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自由落体运动
一、知识引入
物体下落的运动司空见惯，例如石块和羽毛在空气中下落
①
石块下落的快，羽毛下落的慢
②
亚里士多德便认为物体下落的快慢跟它的轻重有关，即重的物体下落得快
③
若在真空环境中，从同一高度同时释放石块和羽毛，两物体同时落地
④
结论，物体下落的快慢与物体的质量无关
二、自由落体运动
1.自由落体运动的条件
①
从静止释放，物体的初速度为0
②
只受重力
2.理解：
①
运动的性质为初速度为0，加速度为的匀加速直线运动
②
为重力加速度，与物体所处的位置有关，通常取
③
匀变速直线运动的规律均适用于自由落体运动
3.自由落体运动的三个基本公式
①
速度与时间的关系
②
下落高度与时间的关系
③
落地瞬间速度与下落高度的关系
4.竖直上抛运动的规律
物体以初速度竖直上抛，上升至最高点的速度减为，可视为自由落体运动的逆过程
竖直上抛运动和自由落体运动具有对称性
上升、下落的时间
运动总时间
上升的最大高度
5.关于自由落体运动的图像
【例12】甲球的重力是乙球的5倍，甲、乙分别从高H、2H处同时自由落下(H足够大，且忽略其对g值的影响)，下列说法正确的是（ ）
A．同一时刻甲的速度比乙大
B．下落1
m时，甲、乙的速度相同
C．下落过程中甲的加速度大小是乙的5倍
D．在自由下落的全过程，两球平均速度大小相等
【答案】B
【解析】
因为甲、乙两球同时做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，任意时刻的速度为v＝gt，所以两球下落过程中，在同一时刻速度相等，故A、C错误；根据公式v2＝2gh，下落1
m时，甲、乙的速度相同，故B正确；二者高度不同，由t＝可知下落时间不等，由＝知平均速度不同，故D错误。
【训练33】（多选）关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A．初速度为零、竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动
B．仅在重力作用下的运动叫自由落体运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动
D．当空气阻力的作用较小，可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动
【答案】CD
【解析】自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，它的初速度为零．若空气阻力比较小，可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落可视为自由落体运动．故正确答案为CD．
【训练34】（多选）关于重力加速度g，下列说法正确的是（ ）
A．重的物体g大
B．同一地点，轻、重物体的g值一样大
C．g值在任何地方都一样大
D．赤道处的g值小于北极处的g值
【答案】BD
【解析】
重力加速度g与物体质量无关，故A错误；在同一地点，轻、重物体的重力加速度g相同，故B正确；重力加速度随着纬度的升高而增大，g值在赤道处小于北极处，故C错误，D正确。
【训练35】如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1，2，3，4，5，…所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．位置“1”是小球释放的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为
D．小球在位置“3”的速度为
【答案】A
【解析】
由题图可以知道每两个相邻的点之间的距离差是一样的，由Δx＝aT2可知，a＝＝，所以B、C正确；点3的瞬时速度的大小为2、4之间的平均速度的大小，所以v3＝＝，D正确；由于v3＝v1＋a·2T，故v1＝v3－2aT＝－2××T＝，故A错误．
【训练36】2018年11月27日凌晨4时许，洞察号探测器成功登陆火星，假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面18
m高处由静止释放一重物，测得重物经过3
s落到火星表面，则下列说法正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度大小为4
m/s2
B．重物落地时的速度大小为8
m/s
C．重物落地前的1
s内位移大小为8
m
D．重物下落过程中，任意相邻1
s内的位移之差为2
m
【答案】A
【解析】
根据位移时间关系公式h＝g′t2知重力加速度g′＝＝4
m/s2，故A正确；根据速度时间关系公式v＝g′t＝12
m/s，故B错误；前2
s内位移为h′＝g′t2＝8
m，Δh＝h－h′＝10
m，故C错误；重物下落过程中，任意相邻1
s内的位移之差Δx＝g′T2＝4
m，故D错误．
【训练37】一杂技演员，用一只手抛球．他每隔0.40
s
抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，g取10
m/s2)（ ）
A．1.6
m
B．2.4
m
C．3.2
m
D．4.0
m
【答案】C
【解析】
被杂技演员抛出的小球在空中应做竖直上抛运动．考虑到空中总有四个小球，其边界情况为，演员手中的球将要被抛出时，空中第4个小球刚到演员的手中，如图所示
也就是说，抛出的小球在空中运动的时间是1.6
s．再根据竖直上抛运动上升过程和下降过程具有对称性，可知第二个小球抛出后经过0.80
s到达最高点．小球到达的最大高度H＝gt2＝3.2
m.
【训练38】从离地面500
m的空中由静止开始自由落下一个小球，g取10
m/s2，求：
(1)小球经过多长时间落到地面；
(2)小球最后1
s内的位移；
(3)小球下落一半时间的位移。
【答案】(1)10
s (2)95
m (3)125
m
【解析】
(1)由h＝gt2得落地时间
t＝＝
s＝10
s。
(2)前9
s内的位移
h′＝gt′2＝×10×92
m＝405
m。
所以最后1
s内的位移为
x＝h－h′＝500
m－405
m＝95
m。
(3)下落一半时间的位移为
＝g2＝×10×2
m＝125
m。
【训练39】有一条竖直悬挂起来的长为4.2
m的细杆AB，在杆的正下方离B端0.8
m的地方有一个水平放置的圆环C，如图所示，若让杆自由下落，求：(g取10
m/s2)
(1)从杆下落开始，上端A及下端B到达圆环所经历的时间；
(2)AB杆通过圆环的过程中所用的时间。
【答案】(1)1.0
s 0.4
s (2)0.6
s
【解析】
(1)杆下落过程中，做自由落体运动。
杆的A点到达圆环的过程中，hA＝gt，
杆的B点到达圆环的过程中，hB＝gt，
其中，hA＝5.0
m，hB＝0.8
m，
解得tA＝1.0
s，tB＝0.4
s。
(2)杆通过圆环的过程中所用的时间t＝tA－tB＝0.6
s。
【训练40】气球下悬挂一重物，以v0＝
10
m/s匀速上升，当到达离地面h＝175
m处时悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，g取10
m/s2.
【答案】7
s 60
m/s
【解析】
从绳子断裂开始计时，经时间t后物体落至抛出点下方，规定初速度方向为正方向，则物体在时间t内的位移
h＝－175
m
由位移公式h＝v0t－gt2，即
－175＝10t－×10t2＝10t－5t2
解得t1＝7
s，t2＝－5
s(不合题意，舍去)
所以重物落地速度为vt＝v0－gt1＝(10－10×7)m/s＝
－60
m/s，其负号表示方向向下，与初速度方向相反．
6.初速度为的匀加速直线运动的比例关系
①
连续相等时间的比例关系
根据可知
根据可知
②
连续相等时间的比例关系
根据可知
根据可知
【例13】一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1
s内与第2
s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1
m时与走完第2
m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是（ ）
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
【答案】B
【解析】由初速度为零的匀变速直线运动的比例关系知x1∶x2＝1∶3，由x＝at2知，走完1
m与走完2
m所用时间之比为t1∶t2＝1∶，再由v＝at，可得v1∶v2＝1∶，B正确。
【例14】质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2
s、第2个2
s和第5个2
s内的三段位移之比为（ ）
A．1∶4∶25
B．2∶8∶7
C．1∶3∶9
D．2∶2∶1
【答案】C
【解析】质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2
s、第2个2
s和第5个2
s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C。
【训练41】（多选）如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑做匀加速直线运动，下列结论中正确的是（ ）
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
【答案】BC
【解析】
由速度位移关系式有：v＝2aAB，v＝2aAC，v＝2aAD，由AB＝BC＝CD，可得vB∶vC∶vD＝1∶∶，故A错误；物体在AB段的平均速度为vAB＝，物体在BC段的平均速度为vBC＝，由前面的分析可得vAB∶vBC＝(－1)∶1，故B正确；由公式v＝可得vC＝，故C正确，D错误．
【训练42】（多选）如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为（ ）
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
【答案】BD
【解析】
把子弹的运动逆向看作初速度为零的匀加速直线运动。根据v2＝2ax可知，子弹由右向左依次“穿出”三个木块的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动从左向右依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故A错误，B正确；仍假设子弹从右向左运动，子弹通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动从左向右依次穿过每个木块所用的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故C错误，D正确。
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自由落体运动
一、知识引入
物体下落的运动司空见惯，例如石块和羽毛在空气中下落
①
石块下落的快，羽毛下落的慢
②
亚里士多德便认为物体下落的快慢跟它的轻重有关，即重的物体下落得快
③
若在真空环境中，从同一高度同时释放石块和羽毛，两物体同时落地
④
结论，物体下落的快慢与物体的质量无关
二、自由落体运动
1.自由落体运动的条件
①
从静止释放，物体的初速度为0
②
只受重力
2.理解：
①
运动的性质为初速度为0，加速度为的匀加速直线运动
②
为重力加速度，与物体所处的位置有关，通常取
③
匀变速直线运动的规律均适用于自由落体运动
3.自由落体运动的三个基本公式
①
速度与时间的关系
②
下落高度与时间的关系
③
落地瞬间速度与下落高度的关系
4.竖直上抛运动的规律
物体以初速度竖直上抛，上升至最高点的速度减为，可视为自由落体运动的逆过程
竖直上抛运动和自由落体运动具有对称性
上升、下落的时间
运动总时间
上升的最大高度
5.关于自由落体运动的图像
【例12】甲球的重力是乙球的5倍，甲、乙分别从高H、2H处同时自由落下(H足够大，且忽略其对g值的影响)，下列说法正确的是（ ）
A．同一时刻甲的速度比乙大
B．下落1
m时，甲、乙的速度相同
C．下落过程中甲的加速度大小是乙的5倍
D．在自由下落的全过程，两球平均速度大小相等
【训练33】（多选）关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A．初速度为零、竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动
B．仅在重力作用下的运动叫自由落体运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动
D．当空气阻力的作用较小，可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动
【训练34】（多选）关于重力加速度g，下列说法正确的是（ ）
A．重的物体g大
B．同一地点，轻、重物体的g值一样大
C．g值在任何地方都一样大
D．赤道处的g值小于北极处的g值
【训练35】如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1，2，3，4，5，…所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．位置“1”是小球释放的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为
D．小球在位置“3”的速度为
【训练36】2018年11月27日凌晨4时许，洞察号探测器成功登陆火星，假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面18
m高处由静止释放一重物，测得重物经过3
s落到火星表面，则下列说法正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度大小为4
m/s2
B．重物落地时的速度大小为8
m/s
C．重物落地前的1
s内位移大小为8
m
D．重物下落过程中，任意相邻1
s内的位移之差为2
m
【训练37】一杂技演员，用一只手抛球．他每隔0.40
s
抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，g取10
m/s2)（ ）
A．1.6
m
B．2.4
m
C．3.2
m
D．4.0
m
【训练38】从离地面500
m的空中由静止开始自由落下一个小球，g取10
m/s2，求：
(1)小球经过多长时间落到地面；
(2)小球最后1
s内的位移；
(3)小球下落一半时间的位移。
【训练39】有一条竖直悬挂起来的长为4.2
m的细杆AB，在杆的正下方离B端0.8
m的地方有一个水平放置的圆环C，如图所示，若让杆自由下落，求：(g取10
m/s2)
(1)从杆下落开始，上端A及下端B到达圆环所经历的时间；
(2)AB杆通过圆环的过程中所用的时间。
【训练40】气球下悬挂一重物，以v0＝
10
m/s匀速上升，当到达离地面h＝175
m处时悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，g取10
m/s2.
6.初速度为的匀加速直线运动的比例关系
①
连续相等时间的比例关系
根据可知
根据可知
②
连续相等时间的比例关系
根据可知
根据可知
【例13】一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1
s内与第2
s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1
m时与走完第2
m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是（ ）
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
【例14】质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2
s、第2个2
s和第5个2
s内的三段位移之比为（ ）
A．1∶4∶25
B．2∶8∶7
C．1∶3∶9
D．2∶2∶1
【训练41】（多选）如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑做匀加速直线运动，下列结论中正确的是（ ）
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
【训练42】（多选）如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为（ ）
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
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