3.1 椭圆与直线的综合问题辅导教案-2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word无答案）

第十讲
椭圆与直线的综合问题
专题一
点、直线与椭圆的位置关系
1．点与椭圆的位置关系
将点代入椭圆方程计算，然后与1比较大小；
；
；
.
2．直线与椭圆的位置关系
代数法讨论直线与椭圆的位置关系步骤：
①设直线的方程为：,椭圆的方程为：；
②联立方程，得到一个关于的一元二次方程；
③根据这个一元二次方程的判别式来判断直线与椭圆的位置关系：
；
；
.
题型1
点与椭圆的位置关系
例1.已知点在椭圆上，则下列说法正确的是（
）
A.点在椭圆外
B.点在椭圆上
C.点在椭圆内
D.点在椭圆上
题型2
直线与椭圆的位置关系
例2.直线与椭圆的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
例3.已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
例4.若点在椭圆上，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
练习1.已知点为椭圆上任意一点，直线，求证：直线与椭圆相切；
专题二
椭圆的弦长问题
1．弦的概念：连接椭圆上两点的线段叫做弦.
2．弦长的计算
已知直线方程及椭圆方程，求直线被椭圆截得的弦长时，可以根据以下步骤来计算：
①联立直线方程与椭圆方程，得出一个关于的一元二次方程
；
②由两点距离可推出弦长公式：=，
在保证一元二次方程有两个不相同的实数的前提下，利用韦达定理代入计算得出.
注意：过焦点并垂直于轴的弦叫做通径，其长度等于.
题型3
求椭圆的弦长
例5.已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆的长轴长为
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，线段的中点为，求弦长
题型4
由椭圆的弦长求参数的值
例6.在平面直角坐标系上，已知动点到定点、的距离之和为.
（1）求动点的轨迹方程．
（2）若直线与曲线交于、两点，.求的值
题型5
由椭圆的弦长求直线方程
例7.已知椭圆的左右焦点分别是、，离心率．过的直线交椭圆于，两点，三角形的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若弦，求直线的方程．
专题三
椭圆的中点弦问题
“由弦的中点坐标，求弦所在的直线方程或相关问题，叫做中点弦问题”
根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程，得到一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系和中点坐标公式解决问题.
点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系；已知，是椭圆上的两个不同的点，是线段的中点，
则
由①-②，得，
变形得，即.
共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则，作差即得所求直线方程.
题型6
由弦的中点求椭圆方程
例8.已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
练习2.若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
题型7
由弦的中点求椭圆离心率
例9.已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．
专题四
椭圆的最值问题
例10.已知直线与椭圆交于两点,若椭圆上存在一点使得面积最大,则点的坐标为________.
例11.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，M为椭圆上任意一点，当时，的面积为，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，过椭圆C内的一点作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线，的斜率分别为，，若对任意实数k，存在实数m，使得，求实数m的取值范围.
课后作业
1．过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为
___________
.
3．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过椭圆左焦点，且，求.