3.2双曲线性质及其综合运用辅导教案-2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word无答案

第十一讲
双曲线的性质及其综合运用
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；
(1)当________时，P点的轨迹是_______；
(2)当________时，P点的轨迹是_______；
(3)当_____
__时，P点不存在．
这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值．
(2)2a<|F1F2|．
这两点与椭圆的定义有本质的不同：
①当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
②当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
③当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2
(c>a>0，c>b>0)
共轭双曲线：与双曲线共轭的双曲线为（共轭双曲线的渐近线完全相同）
等轴双曲线：的渐近线方程为
且两条渐近线互相垂直，离心率为；
焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
，（点P在双曲线的右支上）；
与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：
题型1
双曲线的定义及标准方程
例1.
已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1　　　　　
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
练习1.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
例2.已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程
例3.与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2)，求双曲线的标准方程.
例4.与椭圆焦点相同的等轴双曲线的标准方程为__________________.
练习2.过点的等轴双曲线的标准方程为____________________.
题型2
双曲线的离心率与渐近线问题
例5.此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且＜α＜，求双曲线的离心率的取值范围．
例6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．
例7.双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(
)
A.
2
B.
C.4
D.
练习3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点且斜率为的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是(　　)
A.
B.
C．2
D．2
题型3
点、直线与双曲线的位置关系
点与双曲线的位置关系
先将点P的坐标代入计算结果，然后与1比较大小：
；
；
.
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线方程联立，通过联立方程的判别式来判断直线与双曲线的位置关系，
；
；(直线与渐近线平行的话就相交，直线与渐近线不平行就相切)
.
特别注意：直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
例8.判断直线与双曲线的位置关系.
例9.已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·＝0.求＋的值．
题型4
双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形面积公式：;
双曲线周长公式：设点，当双曲线的焦点在轴上时，；
当双曲线的焦点在轴上时，.
例10.已知双曲线，A,B是其两个焦点，点在双曲线上，，则三角形AMB的面积为_____________.
例11.已知双曲线上一点的坐标为，则其与双曲线的两个焦点所围成的的周长为______________.
题型5
双曲线的弦长问题
弦长公式:
,其长度为.
例12.已知一双曲线中心在原点，焦点在轴，直线与双曲线所截得的弦长为,且以为直径的圆过原点，求双曲线的方程.
题型6
双曲线的中点弦问题
“由弦的中点坐标，求弦所在的直线方程或相关问题，叫做中点弦问题”
根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程，得到一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系和中点坐标公式解决问题.
点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系；已知，是双曲线上的两个不同的点，是线段的中点，
则
由①-②，得，
变形得，即.
共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则，作差即得所求直线方程.
例13.过点作直线交双曲线于两点，且点恰为线段中点，则直线的方程为_____________________.
练习4.已知双曲线－y2＝1，求过点A
(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
例14.在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.