18.2勾股定理的逆定理
第1课时
勾股定理的逆定理
教学目标
1．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；(难点)
2．理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律．(重点)
教学过程
一、情境导入
据说几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】
利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．
(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；
(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；
(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2.
解析：(1)已知两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证．
解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形；
(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；
(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．
方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和．
【类型二】
利用勾股定理的逆定理求角的度数
如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
解析：根据已知条件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2＝PC2，但PA、PB、PC不在同一个三角形中，可构造边长分别为3、4、5的直角三角形来解决问题．
解：在△ABC所在的平面内，以A为顶点，AC为边在△ABC外作∠DAC＝∠PAB，且AD＝AP.连接DC，PD，则△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB＝∠ADC.因为PA＝AD，∠PAD＝∠BAC＝60°，所以△APD为等边三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因为DC＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC为直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB＝∠ADC＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.
方法总结：解答本题的关键是构建全等三角形．把长度分别为3、4、5的线段转化为同一个三角形的三边，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形，进而求出角度．
【类型三】
利用勾股定理的逆定理解决面积问题
如图所示，已知AD是△ABC边BC上的中线，BC＝10cm，AC＝4cm，AD＝3cm，求S△ABC.
解析：由△DAC的三边长，易判定该三角形是直角三角形，再由面积公式求出DC边上的高，进而可求△ABC的面积，也可根据中线等分三角形面积求解．
解：过点A作AE⊥BC交BC于点E.∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝×10＝5(cm)．∵CD2＝52＝25，AD2＋AC2＝32＋42＝25，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△DAC是直角三角形．∵S△ADC＝AD·AC＝DC·AE，∴AE＝＝＝(cm)．∴S△ABC＝BC·AE＝×10×＝12(cm2)．
方法总结：先用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再用面积法求AE的长，进而求出△ABC的面积．还可先求出S△ADC，再由AD是中线，得S△ABD＝S△ADC，即S△ABC＝2S△ADC，从而得解．
【类型四】
利用勾股定理的逆定理证垂直
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝5，BD＝12，两底AD、BC的和为13.求证：AC⊥BD.
解析：由于两底的和已知，且对角线长度已知，应先将对角线平移，再寻找解题途径，由勾股定理的逆定理可以判定DB⊥DE，从而证明AC⊥BD.
证明：过D作DE∥AC交BC的延长线于E点．又∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．∴DE＝AC＝5，CE＝AD.在△BDE中，BD＝12，DE＝5，BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝13，且52＋122＝132，DE2＋BD2＝BE2，∴△BDE为直角三角形，即∴∠BDE＝90°，则DE⊥BD.又∵DE∥AC，∴AC⊥BD.
方法总结：利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．
探究点二：勾股数
下列几组数中是勾股数的是________(填序号)．
①32，42，52；②9，40，41；③，，；④0.9，1.2，1.5.
解析：第①组不符合勾股数的定义，不是勾股数；第③④组不是正整数，不是勾股数；只有第②组的9，40，41是勾股数．故填②.
方法总结：判断勾股数的方法：必须满足两个条件：一要符合等式a2＋b2＝c2；二要都是正整数．
三、板书设计
教学反思
本节课采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学实验，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养.18.2勾股定理的逆定理
第2课时
勾股定理的逆定理的应用
教学目标
1．熟练掌握勾股定理及其逆定理；(重点)
2．能灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m.现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地的绿化需要投入多少钱？
二、合作探究
探究点：勾股定理的逆定理的应用
【类型一】
求边长
如图，在△ABC中，AB＝17，∠C＝60°，D是BC上一点，且BD＝15，AD＝8，求AC.
解析：在△ADC中，已知一边及其对角，要求另一边．若△ADC不是特殊三角形，则难以求解．因此，必须首先判定△ADC的形状，然后再解决计算问题．
解：在△ADB中，AD2＋BD2＝82＋152＝172＝AB2.由勾股定理的逆定理可知，△ADB为直角三角形，所以∠ADB＝90°，所以∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，因为∠C＝60°，所以∠CAD＝30°.设DC＝x，则AC＝2x.由勾股定理，得x2＋82＝(2x)2，即3x2＝64.
所以x＝(负值舍去)，故AC＝2x＝.
方法总结：利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，一般先比较出三条边的大小(若是具体的数值很容易发现；若是一个整式常用作差的方法来确定三条边的大小)，再通过勾股定理的逆定理进行判断．
【类型二】
求角度
如图，已知AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝2，则∠DAB＝______．
解析：欲求∠DAB，须先把它转化为三角形的内角或几个内角和．连接AC，易知△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC＝45°.从而，欲求∠DAB的大小，只需求出∠DAC的大小．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝2.在△ACD中，AC2＋AD2＝(2)2＋22＝12＝(2)2＝CD2，由勾股定理的逆定理可知△ACD为直角三角形，∠DAC＝90°.所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°.故填135°.
方法总结：本题从构造三角形，判定为直角三角形，到勾股定理的应用，充分体现了勾股定理及其逆定理的相互结合，相辅相成．
【类型三】
求面积
如图，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，求四边形ABCD的面积．
解析：四边形ABCD由两个三角形组成，其中△ACD是已知的直角三角形，面积易求．而已知△ABC的两边，形状未知，因此要求其面积，要先应用勾股定理的逆定理来判定它是直角三角形．由于已知△ABC的两边，需要求出第三边，这可在△ACD中用勾股定理求出，最后再求出两个直角三角形的面积，即可得到答案．
解：∵AD⊥CD，CD＝3，AD＝4，
∴由勾股定理得AC＝5.在△ABC中，∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，AC2＋BC2＝AB2.∴由勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴S△ACD＝×3×4＝6，S△ABC＝×5×12＝30.∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝6＋30＝36.
【类型四】
勾股定理逆定理的实际应用
如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．
方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．
【类型五】
运用勾股定理逆定理解决方位角问题
如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离走私艇C12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
解析：已知走私艇的速度，求出走私艇离我国领海线的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私艇离我国领海线的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝海里．由CE2＋BE2＝122，得CE＝海里，∴÷13＝≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．
三、板书设计
教学反思
本节课教学过程中不断帮助学生构建知识体系，所以本节课对知识的归纳总结不仅没有局限于本章所学内容，而且还引导学生对直角三角形的性质和判定方法做了归纳总结．由于学生对于两个定理的直接应用有了一定的基础，所以本节课的安排以灵活应用为主，循序渐进、由易到难设计例题和练习，收到了较好的教学效果.
