2020-2021学年人教五四新版七年级下册数学期末冲刺试题（Word版有答案）

2020-2021学年人教五四新版七年级下册数学期末冲刺试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列是二元一次方程的是（　　）
A．3x﹣6＝x
B．2x﹣3y＝x2
C．
D．3x＝2y
2．关于x的方程2x﹣4＝3m和x+2＝m有相同的解，则m的值是（　　）
A．10
B．﹣8
C．﹣10
D．8
3．一组数据3、2、1、2的方差是（　　）
A．0.25
B．0.5
C．1
D．2
4．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
5．有一组数据：2，5，3，4，5，3，4，5，则这组数据的众数是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
6．若不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞4
B．a≤4
C．0＜a＜4
D．a≥4
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（　　）
A．2
B．5
C．8
D．11
8．锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BNC＝125°，∠BMC的度数为（　　）
A．150°
B．100°
C．110°
D．135°
9．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CE
B．BD⊥CE
C．AF平分∠CAD
D．∠AFE＝45°
10．下列命题中真命题是（　　）
A．两个等腰三角形一定全等
B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少
C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．两直线平行，同旁内角相等
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．若2x﹣y＝12，用含有x的代数式表示y，则y＝　
　．
12．某品牌电脑的成本为2000元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x折销售，请依据题意列出关于x的不等式：　
　．
13．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　
　．
14．如果实数m，n满足方程组，那么（m﹣2n）2021＝　
　．
15．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是　
　．
16．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是　
　cm．
17．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为　
　．
18．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝　
　．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为　
　．
20．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　
　°．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（8分）解方程组
（1）；
（2）；
22．（8分）解下列不等式．
（1）3（x+1）＜4（x﹣2）﹣5；
（2）＜1﹣．
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，AE＝CE．
求证：（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
24．（8分）某校为了解学生每周参加家务劳动的情况，随机调查了该校部分学生每周参加家务劳动的时间．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　
　，图①中m的值为　
　；
（Ⅱ）求统计的这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）根据统计的这组每周参加家务劳动时间的样本数据，若该校共有800名学生，估计该校每周参加家务劳动的时间大于1h的学生人数．
25．（9分）某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？
26．（9分）在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”．简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C＞∠B．
该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：
（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．
①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；
②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD　
　∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）
证明：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．
∵AB＞AC，
∴　
　（在同一个三角形中，大边对大角）．
∴∠BAD　
　∠CAD．
（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．
①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；
②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD　
　∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）
证明：
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DAC＝α
（α＜45°
），求∠ABF
的大小；（用含α
的式子表示）
（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：由2x﹣4＝3m得：x＝；由x+2＝m得：x＝m﹣2
由题意知＝m﹣2
解之得：m＝﹣8．
故选：B．
3．解：这组数据的平均数为：（3+2+1+2）÷4＝2；
则方差为：S2＝＝，
故选：B．
4．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：C．
5．解：这组数据中出现次数最多的是5，
所以众数为5，
故选：A．
6．解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到a≥4．
故选：D．
7．解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故选：C．
8．解：如图1，∵BF和CG是两条角平分线，
∴∠NBC＝，∠NCB＝，
∵∠BNC＝125°，
∴∠NBC+∠NCB＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×55°＝110°，
∴∠A＝180°﹣110°＝70°，
如图2，∵BD和CE是两条高，
∴∠ADB＝∠BEM＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BMC＝90°+20°＝110°，
故选：C．
9．解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正确，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故B正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故D正确，
若C成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，
故选：C．
10．解：A、假命题，因为如图所示：AD＝AE，AB＝AC，但△ADE与△ABC不全等；
B、假命题，因为任何多边形的外角和均为360°，则其每个外角为α＝，可见，当n增大时，α减小；
C、真命题，因为菱形的对角线是其对称轴，两条对角线的交点是对称中心；
D、假命题，因为两直线平行，同旁内角互补．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：∵2x﹣y＝12，
∴y＝2x﹣12，
故答案为：2x﹣12．
12．解：设这种品牌的电脑打x折销售，依据题意得：
2800×﹣2000≥2000×5%．
故答案为：2800×﹣2000≥2000×5%．
13．解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
14．解：，
①﹣②得：m﹣2n＝﹣1，
∴（m﹣2n）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．解：ax＜﹣bx+b，
（a+b）x＜b，
∵关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，
∴＝，且a+b＜0，
∴a＝b＜0，
∴ax＞2bx+b变为﹣bx＞b，
∴x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1．
16．解：在△OCF与△ODG中，
，
∴△OCF≌△ODG（AAS），
∴CF＝DG＝30（cm），
∴小明离地面的高度是50+30＝80（cm），
故答案为：80．
17．解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故答案是：20．
18．解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，
故答案为：58°．
19．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
20．解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：（1），
①×2+②得：﹣9y＝﹣9，
解得：y＝1，
把y＝1代入②得：x＝1，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2+②得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为．
22．解：（1）去括号得，3x+3＜4x﹣8﹣5，
移项、合并同类项得，﹣x＜﹣16，
把x的系数化为1得，x＞16；
（2）去分母得，2x＜6﹣（x﹣3），
去括号得，2x＜6﹣x+3，
移项、合并同类项得，3x＜9，
把x的系数化为1得，x＜3．
23．证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝90°．
∴∠AFE+∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFD+∠ECB＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB．
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴CD＝BD，BC＝2CD．
∴AF＝2CD．
24．解：（Ⅰ）4÷10%＝40（人），10÷40＝25%，即m＝25，
故答案为：40、25；
（Ⅱ）在这组数据中，1.5h出现的次数最多是15次，因此众数是1.5，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是1.5，因此中位数是1.5，
平均数为＝＝1.5，
答：这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数都是1.5；
（Ⅲ）800×（37.5%+25%+7.5%）＝800×70%＝560（人），
答：该校800名学生中每周参加家务劳动的时间大于1h的学生有560人．
25．解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
由题意可得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，
由题意可得：10a+5（35﹣a）≤300，
解得：a≤25，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
26．（1）①证明：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠BAD＝∠CAD．
②解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B（在同一个三角形中，大边对大角）．
∴∠BAD＞∠CAD．
故答案为：∠C＞∠B，＞；
（2）①证明：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图1所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，
∵AB＝AC，
∴EC＝AC，
∴∠CAD＝∠E，
∴∠BAD＝∠CAD；
②解：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图3所示：
同①得：△ABD≌△ECD（SAS），
∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，
∵AB＞AC，
∴EC＞AC，
∴∠CAD＞∠E，
∴∠BAD＜∠CAD，
故答案为：＜．
27．解：（1）如图1所示；
（2）如图2，
连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，
∴∠BAE＝90°﹣2α，
∵AB＝AC，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴；
（3），
证明：如备用图，连接AE，CF，
由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBF＝α，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，
∴∠BCF＝90°﹣α，
∵∠CBF+∠BCF＝90°，
∴△BCF是直角三角形．
∵△ACE是等边三角形，
∴α＝30°．
∴∠CBF＝30°
∴．