4.5.1函数的零点与方程的根（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（Word含解析）

4.5.1函数的零点与方程的解同步练习（二）
单选题
1．函数f（x）＝ex+x+1零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）
2．已知函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[1，3]时，f（x）＝|x﹣2|﹣1，若函数y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
3．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，所以在x∈[﹣2，6]上关于x的方程f（x）﹣log3（x+3）＝0恰有多少个不同的实数根（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知函数f（x）＝与函数g（x）＝mx2有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
5．已知f（x）＝x（x+1）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则f（x）的值域为（　　）
A．[﹣4，+∞） B． C． D．[0，4]
6．已知a＞0，函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（2﹣x）恰有2个互异的实数解，则a的取值范围为（　　）
A．1＜a＜4 B．2＜a＜4 C．4＜a＜8 D．2＜a＜8
7．已知函数f（x）＝，则k∈（0，1）时，关于x的方程f[f（x）]＝k的根的个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（　　）
A．2 B．4 C．8 D．2a
多选题
9．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的说法是（　　）
A．m＞﹣1 B．m＜﹣1
C．当m＞0时，x1＜1＜3＜x2 D．当m＞0时，1＜x1＜x2＜3
10．记函数f（x）＝x+lnx的零点为x0，则关于x0的结论正确的为（　　）
A．0＜x0＜ B．＜x0＜1
C．＝0 D．＝0
11．已知函数，且实数a，b，c（a＞b＞c＞0）满足f（a）f（b）f（c）＜0．若实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（　　）
A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c
12．已知函数f（x）＝1﹣|1﹣x|，若关于x的方程f2（x）+af（x）＝0有n个不同的实根，则n的值可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
填空题
13．关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，则实数a的取值范围是　　．
14．已知函数恰有两个零点，则λ的取值范围为　　．
15．已知函数f（x）＝，那么f（f（4））＝　　，若存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是　．
16．设f（x）＝．若函数y＝f（x）﹣a有四个零点，记为x1，x2，x3，x4．则实数a的取值范围为　　；x1?x2?x3?x4的取值范围为　　．
解答题
17．已知false，false．
（Ⅰ）关于false的方程false有且只有正根，求实数false的取值范围；
（Ⅱ）若false对false，false恒成立，求实数false的取值范围．
18．设false，已知函数false，false（1）false．
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）求函数false的最小值；
（Ⅲ）若方程false在区间false上有两个不相等的实根，求实数false的取值范围．
19．已知函数false．
（1）当false时，解关于false的不等式false；
（2）若方程false在false上有两个不相等的实数根，求实数false的取值范围．
20．已知函数false，false．
（1）false恒成立，求实数false的取值范围；
（2）当false时，求不等式false的解集；
（3）若存在false使关于false的方程false有四个不同的实根，求实数false的取值范围．
4.5.1函数的零点与方程的根同步练习（二）答案
1．解：函数f（x）＝ex+x+1是连线增函数，
f（﹣2）＝e﹣2﹣2+1＜0，f（﹣1）＝e﹣1﹣1+1＞0，
由函数零点的存在性定理，函数f（x）＝ex+x+1的零点所在的区间为（﹣2，﹣1）．
故选：C．
2．解：由函数f（x+2）＝f（x）所以函数的周期为2，
如图所示：
在同一坐标系内画出函数y＝f（x）和函数y＝loga（x+1）的图象，
当a＞1时，两函数图象只有一个交点，所以0＜a＜1，
由图易知：当函数y＝loga（x+1）的图象经过（2，﹣1），函数y＝f（x）与函数y＝loga（x+1）的图象有两个交点，
即函数y＝f（x）﹣loga（x+1）有两个零点，要使函数y＝y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三个零点，则loga（2+1）＞﹣1，
所以．
故选：B．
3．解：∵f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝f（x），∴函数f（x）的周期为4．
令y＝f（x），g（x）＝log3（x+3）画函数的图象，
则满足f（6）＝g（6），恰有4个交点．
故选：B．
4．解：当x＞0时，f（x）＝，
当x≤0时，f（x）＝，结合对称性作出f（x）的图象如图：
要使函数f（x）与函数g（x）＝mx2有四个不同的交点，则m首先要大于0，
且在y轴左侧两函数图象有两个交点，y轴右侧两函数图象有一个交点，故排除C与D；
取m＝2，可得y＝2x2，与y＝（x＞0）联立，可得，
即2x2+4x﹣1＝0，解得（舍）或x＝，符合题意，
即m＝2满足，
∴实数m的取值范围是m＞1．
故选：B．
5．解：因为函数f（x）＝x（x+1）（x2+ax+b）有两个零点﹣1，0，
又因为其图象关于直线x＝1对称，
所以2，3也是函数f（x）的两个零点，
即f（x）＝x（x+1）?（x﹣2）（x﹣3），
所以f（x）＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），
令t＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
则，
所以，即f（x）的值域为．
故选：B．
6．解：当x＝0时，可得f（x）的函数值为a，而对于直线y＝a（2﹣x），
当x＝0，可得函数值y＝2a，显然在y轴上不相交，
方程f（x）＝a（2﹣x）恰有2个互异的实数解，
当x≤0时，f（x）＝x2+，那么f′（x）＝2x，
令2x＝﹣a，可得切点的横坐标x＝，
要使f（x）＝x2+与直线y＝a（2﹣x）有两个交点，
则，解得a＞2，
当x＞0时，f（x）＝﹣x2，那么f′（x）＝﹣2x，
令﹣2x＝﹣a，可得切点的横坐标为x＝，
∵x≤0时，有两个交点，
∴当x＞0时，没有交点，则，解得a＜8，
综上，可得a的取值范围是（2，8）．
故选：D．
7．解：令t＝f（x），则原方程可化为f（t）＝k，k∈（0，1）．
当t≤0时，可得﹣t＝k，解得t1＝﹣k∈（﹣1，0）；
当t＞0时，有﹣t2+2t＝k，此时f（t）＝﹣t2+2t在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，且f（0）＝f（2）＝0，f（1）＝1；
结合k∈（0，1）可知，方程在（0，1）和（1，2）上各有一个根t2，t3，不妨设t2∈（0，1），t3∈（1，2）．
做出函数f（x）以及y＝ti，（i＝1，2，3）的图象如右图：
由图象可知，它们共有五个交点，故原方程共有5个根．
故选：B．
8．解：因为函数f（x）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，故f（x）的图象关于（）对称；
而＝，
该函数图象是由函数y＝的图象向右平移个单位，然后向上平移一个单位得到的，
结合y＝的图象关于（0，0）对称，故y＝的图象关于（）对称．
设该它们的四个交点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）分成两对各自关于对称，
不妨设（x1，y1）与（x2，y2）对称，（x3，y3）与（x4，y4）对称，
则y1+y2+y3+y4＝2×2＝4．
故选：B．
9．解：方程整理可得：x2﹣4x+3﹣m＝0，由不同两根的条件为：△＝16﹣4（3﹣m）＞0，可得m＞﹣1，所以A正确，B不正确．
当m＞0时，即（x﹣1）（x﹣3）＞0，函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣3）﹣m与x轴的交点（x1，0），（x2，0），
如图可得x1＜＜1＜3＜x2，
所以C正确，D不正确；
故选：AC．
10．解：根据题意，函数f（x）＝x+lnx，其定义域为（0，+∞），
有f（）＝ln+＝﹣ln2＜0，f（1）＝1+ln1＝1＞0，
则有f（）f（1）＜0，
若函数f（x）＝x+lnx的零点为x0，则有＜x0＜1，B正确，A错误，
函数f（x）＝x+lnx的零点为x0，即x0+lnx0＝0，则lnx0＝﹣x0，则有＝x0，变形可得﹣x0＝0，C正确，D错误，
故选：BC．
11．解：根据题意，函数＝2x+log2x，其定义域为（0，+∞），
函数y＝2x和y＝log2x都在（0，+∞）为增函数，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
因为实数a，b，c（a＞b＞c＞0）满足f（a）f（b）f（c）＜0，
则f（a），f（b），f（c）可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，
如图．则A，B，C可能成立，x0＞c，D不可能成立．
，
故选：ABC．
12．解：因为函数f（x）＝1﹣|1﹣x|＝，
作出f（x）的图象如下：
由[f（x）]2+af（x）＝0得：f（x）＝0或f（x）＝﹣a，
所以方程[f（x）]2+af（x）＝0的解的个数，即为函数f（x）与x轴以及直线y＝﹣a交点个数，
由图象可得：f（x）与x轴有2个交点，
①当﹣a＞1，即a＜﹣1时，函数f（x）与直线y＝﹣a无交点，故原方程共2个解；
②当﹣a＝1，即a＝﹣1时，函数f（x）与直线y＝﹣a有1个交点，故原方程共3个解；
③当0＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜0时，函数f（x）与直线y＝﹣a有2个交点，故原方程共4个解；
④当﹣a＝0，即a＝0时，原方程可化为f（x）＝0，故原方程共2个解；
⑤当﹣a＜0，即a＞0时，函数f（x）与直线y＝﹣a有2个交点，故原方程共4个解；
综上，原方程解的个数可能为2，3，4．
故选：AB．
13．解：∵关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，
∴＞0，即＜0，
解得：﹣＜a＜4，
∴实数a的取值范围是（）．
故答案为：（）．
14．解：令x2﹣2x﹣3＝0，可得x＝﹣1或x＝3，
令ln（x﹣1）＝0，可得x＝2，
∵x﹣1＞0，可得x＞1．
则λ≥1．
作出图象，
结合图象可得1≤λ＜2或λ≥3时，f（x）恰有两零点．
故答案为：[1，2）∪[3，+∞）．
15．解：由f（4）＝﹣2
那么f（f（4））＝f（﹣2）＝1．
设f（a）＝t，
由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t），
可得t＝1或t＝﹣1，
由图象可知：
当t＝1时，即f（a）＝1，可得a＝1或a＝﹣2，
当t＝﹣1时，即f（a）＝﹣1，可得a＝3或a＝0或a＝﹣1，
综上，存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是5个值，
故答案为1，5．
16．解：函数f（x）＝，
画出函数f（x）的大致图象如图所示：，
函数y＝f（x）﹣a有四个零点，等价于方程f（x）＝a有四个根，等价于函数f（x）与函数y＝a图象有四个交点，
由函数f（x）的图象可知，0＜a≤1，
不妨设x1＜x2＜x3＜x4，
所以，，lnx3＝﹣a，lnx4＝a，
即x1，x2是方程x2+2x+1﹣a＝0的两个根，
所以x1x2＝1﹣a，，，
∴x1?x2?x3?x4＝（1﹣a）e﹣a?ea＝1﹣a，
∵0＜a≤1，
∴0≤1﹣a＜1，
即x1?x2?x3?x4的取值范围为：[0，1），
故答案为：（0，1]，[0，1）．
17．解：（Ⅰ）false关于false的方程false有且只有正根，
false①当false时，解得false，符合题意，
②当false时，false，解得false，
综合①②可知，false的取值范围是false．
（Ⅱ）令false（a）false，false，false，
由false（a）false，得false，解得false，
false实数false的取值范围是false．
18．解：（Ⅰ）false函数false，false（1）false．
false，false．
（Ⅱ）false．
false时，函数false的最小值为false；
（Ⅲ）可得false
设false，false，false，
令false，false，
根据二次函数性质可得false在false单调递减，在false，false单调递增．
所以false在false单调递减，在false，false单调递增．
falsefalse，
所以，方程false在区间false上有两个不相等的实根，则实数false的取值范围
为false，false．
19．解：（1）当false时，false，
false，得false，
false，即false．
false不等式false的解集为false；
（2）由false，
得false，
false或false，
false方程false在false上有两个不相等的实数根，
falsefalse，解得false且false．
20．解：（1）由false恒成立，
即false恒成立，
可得false恒成立，
当false时，false恒成立，满足题意；
当false时，要使false恒成立，则false，
即false，
解得false．
综上，可得实数false的取值范围是false，false．
（2）函数false
即false
当false时，可得false，不等式的解集为false；
当false时，原不等式的解集为false，false，false；
当false时，原不等式的解集为false，false，false；
（3）令false，
则false，
由方程false有四个不同的实根，即false与false有4个不同的交点，
当false，显然false与false不能有4个不同的交点，
当false，作出false的图象（如图），
从图象，显然false与false不能有4个不同的交点，
当false，作出false的图象（如图），
从图象可得：当false时，false取得最大值为false，
要使false与false不能有4个不同的交点，
则false．
即false，
解得false或false，
false综上，可知实数false的取值范围false．