不同种类的蔬菜.已知这两个梯形的上底都是a m,下底都是b m,高都是(b-a)m.
(1)请你计算小红家的菜地面积;
(2)当a=10,b=30时,菜地面积是多少?
答案
7.【解析】　(1)小红家的菜地面积为2×12×(a+b)×(b-a)=(b2-a2)(m2).
(2)当a=10,b=30时,
b2-a2=302-102=900-100=800,
所以当a=10,b=30时,菜地面积是800 m2.
?
素养提升
8.[2020浙江衢州期中]阅读材料,解决问题.
小明遇到下面一个问题:计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
经过观察,小明发现将原式进行适当的变形后可以出现两数和乘以这两数的差的结构,进而可以应用平方差公式解决问题,具体解法如下:
　(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2+1)(2-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1.
请你根据小明解决问题的方法,试着解决以下的问题.
(1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=　　　　.?
(2)化简:(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16).
答案
8.【解析】　(1)332?12
(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=12(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=332?12.
(2)当m≠n时,　(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)
=1?????????(m-n)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)
=????32?????32?????????;
当m=n时,　(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)
=2m·2m2·2m4·2m8·2m16
=32m31.
?
课时2　两数和(差)的平方
12.3　乘法公式
1.如图,大正方形的边长为a,若沿大正方形相邻的两边各剪去一个宽为b(a>b)的长方形,则剩下的正方形的边长为
　　　　,其面积可表示为　　　　;由于剪去的较大长方形的面积是ab,所以剩下的正方形面积还可表示为　　　;
综上,可以得到的一个等式是　　　　　　　　.?
知识点1 完全平方公式的几何背景
答案
1.a-b　(a-b)2　a2-2ab+b2　(a-b)2=a2-2ab+b2
2.[2021江苏常州外国语学校期中]下列各式中,能用完全平方公式计算的是 (　　)
A.(x-y)(x+y) B.(2x-y)(x+y)
C.(x-y)(2x-y) D.(x-y)(-x+y)
知识点2 完全平方公式
答案
2.D　【解析】　(x-y)(x+y)=x2-y2,用了平方差公式,(2x-y)(x+y)=2x2+xy-y2,用了多项式乘多项式的法则,(x-y)(2x-y)=2x2-3xy+y2,用了多项式乘多项式的法则,(x-y)(-x+y)=-(x-y)2=-x2+2xy-y2,能用完全平方公式计算.故选D.
3.[2020江苏南通期中]下列计算正确的是 (　　)
A.(x-y)2=x2-2xy-y2
B.(m+2n)2=m2+4n2
C.(-3x+y)2=3x2-6xy+y2
D.(12x+5)2=14x2+5x+25
?
知识点2 完全平方公式
答案
3.D　【解析】　(x-y)2=x2-2xy+y2,(m+2n)2=m2+4mn+4n2,(-3x+y)2=9x2-6xy+y2,(12x+5)2=14x2+5x+25.故选D.
?
4.[2020江西中考]计算:(a-1)2=　　　　　.?
知识点2 完全平方公式
答案
4.a2-2a+1
5.[2021四川宜宾期末]若x2-4x=1,则(x-2)2=　　　　　.?
知识点2 完全平方公式
答案
5.5　【解析】　∵x2-4x=1,∴(x-2)2=x2-4x+4=1+4=5.
6.计算:(a+b)(-a-b)=　　　　.?
知识点2 完全平方公式
答案
6.-a2-2ab-b2　【解析】　(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)=-a2-2ab-b2.
7.计算:
(1)(2x+3y)2; 　　(2)(-12m2+13n)2 .
?
知识点2 完全平方公式
答案
7.【解析】　(1)(2x+3y)2
=(2x)2+2×2x×3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2.
(2)解法一　(-12m2+13n)2
=(13n-12m2)2
=(13n)2-2×13n×12m2+(12m2)2
=19n2-13m2n+14m4.
?
知识点2 完全平方公式
答案
解法二　(-12m2+13n)2
=(-12m2)2+2×(-12m2)×13n+(13n)2
=14m4-13m2n+19n2.
?
8.利用完全平方公式计算:
(1)1022;　　　(2)9992.
知识点3 利用完全平方公式简化计算
答案
8.【解析】　(1)1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10 000+400+4
=10 404.
(2)9992
=(1 000-1)2
=1 0002-2×1 000×1+1
=1 000 000-2 000+1
=998 001.
9.[2021四川成都武侯区期中]若x2+y2=(x+y)2+A=(x-y)2-B,则A,B的数量关系为 (　　)
A.相等 B.互为相反数
C.互为倒数 D.无法确定
知识点4 完全平方公式的应用
答案
9.A　【解析】　x2+y2=(x+y)2+(-2xy)=(x-y)2-(-2xy),∴A=-2xy,B=-2xy,∴A=B.故选A.
10.[2021山西运城盐湖区月考]若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a,b的值分别为 (　　)
A.4,3 B.2,3
C.4,9 D.2,9
知识点4 完全平方公式的应用
答案
10.D　【解析】　(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a2x2+6axy+9y2=4x2+12xy+by2,故a2=4且6a=12,b=9,所以a=2,b=9.故选D.
11.[2020浙江杭州中考]设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P=　　　　　.?
知识点4 完全平方公式的应用
答案
11.-34　【解析】　(x+y)2=x2+2xy+y2=1,(x-y)2=x2-2xy+y2=4,两式相减,得4xy=-3,解得xy=-34,故P=-34.
?
12.如图,在边长为2a的正方形中央剪去一边长为a+2的小正方形(a>2),将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积是　　　　.?
知识点4 完全平方公式的应用
答案
12.3a2-4a-4　【解析】　(2a)2-(a+2)2=4a2-a2-4a-4=3a2-4a-4.
13.计算:
(1)(x+3y)(x-3y)-(x-y)2;
(2)(2x-y)(3x-2y)-(2x-3y)2.
知识点5 乘法公式的综合应用
答案
13.【解析】　(1)(x+3y)(x-3y)-(x-y)2
=x2-9y2-(x2-2xy+y2)
=x2-9y2-x2+2xy-y2
=2xy-10y2.
(2)(2x-y)(3x-2y)-(2x-3y)2
=6x2-4xy-3xy+2y2-(4x2-12xy+9y2)
=6x2-4xy-3xy+2y2-4x2+12xy-9y2
=2x2+5xy-7y2.
14.[2021云南昆明五华区期末]先化简,再求值:(2x-y)2-(x-3y)(x+3y)+4(xy-y2),其中x=-2,y=1.
知识点5 乘法公式的综合应用
答案
14.【解析】　(2x-y)2-(x-3y)(x+3y)+4(xy-y2)
=4x2+y2-4xy-(x2-9y2)+4xy-4y2
=4x2+y2-4xy-x2+9y2+4xy-4y2
=3x2+6y2.
当x=-2,y=1时,
原式=3×(-2)2+6×12
=12+6
=18.
1.易错题[2021四川遂宁期末]如果x2+(m-1)x+9是一个完全平方式,那么m的值是 (　　)
A.7 B.-7 C.-5或7 D.-5或5
答案
1.C　【解析】　∵x2+(m-1)x+9是一个完全平方式,∴(m-1)x=±2·x·3,∴m-1=±6,∴m=-5或7.故选C.
2.[2021江苏南通市启秀中学月考]若a+b=10,ab=11,则代数式a2-ab+b2的值是 (　　)
A.89 B.-89 C.67 D.-67
答案
2.C　【解析】　把a+b=10两边分别平方得(a+b)2=a2+b2+2ab=100,把ab=11代入得a2+b2=78,所以a2-ab+b2=78-11=67.故选C.
3.[2020江苏宿迁中考]已知a+b=3,a2+b2=5,则ab=　　　　　.?
答案
3.2　【解析】　因为a+b=3,所以(a+b)2=32,即a2+2ab+b2=9.因为a2+b2=5,所以2ab+5=9,所以ab=2.
4.若计算(x+a)(x-32)的结果中不含x项,则(a+2)2-(1-a)(-a-1)的值为　　　　.?
?
答案
4.11　【解析】　(x+a)(x-32)=x2+(a-32)x-32a,因为其结果中不含x项,所以a-32=0,所以a=32,所以(a+2)2-(1-a)(-a-1)=a2+4a+4-(a2-1)=4a+5=4×32+5=11.
?
5.如果3a2+4a-1=0,那么计算(2a+1)2-(a-2)(a+2)的结果是　　　　.?
答案
5.6　【解析】　(2a+1)2-(a-2)(a+2)=4a2+4a+1-(a2-4)=4a2+4a+1-a2+4=3a2+4a+5.∵3a2+4a-1=0,∴3a2+4a=1,∴(2a+1)2-(a-2)(a+2)=1+5=6.
6.计算:
(1)(x-1)2·(x+1)2·(x2+1)2 ; (2)[(a-12)2+(a+12)2](2a2-12).
?
答案
6.【解析】　(1)(x-1)2·(x+1)2·(x2+1)2
=[(x-1)(x+1)(x2+1)]2
=[(x2-1)(x2+1)]2
=(x4-1)2
=x8-2x4+1.
(2)[(a-12)2+(a+12)2](2a2-12)
=(a2-a+14+a2+a+14)(2a2-12)
=(2a2+12)(2a2-12)
=4a4-14.
?
7.已知4x=3y,求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值.
答案
7.【解析】　(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2
=x2-4xy+4y2-(x2-y2)-2y2
=-4xy+3y2,
当4x=3y时,原式=-3y2+3y2=0.
8.小明在计算(2a+b-1)2时,先将(2a+b-1)2转化为[2a+(b-1)]2,再利用完全平方公式进行计算.
(1)根据小明的方法计算(2a+b-1)2;
(2)请写出一种与小明不同的转化方式,并写出求解过程.
答案
8.【解析】　(1)(2a+b-1)2
=[2a+(b-1)]2
=(2a)2+2·2a·(b-1)+(b-1)2
=4a2+4ab-4a+b2-2b+1.
(2)不同的转化方式为[(2a+b)-1]2.(答案不唯一)
(2a+b-1)2
=[(2a+b)-1]2
=(2a+b)2-2·(2a+b)·1+1
=(2a)2+2·2a·b+b2-4a-2b+1
=4a2+4ab+b2-4a-2b+1.
素养提升
9.(1)请用“>”“<”或“=”填空:
①32+22　　2×3×2;?
②(-3)2+(-2)2　　2×(-3)×(-2);?
③52+52　　2×5×5;?
④(-2)2+(-2)2　　2×(-2)×(-2).?
(2)观察以上各式,请猜想a2+b2与2ab的大小关系.
(3)请你借助完全平方公式证明你的猜想.
答案
9.【解析】　(1)①>;②>;③=;④=
(2)a2+b2≥2ab.
(3)∵(a-b)2≥0,∴a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab.
10.[2020江苏南京金陵中学河西分校期中]【阅读理解】已知x满足(70-x)(x-50)=30,求(70-x)2+(x-50)2的值.
解:设70-x=a,x-50=b,则(70-x)(x-50)=ab=30,a+b=(70-x)+(x-50)=20,(70-x)2+(x-50)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340.
【解决问题】
(1)若x满足(40-x)(x-30)=-20,则(40-x)2+(x-30)2的值为　　　　　;?
(2)若x满足(2x-3)(x-1)=94,则(3-2x)2+4(x-1)2的值为　　　　　;?
(3)如图,正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD的面积是200,四边形NGDH和MEDQ都是正方形,四边形PQDH是长方形,求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体的数值).
?
答案
10.【解析】　(1)140
设40-x=a,x-30=b,则(40-x)(x-30)=ab=-20,a+b=(40-x)+(x-30)=10,(40-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×(-20)=140.
(2)10
设2x-3=a,x-1=b,则(2x-3)(x-1)=ab=94,-a+2b=(3-2x)+2(x-1)=1,(3-2x)2+4(x-1)2=(-a)2+4b2=(-a+2b)2+4ab=1+9=10.
(3)长方形EFGD的面积为(x-14)(x-30)=200,
设x-14=a,x-30=b,
则(x-14)(x-30)=ab=200,
a-b=(x-14)-(x-30)=16,
所以阴影部分的面积为(a+b)2=(a-b)2+4ab=162+4×200=1 056.
?
课时1　单项式除以单项式
12.4　整式的除法
1.计算2x8÷x4的结果是 (　　)
A.x2
B.2x2
C.2x4
D.2x12
知识点1 单项式除以单项式
答案
1.C　【解析】　2x8÷x4=(2÷1)x8-4=2x4.故选C.
单项式除以单项式的注意事项
　　(1)单项式除以单项式时,将系数、相同字母的幂分别相除;(2)两个单项式相除时,不要漏掉前面的符号;(3)两个相同但不等于 0的单项式相除,结果是1.
名师点睛
2.易错题[2021吉林长春宽城区月考]计算-4a4÷2a2的结果是 (　　)
A.-2a2 B.2a2
C.2a3 D.-2a3
知识点1 单项式除以单项式
答案
2.A　【解析】　-4a4÷2a2=(-4÷2)a4-2=-2a2.故选A.
3.[2020山东临沂中考]计算(-2a3)2÷a2的结果是 (　　)
A.-2a3 B.-2a4 C.4a3 D.4a4
知识点1 单项式除以单项式
答案
3.D　【解析】　(-2a3)2÷a2=4a6÷a2=4a4.故选D.
4.[2021甘肃庆阳期末]如果一个单项式与-5ab的积为-58a2bc,则这个单项式为 (　　)
A.18a2c B.18ac C.258a3b2c D.258ac
?
知识点1 单项式除以单项式
答案
4.B　【解析】　设这个单项式为A,由题意得,A·(-5ab)=-58a2bc,所以A=(-58a2bc)÷(-5ab)=18ac.故选B.
?
5.易错题计算:6a2b÷2a=　　　　.?
知识点1 单项式除以单项式
答案
5.3ab　【解析】　6a2b÷2a=(6÷2)a2-1b=3ab.
6.[2021北京西城区期末]计算:10a2b3÷(-5ab3)=　　　　　.?
知识点1 单项式除以单项式
答案
6.-2a
7.[2021辽宁盘锦大洼区月考]计算:(-2ab2)3÷4a3b2=　　　　　.?
知识点1 单项式除以单项式
答案
7.-2b4　【解析】　(-2ab2)3÷4a3b2=-8a3b6÷4a3b2=-2b4.
8.一个平行四边形的面积是121y18z16,若它的底是11y10z5,则该底边上的高为　　　　.?
知识点1 单项式除以单项式
答案
8.11y8z11　【解析】　121y18z16÷(11y10z5)=11y8z11.
9.计算:
(1)(4x2y)3÷x3y2;
(2)100(ab)6c2÷(-5a2b)2.
知识点1 单项式除以单项式
答案
9.【解析】　(1)(4x2y)3÷x3y2
=64x6y3÷x3y2
=64x6-3y3-2
=64x3y.
(2)100(ab)6c2÷(-5a2b)2
=100a6b6c2÷25a4b2
=(100÷25)a6-4b6-2c2
=4a2b4c2.
10.一个单项式与-24xn-1yn-1z2的积为48xnyn+1z2,求这个单项式,并求出当x=12,y=4,z=2 020时此单项式的值.
?
知识点1 单项式除以单项式
答案
10.【解析】　 ∵一个单项式与-24xn-1yn-1z2的积为48xnyn+1z2,
48xnyn+1z2÷(-24xn-1yn-1z2)=-2xy2,
∴这个单项式为-2xy2,
当x=12,y=4,z=2 020时,-2xy2=-2×12×42=-16.
?
11.计算3x2y·2x3y2÷xy3的结果是 (　　)
A.5x5
B.6x4
C.6x5
D.6x4y
知识点2 单项式的乘、除混合运算
答案
11.B　【解析】　3x2y·2x3y2÷xy3=6x5y3÷xy3=6x4.故选B.
12.计算:
(1)(-y3)5÷(y2)5·y2;
(2)(13a2b)2·(-9ab3)÷(-12a4b2);
(3)7x5y4÷[(-7x2y)·(-13x2y2)].
?
知识点2 单项式的乘、除混合运算
答案
12.【解析】　(1)(-y3)5÷(y2)5·y2
=(-y15)÷y10·y2
=(-y5)·y2
=-y7.
知识点2 单项式的乘、除混合运算
答案
(2)(13a2b)2·(-9ab3)÷(-12a4b2)
=19a4b2·(-9ab3)÷(-12a4b2)
=-a5b5÷(-12a4b2)
=2ab3.
(3)7x5y4÷[(-7x2y)·(-13x2y2)]
=7x5y4÷73x4y3
=3xy.
?
1.下列计算正确的是 (　　)
A.18ab2÷6ab=3ab
B.12x3y5÷(-6x3y5)=-2x3y5
C.-32(a2b)3÷(-2ab)3=16a3
D.(5x2y3)3÷(-5xy)2=5x4y7
答案
1.D　【解析】　选项A应为18ab2÷6ab=3b;选项B应为12x3y5÷(-6x3y5)=-2;选项C应为-32(a2b)3÷(-2ab)3=-32a6b3÷
(-8a3b3)=4a3;选项D,(5x2y3)3÷(-5xy)2=125x6y9÷25x2y2=5x4y7,正确.故选D.
2.若xmyn÷14x3y=4x2y,则m,n满足 (　　)
A.m=6,n=1
B.m=6,n=0
C.m=5,n=0
D.m=5,n=2
?
答案
2.D　【解析】　∵xmyn÷14x3y=(1÷14)xm-3yn-1=4xm-3yn-1=4x2y,∴m-3=2,n-1=1,解得m=5,n=2.故选D.
?
3.在等式6a2·(-b3)2÷(　)=23中,括号内应填入的是 (　　)
A.9a2b6
B.-9a2b6
C.-9a2b5
D.9a2b5
?
答案
3.A　【解析】　因为6a2b6÷23=9a2b6,所以括号内应填入的是9a2b6.故选A.
?
4.太阳的质量约是2.1×1030 千克,地球的质量约是6×1024千克,则太阳质量约是地球质量的　　　　倍.?
答案
4.3.5×105　【解析】　太阳质量约是地球质量的(2.1×1030)÷(6×1024)=3.5×105(倍).
5.已知长方体的体积为3a3b5 cm3,它的长为ab cm,宽为32ab2 cm,则这个长方体的高为　　　　cm.?
?
答案
5.2ab2　【解析】　3a3b5÷(ab·32ab2)=3a3b5÷32a2b3=2ab2,故这个长方体的高为2ab2 cm.
?
6.计算:
(1)15x7y2z4÷(3x4yz3·4x2y);
(2)(-13x2y3)3÷(16xy4)2·y2;
(3)xm+2y2n+3÷(-6xm+1yn+2)·(-12x5yn).
?
答案
6.【解析】　(1)15x7y2z4÷(3x4yz3·4x2y)
=15x7y2z4÷12x6y2z3
=54xz.
(2)(-13x2y3)3÷(16xy4)2·y2
=-127x6y9÷136x2y8·y2
=-43x4y·y2
=-43x4y3.
?
答案
(3)xm+2y2n+3÷(-6xm+1yn+2)·(-12x5yn)
=-16xm+2-(m+1)y2n+3-(n+2)·(-12x5yn)
=-16xyn+1·(-12x5yn)
=2x6y2n+1.
?
7.[2021辽宁葫芦岛期末]先化简,再求值:(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2,其中ab=-12.
?
答案
7.【解析】　(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2
=4-a2+a2-5ab+3a5b3÷a4b2
=4-5ab+3ab
=4-2ab.
当ab=-12时,原式=4-2×(-12)=5.
?
8.某机械厂生产某种零件,第一道工序需要将每根长100 cm、底面半径为r cm的圆钢锻造成底面半径为2r cm的圆钢,锻造后的圆钢长多少厘米?
答案
8.【解析】　100πr2÷[π(2r)2]=100πr2÷4πr2=25,
所以锻造后的圆钢长25 cm.
素养提升
9.观察给出的一列单项式:-2a,4a2,8a3,16a4,-32a5,?.
(1)任取相邻的两个单项式,用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式,计算其结果;
(2)将第2 020个单项式记为M,第2 021个单项式记为N,计算N÷(a·M)的值.
答案
9.【解析】　(1)如:4a2÷(-2a)=-2a.(答案不唯一)
(2)∵-2a,4a2,-8a3,16a4,-32a5,?,
∴第n个单项式为 (-2)nan,
∴第2 020个单项式M=(-2)2 020a2 020,第2 021个单项式N=(-2)2 021a2 021,
∴N÷(a·M)=(-2)2 021a2 021÷[a·(-2)2 020a2 020]=-2.
课时2　多项式除以单项式
12.4　整式的除法
1.计算(3ab-2a)÷a等于 (　　)
A.a
B.b
C.3b-2
D.3b-2a
知识点1 多项式除以单项式
答案
1.C　【解析】　(3ab-2a)÷a=3ab÷a-2a÷a=3b-2.故选C.
多项式除以单项式的注意事项
　　根据多项式除以单项式的法则可知,多项式除以单项式要转化为单项式除以单项式,在这个转化过程中,一定要注意,商的各项的符号由多项式各项的符号与单项式的符号来确定.另外,多项式除以单项式所得的商的项数与这个多项式的项数相同.
名师点睛
2.[2021河南郑州期中]下列计算正确的是 (　　)
A.10a4b3c2÷5a3bc=ab2c
B.(a2bc)2÷abc=a
C.(9x2y-6xy2)÷3xy=3x-2y
D.(6a2b-5a2c)÷(-3a2)=-2b-53c
?
知识点1 多项式除以单项式
答案
2.C　【解析】　10a4b3c2÷5a3bc=2ab2c,(a2bc)2÷abc=a4b2c2÷abc=a3bc,(9x2y-6xy2)÷3xy=3x-2y,(6a2b-5a2c)÷(-3a2)=-2b+
53c.故选C.
?
3.[2021河南开封期中]如果a=34,那么代数式(28a3-28a2+7a)÷7a的值是 (　　)
A.254 B.14 C.-94 D.-4
?
知识点1 多项式除以