3.2.1（5）二次函数中的恒成立问题-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（Word含答案解析）

3.2.1（5）二次函数中的恒成立问题
1．已知函数false．当false时，false恒成立，求false的取值范围．
解：由已知，若false时，false恒成立，所以△false，
即false，
所以false的取值范围为false，false．
2．若不等式false的解集为false，求实数false的取值范围．
解：当false时，原不等式可转化为false，解集为false，不合题意；
当false时，则false即false
解得 false
故false的取值范围为false．
3．已知函数false，若false，false时，false恒成立，求false的取值范围．
解：要使false恒成立，则函数在区间false，false上的最小值不小于0，设false的最小值为false（a）．
①当false，即false时，false（a）false，得false，故此时false不存在；
②当false，false，即false时，false（a）false，得false，
又false，故false；
③当false，即false时，false（a）false（2）false，
得false，又false，故false，综上得false．
4．已知函数false．
（1）证明：函数false至少有一个零点；
（2）对任意false，false，false恒大于零，求false的取值范围．
证明：（1）令false，false△false，false函数false至少有一个零点．
（2）令false，
当false时，false，不满足条件，舍去，
当false时，由题意得false，
即false，
解得：false或false，
综上所述：满足条件的false的取值范围为：false或false．5．（1）已知对任意false，false，函数false的值恒大于零，求false的取值范围．
（2）已知对任意false，false，函数false的值恒大于零，求false的取值范围．
解：（1）函数false的对称轴为false
①当false，即false时，
false的值恒大于0等价于false，解得false，
不存在符合条件的false；
②当false，即false时，
只要false
，即false，false分不存在符合条件的false；
③当false
，即false时，
只要false（1）false，即false，故有．
综上可知，当false时，对任意false，false，
函数false的值恒大于0．
（2）false．
令false（a）false．
由题意，在false，false上，false（a）的值恒大于0，
false解得false或false．
故当false或false时，对任意的false，false，函数false的值恒大于0．
6．已知false，若false大于所有的false，false，false恒成立，求实数false的取值范围．
解：false，false，
false
false
false，
false的最大值为1．
false对于所有的false，false，false恒成立
等价于false对于所有的false，false恒成立，
false对于所有的false，false恒成立，
令false（a）false，只要false，
false，或false，或false．
false实数false的取值范围是false，或false，或false．
7.已知不等式false．
（1）若对false不等式恒成立，求实数false的取值范围；
（2）若对false，false不等式恒成立，求实数false的取值范围；
（3）若对满足false的一切false的值不等式恒成立，求实数false的取值范围．
解：（1）要使不等式false恒成立，
①若false，显然false；
②若false，则false，解得false，
综上，实数false的取值范围是false．
（2）令false，
①当false时，false显然恒成立；
②当false时，若对false，false不等式恒成立，只需false即可，
所以false，解得false，
所以false；
③当false时，函数false的图象开口向下，对称轴为false，若对false，false不等式恒成立，结合函数图象知只需false（1）false即可，解得false，所以false，
综上所述，实数false的取值范围是false；
（3）令false，
若对满足false的一切false的值不等式恒成立，则只需false即可，
所以false，解得false，
所以实数false的取值范围是false．