河北省衡水市桃城区第十四中学2020-2021学年高一下学期5月二调考试数学试卷 Word版含答案解析

桃城区第十四中学2020-2021学年高一下学期二调考试
数 学 试 卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数的值是（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．已知向量，，满足，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．2021年我国推进新冠疫苗全人群免费接种，某小区年龄分布如下图所示，现用分层抽样的方法从该小区所有人中抽取60人进行抗体检测，则从40岁至50岁之间的人群中抽取人数为（ ）
A．18 B．24 C．5 D．9
5．若是互斥事件，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．4
7．已知分别为三个内角的对边，且，的外接圆半径为2，则（ ）
A． B．4 C． D．2
8．已知函数的图像关于坐标原点对称，且对任意的，恒成立，当时，，则（ ）
A． B． C． D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为 B． C．为纯虚数 D．的共轭复数为
10．某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的众数大于乙得分的众数
C．甲得分的最高分小于乙得分的最高分
D．甲得分的极差小于乙得分的极差
11．已知向量，，则（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角的余弦值为
D．若，则
12．已知函数，若函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称
B．函数的图像关于点对称
C．将函数的图像向左平移个单位可得函数的图像
D．函数在区间上的值域为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则___________．
14．《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著. 该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法. 某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：）分别为：93，93，88，81，94，91，则这组时间数据的标准差为___________．
15．已知，则的最小值是_________．
16．如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积的最大值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）已知向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值．
18．（本小题满分12分）某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为，，；在第二轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为，，．甲、乙、丙三人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙、丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙、丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率.
19．（本小题满分12分）已知函数的图像关于直线对称，且图像相邻两个最高点的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间．
20．（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段,，,，，,后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的平均分及中位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率.
21．（本小题满分12分）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值．
22．（本小题满分12分）如图，在四边形中，，为动点，满足．
（1）求证：；
（2）设和的面积分别为和，求的最大值．
桃城区第十四中学2020-2021学年高一下学期二调考试
数学参考答案
1．【答案】B
【解析】.
2．【答案】D
【解析】为纯虚数.
3．【答案】C
【解析】因为，所以，即，
所以，因为，，所以，解得1．
4．【答案】A
【解析】由条形统计图的数据，根据分层抽样的定义可以知道，
若抽取60人，则从40岁至50岁之间的人群中抽取人数为.
5．【答案】A
【解析】因为B，C是互斥事件，所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
6．【答案】C
【解析】，根据斜二测画法规则知，所以在原图形中，，如图，
梯形OABC是直角梯形，OC//AB，且OA=4，AB=1，OC=3，
梯形OABC的面积为，所以原梯形面积为8.
7．【答案】D
【解析】，由正弦定理可得，，，整理得，，，．
8．【答案】B
【解析】∵是上的奇函数，且，
∴，即，故函数的周期为4．
∴．
9．【答案】ABC
【解析】因为，
对于A：的虚部为，正确；
对于B：模长，正确；
对于C：因为，故为纯虚数，正确；
对于D：的共轭复数为，错误.
10．【答案】CD
【解析】由雷达图可知，甲的得分从小到大排列依次是8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9；乙的得分从小到大排列依次是8.5，8.9，9.4，9.6，9.6，9.8，10.
甲得分的中位数为9.5，乙得分的中位数为9.6，，故A错误；
甲得分的众数为9.5，乙得分的众数9.6，，故B错误；
甲得分的最高分为9.9，乙得分的最高分为10，9.9<10，故C正确；
甲得分的极差为，乙得分的极差，，故D正确.
11.【答案】BCD
【解析】对于A选项，，，所以，与不共线，A错误；
对于B选项，向量在向量上的投影向量为，B正确；
对于C选项，，，C正确；
对于D选项，若，则，所以，，D正确.
12．【答案】BC
【解析】结合函数的图像易知，函数的最大值，最小值为，
则，，
代入点，则，，
因为，所以，，
，即，函数关于对称，A错误；
，即，函数关于对称，B正确；
函数的图像向左平移个单位，
得出，C正确；
当时，，，，D错误.
13．【答案】
【解析】．
14．【答案】
【解析】由题意，搜集算法所费的时间的数据，
可得数据的平均数为，
所以方差为，
所以标准差．
15.【答案】4
【解析】因为,
所以,所以,
所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立．
16.【答案】
【解析】根据题意，设，
在中，由余弦定理得
，
于是，四边形的面积为
，
因为，所以当，即时，四边形面积最大，
故当时，四边形面积的最大值为．
17.【解析】（1）由得，即；……………………………………..........……3分
（2）由得，即，所以，.………………………………............…6分
设向量与的夹角为，，，
，故，，…………….....……8分
故．.……………………………………………......................………10分
18．【解析】（1）设“甲赢得比赛”为事件A，“乙赢得比赛”为事件B，
“丙赢得比赛”为事件C，.……………………….…..............................................................................1分
则，.……………………….…................................................................................2分
，.……………………….…....................................................................................3分
，.……………………….…....................................................................................4分
因为，所以派丙参赛赢得比赛的可能性最大；..………………...…….…6分
（2）设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D，.…………………...….............................….…7分
，.…………………...…..........................................................….…8分
，.…………………...…............................................................….…9分
，.…………………...….............................…..............................…10分
则．....…......................................12分
19．【解析】（1）∵图像相邻两个最高点的距离为，
∴的最小正周期为π，
∴，又，解得，.……………………….….......................................................2分
∵图像关于直线对称，
∴，又，解得：，.........................................................5分
；.……………………….….....................................................................6分
（2）令，……………………….…...................................8分
，
，.................................................................................................11分
的单调递减区间是．.…………………….…........................12分
20．【解析】
（1）由频率分布直方图，分数在，内的频率为：....................................................................2分
，补全后的直方图如图所示：
……………………….…................................................4分
（2）由频率分布直方图得，平均分为：
……………………….…..........................................................................................................................6分
,的频率为，
,的频率为：，
中位数为：；.............................................................................................8分
（3）设事件M为“至多有1人在分数段,内”，
用分层抽样的方法在分数段为,的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为,中抽取的学生数为：人，设为a,b,
分数段为,中抽取的学生数为：人，设为A,B,C,D,......................9分
将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件为(a,b)(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),
(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)，共15个，
至多有1人在分数段,内包含的基本事件为(a,b)(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D)，共9个，
至多有1人在分数段，内的概率．.......................................................12分
21．【解析】（1），用代替得，.….……2分
则，.…………………………….............…………….................................…4分
解方程组得：，；.…………………………….............……...…6分
（2）由题意可得
对任意恒成立，.…………………………….............….............................................……8分
令，，因为在单调递增，故，......…....…9分
则对恒成立，......…..................................................................…10分
因为，当且仅当时，等号成立，
故，即实数的最大值为．..………………………….............……………...................…12分
22.【解析】（1）∵，，∴在中，利用余弦定理得：，…………………………………………2分
同理在中，，…………………………………....................……………4分
∴，；………………………………………...................................................……5分
（2）由，，…………………..……...............................................................…7分
∵，
∴，
.………………………………….……10分
则当时，有最大值．.………………………….............……………......…12分