19.2平行四边形
第2课时
平行四边形的对角线的性质
教学目标
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)
2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．
教学过程
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的对角线互相平分
【类型一】
利用平行四边形对角线互相平分求线段长
已知：?ABCD的周长为60
cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5
cm，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形周长为60
cm，即相邻两边之和为30cm，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，所以由题意可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5
cm，∴AB－AD＝5cm.又∵?ABCD的周长为60
cm，∴AB＋AD＝30
cm，则AB＝CD＝
cm，AD＝BC＝cm.
方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
【类型二】
利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在△DFO和△BEO中，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
【类型三】
判断直线的位置关系
如图平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，再利用三角形全等得对应边、角相等，最后根据平行线判定得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF.在△EOB和△FOD中∴△EOB≌△FOD，
∴BE＝DF，∠FDB＝∠EBD，∴BE∥DF.∴BE＝DF，BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
探究点二：平行四边形的面积
在?ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解析：根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在?ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)解：仍然相等．证明如下：连接AC交BD于点O.在?ABCD中，AO＝OC，由(1)可得S△ABO＝S△BCO，S△APO＝S△CPO，∴S△ABO－S△APO＝S△BCO－S△CPO，∴S△ABP＝S△CBP.
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
三、板书设计
教学反思
本节课是在学行四边形的边角性质之后的内容，与前面章节的知识联系紧密．课堂上要加强解题步骤严密性和规范性的训练，在观察、操作、推理、归纳等过程中，培养学生数学说理的习惯，发展学生的数学思维能力.19.2平行四边形
第4课时
三角形的中位线
教学目标
1．理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；(重点)
2．能灵活地运用三角形的中位线定理解决有关问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
我们已经学行四边形的性质与判定方法，今天老师给同学一个剪纸的任务．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？能用什么定理来证明四边形DBCF是平行四边形呢？
二、合作探究
探究点一：三角形的中位线
【类型一】
利用三角形中位线定理求线段的长
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )
B．3
C．6 D．9
解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.
方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．
【类型二】
利用三角形中位线定理求角度
如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A．80°
B．90°
C．100° D．110°
解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A.
方法总结：利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．
【类型三】
三角形的中位线性质与三角形其他性质的综合运用
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
解析：首先证明△AMD≌△AMC，得到DM＝MC，即可解决问题．
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD与△AMC中，
∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝BD＝(AB－AD)＝(AB－AC)＝(5－3)＝1.
方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据等腰三角形“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．
探究点二：利用三角形的中位线定理解决简单实际问题
如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5m.他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长度是( )
A．15m
B．20
C．25m
D．30m
解析：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF＝5m，∴BC＝2EF＝10m.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC.∴BE＝CF＝BC＝5m.∴篱笆的长为BE＋BC＋CF＋EF＝5＋10＋5＋5＝25(m)．故选C.
方法总结：利用“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”的性质和“等边三角形三边相等”的性质求解．
三、板书设计
教学反思
本节课在学生已有知识和经验的基础上，通过自己动手、自主探索、合作交流比较系统的得出三角形的中位线的位置和数量关系的性质，以及其相互的关系并将所学知识加以应用，在学习过程中充分体现教师引导，学生自主学习的教学理念.19.2平行四边形
第1课时
平行四边形的边、角的性质
教学目标
1．理解平行四边形的概念；(重点)
2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)
3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
平行四边形是我们常见的一种图形(如图)，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2.∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
探究点二：平行四边形的边、角特征
【类型一】
利用平行四边形的性质求线段长
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案为7.
方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
【类型二】
利用平行四边形的性质求角度
如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55°
C．25° D．30°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.
方法总结：平行四边形对边平行，对角相等，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
【类型三】
利用平行四边形的性质证明有关结论
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠DCP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠DCP＝∠FCP.∵在△PCF和△PCE
中，
∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
方法总结：本题的综合性比较强，考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等．
【类型四】
判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线．又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD.∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°，即∠MDC＋∠MCD＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．
方法总结：应熟练掌握平行四边形的性质，并能求解一些简单的计算、证明等问题．
探究点三：两平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上．求证：△EGO与△FHO面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．
方法总结：解决问题的关键是明确同底等高的两个三角形的面积相等，再结合两平行线间的距离即可得出结论．
三、板书设计
教学反思
本节课通过对平行四边形的性质的探究学习，培养了学生运用转化的数学思想，通过观察、分析、归纳，是学生养成自主学习的良好习惯，为后期的学习打基础.19.2平行四边形
第3课时
平行四边形的判定
教学目标
1．掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件选择合适的判定定理判定一个四边形是平行四边形；(重点)
2．能够灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明．(难点)
教学过程
一、情境导入
我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：
1．两组对边分别平行且相等；
2．两组对角分别相等；
3．两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的判定
【类型一】
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形．
理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.
【类型二】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF.试探究四边形DAEF是平行四边形．
解析：根据题中的已知条件可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过三角形全等和等量代换解决．
【类型三】
对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO
.又∵AO＝BO.∴四边形AFBE是平行四边形．
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
探究点二：平行四边形判定与性质的综合应用
如图所示，在?ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求证：EG和HF互相平分．
解析：由EG和HF是四边形EFGH的对角线，可将证明EG和HF互相平分转化成证明四边形EFGH是平行四边形．
证法1：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C(平行四边形的对边相等，对角相等)．∵DE＝BG，而AE＝AD－ED，CG＝CB－GB，∴AE＝CG.∵AF＝CH，∴△AEF≌△CGH，∴EF＝HG.同理FG＝HE.∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∴EG和HF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．
证法2：∵DE＝BG，∴DE平行且等于BG，即四边形DEBG是平行四边形，∴OB＝OD，OE＝OG.又∵AF＝CH，∴FB＝HD，∴FB平行且等于HD.∴四边形FBHD是平行四边形，对角线BD与FH互相平分．∵BD的中点O只有一个，∴BD与FH也交于O点．∴OB＝OD，OF＝OH，∴EG与HF互相平分．
方法总结：本题综合利用了平行四边形的判定与性质，证明的关键在于根据图形发现平行四边形．
三、板书设计
教学反思
本节课是对前面所学的全等三角形和平行四边形的定义、性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，在教学内容上起着承上启下的作用．教学过程中通过操作、交流、论证，使学生逐步掌握说理的基本方法，能合理清晰地表达自己的思维过程．让学生主动参与探索的过程，发展学生的合情合理意思，激发学生学习数学的热情和兴趣.
