简单线性规划问题
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简单线性规划问题
【知识要点】
1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域
(1)一般的，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中，表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．
(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．
(3) 二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：
①可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．
②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：
（ⅰ）y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．
（ⅱ）当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域；Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域；
当B＜0时，Ax＋By＋C＜0表示直线上方区域；Ax＋By＋C＞0表示直线下方区域.
2．简单线性规划
(1)基本概念：
目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．
约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．
线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．
线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．
线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．
最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．
可行解：满足线性约束条件的解(x，y)称为可行解．
可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域．
(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①分析并将已知数据列出表格；
②确定线性约束条件；
③确定线性目标函数；
④画出可行域；
⑤利用线性目标函数，求出最优解；
⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
【归类解析】
线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为 。
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
例2、已知则的最小值是 .
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围 .
解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故.
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）
(A) (B) (C) (D)
解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。
点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5、已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。
解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例６、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 .
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
七、研究线性规划中的整点最优解问题
例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是 .
解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域．如图所示．
作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z＝10x＋10y有最大值，易得．
又由题意，知x，y∈N，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值，
所以，zmax＝10×5＋10×4＝90．
点评：实际问题中，要关注是否需要整数解；在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
八、比值问题
当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
例8、已知变量x，y满足约束条件则 的取值范围是 .
解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6；所以 的取值范围是[，6].
九、实际应用问题
例9、某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克。今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？
解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z＝90x＋100y(千克)．
由题意，得
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
作直线l：90x＋100y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M点是直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20的交点，容易解得，
此时z取到最大值
答：当每天提供甲原料千克，乙原料千克时，每日最多可生产440千克产品．
十、其他
例10、(1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；
(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．
解：(1)将直线化为，由题意，得，解得a＜－7．
(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，
则(3×3－2＋a)[3×(－4)－12＋a]＜0，即(a＋7)(a－24)＜0，
所以，实数a的取值范围是(－7，24)．
例11、(1)如图，写出能表示图中阴影部分的不等式组；
(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域．
解：(1)
(2)由题意，得b2－4a2＞0，即(2a＋b)(2a－b)＜0，
所以，或，点(a，b)表示的平面区域如图所示．
【巩固练习】
1.设直线l的方程为：，则下列说法不正确的是 （C ）
A．点集{}的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积是定值
B．点集{}的图形是l右上方的平面区域
C．点集{}的图形是l左下方的平面区域
D．点集{}的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积有最小值
2.已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则 （ D ）
A． B．0 C． D．
3.在约束条件下，则目标函数的最优解是 （ D ）
A．（0，1），（1，0） B．（0，1），（0，-1） C．（0，-1），（0，0） D．（0，-1），（1，0）
4.满足的整点的点（x，y）的个数是 （ 13 ）
5.某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2、3 m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板分别取 张时，能完成计划并能使总用料面积最省. （3,6 ）
6.已知x, y满足约束条件的最大值为 .（3）
7.已知x，y满足求：(1)z1＝x＋y的最大值； (2)z2＝x－y的最大值；
(3)z3＝x2＋y2的最小值； (4)的取值范围．
解：如图，作出已知不等式组表示的平面区域．
易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)．
(1)作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z1有最大值5；
(2)作直线x－y＝0，通过平移，知在A点，z2有最大值1；
(3)作圆x2＋y2＝r2，显然当圆与直线2x＋y－2＝0相切时，r2有最小值，即z3有最小值；
(4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
8.已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则b的取值范围是 ．
9.已知点（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则的取值范围为 . [2，4]
10.不等式所表示的平面区域的面积是 . 2
11.求由约束条件确定的平面区域的面积和周长．
[解析]：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），其四个顶点为O（0，0），B（3，0），A（0，5），P（1，4）．过P点作y轴的垂线，垂足为C．
则AC=|5-4|=1，PC=|1-0|=1，OC=4，OB=3，AP=，
PB=
得=，
所以=+=，
=OA+AP+PB+OB=8++
12.求目标函数的最大值及对应的最优解，约束条件是．
[解析]：作出其可行域如图所示，
约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1），
作直线l0：10 x +15 y =0，再作与直线l0平行的直线l：10 x +15 y =z，
由图象可知，当l经过点（10，1）时使取得最大值，
显然，此时最优解为（10，1）．
13.设，式中变量满足条件，求z的最小值和最大值．（12分）
[解析]：作出其可行域如图所示，
约束条件所确定的平面区域的四个顶点为（1，），（1，5），（3，1），（5，1），
作直线l0：2 x + y =0，再作与直线l0平行的直线l：2 x + y =z，
由图象可知，当l经过点（1，）时
使取得最小值，
当l经过点（5，1）时使取得最大值，
14.A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知从A市调运一台机到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最小值和最大值．（14分）
[解析]：由题意可得，A市、B市、C市调往D市的机器台数分别为x、y、（18- x - y），调往E市的机器台数分别为（10- x）、（10- y）、[8-（18- x - y）]．于是得
W=200 x +800(10- x)+300 y +700(10- y)+400(18- x - y)+500[8-（18- x - y）]
=-500 x -300 y +17200
设Ｗ＝17200－100T，其中Ｔ＝5 x +3 y ,
又由题意可知其约束条件是
作出其可行域如图：
作直线l0：5 x +3 y＝０，
再作直线l0的平行直线l： 5 x +3 y＝Ｔ
当直线l经过点（０，10）时，Ｔ取得最小值，当直线l经过点（10，8）时，Ｔ取得最大值，
所以，当x =10，y =8时，Wmin=9800（元）； 当x =0，y =10时，Wmax=14200（元）．
答：Ｗ的最大值为14200元，最小值为9800元．
15.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1 吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大
产品 甲种棉纱（1吨） 乙种棉纱（1吨） 资源限额（吨）
一级子棉（吨） 2 1 300
二级子棉（吨） 1 2 250
利 润（元） 600 900
分析：将已知数据列成下表：
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么
z=600x+900y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．
作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组
,得M的坐标为x=≈117，y=≈67．
答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大．
16.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张.
则 目标函数为：z=2x+3y
作出可行域：
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值.
解方程 得M的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.
总结：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
图1书、11
图2
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【知识要点】
1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域
(1)一般的，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中，表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．
(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．
(3) 二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：
①可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．
②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：
（ⅰ）y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．
（ⅱ）当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域；Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域；
当B＜0时，Ax＋By＋C＜0表示直线上方区域；Ax＋By＋C＞0表示直线下方区域.
2．简单线性规划
(1)基本概念：
目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．
约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．
线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．
线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．
线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．
最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．
可行解：满足线性约束条件的解(x，y)称为可行解．
可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域．
(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①分析并将已知数据列出表格；
②确定线性约束条件；
③确定线性目标函数；
④画出可行域；
⑤利用线性目标函数，求出最优解；
⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
【归类解析】
线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为 。
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
例2、已知则的最小值是 .
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围 .
解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故.
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）
(A) (B) (C) (D)
解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。
点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5、已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。
解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例６、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 .
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
七、研究线性规划中的整点最优解问题
例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是 .
解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域．如图所示．
作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z＝10x＋10y有最大值，易得．
又由题意，知x，y∈N，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值，
所以，zmax＝10×5＋10×4＝90．
点评：实际问题中，要关注是否需要整数解；在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
八、比值问题
当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
例8、已知变量x，y满足约束条件则 的取值范围是 .
解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6；所以 的取值范围是[，6].
九、实际应用问题
例9、某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克。今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？
解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z＝90x＋100y(千克)．
由题意，得
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
作直线l：90x＋100y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M点是直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20的交点，容易解得，
此时z取到最大值
答：当每天提供甲原料千克，乙原料千克时，每日最多可生产440千克产品．
十、其他
例10、(1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；
(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．
解：(1)将直线化为，由题意，得，解得a＜－7．
(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，
则(3×3－2＋a)[3×(－4)－12＋a]＜0，即(a＋7)(a－24)＜0，
所以，实数a的取值范围是(－7，24)．
例11、(1)如图，写出能表示图中阴影部分的不等式组；
(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域．
解：(1)
(2)由题意，得b2－4a2＞0，即(2a＋b)(2a－b)＜0，
所以，或，点(a，b)表示的平面区域如图所示．
【巩固练习】
1.设直线l的方程为：，则下列说法不正确的是 （C ）
A．点集{}的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积是定值
B．点集{}的图形是l右上方的平面区域
C．点集{}的图形是l左下方的平面区域
D．点集{}的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积有最小值
2.已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则 （ D ）
A． B．0 C． D．
3.在约束条件下，则目标函数的最优解是 （ D ）
A．（0，1），（1，0） B．（0，1），（0，-1） C．（0，-1），（0，0） D．（0，-1），（1，0）
4.满足的整点的点（x，y）的个数是 （ 13 ）
5.某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2、3 m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板分别取 张时，能完成计划并能使总用料面积最省. （3,6 ）
6.已知x, y满足约束条件的最大值为 .（3）
7.已知x，y满足求：(1)z1＝x＋y的最大值； (2)z2＝x－y的最大值；
(3)z3＝x2＋y2的最小值； (4)的取值范围．
解：如图，作出已知不等式组表示的平面区域．
易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)．
(1)作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z1有最大值5；
(2)作直线x－y＝0，通过平移，知在A点，z2有最大值1；
(3)作圆x2＋y2＝r2，显然当圆与直线2x＋y－2＝0相切时，r2有最小值，即z3有最小值；
(4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
8.已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则b的取值范围是 ．
9.已知点（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则的取值范围为 . [2，4]
10.不等式所表示的平面区域的面积是 . 2
11.求由约束条件确定的平面区域的面积和周长．
[解析]：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），其四个顶点为O（0，0），B（3，0），A（0，5），P（1，4）．过P点作y轴的垂线，垂足为C．
则AC=|5-4|=1，PC=|1-0|=1，OC=4，OB=3，AP=，
PB=
得=，
所以=+=，
=OA+AP+PB+OB=8++
12.求目标函数的最大值及对应的最优解，约束条件是．
[解析]：作出其可行域如图所示，
约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1），
作直线l0：10 x +15 y =0，再作与直线l0平行的直线l：10 x +15 y =z，
由图象可知，当l经过点（10，1）时使取得最大值，
显然，此时最优解为（10，1）．
13.设，式中变量满足条件，求z的最小值和最大值．（12分）
[解析]：作出其可行域如图所示，
约束条件所确定的平面区域的四个顶点为（1，），（1，5），（3，1），（5，1），
作直线l0：2 x + y =0，再作与直线l0平行的直线l：2 x + y =z，
由图象可知，当l经过点（1，）时
使取得最小值，
当l经过点（5，1）时使取得最大值，
14.A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知从A市调运一台机到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最小值和最大值．（14分）
[解析]：由题意可得，A市、B市、C市调往D市的机器台数分别为x、y、（18- x - y），调往E市的机器台数分别为（10- x）、（10- y）、[8-（18- x - y）]．于是得
W=200 x +800(10- x)+300 y +700(10- y)+400(18- x - y)+500[8-（18- x - y）]
=-500 x -300 y +17200
设Ｗ＝17200－100T，其中Ｔ＝5 x +3 y ,
又由题意可知其约束条件是
作出其可行域如图：
作直线l0：5 x +3 y＝０，
再作直线l0的平行直线l： 5 x +3 y＝Ｔ
当直线l经过点（０，10）时，Ｔ取得最小值，当直线l经过点（10，8）时，Ｔ取得最大值，
所以，当x =10，y =8时，Wmin=9800（元）； 当x =0，y =10时，Wmax=14200（元）．
答：Ｗ的最大值为14200元，最小值为9800元．
15.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1 吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大
产品 甲种棉纱（1吨） 乙种棉纱（1吨） 资源限额（吨）
一级子棉（吨） 2 1 300
二级子棉（吨） 1 2 250
利 润（元） 600 900
分析：将已知数据列成下表：
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么
z=600x+900y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．
作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组
,得M的坐标为x=≈117，y=≈67．
答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大．
16.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张.
则 目标函数为：z=2x+3y
作出可行域：
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值.
解方程 得M的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.
总结：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
图1书、11
图2
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