高中数学选修2-3第1章1.1知能优化训练

[学生用书 P8]
1．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是________．
解析：由题意从A地到B地需过C、D两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．N＝3×2×4＝24(种)．
答案：24
2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有________．
解析：完成这件事可以分三种情况：抽的是语文书，有12种取法；抽的是数学书，有14种取法；抽的是英语书，有11种取法．由分类加法计数原理知共有12＋14＋11＝37种取法．
答案：37种
3．教室安装有6盏日光灯，1个开关控制2盏灯，则开灯照明的方法有________．
解析：开灯照明的情形共有3种，开2盏灯、4盏灯或6盏灯．其中，开2盏灯有3种方法；开4盏灯有3种方法；开6盏灯有1种方法．共7种方法．
答案：7种
4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．
解析：第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，共有6×6＝36种方法．
答案：36
一、填空题
1．某教室有6扇窗子，有一只小鸟从一个窗子飞入，然后又从一个窗子飞出，则小鸟可能飞过的不同路线共有________条．
解析：小鸟从教室出入需分为两步：
第一步，飞入教室，有6条路线；
第二步，飞出教室，有6条路线．
因而，根据分步计数原理，小鸟可能飞过的不同路线共有6×6＝36(条)．
答案：36
2．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法有________种．
解析：由加法原理可得有5＋3＝8(种)．
答案：8
3．从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．
解析：由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)．
答案：240
4．从集合A＝{1,2,3}和B＝{1,4,5,6}中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中能确定不同的点的个数是________．
解析：(1)A中的元素作为横坐标，B中的元素作为纵坐标有3×4＝12个不同的点．(2)B中的元素作为横坐标，A中的元素作为纵坐标有4×3＝12个不同的点．但(1,1)重复一次，所以共有12＋12－1＝23个不同的点．
答案：23
5．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有________．
解析：若甲先传给乙，则有：
甲→乙→甲→乙→甲
甲→乙→甲→丙→甲
甲→乙→丙→乙→甲，3种不同的传法；
同理甲先传给丙，也有3种不同的传法，共有6种不同的传法．
答案：6种
6．(2011年高考课标全国卷改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．
解析：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9，
其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.
答案：
7．李芳有4件不同颜色的T shirt,3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五四”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有________．
解析：先分类，李芳可以选择连衣裙也可以选择T shirt配裙子．选择连衣裙有2种方法；选择T shirt配裙子分两步：第一步，选T shirt有4种方法；第二步，选裙子有3种方法．所以一共有2＋4×3＝14种选择方式．
答案：14种
8．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有________．
解析：设胜、平、负的场次分别为x，y，z，则
有
所以x最大取11，当x＝11时，则y＝0，z＝4符合题意；当x＝10时，则y＝3，z＝2符合题意；当x＝9时，则y＝6，z＝0符合题意；当x＝8时，则y＝9，z＝－2不符合题意，其他情况也不符合题意，所以共有3种不同的胜、平、负结果．
答案：3种
9．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．
解析：组成四位数可分为四步，第一步排千位有5种，第二步排百位有5种，第三步排十位有4种，第四步排个位有3种．由分步乘法计数原理得共有四位数5×5×4×3＝300(个)．同理个位数为0的四位数有60个，个位数为5的四位数有48个．所以不能被5整除的四位数共有300－48－60＝192(个)．
答案：192
二、解答题
10．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？
解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选法；第二类，从高二年级选一人，有6种选法；第三类，从高三年级选一人，有4种选法．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．
(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选法；第二步，从高二年级选一人，有6种选法；第三步，从高三年级选一人，有4种选法．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．
(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．
11．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：
第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类计数原理，小明的爸爸共有8＋6＝14种坐法．
(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)
第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
12．7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从中各选1人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
解：第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N1＝3×2＝6(种)．
第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N2＝3×2＝6(种)．
第三类：从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，由分步乘法计数原理得N3＝2×2＝4(种)．
第四类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名参加围棋比赛和象棋比赛，有N4＝2(种)．
综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(种)．
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