平行四边形的判定2
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文档简介
(共29张PPT)
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法
练习：
如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
怎样将一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
(1)剪一个三角形,记为△ABC;
(2) D、E分别为边AB、AC中点，沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E顺时针旋转180°得四边形BCFD.
A
B
C
D
E
F
四边形BCFD是平行四边形吗 为什么？
四边形BCFD是平行四边形
D
E
B
C
A
F
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
C
A
B
D
E
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，
DE= BC.
2
1
数量关系
位置关系
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
A
B
C
D
E
F
还有另外的证法吗？
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又AD=DB
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
又∵
即DE∥BC
已知：在△ABC 中，DE分别为△ABC
的中位线。求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
1
2
(1)证明平行
(2)证明一条线段是另一条线
段的2倍或
A
B
C
D
E
三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形的中位线定理的主要用途：
第三边
A
B
C
E
D
F
证明：如图，延长DE至F,
使EF=DE，
连接CD、AF、CF
∵AE=EC
∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形∴AD FC
又D为AB中点，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
中位线定理的
其他证法
C
E
D
F
B
A
证法三：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF
又AE=EC，∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴ AD=FC
又DB=AD，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
巩固新知
１.三角形的中位线_______第三边,并且______第三边的____________
2．如图：在△ABC中，DE是中位线。
（1）若∠ADE=60°，则∠B= ;
（2）若BC=8cm，则DE= cm.
（3）DE +BC=12cm,则BC=——
3．若等腰△ABC的周长是40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE＝———
60°
4
A
B
C
D
E
D
8cm
６cm
平行于
等于 一半
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°则∠AMN = ,
若MN =12 ,则BC = .
A
M
B
C
N
61°
24
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
l
1
l
2
E
F
C
D
A
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
l
1
l
2
E
F
C
D
A
B
∟
∟
∟
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
平行线间的距离处处相等
它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和FN有怎样的关系？为什么？
A
B
C
D
E
F
M
N
（1）如图，平行四边形ABCD、 ABDE面积相等
（2）同底（等底）同高（等高）的
平行四边形面积相等。
B
C
D
E
A
练习：
1、如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD，
那么图中和△ABD面积相等的三角形有
（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
练习：
2、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，
AF⊥CD于F，∠ADC＝60°，BE＝2，
CF＝1.
求△DEC的面积.
练习：
3、如图，O是□ABCD的对角线AC的中点，
过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两 点.
求证：四边形AECF是平行四边形.
练习：
4、如图， AC是□ABCD的一条对角线，
BM⊥AC， ND⊥AC，垂足分别是M、N .
求证：四边形BMDN是平行四边形.
练习：
5、如图，在□ABCD中，延长AD到F，使
DF＝AD，连结BF交CD于点E .
求证：点E平分CD与BF.
练习：
6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的
一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、
BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结
OF .
求证：AB＝2OF.
知识总结：
1。判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
数学思想：转化思想
1.把四边形的问题转化为三角形问题解决
2.线段的倍分问题可转化为相等问题来解决.
数学方法：在三角形的中位线定理的发现过程用到画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法
A
B
C
D
E
F
G
H
1、已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC
∵ AE=EB、CF=FB,
(三角形中位线定理)
∴EF∥AC，EF= AC
∴四边形EFGH是平行四边形
同理： HG∥AC，HG= AC
∴EF ∥HG，且EF=HG
挑战自我
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
A
B
C
D
E
3. 如图, △ABC 中, D ,E 分别为AB,
AC 的中点,当BC =10㎝时,则DE = .
A
D
B
C
E
5㎝
4.如图,已知△ABC中,
AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长
是 ㎝.
A
B
C
D
E
F
5.2
5、如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、F分别是各边中点, AB=6cm，AC=8cm，则△DEF的周长= cm。
12
E
F
B
A
C
D
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法
练习：
如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
怎样将一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
(1)剪一个三角形,记为△ABC;
(2) D、E分别为边AB、AC中点，沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E顺时针旋转180°得四边形BCFD.
A
B
C
D
E
F
四边形BCFD是平行四边形吗 为什么？
四边形BCFD是平行四边形
D
E
B
C
A
F
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
C
A
B
D
E
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，
DE= BC.
2
1
数量关系
位置关系
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
A
B
C
D
E
F
还有另外的证法吗？
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又AD=DB
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
又∵
即DE∥BC
已知：在△ABC 中，DE分别为△ABC
的中位线。求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
1
2
(1)证明平行
(2)证明一条线段是另一条线
段的2倍或
A
B
C
D
E
三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形的中位线定理的主要用途：
第三边
A
B
C
E
D
F
证明：如图，延长DE至F,
使EF=DE，
连接CD、AF、CF
∵AE=EC
∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形∴AD FC
又D为AB中点，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
中位线定理的
其他证法
C
E
D
F
B
A
证法三：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF
又AE=EC，∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴ AD=FC
又DB=AD，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
巩固新知
１.三角形的中位线_______第三边,并且______第三边的____________
2．如图：在△ABC中，DE是中位线。
（1）若∠ADE=60°，则∠B= ;
（2）若BC=8cm，则DE= cm.
（3）DE +BC=12cm,则BC=——
3．若等腰△ABC的周长是40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE＝———
60°
4
A
B
C
D
E
D
8cm
６cm
平行于
等于 一半
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°则∠AMN = ,
若MN =12 ,则BC = .
A
M
B
C
N
61°
24
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
l
1
l
2
E
F
C
D
A
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
l
1
l
2
E
F
C
D
A
B
∟
∟
∟
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
平行线间的距离处处相等
它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和FN有怎样的关系？为什么？
A
B
C
D
E
F
M
N
（1）如图，平行四边形ABCD、 ABDE面积相等
（2）同底（等底）同高（等高）的
平行四边形面积相等。
B
C
D
E
A
练习：
1、如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD，
那么图中和△ABD面积相等的三角形有
（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
练习：
2、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，
AF⊥CD于F，∠ADC＝60°，BE＝2，
CF＝1.
求△DEC的面积.
练习：
3、如图，O是□ABCD的对角线AC的中点，
过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两 点.
求证：四边形AECF是平行四边形.
练习：
4、如图， AC是□ABCD的一条对角线，
BM⊥AC， ND⊥AC，垂足分别是M、N .
求证：四边形BMDN是平行四边形.
练习：
5、如图，在□ABCD中，延长AD到F，使
DF＝AD，连结BF交CD于点E .
求证：点E平分CD与BF.
练习：
6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的
一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、
BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结
OF .
求证：AB＝2OF.
知识总结：
1。判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
数学思想：转化思想
1.把四边形的问题转化为三角形问题解决
2.线段的倍分问题可转化为相等问题来解决.
数学方法：在三角形的中位线定理的发现过程用到画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法
A
B
C
D
E
F
G
H
1、已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC
∵ AE=EB、CF=FB,
(三角形中位线定理)
∴EF∥AC，EF= AC
∴四边形EFGH是平行四边形
同理： HG∥AC，HG= AC
∴EF ∥HG，且EF=HG
挑战自我
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
A
B
C
D
E
3. 如图, △ABC 中, D ,E 分别为AB,
AC 的中点,当BC =10㎝时,则DE = .
A
D
B
C
E
5㎝
4.如图,已知△ABC中,
AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长
是 ㎝.
A
B
C
D
E
F
5.2
5、如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、F分别是各边中点, AB=6cm，AC=8cm，则△DEF的周长= cm。
12
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