4.5.1函数的零点与方程的解（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（Word含解析）

4.5.1函数的零点与方程的解同步练习（一）
一、单选题
1．已知函数f（x）＝lnx+x﹣4，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（ 1，2） C．（2，3） D．（3，4）
2．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系．对数源于指数，对数的发明先于指数，这已经成为历史珍闻．若ex＝2.5，lg2＝0.3010，lge＝0.4343，根据指数与对数的关系，估计x的值约为（　　）
A．0.4961 B．0.6941 C．0.9164 D．1.469
3．设函数f（x）＝x+lgx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），f（x）的零点为x0，则下列选项中一定错误是（　　）
A．x0∈（a，c） B．x0∈（a，b） C．x0∈（b，c） D．x0∈（c，+∞）
4．函数f（x）＝x﹣2+|lnx|在定义域内的零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在区间上存在两个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．a≥9 D．
6．已知函数，若函数y＝f（x）﹣k有两个零点，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（2，+∞） D．（1，+∞）
7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[﹣1，1）时，f（x）＝x2，若函数g（x）＝loga|x+1|的图象与f（x）的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（4，+∞） B．（6，+∞） C．（1，4） D．（4，6）
8．已知函数f（x）＝x2﹣2mx+m﹣1，g（x）＝，若函数y＝f（g（x））有5个零点，则实数m的范围为（　　）
A．（，+∞） B．（1，） C．（0，] D．（1，]
多选题
9．已知f（x）＝ax2+bx+c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．2＜﹣＜3 B．4ac﹣b2＜0 C．f（2）＜0 D．f（3）＜0
10．已知函数f（x）＝||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）+a＝0有n个不同的根，则n的值可能为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．设三个函数y＝2x+x﹣2，y＝log2x+x﹣2和y＝x3﹣3x2+3x﹣1的零点分别为x1，x2，x3，则有（　　）
A．x1x2＜x3 B．x1x2＞x3 C．x1+x2＝2x3 D．x1+x2≥2x3
12．已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为（　　）
A．2 B．6 C．5 D．4
填空题
13．设false，若关于false的方程false有一个正根、一个负根，则false的取值范围是　　．
14．已知定义在false上的偶函数false满足false，且当false，false时，false，所以在false，false上关于false的方程false恰有　　个不同的实数根．
15．已知函数false，若false图象与false轴恰有两个交点，则实数false的取值范围是　　．
16．已知函数false，其中false，若函数false有两个零点，则实数false的取值范围是　　．
解答题
17．（1）作出false的图象，并讨论方程false的实根的个数；
（2）已知函数false，若存在false，false，使false成立，求实数false的取值范围．
18．已知定义域为false的函数false是奇函数．
（1）求实数false的值；
（2）若不等式false在false有解，求实数false取值范围．
19．已知关于false的方程false．
（1）若方程在区间false，false上有实根，求实数false的取值范围；
（2）若方程有两个实根false，false，且false，false，求实数false的最大值．
20．已知函数false，在区间false，false上有最大值4，有最小值1，设false．
（1）求false，false的值；
（2）不等式false在false时恒成立，求实数false的取值范围；
（3）若方程false有三个不同的实数解，求实数false的取值范围．
4.5.1函数的零点与方程的解同步练习（一）答案
1．解：函数f（x）＝lnx+x﹣4，是连续增函数，又f（2）＝ln2+2﹣4＜0，
f（3）＝ln3+3﹣4＞0，
可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）＝lnx+x﹣4包含零点的区间是：（2，3）．故选：C．
2．1解：∵ex＝2.5，∴x＝ln2.5＝＝＝＝≈0.9164，
故选：C．
3．解：函数f（x）＝x+lgx的定义域为{x|x＞0}，函数是增函数，
满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），说明f（a），f（b），f（c），
有1个是负数一定是f（a），两个正数或3个负数，
由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a，c），在（a，b），在（c，+∞），
不可能在（b，c）．故选：C．
4．解：函数f（x）＝x﹣2+|lnx|在定义域内零点的个数就是方程2﹣x＝|lnx|的解的个数，也就是函数y＝2﹣x与y＝|lnx|图象交点个数，
在同一坐标系中画出：两个函数的图象如图：
可知两个函数有两个交点，原函数的零点有两个．
故选：C．
5．解：显然a≠0，可设f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1，
当a＞0时，＞，且f（）＝a++1＞0，且△＝（a﹣3）2﹣4a≥0，
即为0＜a＜且a＞，且a≥9或a≤1，
则＜a≤1；
当a＜0时，＞，且f（）＝a++1＜0，且△＝（a﹣3）2﹣4a≥0，
即为0＜a＜且a＜，且a≥9或a≤1，
则a∈?．
综上可得，a的取值范围是＜a≤1．
故选：B．
6．解：由函数y＝log2x与y＝log2（4﹣x）的图象关于直线x＝2对称，
可得f（x）的图象如图所示，
由图可知，当k＞1时，直线y＝k与函数y＝f（x）的图象有两个交点，
即函数y＝f（x）﹣k有两个零点．
故选：D．
7．解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）的周期为2，
画出函数f（x）的大致图象，如图所示：，
易知函数g（x）＝loga|x+1|的图象关于直线x＝﹣1对称，
∵函数g（x）＝loga|x+1|的图象与f（x）的图象恰有10个不同的公共点，
∴a＞1，
且函数g（x）＝loga|x+1|需满足，
即，
解得：4＜a＜6，
故选：D．
8．解：g（x）＝，作出g（x）的图象，
令t＝g（x），由函数y＝f（t）有5个零点，
那么f（x）必有两值t1，t2，
结合g（x）的图象，可得1＜t1＜3，0＜t2＜1．
根据函数f（x）＝x2﹣2mx+m﹣1的图象及性质，
可得，即，解得，故选：B．
9．解：由题意做出f（x）＝f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如：
该抛物线开口向上，与x轴在（﹣∞，2），（3，+∞）上各有一个交点．
故：△＝b2﹣4ac＞0；f（2）＜0；f（3）＜0．
又该二次函数的对称轴除了不能落在[2，3]之间外，可以取任意值，故A选项错误．
故选：BCD．
10．解：函数f（x）＝||x﹣1|﹣1|的图象如下：
根据y＝﹣a与f（x）的交点，
当a＝0或a＜﹣1时，从图象可以看出有两个交点，此时n＝2；
当a＝﹣1时，从图象可以看出有三个交点，此时n＝3；
当0＞a＞﹣1时，从图象可以看出有四个交点，此时n＝4；
综上，可知n的值可能为2，3，4．
故选：ABC．
11．解：y＝x3﹣3x2+3x﹣1＝0，可得x3＝1，
画出函数y＝2x与y＝log2x，y＝2﹣x三个函数的图象如右图
其中A（x1，y1），B（x2，y2）分别是两个函数与直线的交点（即零点x1，x2）
由指数函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，且y＝2﹣x也关于y＝x对称，
所以交点A、B关于直线y＝x对称，
所以?2﹣x1+2﹣x2＝x1+x2
∴x1+x2＝2．即x1+x2＝2x3；
再由基本不等式得x1x2＜＝1（0＜x1＜x2）．
x1x2＜x3，
故选：ACD
．
12．解：画出f（x）＝的图象如图，
由f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0，
△＝4﹣4（a2﹣1）＝8﹣4a2．
若a＜﹣或a＞，则f（x）不存在，方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为0；
若a＝，则f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0化为f2（x）﹣2f（x）+1＝0，即f（x）＝1，
方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为2；
若＜a＜﹣1或1＜a＜，则f（x）＝1﹣∈（0，1），或f（x）＝1+∈（1，2），
则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为5个；
若a＝±1，则f（x）＝0或f（x）＝2，方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为4个；
若﹣1＜a＜1，则f（x）＝1﹣∈（1﹣，0），或f（x）＝1+∈（2，1+），
方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为4个．
结合选项可知，方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为2个或5个或4个．
故选：ACD．
13．解：令false，由方程false有一个正根、一个负根，
则false，即false，解得false，故答案为false．
14．解：false，false，
false函数false的周期为4，
方程false在false，false的零点个数即
函数false，false在false，false的交点个数，
画出函数false，false的图象，如图示：
显然满足false（6）false（6），恰有4个交点，
故答案为：4．
15．解：由函数false图象与false轴恰好有两个交点，可得，
在直线false左侧取一次函数图象，右侧取二次函数图象，就构成了函数false的图象，
由图象可知，二次函数与false轴的交点横坐标为：false，false，一次函数与false轴交点的横坐标为false，
若函数false有两个零点，则false，或false．
故答案为：false，或false．
16．解：false有两个零点，
因为false，所以当false时，false，解得false或1，
所以false有一个零点，
则当false时，false的有一个零点，
此时令false，得false，所以false符合题意；
令false，得false，所以false符合题意，
综上，实数false的取值范围是false，false，
故答案为：false，false．
17．解：（1）false，
其图象如图：
由图可知，当false，false，false时，方程false有1个实根，
当false或4时，方程false有2个实根，
当false时，方程false有3个实根；
（2）函数false，
命题若存在false，false，使false成立的否定为false，false，使false成立．
下面求使命题false，false，使false成立的false的范围．
①若false，则false时，false在false，false上取得最小值，false（3）false，
false，即false；
②若false，则false时，false取得最小值为false（a）false，false不满足false恒成立；
③若false，false（3），false（5）false，false，
解得false．
综上可得，false，false，使false成立的false的范围是false，
则存在false，false，使false成立的false的取值范围为false．
18．解：（1）根据题意，false为定义在false上奇函数，false，解得false，
当false时，false，false，
满足false，false为奇函数，
故false；
（2）根据题意，由（1）的结论，false，
不等式false，即false，变形可得false，
设false，false
设false，false，false，则false，
又由false，则false，false时等号成立，
即false，false的最小值false，
若不等式false在false有解，即false在false有解，必有false，
解可得：false，即false的取值范围为false．
19．解：（1）当false时，false，符合题意；
当false时，令false，要使方程false在区间false，false上有实根，
设函数false，则false（1）false或false，
解得：false或false，
综上所求：实数false的取值范围为：false，false．
（2）由题意可知false，
所以由韦达定理可得：false，
falsefalse，
设false，则false，false，
falsefalse，
由对勾函数的单调性可得：false，
falsefalse，false，
falsefalse，
又false△false，false，
false实数false的取值范围为：false，
false实数false的最大值为false．
20．解：（1）false，其对称轴为false，则false在false，false上为增函数，
false函数false，false上最大值4，有最小值1
falsefalse，即false，可得false，false，false；
（2）由（1）可得false，
false，
不等式false在false时恒成立，
false在false，false上恒成立，
false，
由于false，
false；
故false的取值范围为false，false．
（3）令false，则方程false三个不同的实数解，
等价于false有两个不等的根，其中一根大于1，一根大于0且小于1，
false可化为false，
化简可得false，两个根分别介于false，false，
false，false
解得false．
故false的取值范围为false．