2012年高考理科数学复习向导课件 第五章 第2讲 一元二次不等式及其解法

(共17张PPT)
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 与 ax2＋bx＋c＜0 的解集
若 a>0 时．
(1)若Δ＞0，此时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点，
即方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 x1、x2 (x1＜x2)，那
么，不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________________，不等式
ax2＋bx＋c ＜0 的解集是_____________．
{x|x＜x1 或 x＞x2}
{x|x1＜x＜x2}
(2)若Δ＝0，此时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴只有一个交
点，即方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实数根，x1＝x2＝-
b
2a
，
第 2 讲 一元二次不等式及其解法
那么不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是___________，不等式 ax2＋
bx＋c＜0 的解集是___.
(3)若 Δ＜0，此时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点，即
方程 ax2＋bx＋c＝0 无实数根，那么，不等式 ax2＋bx＋c＞0 的
解集是____，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是___.
R
若 a＜0 时，可以先将二次项系数化成正数，对照上述(1)、
(2)、(3)情况求解．
D
A．(－∞，－1)∪(－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
B．[－1,2]
D．(－1,2]
B
C
D
考点 1
解一元二次不等式
例 1：解不等式：0＜x2－x－2＜4.
不等式①的解集为{x|－2＜x＜3}，
不等式②的解集为{x|x＜－1 或 x＞2}．
因此原不等式的解集为：
{x|x＜－1 或 x＞2}∩{x|－2＜x＜3}
＝{x|－2＜x＜－1 或 2＜x＜3}．
解题思路：利用数轴求交集比较直观、简洁．
解析：原不等式相当于不等式组
解一元二次不等式的关键是分解因式，必要时求出
相应的一元二次方程的根．
A．(－∞，2)
C．(0,2)
B．(2，＋∞)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
【互动探究】
D
考点 2
解分式不等式及高次不等式法
解题思路：先分解因式，再标根求解．
解析：原不等式 (x－1)(x＋1)(x－2)(x－4)≥0，各因式根
依次为－1,1,2,4，在数轴上标根如图 5－2－1：
图 5－2－1
所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[1,2]∪[4，＋∞)．
求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法，要
注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系．
例 2：解不等式：(x2－1)(x2－6x＋8)≥0.
【互动探究】
2．不等式
x2＋2x
3－x
≥0 的解集为(
)
A
A．(－∞，－2]∪[0,3)
B．[－2,0]∪(3，＋∞)
C．[－2,0]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪(3，＋∞)
考点 3
含参数不等式的解法
解题思路：比较根的大小确定解集．
解析：原不等式等价于(x－a)(x－a2)>0.
当 a<0 时，有 aa2}．
当 a＝0 时，原不等式的解集为：{x|x≠0}．
当 0a2，原不等式的解集为：{x|xa}．
当 a＝1 时，原不等式的解集为：{x|x≠1}．
当 a>1 时，有 aa2}．
解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：
(1)根据二次项系数(大于 0，小于 0，等于 0)；
(2)根据根的判别式讨论( Δ >0， Δ＝0，Δ<0)；
(3)根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1例 3：解下列关于 x 的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
【互动探究】
错源：特殊情形考虑不周
例 4：解不等式(x＋2)2 (x＋3)(x－2)≥0.
正解：原不等式可化为：(x＋2)2 (x＋3)(x－2)＝0
①，
或(x＋2)2 (x＋3)(x－2)>0
②，
解①得：x＝－3 或 x＝－2 或 x＝2.
解②得：x＜－3 或 x＞2.
∴原不等式的解集为{x|x≤－3 或 x≥2 或 x＝－2}．
误解分析：忽视(x＋2)2≥0 这一条件的影响， 将等式的运
算性质套用到不等式运算中导致漏解．
纠错反思：在解高次不等式和分式不等式时,若因式出现了
( x a)2n, 故在数轴标根时是无需改变符号的. 若出现 ( x b)2n+1 ,
则只要用 ( x b) 替代即可.
【互动探究】
{x|x>－1 且 x≠2}
例 5：若不等式 2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2 的所有 m 都
成立，求 x 的取值范围．
解题思路：将原不等式变形，再利用一次函数的单调性或
不等式性质求解．
解析：方法一：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)＜0.
令 f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)(－2≤m≤2)．
在解含参数不等式时，通常需变形，再利用其
性质求解．
f(x)<0 恒成立，则 x 的取值范围为____________.
【互动探究】
5．已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意 m∈[－2,2]，f(mx－2)＋
1．高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因
式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数
要求为正数)
2．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函
数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：
“综上，原不等式的解集是…”．注意：按参数讨论，最后应
按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并
集.