8.3简单几何体的表面积与体积 教案（共2课时）—— 2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3简单几何体的表面积与体积 教案
　一、教学内容和内容解析
　　1．内容
　　第1课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；
　　第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．
　　2．内容解析
　　本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础．
　　表面积是度量几何体表面的大小，它是围成几何体的各个面的面积之和．对于多面体的表面积，分别计算表面各个多边形的面积然后相加即可，但对于旋转体，因涉及到曲面面积的计算，故需将空间曲面展开为平面图形，再计算面积．这里蕴含着将“空间问题平面化”的重要思想方法．
　　体积是度量几何体所占空间的大小．本节正文直接给出了棱柱、棱锥、棱台的体积公式，但在教科书第121—123页，运用祖暅原理对柱体、锥体的体积公式进行了解释，供学有余力的学生研究；教科书“8.6 空间直线、平面的垂直”例6对棱台的体积公式进行了证明．
　　学生之前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式，结合圆台的结构特征（可由圆锥截得）不难推导其体积公式．考虑到本节内容划分成了两个课时，教学时可以酌情对部分公式加以推导．
　　基于柱体、锥体、台体在结构特征上的联系，教科书还安排了两个“思考”环节，让学生从几何体的结构特征上建立它们的体积公式之间的联系，旨在加强知识之间的整体性和联系性．
　　球的表面积和体积公式在形式上与柱、锥、台体有较大差异．它可以类比圆的面积公式，用极限思想进行推导．学生需在推导过程中进一步体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路．
　　综上所述，本节内容的教学重点是：柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系．
　　二、目标和目标解析
　　1．目标
　　（1）掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题；
　　（2）了解柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．
　　2．目标解析
　　达成目标（1）的标志是：学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系；能正确理解公式中各参数的意义，并能用其计算简单几何体以及它们的组合体的表面积和体积，提升数学计算素养．
　　达成目标（2）的标志是：根据本节内容的学习，能明白简单几何体的表面积计算过程中蕴含的空间问题平面化的思想，了解祖暅原理在推导柱体、锥体体积公式中的应用，理解球的体积公式体现出来的极限思想．
　　三、教学问题诊断分析
　　学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．在此基础上，由特殊推广到一般，学生对于柱体、锥体的表面积和体积公式不难理解．对于台体，虽然学生之前没有学习过，但结合它们的定义（可由相应的锥体截成），不难推导．但在使用公式进行具体计算时，一方面有一定的计算量，对学生的计算能力有一定的要求；另一方面，对公式中的各参数要明确其含义，比如体积公式中的h是指几何体的高度，而非侧面图形的高度．此外，在计算组合体的表面积时，要特别注意在常见简单几何体的基础上，增加了哪些面，删减了哪些面，不能遗漏，不可重复．
　　球的体积公式的推导过程中渗透了极限的思想．在学习圆的面积公式时这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会“分割、近似替代、求和、取极限”的重要思想方法，对学生而言也非易事．
　　根据上述分析，本节课的教学难点是：运用表面积、体积公式进行具体计算；球的体积公式的推导．
　　四、教学支持条件分析
　　为了帮助学生更加深入地认识柱体、锥体、台体的表面积和体积公式之间的联系，本节课宜使用信息技术手段，动态、直观地呈现由它们的结构变化带来的公式结构变化．此外，在柱体、锥体、球体的体积公式的探究过程中，祖暅原理以及极限思想至关重要．在由棱柱的体积推导棱锥的体积公式时，需将棱柱分割成三个等体积的棱锥．这些地方若有信息技术的支持，教学时将更加方便、直观，有助于学生理解．
　　五、课时教学设计
　　第一课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
　　（一）课时教学内容
　　1．棱柱、棱锥、棱台的表面积；
　　2．棱柱、棱锥、棱台的体积．
　　（二）课时教学目标
　　1．掌握计算多面体表面积的方法，感悟“空间问题平面化”的思想；
　　2．掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式，了解推导过程；
　　3．能解释棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系，能用表面积和体积公式度量相关几何体的大小．
　　（三）教学重点与难点
　　教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式．
　　教学难点：棱柱、棱锥、棱台的体积公式的推导、应用．
　　（四）教学过程设计
　　引言 前面我们认识了简单几何体的结构特征，学习了其平面表示．本课开始，我们将从度量的角度来研究空间几何体．我们首先来研究多面体．
　　1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
　　问题1?生产生活中，我们经常会遇见这样的问题：某种产品呈棱锥状，现需对其表面进行涂色；一礼品盒呈长方体状，现需用彩纸对其进行包装．在这些实际问题中，所需涂料的多少或者彩纸的大小与围成几何体的各个面的面积密切相关．为此我们引入几何体表面积这一概念．请同学们阅读教材第114页的例1，弄懂什么是几何体的表面积，如何计算几何体的表面积．
　　师生活动：学生阅读教材，回答问题，教师补充，给出多面体的表面积的概念——围成多面体的各个面的面积之和；计算方法——分别计算每个平面多边形的面积然后相加．
　　设计意图：从生活实例出发，引出研究几何体表面积的必要性．介绍多面体表面积的概念，总结计算多面体表面积的基本方法．
　　问题2?将棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′沿平面AB′D′截去三棱锥A′-AB′D′后，所得几何体的表面积如何计算？
　　师生活动：学生动笔计算，教师巡查，注意纠正学生在计算过程中出现的问题．
　　设计意图：以简单组合体为载体，进一步理解表面积的含义．一方面，在计算时要谨防重复或漏算；另一方面，培养学生的数学运算能力．
　　2．棱柱、棱锥、棱台的体积
　　问题3?我们之前已经学习长方体的体积公式V长方体=abc，其中a，b，c分别是长方体的长、宽、高．它的一种等价表述形式是V长方体=Sh，其中S是长方体的底面积，h是长方体的高．那么，公式V=Sh是否适用于一般的棱柱呢？
　　师生活动：教师引导学生阅读教材，可知公式V=Sh对一般的柱体也适用．教师提醒学生注意公式中的参数（尤其是h）的含义：S是棱柱的底面积，h是棱柱的高，是棱柱上下底面之间的距离，也即是过一底面上的任意一点向另一底面作垂线，该点与垂足之间的距离．
　　追问：为什么所有棱柱的体积都可用公式V=Sh来计算呢？这里面有什么道理吗？
　　师生活动：教师先介绍祖暅原理，可以和学生一起完成如下实验操作：请学生取一摞大小相同的书，在课桌上整齐堆放，组成一个长方体．然后用手向一个方向轻推书籍，使之倾斜，得到一个斜棱柱．前后两个几何体的形状发生了改变，但它们的体积并没有变化，因为两个几何体的高度没有变化，每本书的“面积”也没有改变．
　　然后教师请学生思考，如何用祖暅原理来解释棱柱的体积V=Sh．学生思考交流，教师必要时加以引导，共同得出答案：根据祖暅原理，任何一个底面积为S，高为h的棱柱都和一个底面积为S，高为h的长方体的体积相同．
　　设计意图：按照由特殊到一般的思路，得出一般棱柱的体积公式，并通过祖暅原理解释这一合情推理的正确性．
　　
　　追问1：我们从三棱锥与三棱柱开始探究．根据祖暅原理，若两个三棱锥的底面积相等，高相等，那么它们的体积也相等．基于此，你能将下图（左）的直三棱柱分割成三个等体积的三棱锥吗？
　　师生活动：学生探究，可小组合作交流，确定分割方案（上图右）．然后请学生说说分割而成三个三棱锥体积相等的原因．师生共同得出结论：三棱锥的体积等于它的底面积与高的乘积的三分之一．
　　
　　预设学生回答：因为对于一个任意的棱锥，不妨设它的底面积为S，高为h，根据祖暅原理，它都和一个底面积为S，高为h的三棱锥体积相同．
　　设计意图：从定义的角度，棱台的体积计算可以转化为两个棱锥的体积之差．基于此原理，再去推导具体公式并不繁难，教科书第8.6节会对棱台的体积公式进行证明，故此处就直接给出了．
　　3．建立联系，整体认识棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的联系
　　问题6?请大家观察棱柱、棱锥、棱台体积公式．它们之间有什么联系？你能结合棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
　　师生活动：教师呈现3D交互动画演示．拖动控制按钮，当棱台的上底面扩大至与下底面全等时，棱台变成棱柱，当棱台的上底面缩小为一个点时，棱台变成棱锥．教师请学生从公式结构的角度来解释这一变化：相当于在棱台的体积公式中令S′=S，即得棱柱的体积公式；令S′=0，即得棱锥的体积公式．
　　设计意图：引导学生用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的关系，渗透转化的数学思想，培养学生思考、归纳、总结等数学学习的习惯和能力．
　　4．应用公式，熟练掌握
　　例?如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01）？
　　师生活动：教师引导学生分析这些几何体的结构特征，因为它是一个组合体，故只需分别计算两个部分的体积然后再相加即可．学生动笔，完成整个计算．
　　练习：教科书第116页练习1，2，3．
　　设计意图：通过例题、练习帮助学生熟练掌握相关公式，增强学生的数学运算素养．
　　5．归纳小结，反思提升
　　教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
　　（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？体现了什么样的数学思想方法？
　　（2）棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么？有何联系？你能简要叙述公式推导的原理和大致思路吗？
　　设计意图：通过教师提出问题，教师与学生共同梳理本节课所学的公式，以及涉及的数学思想方法．
　　6．布置作业：
　　教科书习题8.3第1，2，3，6，7题．
　　（五）目标检测设计
　　1．已知棱台的上、下底面面积分别为4、16，高为3，则该棱台的体积为________．
　　设计意图：考查学生对棱台体积公式的运用．
　　2．如图，棱柱ABC--A′B′C′体积为V，则四棱锥C--AA′B′B的体积是(　　)．
　　
　　设计意图：考查学生对棱柱、棱锥体积关系的理解．
　　3．已知正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，点Q为侧棱PB上一动点，则|AQ|+|DQ|的最小值为________．
　　设计意图：研究空间几何体表面上的两点在表面上的最短路径是一个经典的问题，看似与表面积的计算无关，但基本思想一致，那就是将空间问题平面化．
　　第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
　　（一）课时教学内容
　　1．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积；
　　2．圆柱、圆锥、圆台、球的体积．
　　（二）课时教学目标
　　1．掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算方法及相关公式，进一步感悟“空间问题平面化”的思想；
　　2．掌握圆柱、圆锥、圆台的体积公式，能解释它们的体积公式之间的联系；
　　3．掌握球的表面积、体积公式，感悟公式推导过程中蕴含的极限思想；
　　4．能用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算，解决现实生活中的一些应用问题．
　　（三）教学重点与难点
　　教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积、体积公式及其应用．
　　教学难点：球的体积公式的探究过程．
　　（四）教学过程设计
　　引言?前面我们从度量的角度来研究了多面体的表面积和体积的计算，本课我们继续研究旋转体的表面积和体积．其中圆柱、圆锥、圆台表面积和体积的研究思路可以类比棱柱、棱锥、棱台进行，球比较特殊，我们将单独对其进行研究．
　　1．圆柱、圆锥、圆台的表面积
　　问题1?与多面体一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和．不同之处在于，围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面，如何计算这些曲面的面积呢？在此基础上，你能推导出它们的表面积公式吗？
　　师生活动：教师引导学生类比思考，前面计算多面体的表面积的主要策略就是“空间问题平面化”，为此问题关键在于研究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图．教师可以制作一些动画或者准备一些纸质模型，帮助学生掌握题目侧面展开图的形状．在具体计算时，教师注意引导学生分析展开前后的等量关系，比如：圆柱的侧面展开图是一个矩形，该矩形的一边与圆柱的母线等长，另一边长则是底面圆周长．在理清这些数量关系后，教师可请学生独立完成对圆柱、圆锥、圆台表面积公式的推导，然后再与教科书上的公式进行对照．推导过程中，学生可能对圆台的侧面展开图（扇环）的面积计算不是很熟悉，教师可以给予适当帮助．在得到公式后，教师要注意为学生分析公式中各参数代表的含义．
　　设计意图：师生共同完成对圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导．
　　
　　师生活动：教师呈现3D交互动画演示．拖动控制按钮，当圆台的上底面扩大至与下底面全等时，圆台变成圆柱，当圆台的上底面缩小为一个点时，圆台变成圆锥．教师请学生从公式结构的角度来解释这一变化：相当于在圆台的表面积公式里令r′=r，即得圆柱的表面积公式；令r′=0，即得圆锥的表面积公式．
　　设计意图：引导学生用运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系，渗透转化的数学思想，培养学生思考、归纳、总结等数学学习习惯和能力．
　　2．圆柱、圆锥、圆台的体积
　　
　　预设学生回答：根据祖暅原理，任意一个棱柱和圆柱，只要底面积相等，高相等，则它们的体积相等．同理，等底面积且等高的圆锥和棱锥的体积相等．
　　设计意图：复习回顾圆柱、圆锥的体积公式，并通过祖暅原理将圆柱与棱柱、圆锥与棱锥的体积公式统一起来，进一步加深对公式的认识，同时为研究圆台的体积公式埋下伏笔．
　　追问1：基于圆柱和棱柱、圆锥和棱锥的体积公式的一致性，你能类比棱台，写出圆台的体积公式吗？
　　
　　追问2：与棱台一样，圆台可由圆锥截成．你能利用圆锥的体积公式来证明圆台的体积公式吗？
　　
　　设计意图：对于棱台的体积公式，教科书第8.6节对其进行了证明．圆台的体积公式一样，可以用圆锥的体积公式加以推导，且不繁难，故在此予以证明，完成一个类比猜想、严格论证的完整研究流程．
　　
　　师生活动：教师呈现3D交互动画演示．拖动控制按钮，当圆台的上底面扩大至与下底面全等时，圆台变成圆柱，当圆台的上底面缩小为一个点时，圆台变成圆锥．教师请学生从公式结构的角度来解释这一变化：相当于在圆台的体积公式里令，即得圆柱的体积公式；令，即得圆锥的体积公式．
　　设计意图：引导学生用运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，再次渗透转化的数学思想，培养学生思考、归纳、总结等数学学习的习惯和能力．
　　3．球的表面积与体积
　　问题5?教科书中直接给出了球的表面积公式，其中R为球半径．我们将以其为基础，来研究球的体积．首先请大家回顾一下我们以前推导圆的面积公式的方法．类比此方法，如何求得球的体积公式？
　　师生活动：教师可先请一个同学回答圆的面积公式的研究方法，如果不记得，教师可以引导学习复习回顾，并总结过程：分割——近似替代——由近似和转化为圆面积的极限思想．教师引导学生类比这样的思想方法，推导球的体积公式．
　　第一步：分割．如图所示，将球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
　　第二步：近似替代．当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是．
　　第三步：由近似和求得球体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此球的体积．
　　在用此法求得球的体积公式之后，教师可以告诉学生，球的体积公式有多种推导方法，用前面所谈的祖暅原理也可以求得．请学生们课后自己查阅构造方法，开拓视野．
　　设计意图：类比圆面积公式的推导方法，研究球的体积，进一步渗透极限思想．
　　4．应用公式，熟练掌握
　　例1?如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱粘合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱的高为0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（Π取3.14）
　　师生活动：教师引导学生分析题意，弄清如下两个问题：每个浮标需要多少防水漆与浮标的哪个量有关？根据浮标的结构特征，如何计算这个值？思考清楚后，学生动笔计算．
　　例2?如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．
　　师生活动：学生计算，教师巡视．
　　解答：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则．
　　练习：教科书第119页练习1，2，4．
　　设计意图：通过例题、练习，一方面让学生熟悉公式，培养数学运算能力；另一方面也体现数学工具在现实生活中的应用．
　　5．归纳小结，反思提升
　　教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
　　（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积如何推导？体现了什么样的数学思想方法？三个公式间有何联系？
　　（2）圆柱、圆锥、圆台的体积公式分别是什么？有何联系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将其统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？
　　（3）球的表面积公式和体积公式分别是什么？如何实现二者的互推？互推过程中蕴含着何种重要数学思想？
　　设计意图：通过教师提出问题，教师与学生共同梳理本节课所学的公式，以及涉及的数学思想方法．
　　6．布置作业
　　（1）教科书第119页练习3，4，第120页习题8.3第4，5，8，9题．
　　（2）思考题：表面积和体积均是从度量的角度来研究几何体，给定一个几何体，它的体积和表面积都是确定的．反过来，如果两个几何体的表面积一样，体积也相同，则这两个几何体的形状是一样的吗？
　　（五）目标检测设计
　　1．如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为__________．
　　设计意图：考查旋转体（半球）的结构特征，球的表面积公式．
　　2．如图，在底面半径为1，高为1的圆柱里挖去一个与圆柱同底面积且等高的圆锥，则余下几何体的体积为__________，表面积为__________．
　　设计意图：考查由圆柱挖去圆锥所得组合体的体积和表面积计算．
　　
　　设计意图：考查球的体积公式，球与几何体的切接问题，解题时需要注意研究图形的轴截面，综合性较强．