2021—2022学年第一学期
九
年级
数学
学科教学设计
课题
24．1.4 圆周角第1课时 圆周角定理及其推论
第
1
课时
总课时
1
教
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程
个
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主备人
审核人
使用人
使用
时间
◆活动2 探究新知
1．将圆心角的顶点进行移动，如图①.
(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB.∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
图① 图②
(2)观察图②，你能仿照圆心角的定义给这类角取一个名字并下个定义吗？
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生完成并交流展示．
2．教材P85～86 探究．
提出问题：
(1)经过测量，图24.1－11中的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB之间有什么关系？
(2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？
(3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个？
(4)改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现了什么？
(5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结论还正确吗？
图③
图④
教学
目标
1．学习圆周角、圆周角定理及推论．
2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理．
3．理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
教学
重点
理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
教学
难点
1．运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理．
2．独自探索并证明圆周角定理的推论并能应用该推论解决问题．
核心
素养
课型
新授课
有无课件
有
其它准备
教
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复
备
活动1 新课导入
1．(1)圆心角指顶点在__圆心__的角；
(2)如图，AB，CD是⊙O的两条弦：
①如果AB＝CD，那么__＝__，__∠AOB＝∠COD__；
②如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__；
③如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，__＝__．
______________
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备
教
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过
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复
备
(6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
(7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．顶点在__圆上__，
并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．
2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．
3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．
4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P87 例4.
例2 如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝，∠B＝∠DAC，则AC＝__1__．
例3 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10
cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长．
解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，
∴∠ADC＝∠ADE＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°.
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝5
cm.
∴BC＝＝＝5(cm)．
练习
1．教材P88 练习第1，3，4题．
2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一点，则圆周角∠BAC的度数为__50°__．
(第2题图)
(第3题图)
3．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5
cm，则BE＝__10__cm__．
活动5 课堂小结
圆周角的定义、定理及推论．
分层作业
教材P89 习题24.1第5，6，14题；
板书设计
反思提升
说明：1.通案内容使用小四号宋体字填写，根据备课内容可调整表格属性。
主备评价：______________
使用评价：________________2021—2022学年第一学期
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课题
24．1.4 圆周角第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
第
1
课时
总课时
1
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主备人
审核人
使用人
使用
时间
(2)如何确定三角形内切圆的圆心？请画出△ABC的内切圆．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的线段长叫做切线长．
2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线__的夹角，这就是切线长定理．
3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．
4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P100 例2.
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5
cm，求铁环的半径．
解：设圆心为O，连接OA，OP.
∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO＝60°.
又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA＝90°，∴∠POA＝30°.
∵PA＝5
cm，∴OP＝5
cm.即铁环的半径为5
cm.
教学
目标
1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
2．通过对例题的学习，养成分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，掌握数形结合的思想．
教学
重点
切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．
教学
难点
与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．
核心
素养
课型
新授课
有无课件
有
其它准备
教
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复
备
活动1 新课导入
1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？
答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？
答：相切，略．
◆活动2 探究新知
1．教材P99 探究．
(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由；
(2)求证：△PAO≌△PBO；
(3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P99 思考．
提出问题：
(1)三角形内切圆的圆心具有什么性质？
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复
备
教
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复
备
例3 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，BC为⊙O的直径．
(1)求证：AC∥OP；
(2)若∠APB＝60°，BC＝8
cm，求AC的长．
解：(1)连接OA.
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，
∴∠POA＝∠POB.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，
∴∠BOA＝2∠OCA，
∴∠POB＝∠OCA，∴AC∥OP；
(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形，∴∠PBA＝60°.
由(1)，得∠PBO＝90°，
∴∠ABO＝30°.∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.∵BC＝8
cm，∴AC＝4
cm.
练习
1．教材P100 练习第1，2题．
2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是( C )
A．15° B．20° C．25° D．30°
(第2题图)
(第3题图)
(第4题图)
3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC等于( A )
A．130° B．120° C．100° D．90°
4．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F，若△ABC的周长为20，则AE＝__10__．
活动5 课堂小结
切线长定理，三角形的内切圆及内心，直角三角形内切圆半径公式．
分层作业
教材P101～102 习题24.2第6，11，14题；
板书设计
反思提升
说明：1.通案内容使用小四号宋体字填写，根据备课内容可调整表格属性。
主备评价：______________
使用评价：________________2021—2022学年第一学期
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年级
数学
学科教学设计
课题
24．1.4 圆周角第2课时 圆内接四边形
第
1
课时
总课时
1
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备
主备人
审核人
使用人
使用
时间
(2)∠A与∠C，∠ABC与∠ADC之间有什么关系？用圆周角定理尝试证明；
(3)由此你能得出圆内接四边形的什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__圆内接多边形__，这个圆叫做这个多边形的__外接圆__．
2．圆内接四边形的对角__互补__．
◆活动4 例题与练习
例1 在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数．
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
即3x＋7x＝180°，
∴x＝18°，∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.
又∵∠B＋∠D＝180°，
∴∠D＝180°－36°＝144°.
例2 如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.
求证：DC平分∠BDE.
解：∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDA＋∠ABC＝180°，
又∵∠3＋∠CDA＝180°，
∴∠3＝∠ABC.又∵AC＝BC，
∴∠1＝∠ABC，∴∠1＝∠3.
教学
目标
1．掌握圆内接多边形、多边形的外接圆的概念．
2．理解圆内接四边形的性质．
3．通过探究讨论，培养学生的推理能力．
教学
重点
圆内接四边形性质的探究及运用．
教学
难点
圆内接四边形性质的灵活运用以及几何图形中辅助线的添加．
核心
素养
课型
新授课
有无课件
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活动1 新课导入
1．圆周角定理及其推论．
2．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB.若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．
(第2题图)
(第3题图)
3．如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．
◆活动2 探究新知
1．教材P87 思考．
提出问题：
(1)图24.1－17中，∠A是圆周角吗？∠ABC，∠C，∠ADC呢？
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教
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教
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备
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，
即DC平分∠BDE.
练习
1．教材P88 练习第2，5题．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC等于( C )
A．45° B．50° C．60° D．75°
(第2题图)
(第3题图)
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为__128°__．
4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数．
解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，
∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＝180°－∠C＝50°.
活动6 课堂小结
圆内接四边形的对角互补
分层作业
基础题：全体学生完成
能力题：选典型题中上等学生附加完成
板书设计
反思提升
说明：1.通案内容使用小四号宋体字填写，根据备课内容可调整表格属性。
主备评价：______________
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课题
24．1.4 圆周角第2课时
切线的判定与性质
第
1
课时
总课时
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主备人
审核人
使用人
使用
时间
(3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
学生完成并交流展示．
2．教材P97 第2个思考．
提出问题：
(1)尝试用反证法证明你的结论；
(2)用简洁的语言总结出你刚刚得到的结论．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．切线的判定定理：经过半径的__外端__并且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质：①切线和圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．
3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接__圆心__和__切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P98 例1.
例2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
求证：直线PB与⊙O相切．
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.
又∵点O在∠APB的平分线上，
∴OC＝OD，∴直线PB与⊙O相切．
例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
教学
目标
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线．
2．掌握切线的性质定理．
3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
教学
重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
教学
难点
探索圆的切线的判定方法．
核心
素养
课型
新授课
有无课件
有
其它准备
教
学
过
程
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复
备
活动1 新课导入
在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__．
◆活动2 探究新知
1．教材P97 第1个思考．
提出问题：
(1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？
(2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？
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教
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复
备
证明：连接OC.
∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠CAD.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠CAO.
∴AC平分∠DAB.
练习
1．教材P98 练习第1，2题．
2．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是( B )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
3．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于__60°__时，AC才能成为⊙O的切线．
(第3题图) (第4题图)
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．
活动6 课堂小结
1．用圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径．
2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．
(1)当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；
(2)当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
分层作业
教材P101 习题24.2第3，4，5题；
板书设计
反思提升
说明：1.通案内容使用小四号宋体字填写，根据备课内容可调整表格属性。
主备评价：______________
使用评价：________________
