因式分解法解一元二次方程及一元二次方程的应用导学案

因式分解法解一元二次方程导学案
【学习目标】
1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法。
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性。
一、【自主学习】（温馨提示）
1、请自学课本P59-61，掌握用分解因式法解一元二次方程的步骤,注意理解每一步变形的依据。
2、思考解方程的解法中那一个做得对？为什么？
解法1：原方程可化为：，解得即
解法2：方程两边同除以x得
解法3：原方程可化为：，即所以因此
说明：当一元二次方程的一边为0时，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，这种解体的方法被称为分解因式法
3、特别注意理解ab=0 那么a=0　或　b=0(a、b为因式)。
用因式分解法来解一元二次方程，其关键是什么
用因式分解法来解一元二次方程必须要先化为一般形式吗？
二、合作探究（牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！）
（一）1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
1）方程右边化为 。
2) 将方程左边分解成两个 的乘积。
3) 至少 因式为零，得到两个一元一次方程。
4) 两个 就是原方程的解。　
2．一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为 和 ，方程的根是 .
3．方程3x2=0的根是 ，方程(y-2)2=0的根是 ，方程(x+1)2=4(x+1)的根是 .
（二）有效训练
1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
A.只有一个根x= B.只有一个根x=0 C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=-
2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ）
A.x=1或x=-2 B.必须x=1 C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2
3、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ）
A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0
4、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。
5、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x-1）（x ）=0
6、方程x2=x的根为（ ）A.x=0 B. x1=0,x2=1 C. x1=0,x2=-1 D. x1=0,x2=2
7.试一试 1）（x+2）（x-4）=0 2）x2－4=0
3）（x+2）2-25=0 4）4x(2x+1)=3(2x+1)
课堂小测 （新知识你都掌握了吗？显显身手吧）
1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.
2.方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x1=__________,x2=__________.
4.用因式分解法解一元二次方程
（1）（x+2）2=2x+4 （2） （2x-1）2=（3-x）2
5.适当的方法解下列方程
（1）（2x+1）2+3（2x+1）=0 （2）（3x-1）2=1；
一元二次方程的应用导学案
第1课时 面积问题
学习目标
⑴通过建立一元二次方程的数学模型，使学生综合运用一元二次方程的知识解决实际问题.
⑵通过实际操作，培养学生分析解决实际问题的能力. 增强数学应用与数学建模意识.
教学内容及过程
一．创设情景，问题牵引
（1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？
（2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系呢？
（3）现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？
预设：
①若设裁去的四个正方形的边长为x
②底面的长和宽能否用含x的代数式表示？（用虚线画出纸盒的底面）
③你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？
④请每位同学自己检验两根，发现什么？
二．合作讨论，探索新知（先自主学习P62页内容，后小组讨论展示）
今天请大家为美化我们的校园献计献策：我们学校要在一块长16、宽12的矩形土地上建造一个花园，并使花园所占面积为矩形土地面积的一半。你能给出设计方案吗？
预设
①你认为小明的结果对吗？为什么？
你能帮小亮求出图7—6中的X吗？
你还有其他设计方案吗？与同伴进行交流。
三．以易带难,转化问题
某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m.
（1）鸡场的面积能达到180m2吗 能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
四．实战反馈，形成能力
八年级下册数学课本的封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
五．回顾总结,反思提高
通过这节课的学习大家都有哪些收获和疑问？利用今天的方法还可以解决生活中的哪些问题 请举一例．
六、课堂检测
在一幅长90m宽40m的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，若要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？
第2课时 增长率问题
学习目标：
会根据题意找出增长率问题中蕴含的基本等量关系
找出题目中的增长(降低)前的数据、增长（降低）后的数据，得到：增长后的产量＝增长前的产量（1+增长率）次数
正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意
教学内容及过程
一、探究问题
1、小明的零花钱一月份是50元，
二月份家长多给了10%，二月份零花钱是多少？
三月份又多给了10%，那么三月份的零花钱是多少？-------------------------
三个月共多少零花钱？----------------------
2、 小明的零花钱一月份是50元，
二月份家长多给了x%，二月份零花钱是多少？------------------
三月份又多给了x%，那么三月份的零花钱是多少？-------------------------
三个月共多少零花钱？----------------------------------
3、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么
二月份比一月份增产个？_________________ ______________
增长率是 ______________ _________________ 。
4、我市前年汽车有3万辆，据统计每年增长a%，
去年我市汽车有的（ ）辆，
今年我市汽车有的（ ）辆
小组交流总结规律：（1）n年后我市汽车有多少？
某种药品原价是100元，本月降价10%，现价是——————
下月再降价10%，价格是多少_______________________________
6、某商品原价是100元，经过2次降价现价64元，每次降价的百分比相同，问每次降价的百分比是多少？_______________________________
综合上面4题，你们总结一下增长和降低问题的公式：
二、自我检测：（只解、设、列方程）
1、我市前年汽车有3万辆，每年都在增长，今年达到了6.75万辆，如果每年的增长率相等，那么增长率是多少？
2、商品原价是a元，降价两次（百分比相同）后是b元，求降低率
3、2008年,张老师在中国农业银行按定期自动转存一年的方式,存入1000元,两年后,即2010年他连本带利取得了1100元,利息不扣税, ,问定期一年的年利率是多少
三、交流展示：（先自主学习P62页内容，后小组讨论展示）
例1机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因。为解决这一问题,某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车（成为环保汽车）。按计划，该是今年两年内将使全市的这种环保汽车有目前的325辆增加到637辆，求这种环保汽车平均每年增长的百分率。
解：设这种环保汽车平均每年增长的百分率为x，根据题意，得
四、巩固练习：
1、小明家承包的土地前年的粮食产量是50吨，前年、去年、今年的总产量是175吨。小明家去年、今年平均每年的粮食产量增长率是多少？（精确到1﹪）
2、某种商品两次降价后，每盒售价从6.4元降到4.9元，平均每次降价百分之几？
3、某公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签定的合同约定两年到期是一次性还本付息，利息为本金的8%，该产品很畅销，使公司在两年到期是还清本金和利息外，还盈余72万元，若公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
五、交流你本节课的收获：求平均增长率的步骤：
第1步：设平均增长率为X；
第2步：利用原有产量与平均增长率X表示历次的产量；
第3步：根据题目的相等关系，列出方程；
第4步：解方程，求出X；
第5步：检验所求结果，做出答案。
六、测试：
农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，平均每年增长的百分率是多少？
第3课时 利润问题
学习目标：
1、会根据题意找出销售利润问题中蕴含的基本等量关系。
2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数式表示出来。
3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。
学习过程：
一、探索规律（列出算式不计算）
1、某商品每件进价30元，售价40元，可得利润 元。
（1）若涨价2元，则售价 元，利润 元。
（2）若涨价3元，则售价 元，利润 元。
（3）若涨价x元，则售价 元，利润 元。
（4）若降价x元，则售价 元，利润 元。
小组交流总结：
一件商品的利润=
如果该商品发生涨价或降价的变化，那么每件商品的利润=
2、某商品原来每天可销售80件，后来进行价格调整。
（1）市场调查发现，该商品每降价3元，商场平均每天可多销售2件。
①如果降价3元，则多卖 件，每天销售量为 件。
②如果降价9元，则多卖 件，每天销售量为 件。
③如果降价x元，则多卖 件，每天销售量为 件。
（2）市场调查发现，该商品每涨价1元，商场平均每天可少销售2件。
①如果涨价2元，则少卖 件，每天销售量为 件。
②如果涨价3元，则少卖 件，每天销售量为 件。
③如果涨价x元，则少卖 件，每天销售量为 件。
小组交流总结：
价格调整后商品的销售量=
二、自学检测
1、某品牌服装每件进价a元，售价b元，降价x元后则每件利润为 元。
2、商场销售某品牌服装，每天售出a件。调查发现，该服装每涨价2元，商场平均每天可少销售m件，如果涨价x元则商场平均每天可销售
件。
三、交流展示
1、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润每天达到5000元，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱的定价应为多少元？
（1）根据题意完成下表：
每台利润（元） 每天销售量（台） 总利润（元）
降价前
降价50元
降价100元
降价x元
（2）根据上表的分析，列方程解答：
（3）若只求“每台冰箱的定价应为多少元？”你认为该怎样解答？说说你的思路。
2、某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。应涨价多少元才能实现平均每月10000元的销售利润？这时商场应进台灯多少个？
四、巩固练习
1、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，每张贺年卡进价0.5元，以0.8元出售，平均每天可售出500张。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
2某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种植一些桃树以提高产量试验发现，每多种植一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个桃子，如果要使产量增加15、2℅，那么应多种植多少棵桃树？
五、畅谈收获：
1、你学会了哪些知识？ 2、本节课你对自己表现的评价？
六、课堂检测
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，则每天
可多销售5件。如果要盈利1600元每件应降价多少元？