高中数学选修2-3第1章1.4知能优化训练

[学生用书 P19]
1．从6名同学中选出4名参加一个座谈会，要求张王两人至多有一个人参加，则不同的选法种数为________．
解析：利用间接法，共有C－CC＝9种不同的选法．
答案：9种
2．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少一本，则不同的分法有________种．
解析：不同的分法种数为C·A＝240.
答案：240
3．9个人排成三排，每排3个人，其中甲乙两人要排在第一排，丙要排在第二排，丁要排在第三排，则总共有______种排法．
解析：分步计数，先排第一排有CA种排法，再排第二排有CA种排法，最后排第三排有A种排法，因此总的排法有：CA·CA·A＝6480(种)．
答案：6480
4．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子中(每次要将10个球装完)，要求盒子里的球的个数不小于盒子的编号数，这样的做法和数是________．
解析：由于盒子里球的个数不小于盒子的编号数，可以先将编号为1,2,3的3个盒子分别放0,1,2个球，问题转化为将7个球装入3个盒子中，且使每个盒子均有球装入的放法有多少种？此时只要把剩下的7个球分成三组，即在○○○○○○○这7个球中间的6个空档中放入两块隔板，共有C＝15(种)(如○○|○○|○○○，即编号为1,2,3的盒子分别再放2,2,3个球)．
答案：15
一、填空题
1．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法种数是______．(用数字作答)
解析：不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长有A种选法，则A－A＝16为所求．
答案：16
2．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．
解析：∵每个场馆至少分配一名志愿者，∴存在“两场各一人，一场为3人”与“两场各2人，一场为1人”两类．第一类：N1＝C·C·A＝60(种)．第二类：N2＝C·C·C·C＝90(种)．由分类计数原理知有N＝N1＋N2＝150(种)．
答案：150
3．(2011年高考大纲全国卷改编)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种．
解析：法一：不同的赠送方法有＝10(种)．
法二：从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种，从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种，将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本，由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝6种赠送方法．因此共有4＋6＝10种赠送方法．
答案：10
4．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面)，共有排列方法________种．(用数字作答)
解析：从c，d，e，f中选2个，有C种选法，把a，b看成一个整体，则3个元素全排列，为A，共计CA＝36种．
答案：36
5．如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到顶点B的最短路线有________条．
解析：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1,2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走即可，所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1,2，…，7步取出4步(横向走)的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C＝C＝35(条)．
答案：35
6．(2011年高考重庆卷)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为__________．
解析：若所选的3位中有甲但没有乙，只需从剩下的8位同学中选2位即可，故所求概率为P＝＝.
答案：
7．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有________．
解析：此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题．所以先将1填入2至4号的3个方格里有C种填法，第二步把被填入方格的对应数字填入其他3个方格，又有C种填法，第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有一种填法，故共有3×3×1＝9种填法．
答案：9种
8．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不能左右相邻，那么不同排法的种数是________．(用数字作答)
解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有A种排法，去掉两人相邻的AA种，再加上4种不能算相邻的，共有A－AA＋4＝346(种)．
答案：346
9．从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母与数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________．
解析：考虑分类计算．
第一类：字母O、Q和数字0均不出现，有CCA＝2592种排法；
第二类：字母O、Q出现一个，数字0不出现，有(CCC)A＝5184种排法；
第三类：字母O、Q不出现，数字0出现，有
(CC)A＝648种排法；
于是由分类计数原理知共有2592＋5184＋648＝8424种不同排法，应填8424.
答案：8424
二、解答题
10．某小组有7个人，其中男生4人，女生3人，站成一排照相．
(1)4名男生在一起，3名女生在一起，不同的排法有多少种？
(2)小组中甲、乙二人中间恰好间隔二人的排法有多少种？
解：(1)首先把4名男生和3名女生分别看成一个元素，则有AA种排法，然后这两个元素之间排列，有A种排法，从而共有AAA＝288种排法．
(2)法一：首先甲、乙二人站好有A种排法，然后从其余5人中选两个人排好并站在甲、乙中间有A种排法，最后将甲、乙及中间的两个人看做一个元素与另外三人排队，共有A种排法．
综上，甲、乙两人中间间隔二人的排法共有N＝AAA＝960(种)．
法二：首先让5个人(除甲、乙之外)排好，有A种排法(如图)，然后让甲、乙二人排到队伍中去，由于甲、乙中间间隔二人，故甲、乙只能选1和3,2和4,3和5,4和6中的一种，故有AA种，由分步计数原理，共有AAA＝960(种)方法．
11．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？
解：由于张数不限，2张2,3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类．出牌的方法可分为以下几类：
(1)5张牌全部分开出，有A种方法；
(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；
(3)2张2一起出，3张A分开出，有A种方法；
(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；
(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；
(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法；
因此共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝242(种)．
12．用数字1、2、3、4、5、6组成无重复数字的四位数，然后把它们按从小到大的顺序排成一个数列．
(1)3145是这个数列的第几项？
(2)这数列的第200项是多少？
(3)求这个数列的和．
解：(1)以1或2开头时的排列数有AA个；
以3开头，形如312x的排列数有A个；
形如314x且不大于3145的排列数有2个，
因此3145是这个数列的第(AA＋A＋2)项，即为第125项．
(2)以1、2、3开头，有AA＝180(个)；以4开头形如4xx的排列数有AA＝24(个)；去掉4项，4265,4263,4261,4256，所以第200项是4253.
(3)1出现在千位的四位数的个数是A，1出现在百位的四位数的个数是A，1出现在十位的四位数的个数是A，1出现在个位的四位数的个数是A.同理，2、3、4、5、6也是这样，所以这个数列的和为(1＋2＋3＋4＋5＋6)·(1000＋100＋10＋1)·A＝1399860.
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