2012年中考数学第二轮复习-----中考冲刺12存在性问题(6页)

第12讲．存在性问题
【专题精讲】
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
【典例精析】
例1、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
例2、△ABC中，∠A＝∠B＝30°，AB＝．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
（2）如果抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①当a＝，b＝－，c＝－时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②设b＝－2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
例3、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
例4、如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
（1） 求拋物线的函数表达式；
（2） 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）。设点A的坐标为（m，n） （m>0）。
① 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②在的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
③ 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
【巩固演练】
1、如图1，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心．AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点．
⑴ 当 ∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF的中点；
⑵ 设AE=x， FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出自变量的取值范围；
⑶ 如图2，将△DEF沿直线EF翻折后得△ D1EF，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。
2、已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.
3、如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，直线n与y轴、x轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）直线n在运动过程中，
①当t为何值时，半圆与直线l相切？
②是否存在这样的t值，使得半圆面积S＝S梯形ABCD？若存在，求出t值，若不存在，说明理由．
4、如图①，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝x 2＋c与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求c的值；
（2）如图②，将△ABC绕点B逆时针方向旋转90°，得△A′BC′，然后将抛物线L1平移，使它的顶点落在点C′ 处，得抛物线L2，它与y轴相交于点D，连接DC′，试判断四边形BA′DC′ 的形状，并说明理由；
（3）将抛物线L2沿直线BC′ 向上或向下平移，记此时抛物线的顶点为C″，它与y轴的交点为D′，过点C″ 作C″A″∥C′A′，交直线A′B于点A″ ．是否存在这样的点C″，使得△A″C″D′ 是一个含有30°内角的三角形？若存在，求出点C″ 的坐标；若不存在，请说明理由．
一位打破世界纪录的举重运动员说：“我举得起世界纪录，但举不起我平时流下的汗水。”原来那世界纪录是由那点滴的汗水撑起来的。
一位世界短跑冠军说：“我用了十年的训练才仅仅加快了1秒。”原来那一秒之瞬间是用十年的辛苦支撑起来的。
由此我们应该明白：能支撑起世界奇迹的，其实正是它同样惊人的平凡与简单。只要把平凡做到了极致就是不平凡，而把简单做到了尽头也就拥有了不简单！
A
B
C
D
P
Q
E
A
B
C
D
（备用图2）
A
B
C
D
（备用图1）
我的座右铭是“信自己”。它一直陪我走过了九年，激励着我不断进步。每当我遇到困难、挫折，每当我迎接一次新的挑战，我都会想起它，用它来鼓励自己，因此每次我总能充满信心的克服困难，战胜挑战。
是的，一个人无论做什么，都要对自己充满信心，If you think you can ,you kan.只要相信自己，抛开一切顾虑，迎难而上，一定会取得成功。相反，总是怀疑自己能力，畏手畏脚，不敢去做，遇到困难、挫折便打退堂鼓，一辈子也不会成功。只能越来越不相信自己，永远生活在失败的阴影中。
B
-1
A
O
x
C
-1
1
1
y
B
A
D
C
B
A
D
C
（备用图）
x
A
C
D
E
F
B
O
Q
P
y
B
O(D)
y
x
F(C)
E(A)
O
y
x
F
E
图1
图2
备用图
y
B
C
y
T
A
C
B
O
x
O
T
A
x
O
x
y
A
D
C
n
l
B
P
O
x
y
A
D
C
n
l
B
P
E
F
备用图
O
A
B
y
x
C
图①
O
A
B
y
x
C
A′
C′
备用图
O
A
B
y
D
x
C
A′
C′
图②