3.2.1（4）抽象函数的单调性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（Word含答案解析）

3.2.1（4）抽象函数的单调性
1．已知定义在false上的函数false对任意false，false，都有false，且当false时false．
（Ⅰ）求false（1）的值；
（Ⅱ）判断false的单调性；
（Ⅲ）若false（2）false，解不等式false．
解：（Ⅰ）令false，则false（1）false（1）false（1）false；
（Ⅱ）设false，则false，
false当false时false，
false，
false，
false为false上的减函数；
（Ⅲ）false（2）false，
false（4）false（2）false（2）false，
false（8）false（2）false（2）false，
false（8）false，
false，
false为false上的减函数，
false，
解得false．
false不等式false的解集为：false．
2．已知定义在false的函数false，对任意的false、false，都有false，且当false时，false．
（1）证明：当false时，false；
（2）判断函数false的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的false、false，false（a）false恒成立，求实数false的取值范围．
解：（1）false，
令false，
则false（1）false（1）false（1），
所以false（1）false，
再令false，
则false（1）false，
当false时，false．
false．
false
（2）任取false，false，且false，则false
false，所以false，则false，false，
false在false上是减函数，
（3）false（a）false恒成立，
false恒成立，
false在false上是减函数，
false，
false，当且仅当false取等号，
false实数false的取值范围false，false
3．函数false对任意false，false的都有false（a）false（b）false，且当false时false，
（1）求证：false是false上的增函数；
（2）若false，false（2）false，解不等式false．
解：（1）设false，则false，false，
所以false，即false，
故false是false上的增函数．
（2）因为false（4）false（2）false（2），所以false（4）false，
所以原不等式可等价于false（4）且false，即false，且false，
解得false，且false．
故不等式的解集为false且false．
4．已知定义在false上的函数false对任意的false，false，均有false，且当false时，false，false（3）false
（1）求证false；
（2）求证false在false上单调递减；
（3）若false，求false的值．
（1）证明：false对任意的false，false，均有false，
false，
若false，则false，这与false（3）false矛盾，
false成立；
（2）证明：令false，则false，
false时，false，
falsefalse，
false，
false，
falsefalse，
由（1）得：false，
false由函数的单调性的定义得：
false在false上单调递减；
（3）解：令false，则false（1）false（1），
即false（1）false或false（1）false（舍去），
又false（3）false，
falsefalse，
false，
false，
false在false上单调递减，
false．
5．定义在false上的函数false．对任意的false，false．满足：false（a）false（b），当false时，有false，其中false（1）false．
（1）求false，false的值；
（2）判断该函数的单调性，并证明；
（3）求不等式false的解集．
解：（1）根据题意，对任意的false，false，满足false（a）false（b）；
令false，false，则false（1）false（1），又由false（1）false，则false；
令false，false，则false（1）false，又由false（1）false，则false；
（2）false在false上单调递增；
任取false，false且false，则有false，则false，
false，
则false，
即函数false为增函数；
（3）根据题意，false（2）false（1）false（1）false，
则false（2）false，
解可得：false，
即不等式的解集为false．