空间中直线与直线的位置关系
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文档简介
(共54张PPT)
复习引入
新课讲解
例题选讲
课堂练习
课堂小结
A
B
C
D
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
相交直线
（有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
两路相交
高架桥
立交桥中, 两条路线AB, CD
a
b
o
a
b
既不平行，又不相交
NEXT
BACK
A
B
C
D
六角螺母
NEXT
BACK
NEXT
BACK
两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.
注1
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
a
b
a
b
NEXT
BACK
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子。
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
a
b
a
A
b
b
(1)
(3)
(2)
NEXT
BACK
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线
平行直线
不同在任何一个
平面内:
异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
NEXT
BACK
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ ）
A、 共面
B、异面
C、可能共面也可能异面
D、既不共面也不异面
3、“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ
③ a 平面 ，b 平面
④ 不存在平面 ，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是（ ）
（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④
注意： ②中不能误认为分别在不同平面内的两直线就是异面直线.如：
两条直线不同在任何一个平面内.
1、两条直线a，b分别和异面直线c，d相交，则直线a，b的位置关系是( )
（A）一定是异面直线
（B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线,还可能是平行直线
2、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
（A）平行 （B）相交
（C）异面 （D）相交或异面
3、异面直线a，b满足a ，b ， ∩ =l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
（A）l与a，b都相交
（B）l至少与a，b中的一条相交
（C）l至多与a，b中的一条相交
（D）l至少与a，b中的一条平行
(
)
1
(
)
2
(
)
3
下图长方体中
平行
相交
异面
直线与直线的位置关系.gsp
旋转长方体
② BD 和B’D’是 直线
① A’C 和B D’ 是 直线
③BD’ 和DC是 直线
B
A
C
D
A’
B’
D’
C’
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条
4
分别是 ：CC’、DD’、B’C’、A’D’
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线
(1)说出以下各对线段的位置关系
NEXT
BACK
例题选讲
例1
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对
F
H
C
B
E
D
G
A
还原正方体
三
NEXT
BACK
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
NEXT
BACK
异面直线的画法
用平面来衬托
a
b
c
e
d
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及
边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
NEXT
BACK
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例2： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
欲证EFGH是一个平行四边形
需要满足EH∥FG且EH＝FG
连结BD ，E，F，G，H分别是各边中点
A
B
D
E
F
G
H
C
需要：
EH ∥BD且EH ＝ BD
FG ∥BD且FG ＝ BD
解题思想：
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
A
B
D
E
F
G
H
C
例2 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形
E
H
F
G
A
B
C
D
分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且
求证:四边形ABCD为梯形.
A
B
C
D
E
H
F
G
分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。
㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 , ∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何
答:从图中可看出,
∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
已知角α的两边与角β的两边分别平行，则当角α为30 时,角β为多少度
O
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
NEXT
BACK
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线
互相平行．
空间中，如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
预习“异面直线所成的夹角”
教材第51页习题2.1A组第3题
教材第52页习题2.2B组第1题
《学法大视野》第19页第1、
2、5、6、8题。
我们都有自己的奔跑路线，即使是“异面直线”，一样会拥有各自的精彩！
BACK
异面直线的判别3：
过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”，若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此，必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有效的好方法。
异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出 矛盾即可。
定理法：即用判定定理，用该方法证
明时，必须阐述定理满足的条件：
然后可以推出
例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
四、例题分析：
求异面直线所成的角的一般步骤是：
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；
(3)计算。
[即：要求先证，要证先作。]
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
O1
M
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
F1
E
F
E1
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
解法二（补形法）：
说明：1.异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 2.当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90 ，也是不可忽视的办法。
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思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
解答： 如图
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b ′
a′
O
∠1
a
a″
b
∠2
答 :
这个角的大小与O点的位置无关.
巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使
它们成为：⑴平行直线； ⑵相交直线； ⑶异面直线。
a
b
α
β
α
β
b
a
α
β
b
a
1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ ）
A、 共面
B、异面
C、可能共面也可能异面
D、既不共面也不异面
3、“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ
③ a 平面 ，b 平面
④ 不存在平面 ，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
注意：不能误认为分别在不同平面内的两直线 就是异面直线.如：
1、两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a， b的位置关系是( )
（A）一定是异面直线
（B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线
2、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一 条的位置关系是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
3、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
（A）异面 （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能
4、异面直线a，b满足a ，b ， ∩ =l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
（A）l与a，b都相交
（B）l至少与a，b中的一条相交
（C）l至多与a，b中的一条相交
（D）l至少与a，b中的一条平行
(
)
1
(
)
2
(
)
3
异面直线的判定定理：
过平外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”，若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此，必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有效的好方法。
异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出 矛盾即可。
定理法：即用判定定理，用该方法证明时，必须阐述定理满足的条件： 然后可以推出
3.异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢
A
B
G
F
H
E
D
C
O
(2)问题提出
(1)复习回顾
NEXT
BACK
五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：
（1）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为θ；
（2）选取适当的三角形（θ为其一个内角），通过解
三角形求得θ的值；
（3）异面直线所成的角的范围是 0＜θ≤900，尽量用
余弦定理；
（4）若余弦值为负，则θ为其补角；
（5）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。
归纳为：①作辅助线找角；②指出角（或其补角）；③求角（解三角形）；④结论。
(3)解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
a
b
b ′
a′
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
NEXT
BACK
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o
o
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
a ″
在求作异面直线所成的角时,O点
常选在其中的一条直线上
(如线段的端点,线段的中点等)
A
B
G
F
H
E
D
C
例2
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
o
o
NEXT
BACK
O
连接HA、AF，
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30
o
(2)连接FH，
所以FO与BD所成的夹角是30
o
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
∵HD EA，EA FB ∴HD FB
∥
=
∥
=
∥
=
则AH=HF=FA
∴ △AFH为等边△
NEXT
BACK
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度
解答：
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45
o
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60
o
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5.课堂练习
A
B
G
F
H
E
D
C
2
例3.
如图，正方体中，
A1B1与C1C所成的角
AD与B1B所成的角
A1D与BC1所成的角
D1C与A1A所成的角
A1D与AC所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
6.课堂小结
NEXT
BACK
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线的求法:
一作(找)二证三求
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
异面直线所成的角
平移，转化为相交直线所成的角
作业：
P56：4,6
复习引入
新课讲解
例题选讲
课堂练习
课堂小结
A
B
C
D
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
相交直线
（有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
两路相交
高架桥
立交桥中, 两条路线AB, CD
a
b
o
a
b
既不平行，又不相交
NEXT
BACK
A
B
C
D
六角螺母
NEXT
BACK
NEXT
BACK
两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.
注1
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
a
b
a
b
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练习1：在教室里找出几对异面直线的例子。
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
a
b
a
A
b
b
(1)
(3)
(2)
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按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线
平行直线
不同在任何一个
平面内:
异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ ）
A、 共面
B、异面
C、可能共面也可能异面
D、既不共面也不异面
3、“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ
③ a 平面 ，b 平面
④ 不存在平面 ，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是（ ）
（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④
注意： ②中不能误认为分别在不同平面内的两直线就是异面直线.如：
两条直线不同在任何一个平面内.
1、两条直线a，b分别和异面直线c，d相交，则直线a，b的位置关系是( )
（A）一定是异面直线
（B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线,还可能是平行直线
2、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
（A）平行 （B）相交
（C）异面 （D）相交或异面
3、异面直线a，b满足a ，b ， ∩ =l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
（A）l与a，b都相交
（B）l至少与a，b中的一条相交
（C）l至多与a，b中的一条相交
（D）l至少与a，b中的一条平行
(
)
1
(
)
2
(
)
3
下图长方体中
平行
相交
异面
直线与直线的位置关系.gsp
旋转长方体
② BD 和B’D’是 直线
① A’C 和B D’ 是 直线
③BD’ 和DC是 直线
B
A
C
D
A’
B’
D’
C’
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条
4
分别是 ：CC’、DD’、B’C’、A’D’
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线
(1)说出以下各对线段的位置关系
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例题选讲
例1
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对
F
H
C
B
E
D
G
A
还原正方体
三
NEXT
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不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
NEXT
BACK
异面直线的画法
用平面来衬托
a
b
c
e
d
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及
边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
NEXT
BACK
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例2： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
欲证EFGH是一个平行四边形
需要满足EH∥FG且EH＝FG
连结BD ，E，F，G，H分别是各边中点
A
B
D
E
F
G
H
C
需要：
EH ∥BD且EH ＝ BD
FG ∥BD且FG ＝ BD
解题思想：
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
A
B
D
E
F
G
H
C
例2 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形
E
H
F
G
A
B
C
D
分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且
求证:四边形ABCD为梯形.
A
B
C
D
E
H
F
G
分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。
㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 , ∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何
答:从图中可看出,
∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
已知角α的两边与角β的两边分别平行，则当角α为30 时,角β为多少度
O
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
NEXT
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公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线
互相平行．
空间中，如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
预习“异面直线所成的夹角”
教材第51页习题2.1A组第3题
教材第52页习题2.2B组第1题
《学法大视野》第19页第1、
2、5、6、8题。
我们都有自己的奔跑路线，即使是“异面直线”，一样会拥有各自的精彩！
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异面直线的判别3：
过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”，若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此，必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有效的好方法。
异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出 矛盾即可。
定理法：即用判定定理，用该方法证
明时，必须阐述定理满足的条件：
然后可以推出
例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
四、例题分析：
求异面直线所成的角的一般步骤是：
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；
(3)计算。
[即：要求先证，要证先作。]
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
O1
M
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
F1
E
F
E1
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
解法二（补形法）：
说明：1.异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 2.当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90 ，也是不可忽视的办法。
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思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
解答： 如图
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b ′
a′
O
∠1
a
a″
b
∠2
答 :
这个角的大小与O点的位置无关.
巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使
它们成为：⑴平行直线； ⑵相交直线； ⑶异面直线。
a
b
α
β
α
β
b
a
α
β
b
a
1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ ）
A、 共面
B、异面
C、可能共面也可能异面
D、既不共面也不异面
3、“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ
③ a 平面 ，b 平面
④ 不存在平面 ，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
注意：不能误认为分别在不同平面内的两直线 就是异面直线.如：
1、两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a， b的位置关系是( )
（A）一定是异面直线
（B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线
2、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一 条的位置关系是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
3、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
（A）异面 （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能
4、异面直线a，b满足a ，b ， ∩ =l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
（A）l与a，b都相交
（B）l至少与a，b中的一条相交
（C）l至多与a，b中的一条相交
（D）l至少与a，b中的一条平行
(
)
1
(
)
2
(
)
3
异面直线的判定定理：
过平外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”，若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此，必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有效的好方法。
异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出 矛盾即可。
定理法：即用判定定理，用该方法证明时，必须阐述定理满足的条件： 然后可以推出
3.异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢
A
B
G
F
H
E
D
C
O
(2)问题提出
(1)复习回顾
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五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：
（1）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为θ；
（2）选取适当的三角形（θ为其一个内角），通过解
三角形求得θ的值；
（3）异面直线所成的角的范围是 0＜θ≤900，尽量用
余弦定理；
（4）若余弦值为负，则θ为其补角；
（5）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。
归纳为：①作辅助线找角；②指出角（或其补角）；③求角（解三角形）；④结论。
(3)解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
a
b
b ′
a′
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
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异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o
o
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
a ″
在求作异面直线所成的角时,O点
常选在其中的一条直线上
(如线段的端点,线段的中点等)
A
B
G
F
H
E
D
C
例2
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
o
o
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O
连接HA、AF，
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30
o
(2)连接FH，
所以FO与BD所成的夹角是30
o
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
∵HD EA，EA FB ∴HD FB
∥
=
∥
=
∥
=
则AH=HF=FA
∴ △AFH为等边△
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求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度
解答：
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45
o
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60
o
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5.课堂练习
A
B
G
F
H
E
D
C
2
例3.
如图，正方体中，
A1B1与C1C所成的角
AD与B1B所成的角
A1D与BC1所成的角
D1C与A1A所成的角
A1D与AC所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
6.课堂小结
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公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线的求法:
一作(找)二证三求
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
异面直线所成的角
平移，转化为相交直线所成的角
作业：
P56：4,6