安徽省淮北市树人高中2020-2021学年高二下学期5月月考数学（文）试卷 Word版含答案解析

淮北市树人高中2020-2021学年高二下学期5月月考
文科数学试卷
（满分150分 时间：120分钟）

一、单选题
1．已知集合M＝{x|8－2x>x2}，N＝{x|x＋3≥0}，则M∩N＝（ ）
A．[－3，4) B．(－2，4) C．[－3，2) D．[－3，－2)
2．已知集合M＝{x|0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是
A． B． C． D．
4．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
5．方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是
A． B． C． D．
6．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象与的图象关于直线对称，则
A．1 B．10 C． D．
9．设函数，若函数的图象在处的切线与直线平行，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在上的函数的导函数为且满足，若,则
A． B． C． D．
12．已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_______.
14．设，函数，则使的的取值范围是_______
15．对任意实数，表示不超过的最大整数，如，，关于函数，有下列命题：
①是周期函数； ②是偶函数；
③函数的值域为，； ④函数在区间内有两个不同的零点，
其中正确的命题为__________（把正确答案的序号填在横线上）.
记为集合S的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：
①；②，则的最大值是____________.
三、解答题（第17题10分，其余各题均12分，共70分）
17．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
18．已知集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
19．已知命题p：实数x满足，其中.命题q：实数x满足.
（1）若，且命题p和命题q均为真命题，求实数x的范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的范围.
20．已知函数（其中且）.
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围.
21．已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）当时，证明：.
22．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
淮北市树人高中2020-2021学年高二下学期5月月考
文科数学试卷
一、单选题
1．已知集合M＝{x|8－2x>x2}，N＝{x|x＋3≥0}，则M∩N＝（ ）
A．[－3，4) B．(－2，4)
C．[－3，2) D．[－3，－2)
【答案】C
【分析】
先求出集合，再利用集合的交集运算即可求出M∩N．
【详解】
由8－2x>x2，即x2＋2x－8<0，也就是(x＋4)(x－2)<0，得－4所以M＝(－4，2)．
由x＋3≥0，解得x≥－3，所以N＝[－3，＋∞)，所以M∩N＝[－3，2)．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，属于基础题．
2．已知集合M＝{x|0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
试题分析：∵M?N，∴a∈M?a∈N，而命题若a∈N，则a∈M，不成立，所以“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
3．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及奇偶性，即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：对于A， ,函数为偶函数,由指函数的性质可知在上为减函数，不符合题意；对于B，f(-x)=-f(x)，函数为奇函数，不符合题意；对于C，f(-x)=f(x),函数为偶函数，由对数函数的性质可知在（0，+∞）上是增函数，符合题意；对于D，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性和指对函数图像的性质.
4．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除
当时， ，故排除
故选C
点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行：
（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；
（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；
（3）根据函数图象的变化趋势判断；
（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．
5．方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，结合题意可得，再根据不等式的包含关系即可得解.
【详解】
方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：，
解得.
易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及充分不必要性的判断，属于基础题.
6．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据解析式可直接判断出奇偶性和单调性.
【详解】
对于A，在有增有减，故A错误；
对于B，既是奇函数又在上单调递增，故B正确；
对于C，不是奇函数，故C错误；
对于D，是偶函数，故D错误.
故选：B.
7．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设出两个切点坐标，求得两个曲线的导数，根据导数的几何意义可得切线方程，联立方程可分别求得答案得选项.
【详解】
设曲线上的点，，；
曲线上的点，，；
，
，，
．
故选：D．
【点睛】
方法点睛：本题主要考查利用导数的几何意义，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
8．已知函数的图象与的图象关于直线对称，则
A．1 B．10 C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以，所以，故选A．
考点：1、函数的图象；2、对数的运算．
9．设函数，若函数的图象在处的切线与直线平行，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数的几何意义求在处的切线方程，它与直线平行有，结合基本不等式中“1”的代换求的最小值
【详解】
由题意，知：，则，而
∴函数在处的切线：
∵切线与直线平行，有且
∴当且仅当时等号成立
故选：D
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，根据两线平行有斜率相等从而得到相关参数的方程，结合基本不等式“1”的代换求目标代数式的最小值
10．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，得到函数为R上的减函数，结合分段函数的单调性的求解方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数对任意的都有成立，
即函数为R上的减函数，
可得，解得.
故选：C.
11．已知定义在上的函数的导函数为且满足，若,则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构建函数，利用的导数结合已知条件证得在上递增，根据函数的单调性列不等式，由此判断出正确选项.
【详解】
构建函数，求导得，
又可得：，，即
在上的函数为增函数，再由，得成立．
故选B.
【点睛】
本小题主要考查构造函数法比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
12．函数，不等式对任意恒成立，则实数m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.
【详解】
由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，
令，则，
令，则，
在单调递增，
，
存在唯一零点，且，使得，
在单调递减，在单调递增，，
，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数，将题目转化为求解的最小值.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．
【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
14．设，函数，则使的的取值范围是_______
【答案】
【分析】
根据对数函数的性质，将转化为，因式分解后解指数不等式，求得的取值范围.
【详解】
由于，所以可转化为，即，也即，所以，故使的的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查对数函数的性质，考查指数不等式的解法，属于基础题.
15．对任意实数，表示不超过的最大整数，如，，关于函数，有下列命题：
①是周期函数；
②是偶函数；
③函数的值域为，；
④函数在区间内有两个不同的零点，
其中正确的命题为__（把正确答案的序号填在横线上）.
【答案】①③
【分析】
根据的表达式，结合函数的周期性，奇偶性和值域分别进行判断即可得到结论.
【详解】
解：，是周期函数，3是它的一个周期，故①正确.
，结合函数的周期性可得函数的值域为，，则函数不是偶函数，故②错，③正确.
，故在区间内有3个不同的零点，，2，故④错误.
则正确的命题是①③，
故答案为：①③
【点睛】
本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，正确理解函数的意义是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.
16．记为集合S的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①；②，则的最大值是____________.
【答案】2019
【分析】
设，根据元素个数得到子集个数，根据，分析出，即可求解.
【详解】
设，
则，
即得，所以，
（1）若，，所以左边是偶数，右边是奇数不合，
（2）若，，所以左边是偶数，右边是奇数不合，
故，
而，①若，则，
②若，则，
所以的最大值为2019，时取最大值.
【点睛】
本题考查交集与并集的混合运算，考查了集合的元素个数与集合子集间的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大．
三、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）先对函数求导，再把代入导函数中可求出切线的斜率，再求出的值，可得切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程；
（2）设切点为，则，从而可求出或，进而可求得切线方程
【详解】
解：(1)由已知得,则，所以切线斜率，
因为
所以切点坐标为，所以所求直线方程为，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为.
(2)由已知得，设切点为,
则，即，得或，
所以切点为或，切线的斜率为或，
所以切线方程为或
即切线方程为或，
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的几何意义，求曲线的切线方程，解题的关键是注意过某点和在某点处的切线方程的求法的区别，考查计算能力，属于中档题
18．已知集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）解不等式化简集合，再进行集合交运算，即可得答案；
（2）由（1）得，再由条件 ，可得不等式组；
【详解】
解（1）由已知得，由解得，
所以．
（2）由（1）得，，
，解得．
【点睛】
本题考查解不等式、集合的交运算、根据集合间的关系求参数，考查运算求解能力，求解时注意等号能否取到.
19．已知命题p：实数x满足，其中.命题q：实数x满足.
（1）若，且命题p和命题q均为真命题，求实数x的范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当时，根据一元二次不等式的解法，可求得命题p解集，同理可得命题q的解集，根据题意，即可求得结果；
（2）求得命题p解集，根据题意，得到命题q是命题p的子集，建立不等式组，即可求得结果.
【详解】
（1）当时，命题p：，解得，
命题q：，解得，
又命题p和命题q均为真命题，所以；故x的范围为
（2）命题p：，因为，解得，
由（1）可得命题q：，
因为p是q的必要不充分条件，所以，且，
所以，解得，故a的范围为
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的应用，根据命题真假求参数问题，关键点在于，根据p是q的必要不充分条件，得到命题q是命题p的子集，即可列出不等式，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
20．已知函数（其中且）.
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）为奇函数；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求得函数的定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性的定义即可求得；（2）这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正，由二次函数区间的值域即可得.
试题解析：
解．（1）的定义域为，
定义域关于原点对称，
又，
，所以函数为奇函数．
（2）
即，
设
该函数在上递增、在上递减，
所以函数的最小值为5，最大值为9
所以的取值范围为.
考点：函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的判断.
21．已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意结合导数可得函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（2）由题意转化条件得证明，令，通过导数可得，即可得证.
【详解】
（1）∵函数的定义域为，且，
∴当时，；当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得最小值0；
（2）证明：∵当时，要证成立，
∴只要证成立，由（1）可知即，
∴只要证，即只要证，
令，则，
∴当时，，
∴函数在上单调递增，
∴当时，，即，
∴当时，不等式成立.
【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理转化条件、构造函数是解题关键，属于中档题.
22．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增；（2）2个.
【分析】
（1）当时，求得，令，求得，
当时得到 ；当时，求得，
进而得到函数的单调区间；
（2）由，设，得到，分，和三种情况讨论，分别求得函数的单调性与极值，进而求得结论.
【详解】
（1）当时，()，则，
设，则，
当时，，所以，
所以在上单调递减；
当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
综上可得，在上单调递减；在上单调递增.
（2）由函数()，
当时，，所以0是的一个零点，
又由，设，可得，
因为，
①当时，，在单调递增，
则，在单调递增，，
所以在无零点.
②时，，则，
所以在无零点.
③当时，，，在单调递增，
又，，所以存在唯一实数，
使得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又，，所以在有唯一零点，
所以在有一个零点，
综上，当时，函数有2个零点.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
23．已知函数
（1）若，求函数的零点；
（2）若函数在上为增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）-2，0，；（2）
【分析】
(1) 当时，求解；当时，求解，即可求得函数零点；(2) 在上是增函数，且，在上为增函数，且，由题意知，由此求得a的取值范围.
【详解】
（1）当时，由，得；
当时，由得或.
∴时，函数的零点为-2，0，.
（2）函数在上是增函数，且，
函数在上为增函数，且，
若在[-1，+∞）上为增函数，则，∴.
【点睛】
本题考查求函数的零点，函数的单调性的判断及性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.
24．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）对函数进行求导，利用导数求出函数的最大值，最后根据最大值的正负性，结合函数零点的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】
（1）当时，，
定义域为，，
又，，
∴曲线在处的切线方程是，
即；
（2）显然，函数的定义域为，，
令，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴有最大值，
当，即时，，于是，即，
∴在上单调递减，又，∴只有一个零点，
当，即时，，，
令()，则，
∴在上单调递减，，∴；
∴，
又且在上单调递增，在上单调递减，
∴存在，使得，存在，使得，
∴当时，，当时，，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，且，∴在内有唯一零点，且、，
又，，
∴在与内均有唯一零点，
故当时，函数有三个零点，
因此当时，函数有一个零点，当时，函数有三个零点.
【点睛】
关键点睛：本题的第2问的关键是对函数的二次求导，根据函数的最大值的正负性进行分类讨论求解.