20.2.2数据的离散程度
第2课时
用样本方差估计总体方差
教学目标
1．会用样本方差估计总体方差；(重点、难点)
2．体会样本代表性的重要意义．
教学过程
一、情境导入
某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
队员
每人每天进球数
甲
10
6
10
6
8
乙
7
9
7
8
9
他们的平均进球数都是8，现在从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
二、合作探究
探究点一：用样本方差估计总体方差
【类型一】
质量问题
两台机床同时生产直径(单位：mm)为10的零件，为了检验产品的质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：
机床甲
8
9
10
11
12
机床乙
7
10
10
10
13
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识来判断这两台机床生产的零件的质量优劣？
解析：求出每组数据的平均数，根据方差公式求出每组的方差，然后根据方差的大小进行比较．
解：x甲＝(8＋9＋10＋11＋12)＝10(mm)，x乙＝(7＋10＋10＋10＋13)＝10(mm)．由于x甲＝x乙，因此平均直径不能反映两台机床生产出的零件的质量优劣；
再计算方差，可得s＝2，s＝3.6，
∵s从众数来看，甲机床只有1个零件的直径是10mm，而乙机床有3个零件的直径是10mm，∴从众数的角度看，乙机床生产的零件质量更好一些．
方法总结：解决此题，要先分别计算两组数据的平均数，只有在平均数相等或非常接近的情况下，才能利用方差的大小判断数据的稳定性．
【类型二】
产量问题
在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的产量如下(单位：kg)：
甲：402，492，495，409，460，420，456，501；
乙：428，466，465，428，436，455，449，459.
哪种水稻的平均产量较高？哪种水稻的产量比较稳定？
解析：要比较哪种水稻的产量稳定，需比较两种水稻产量的方差．
解：x甲＝(402＋492＋495＋409＋460＋420＋456＋501)＝454.375(kg)，
x乙＝(428＋466＋465＋428＋436＋455＋449＋459)＝448.25(kg)，
s＝[(402－454.375)2＋(492－454.375)2＋…＋(501－454.375)2]≈1407，
s＝[(428－448.25)2＋(466－448.25)2＋…＋(459－448.25)2]≈216.
因为x甲>x乙，所以甲种水稻的平均产量较高；又因为s>s，所以乙种水稻比甲种水稻的产量稳定，由此可估计乙种水稻的产量比较稳定．
方法总结：方差越小，产量越稳定．当样本具有代表性时，可用样本方差去估计总体方差．
【类型三】
比赛成绩问题
如图所示是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
解析：∵x甲＝＝9(环)，x乙＝＝9(环)，s＝×[4×(8－9)2＋2×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝0.8，s＝×[3×(9－8)2＋4×(9－9)2＋3×(10－9)2]＝0.6，∵x甲＝x乙，s>s，∴乙比甲的成绩稳定．故选B.
方法总结：从统计图中读取数据信息是解决本题的前提．方差是反映数据稳定性的统计量，方差越小，数据稳定性越好．
探究点二：根据方差做决策
【类型一】
根据方差做决策
某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据(单位：个).
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
89
100
96
118
97
500
乙班
100
96
110
90
104
500
统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？
解析：平均数＝总成绩÷学生人数；中位数是按次序排列后的第3个数．根据方差的计算公式得到数据的方差．
解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
x甲＝×500＝100(个)，x乙＝×500＝100(个)；
s＝[(89－100)2＋(100－100)2＋(96－100)2＋(118－100)2＋(97－100)2]＝94，
s＝[(100－100)2＋(96－100)2＋(110－100)2＋(90－100)2＋(104－100)2]＝46.4；
甲班的优秀率为2÷5×100%＝40%，乙班的优秀率为3÷5×100%＝60%；
答：应选乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较高．
方法总结：在解决决策问题时，既要看平均成绩，又要看方差的大小，还要分析变化趋势，进行综合分析，从而做出科学的决策．
【类型二】
结合方差与图表信息解决问题
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间
，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量(如下表)．
统计量
平均数
(次)
中位数
(次)
众数
(次)
方差
该班级男生
收看人数
3
3
4
2
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．
解析：(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数；(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可；(3)比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．
解：(1)20人 3
(2)该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%＝65%，所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人，则＝60%，解得x＝25，
答：该班级男生有25人；
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为＝3，女生收看“两会”新闻次数的方差为＝，因为2＞.所以男生收看“两会”新闻次数的波动幅度比女生收看“两会”新闻次数的波动幅度大．
方法总结：解答此类问题，首先要读懂图表，弄清楚统计图表的意义和统计图表中每部分的具体数据，从图表中提取有效信息．问题的顺利解答在很大程度上取决于是否能够正确地识图表、用图表．
三、板书设计
教学反思
本节课学习了用样本方差来估计总体方差，注意样本的选择应具有代表性．教学过程中通过实例的讲解感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，增强学生的探索推理能力以及逻辑思维能力.20.2.2数据的离散程度
第1课时
方差
教学目标
1．理解方差的概念与作用；(重点)
2．理解和掌握方差的计算公式，能灵活运用方差来处理数据；(重点)
3．会用计算器求数据的方差．
教学过程
一、情境导入
从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环，但教练还是选择甲运动员参赛．
问题1：从数学角度，你知道为什么教练员选甲运动员参赛吗？
问题2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？
二、合作探究
探究点一：方差
【类型一】
求数据的方差
为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；
乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7.
(1)求x甲，x乙，s，s；
(2)你认为该选拔哪名同学参加射击比赛？为什么？
解析：方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
解：(1)x甲＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝3，x乙＝(9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝7，s＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]÷10＝1.2；
(2)∵s＞s，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．
方法总结：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．
【类型二】
已知原数据的方差，求新数据的方差
如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的方差是( )
A．4
B．7
C．8
D．19
解析：根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则根据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的平均数为a＋3，再根据方差公式进行计算：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]即可得到答案．数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的平均数为a＋3，根据方差公式：s2＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝4.则s2＝{[(x1＋3)－(a＋3)]2＋[(x2＋3)－(a＋3)]2＋…＋[(xn＋3)－(a＋3)]}2＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝4.故选A.
方法总结：此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
【类型三】
根据统计图表判断方差的大小
如图是2014年1～12月份某市居民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数方差最小的是( )
A．居民消费价格指数
B．工业产品出厂价格指数
C．原材料等购进价格指数
D．不能确定
解析：从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格指数．故选A.
方法总结：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
【类型四】
方差的应用
某农科所在8个试验点对甲、乙两种玉米进行对比试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下(单位：kg)：
甲：450，460，450，430，450，460，440，460；
乙：440，470，460，440，430，450，470，440.
则在这些试验点________的产量比较稳定(填“甲种玉米”或“乙种玉米”)．
解析：要说明这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定，可以利用方差比较，方差小者较稳定．因为甲种玉米亩产量的平均数x甲＝(450×3＋460×3＋440＋430)＝450(kg)，乙种玉米亩产量的平均数x乙＝(440×3＋470×2＋460＋450＋430)＝450(kg)，s＝＝100，s＝＝200.所以s方法总结：(1)方差是统计学中非常重要的一个特征数，当两组数据的平均数相同或接近时，通常比较两组数据的方差来判断数据的稳定性；(2)方差越大，数据的稳定性越差；方差越小，数据的稳定性越好．
探究点二：用计算器求方差
某校为了解八年级数学测试中甲、乙两班学生的成绩情况，从每班抽取10名学生的成绩(单位：分)进行分析，具体分数如下：
甲：86，78，80，86，92，85，85，87，86，88；
乙：78，91，87，82，85，89，81，86，76，87.
用计算器分别计算它们的方差，并根据计算结果说明哪个班的测试成绩比较稳定．
解析：若要判断甲、乙两个班哪个班学生的成绩更稳定，只需用计算器计算出它们的方差．通过比较方差的大小来比较成绩的稳定性，方差小的比方差大的成绩稳定．
解：(1)按键，打开计算器；
(2)按键，将其设定至“Stat”状态，按键清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据；
(3)分别输入甲、乙两班学生的测试成绩；
(4)计算s甲显示结果为3.716180835，s乙显示结果为4.578209257.
∵s甲方法总结：根据用计算器求方差的方法进行计算，注意计算器的按键顺序．
三、板书设计
教学反思
本课主要学习了用方差表示出一组数据与其平均值的离散程度，即稳定性．方差越小，稳定性越好．注意：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果.
