第1章
直线与方程
类型1 直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α＜120°，直线l的斜率k的范围是( )
A．－＜k≤0
B．k＞－
C．k≥0或k＜－
D．k≥0或k＜－
(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
(1)C [通过画图(图略)可知k＜－或k≥0．故选C．]
(2)[解] 由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，
即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0．
求直线的倾斜角与斜率的注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
[跟进训练]
1．已知直线ax＋y＋2＝0及两点P(－2，1)，Q(3，2)，若直线与线段PQ相交，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－或a≥
B．a≤－或a≥
C．－≤a≤
D．－≤a≤
A [因为直线ax＋y＋2＝0过定点A(0，－2)，根据题意画出几何图形如图所示．
直线ax＋y＋2＝0可化为y＝－ax－2，因为P(－2，1)，Q(3，2)，
则kAP＝＝－，
kAQ＝＝．
若直线y＝－ax－2与线段PQ相交，
即－a≥或－a≤－，
所以a≤－或a≥．]
类型2 求直线的方程
【例2】 已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0．
求：(1)AC所在的直线的方程；
(2)点B的坐标．
[思路探究] (1)直线AC过A点且与BH垂直，可求直线方程．
(2)B点在直线BH上，线段AB的中点在中线CM上，列方程组求得B点坐标．
[解] (1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0．
把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11．
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0．
(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为．
联立得方程组
化简得解得
故B(－1，－3)．
求直线方程的方法
求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．
[跟进训练]
2．已知在△ABC中，A(1，3)，AB，AC边上中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程．
[解] 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(xB，1)．
∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)，
∴点D的坐标为．
∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5．
∴点B的坐标为(5，1)．
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
∴设点C的坐标为(2t－1，t)．
∴AC的中点E的坐标为．
∵点E在中线BE：y＝1上，
∴＝1，∴t＝－1．
∴点C的坐标为(－3，－1)，
∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，
BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0．
类型3 两直线的平行、垂直及距离问题
【例3】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[思路探究] (1)把(－3，－1)代入l1方程，同时运用垂直条件A1A2＋B1B2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程．
[解] (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0．
即a2－a－b＝0．
①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0．
②
由①②解得a＝2，b＝2．
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，
即b＝．
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0．
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝．
因此或
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离．
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．
[跟进训练]
3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2．
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．
(2)由解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝．
类型4 对称问题
【例4】 光线通过点A(2，
3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
1．怎样求点关于点的对称点？
[提示] 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解．
2．怎样求点关于直线的对称点坐标？
[提示] 设出所求点坐标(x，
y)，利用中点坐标公式建立关于x，
y的第一个方程，再利用垂直关系建立x，
y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．
[解] 设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解之得，A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0．
解方程组得反射点P．
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0．
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0，4x－5y＋1＝0．
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求光线从A经反射后到达B点所经过的路程．
[解] 由本例解析知，点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(－4，－3)．所以从A发出光线经l反射后到达B的路程为|A′B|．
即|A′B|＝＝．
2．(变条件)把本例条件中“直线l：x＋y＋1＝0”改为“直线l为x轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解] 点A(2，3)关于x轴对称点为A′(2，－3)．
∴反射光线方程为＝，即4x＋y－5＝0．
又∵反射光线与x轴交点为．
∴入射光线方程为＝，
即4x－y－5＝0．
对称问题的求解策略
(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键．
(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．
(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．
(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B． C． D．2
B [法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
PAGE1.5.2 点到直线的距离
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点)2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)
3．初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)
通过对点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离呢？
知识点1 点到直线的距离
点到直线的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
图示
公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
1．点P(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为( )
A． B． C． D．2
A [d＝＝．]
2．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
－4 [由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m<0，∴m＝－4．]
知识点2 两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离
定义
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
图示
公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
(1)在运用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
(2)在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？
[提示] (1)要求直线的方程应化为一般式．
(2)两条平行直线的方程都是一般式，且x，
y对应的系数应分别相等．
3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3
B．2
C．1
D．
C [d＝＝1．]
类型1 点到直线的距离
【例1】 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
①y＝x＋；②y＝6；③x＝4．
[解] ①把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝．
②法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8．
法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8．
③因为直线x＝4平行于y轴，
所以d＝|4－3|＝1．
点到直线距离的求解方法
(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后套用点到直线的距离公式．
(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．
[跟进训练]
1．求点P0(―1，2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0．
[解] (1)根据点到直线的距离公式得
d＝＝＝2．
(2)直线方程可化为x＋y―2＝0，
所以d＝＝．
(3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1．
类型2 两条平行线间的距离
【例2】 (1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A．4
B．
C．
D．
(2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
(1)D [∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2．
∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0．
法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝．
法二：在l1上取一点M(0，3)，则点M到l2的距离
d＝＝即为所求．
法三：设原点O到直线l1、l2的距离分别为|OE|、|OF|，画出图形(图略)易得l1，l2之间的距离d＝|OE|＋|OF|＝＋＝．]
(2)[解] 当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0．
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5．
求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[跟进训练]
2．已知直线l的方程为2x－y＋1＝0．
(1)求过点A(3，2)，且与直线l垂直的直线l1的方程；
(2)求与直线l平行，且到点P(3，0)的距离为的直线l2的方程．
[解] (1)∵直线l的斜率为2，∴所求直线斜率为－，
又∵过点A(3，2)，∴所求直线方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0．
(2)依题意设所求直线方程为2x－y＋c＝0，
∵点P(3，0)到该直线的距离为，
∴＝，解得c＝－1或c＝－11，
所以，所求直线方程为2x－y－1＝0或2x－y－11＝0．
类型3 距离公式的综合应用
【例3】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
1．正方形的中心到其四条边的距离有什么关系？
[提示] 相等．
2．如何设与直线l：x＋3y－5＝0平行的直线的方程？
[提示] x＋3y＋c＝0(c≠－5)．
3．如何设与直线l：x＋3y－5＝0垂直的直线的方程？
[提示] 3x－y＋a＝0．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．
由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0．
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0．
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0．
1．(变结论)本题条件不变，求正方形的面积．
[解] 由得正方形的中心坐标为P(－1，0)．
由点到直线的距离公式得点P(－1，0)到直线x＋3y－5＝0的距离
d＝＝．
这时正方形的边长为，所以正方形的面积为S＝＝．
2．把本例条件改为“直线2x－y＋2＝0和直线x＋y＋1＝0为平行四边形的两条邻边”，求以(1，1)为中心的平行四边形的另两边所在直线的方程．
[解] 由得E(－1，0)，
又E(－1，0)关于(1，1)的对称点为(3，2)．
根据平行四边形的性质知，另两边交点为(3，2)，把(3，2)分别代入2x－y＋m＝0，x＋y＋n＝0，并解得m＝－4，n＝－5．
故平行四边形的另两边所在直线方程为2x－y－4＝0和x＋y－5＝0．
1．求参数问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
2．求方程的问题
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
3．最值问题
(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5 C．3 D．2
A [直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7．]
2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )
A． B． C．4 D．2
B [∵l1∥l2，∴解得a＝－1．∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝．]
3．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
2x－y＋1＝0 [设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知＝，解得m＝1．
故所求直线方程为2x－y＋1＝0．]
4．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－3)∪(7，＋∞) [根据题意，得>3，解得a>7或a<－3．]
5．已知直线l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，l2：2x＋y＋2＝0．
(1)当a＝1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x―2y―1＝0，求直线l的方程；
(2)求点M到直线l1的距离d的最大值．
[解] (1)当a＝1时，直线l1：3x＋4y―2＝0，l2：2x＋y＋2＝0，
则，解得交点(―2，2)．
又由直线l垂直于直线x―2y―1＝0，直线x―2y―1＝0的斜率k＝，
∴kl＝―2．
∴直线l的方程为y―2＝―2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0．
(2)直线l1：3x＋4ay―2＝0(a＞0)过定点N，
又M，∴点M到直线l1的距离d的最大值为|MN|＝＝．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．点到直线的距离公式是什么？
[提示] 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
2．两平行线间的距离公式是什么？
[提示] 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
3．运用点到直线的距离公式时要注意什么？
[提示] 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程应为一般式．
4．运用两平行线间的距离公式时要注意什么？
[提示] 要注意把两直线的方程化为Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的形式，即x，y对应的系数相等．
PAGE1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解平面上两点间的距离公式的推导方法．(重点)2．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式及其应用．(难点)3．初步掌握用坐标法研究几何问题．(重点、难点)
通过对平面上两点间的距离公式、中点坐标公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
(1)如图所示，数轴上有两点x1＝－5，x2＝7，则两点间的距离|x1x2|是多少？
(2)如图所示，在直角三角形中，求直角三角形斜边的长度．
(3)如图所示，点O与点P间的距离|OP|是多少？
那么对于平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离|P1P2|是多少？
知识点1 两点间的距离
(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b．
( )
(2)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．
( )
(3)点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当两点连线所在直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|．
( )
[答案] (1)
× (2)
× (3)×
2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于( )
A．5 B． C． D．4
A [|MN|＝＝5．]
3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于( )
A．4 B．4 C．2 D．2
B [∵P(1，1)，Q(5，5)，∴|PQ|＝＝4．]
知识点2 中点坐标公式
一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，
则
4．已知A(1，3)，B(－5，1)，那么线段AB的中点坐标是________．
(－2，2) [由中点坐标公式可得线段AB的中点坐标是(－2，2)．]
类型1 两点间的距离
【例1】 如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[思路探究] 求出△ABC的三边长，根据边长间的关系判断三角形的形状．
[解] 法一：∵|AB|＝＝＝2，
|AC|＝＝＝2，
又|BC|＝＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB．
又|AC|＝＝＝2，
|AB|＝＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
[跟进训练]
1．已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解] 设P(x，0)，|PA|＝，
|PB|＝，∵|PA|＝|PB|，
∴＝，
解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PA|＝＝2．
类型2 中点坐标公式及应用
【例2】 △ABC的两个顶点为B(2，1)，C(－2，3)，求BC边的垂直平分线的方程．
[解] 因为B(2，1)，C(－2，3)，所以kBC＝＝－，
线段BC的中点坐标是，即(0，2)，
所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0．
求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即直线过线段的中点.
[跟进训练]
2．若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为( )
A．3x－y－2＝0
B．x－3y－4＝0
C．x－3y－2＝0
D．3x－y－4＝0
C [由题意，可得线段AB的中点为(－1，－1)，线段BC的中点为(2，0)．因此所求直线方程为＝，即x－3y－2＝0．]
类型3 利用坐标法解决平面几何问题
[探究问题]
1．点P(x0，y0)到x轴的距离是什么？
[提示] |
y0|．
2．如何根据平面图形的形状建立平面直角坐标系？
[提示] 当平面图形中有一个角是直角时，可以以直角的顶点为原点建立坐标系；当平面图形为轴对称图形时，一般以平面图形的对称轴为y轴建立坐标系．
【例3】 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．
求证：|AC|＝|BD|．
如何证明|AC|＝|BD|？
[提示] 建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式证明|AC|＝|BD|.
[解] 如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝．
故|AC|＝|BD|．
1．(变条件)把本例的条件改为：
在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且2＝2＋·．求证：△ABC为等腰三角形．
[证明] 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如图所示)．
设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．因为2＝2＋·，
所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c．
所以＝，即△ABC为等腰三角形．
2．(变条件)把本例的条件改为：在△ABC中，AD是BC边上的中线，
求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
[证明] 设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤
(1)建立平面直角坐标系，尽可能地将有关元素放在坐标轴上．
(2)用坐标表示有关的量．
(3)将几何关系转化为坐标运算．
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
1．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是( )
A．x2－y2＝1
B．x2＋y2＝0
C．＝1
D．＝0
C [由两点间的距离公式得：＝1．]
2．已知点M(－1，3)和点N(5，1)，点P(x，y)到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是________．
3x－y－4＝0 [由PM＝PN，得＝，即3x－y－4＝0．]
3．若三角形的顶点分别为A(2，－3)，B(－2，－5)，C(6，4)，则AB边上的中线长为________．
10 [∵AB的中点坐标为(0，－4)，∴AB边上的中线长为＝10．]
4．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则AB的长为________．
13 [设A(a，0)，B(0，b)，则a＝5，b＝12，即A(5，0)，B(0，12)，所以AB＝＝13．]
5．已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值．
[解] 设P(x，0)，则|PA|＝＝，|PB|＝＝
，由|PA|＝|PB|，得＝
．解得x＝－，所以P，且|PA|＝．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两点间距离公式是什么？
[提示] 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝．
2．中点坐标公式是什么？
[提示] 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则
3．用解析法证明几何问题的步骤是什么？
[提示]
笛卡儿与解析几何
解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)是解析几何的创始人之一．他对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优缺点．他认为，没有任何东西比几何图形更容易印入人脑，用图形表达事物非常有利．但他对欧几里得几何中许多定理的证明需要某种奇巧的想法深感不安，他还批评古希腊人的几何过多地依赖图形．他看到了代数的力量，认为代数在提供广泛的方法论方面高于欧几里得的几何学．他认为，代数具有一般性，例如用字母代替数时，可以代表各种数：正数、负数和0；代数中的公式可以使解题过程机械化；代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力．
笛卡儿
笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．他说：“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题．我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何．”
笛卡儿曾计划写一本书《思想的指导法则》，他大胆地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．可是不久他自己就发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没有写完就搁下了(在他去世后人们将它出版)．他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方程的方法来解．
1637年笛卡儿发表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方法论》，这是一本哲学的经典著作，包含了三个附录，《几何学》就是其中之一．《几何学》是笛卡儿所写的唯一一本数学书．笛卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想．于是后人就把这本《几何学》的发表作为解析几何创立的标志．
笛卡儿最初所使用的坐标系，两个坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且y轴并没有明显地出现．至于“坐标”“坐标系”“横坐标”“纵坐标”等名词，也都是后来人们逐渐使用的．虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，所以人们仍然把后来的直角坐标系，叫作笛卡儿直角坐标系．
差不多与笛卡儿同时，另一位法国数学家费马(Fermat，1601－1665)在自己的研究中也独立地形成了用方程表示曲线的思想．因此，费马和笛卡儿同为解析几何的创始人．
费马
解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．正如恩格斯在《自然辩证法》一书中所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了．”
解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相吸取新鲜的活力，得到迅速的发展．
PAGE1.2.3 直线的一般式方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握直线的一般式方程．(重点)2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
通过学习直线五种形式的方程的相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养．
初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax＋By＋C＝0，前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)、斜截式：y＝kx＋b、两点式＝和截距式：＋＝1．它们都可以化成为二元一次方程的形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)叫作直线的一般式，下面进入今天的学习．
知识点 直线的一般式方程
(1)定义：方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
[提示] (1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．
( )
(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．
( )
(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为( )
A．－1，2
B．－2，2
C．2，－2
D．－2，－2
A [y＝0时，x＝－＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－＝－＝2，解得a＝－1．]
3．直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________．
60° [把3x－y＋1＝0化成斜截式得y＝x＋，
∴k＝，倾斜角为60°．]
类型1 直线的一般式方程与其他形式的互化
【例1】 (1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
①斜率是－，经过点A(8，－2)；
②经过点B(4，2)，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2．
截距式方程为：＋＝1．
由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2．
(2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0．
②由斜截式得y＝2，即y－2＝0．
③由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0．
④由两点式得＝，即x＋y－1＝0．
1．求直线一般式方程的方法
2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1．
[解] (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0．
(2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0．
(3)由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0．
类型2 直线过定点问题
【例2】 求直线l:
(m－1)x－y＋2m＋1＝0所过的定点的坐标．
[解] 法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
由直线的点斜式方程可知直线l过定点(－2，3)．
法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0．
令解得∴直线l过定点(－2，3)．
求直线过定点的基本方法：法一是点斜式的应用，法二是代数方法处理恒成立问题的基本思想.
[跟进训练]
2．不论m为何值，直线3x＋2y－12＝0过定点( )
A． B．
C．
D．
C [整理直线方程3x＋2y－12＝0得：
m－＝0，
故直线3x＋2y－12＝0过3x＋2y＝0与3x－2y＋12＝0的交点，
联立方程
，解得x＝－2，y＝3，
故直线3x＋2y－12＝0过定点．]
类型3 含参数的直线一般式方程问题
【例3】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
1．直线l：5ax－5y－a＋3＝0是否过定点？
[提示] 过定点．
2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第二象限，k，b应满足什么条件？
[提示] 若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第二象限，则应满足k>0且b≤0．
[解] (1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0．
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A．
以下同法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3．
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3．
1．本例中若直线在y轴的截距为2，求字母a的值．这时直线的一般式方程是什么？
[解] 把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋．
由条件可知＝2解得a＝－7，
这时直线方程的一般式为7x＋y－2＝0．
2．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，
所以a>1．
综上可知a≥1．
直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
(2)将方程变形，把x，
y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，
y的值，即为直线过的定点．
1．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件( )
A．bc＝0
B．a≠0
C．bc＝0且a≠0
D．a≠0且b＝c＝0
D [y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为
b＝c＝0，a≠0．]
2．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A． B．2 C．1 D．
D [由题意得直线与坐标轴交点为(1，0)，(0，－1)，故三角形面积为．]
3．斜率为2，且经过点P(1，3)的直线的一般式方程为________．
2x－y＋1＝0 [由点斜式得y－3＝2(x－1)，整理得2x－y＋1＝0．]
4．直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋3＝0的斜率相同，则m＝________．
3 [易知m≠±2．直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，
则＝1，
即2m2－5m＋2＝m2－4，
即m2－5m＋6＝0，所以m＝3．]
5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解] (1)由题意知m－2≠0，且m2－3m＋2≠0，解得m≠2．
(2)由＝1，得m＝0．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何把直线的一般方程化为斜截式与截距式？
[提示]
一般式
斜截式
截距式
Ax＋By＋C＝0
(A，B不同时为0)
y＝－x－(B≠0)
＋＝1(A、B、C≠0)
2．平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)来表示吗？
[提示] 可以．
3．任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
[提示] 都可以表示平面直角坐标系中的一条直线．
方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的．
如图，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝(m，n)是它的一个方向向量，P(x，y)是直线l上的任意一点，则向量与v共线．根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使＝tv，即(x－x0，y－y0)＝t(m，n)，所以
①
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数．
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x，y)，存在唯一实数t使①成立；
反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x，y)．我们把①称为直线的参数方程．
从运动学角度看，＝tv(t＞0)可以看成是质点P从点P0出发，以速度v＝(m，n)作匀速直线运动，经过时间t后的位移，因此，质点P的运动轨迹是射线P0M．类似地，你能刻画射线P0N吗？由以上讨论，你能说说方程①的运动学意义吗？
如果直线l与坐标轴不垂直，那么mm≠0，由①可得
＝t，＝t，
消去参数t，得
＝，
即y－y0＝(x－x0)，
这样就得到直线l的点斜式方程．
从另外一个角度思考，因为直线l经过点P0(x0，y0)，且它的一个方向向量为v＝(m，n)，所以直线l的斜率k＝，所以直线l的方程为
y－y0＝(x－x0)．
想一想，在直线的参数方程中，(m，n)的几何意义是什么？
PAGE1.2.2 直线的两点式方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标．
1．通过对直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养．2．通过对直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养．
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1
km和4
km．现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．
在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？
知识点 直线的两点式和截距式方程
名称
两点式方程
截距式方程
已知条件
直线l过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2
直线l经在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0
示意图
直线方程
＝
＋＝1
适用范围
斜率存在且不为零
斜率存在且不为零，不过原点
方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？
[提示] 不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示．
( )
(2)任何直线都可以用方程＋＝1表示．
( )
(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得＝，化简，得x－y－1＝0．]
3．直线y＝3x＋2在x轴上的截距是________．
－ [令y＝0得x＝－，即在x轴上的截距为－．]
类型1 直线的两点式方程
【例1】 (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
(1)x＝2 (2)－2 [(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2．
(2)由直线方程的两点式得
＝，即＝．
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2．]
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
[跟进训练]
1．求经过两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．
[解] 当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3，
当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2．
当m≠3且n≠2时，由两点式得
直线方程为＝．
类型2 直线的截距式方程
【例2】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？
[提示] 选择截距式较好．
[解] 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b．
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1．
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0．
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0．
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0．
1．(变条件)本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程．
[解] 当截距均为零时，设直线方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－，所求的直线方程为y＝－x，即3x＋4y＝0．
当截距均不为零且相反时，可设直线方程为＋＝1，把点(4，－3)代入得＋＝1，解得a＝7，所
求直线方程为＋＝1，即x－y－7＝0，
故所求l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0．
2．(变条件)本例中把“相等”改为“绝对值相等”呢？
[解] 当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：
①两截距均为零，即3x＋4y＝0
②两截距均不为零且相等即x＋y－1＝0．
③两截距均不为零且相反即x－y－7＝0．
故所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0．
利用截距式求直线方程的注意事项
(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0．
①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；
②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；
③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．
(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；
截距相反且不为零，可设x－y＝a；
截距相等且均为零，可设y＝kx．
类型3 直线方程的灵活应用
【例3】 在△ABC中，已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解] (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，
即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，
所以M，
又BC边的中线过点A(－3，2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟进训练]
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条．
2 [设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2，3)代入得k＝，
∴直线l的方程为3x－2y＝0．
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入得a＝5，
∴直线l的方程为x＋y＝5．
∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．
∴满足题意的直线共有2条．]
1．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A．＋＝0
B．＋＝0
C．＋＝1
D．＋＝1
C [由条件可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为2，3，所以方程为＋＝1．]
2．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
－ [由两点式得＝，
即y－1＝2(x＋1)，
令y＝0得x＝－，
所以直线在x轴上的截距为－．]
3．过点(5，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是________．
x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 [当y轴上截距b＝0时，设直线方程为y＝kx．将点(5，2)代入，得y＝x，即2x－5y＝0．当b≠0时，设直线方程为＋＝1，将点(5，2)代入，得＋＝1，解得b＝，即直线方程为＋＝1，整理，得x＋2y－9＝0．]
4．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
[解] 设直线方程的截距式为＋＝1．
则＋＝1，
解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．直线的两点式方程及其适用情形分别是什么？
[提示] 直线的两点式方程为＝，直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程．
2．直线的截距式方程及其适用情形分别是什么？
[提示] ＋＝1，其适用情形是斜率存在且不为零，不过原点．
PAGE1.2 直线的方程
1.2.1 直线的点斜式方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)
通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养．
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．
已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置能确定吗？
知识点1 直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x1，y1)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
[提示] 不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．
( )
(2)＝k与y－y1＝k(x－x1)都是直线的点斜式方程．
( )
[答案] (1)× (2)×
2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是( )
A．2 B．－1 C．3 D．－3
C [由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3．]
3．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
B [令x＝0，则y＝－b2．]
知识点2 直线在y轴上的截距
在直线l的斜截式方程y＝kx＋b中，我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．
4．过点(2，1)且与斜率为3的直线的点斜式方程为_____．
y－1＝3(x－2) [因为直线的斜率为3，∴所求直线方程的点斜式方程为y－1＝3(x－2)．]
类型1 直线的点斜式方程
【例1】 (1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________．
(1)y－5＝x－2 (2)x＝－5 [(1)因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan
45°＝1，
所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2．
(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5．]
求直线的点斜式方程的步骤
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0．
[跟进训练]
1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形．
(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．
[解] (1)由点斜式方程得
y－4＝2(x－3)．
(2)与x轴平行时，k＝0，
∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4．
(3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3．
类型2 直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
[解] (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5．
(2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan
150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2．
(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan
60°＝．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3．
求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率．
(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．
[跟进训练]
2．已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程．
(1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)；
(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形．
[解] (1)由题意得直线l的斜率为k＝＝－1，
所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2．
(2)因为直线l在y轴上的截距为－2，
所以l与y轴的交点为P(0，－2)，
而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，
所以l与x轴的交点坐标为(－2，0)或(2，0)．
由过两点的斜率公式得k＝－1或1，
所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2．
类型3 直线的方程的简单应用
【例3】 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
直线y－y1＝k?x－x1?与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？
[提示] 令x＝0时，得y＝y1－kx1，所以直线y－y1＝k?x－x1?与y轴的交点坐标是?0，y1－kx1?；
令y＝0，得x＝x1－，所以直线y－y1＝k?x－x1?与x轴的交点坐标是?x1－，0?.
[解] 设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b．
由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1．
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1．
1．(变条件)本例的条件变为：已知△ABC的三个顶点分别是A，
B，C．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，求直线l的点斜式方程．
[解] 由题意知：直线l是△ABC在BC边上的中线，
由
B，C，得B，C的中点坐标为，
所以直线l的斜率k＝＝－，
则直线l的点斜式方程为：y－＝－(x－3)．
2．(变条件)已知直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，且经过点，求直线l的点斜式方程．
[解] 设直线y＝x＋1的倾斜角为α，则tan
α＝，
因为直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，
所以直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan
，
由二倍角公式可得tan
α＝＝，
即3tan2＋8tan－3＝0，
＝0，因为α∈，所以∈，
即tan>0，所以tan＝，
所以直线l的点斜式方程为：y＋3＝．
利用待定系数法求直线方程
(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率．
(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距．
1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
D [α＝135°的斜率k＝－1，所以方程为y＝－x－1，
即x＋y＋1＝0．]
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
C [直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1．]
3．已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．
y－1＝－(x－2) [由条件可知kl＝－，∴方程为y－1＝－(x－2)．]
4．无论k取何值时，直线y＝kx＋2k－3所过的定点是________．
(－2，－3) [直线方程能化成点斜式方程：y＋3＝k(x＋2)，所以过定点(－2，－3)．]
5．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
[解] 直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－6＋＝0．
∵k1＝－＝tan
α1，∴α1＝150°．
如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan
120°＝－，
∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．建立点斜式方程的依据是什么？
[提示] 直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1．
2．斜截式方程的标准形式及特征是什么？
[提示] 斜截式方程的标准形式是y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．
PAGE1.4 两条直线的交点
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)
通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养．
点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0；若P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点．
下面我们就来研究两直线的交点问题．
知识点 直线的交点与直线的方程组解的关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1，l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1，l2的位置关系
相交
重合
平行
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交．
( )
(2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．
( )
(3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．
( )
(4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1)
C [由得交点坐标为(1，2)，故选C．]
3．当0＜k＜1时，两条直线y＝x＋1，2x－y－k＋2＝0的交点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [联立两直线方程得它们的交点坐标为，因为0类型1 两条直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3．
[解] 法一：(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2．
法二：(1)∵kl1＝2，kl2＝－，kl1≠kl2，∴l1与l2相交，
由得
故l1与l2的交点为(3，－1)．
(2)由＝＝，知l1与l2重合．
(3)l2方程为2x＋y－3＝0，
由＝≠知两直线l1与l2平行．
两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
[跟进训练]
1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是( )
A．k＞－
B．k＜2
C．－＜k＜2
D．k＜－或k＞2
C [法一：由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2．故选C．
法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2．
由
得
又交点在第一象限内，
所以
解得－＜k＜2．]
类型2 直线恒过定点问题
【例2】 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．
[证明] 法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；
令m＝1，得x＋4y＋10＝0．
解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3)．
将点(2，－3)代入直线，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0．
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0．
由于m取值的任意性，有解得
所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0)．
[跟进训练]
2．不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________．
(9，－4) [法一：取m＝1，得直线y＝－4．
取m＝，得直线x＝9．故两直线的交点为(9，－4)，
下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)×9－4×(2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过定点(9，－4)．
法二：直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，∵对任意m该方程恒成立，∴解得故直线恒过定点(9，－4)．]
类型3 过两条直线交点的直线系方程应用
【例3】 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
1．已知一点与斜率，如何求直线的方程？
[提示] 用点斜式写出直线的方程．
2．过两条直线2x－3y－3＝0与x＋y＋2＝0的交点的直线系方程是什么？
[提示] 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0(不包括直线x＋y＋2＝0)．
[解] 法一：解方程组
得所以两直线的交点坐标为．
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3．
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0．
法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0．(
)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有得λ＝．
代入(
)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0．
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
[解] 由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以直线l的方程为y＋＝－，即5x＋15y＋24＝0．
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0．
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是( )
A．(－9，－10)
B．(－9，10)
C．(9，10)
D．(9，－10)
B [解方程组得
故两直线的交点坐标为(－9，10)．]
2．(多选题)下列各组直线中，两直线相交的是( )
A．y＝x＋2和y＝1
B．x－y＋1＝0和y＝x＋5
C．x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0
D．2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0
AC [A两直线显然相交；B两直线平行；C直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；D两直线平行．]
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于________．
－ [由得
把(－1，－2)代入x＋ky＝0并解得k＝－．]
4．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第________象限．
四 [方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0，
由得∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．]
5．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．
[解] 由得
∴交点M的坐标为．
∵交点M在第四象限，∴解得－1∴m的取值范围是．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是什么？
[提示] 方程组有唯一解，即A1B2－A2B1≠0．
2．过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程是什么？
[提示] A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0．
PAGE1.3 两条直线的平行与垂直
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．(重点)2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点)3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．(重、难点)
通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养．
有一天，著名魔术大师拿了一块长、宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米、长21分米的矩形．地毯匠对魔术师说：“这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米”．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧．”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米、长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？
(1) (2)
为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．
知识点1 两条直线平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
[提示] 不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．
1．直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的位置关系是________．
平行或重合 [直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的斜率都为－3，在y轴上的截距分别为a，0．若a＝0，则两直线重合；
若a≠0，则两直线平行．]
知识点2 两条直线垂直的判定
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线斜率都存在)?k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0?l1⊥l2
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等．
( )
(2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行．
( )
(3)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．
( )
(4)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
3．下列直线中，与直线l：y＝3x＋1垂直的是( )
A．y＝－3x＋1
B．y＝3x－1
C．y＝x－1
D．y＝－x－1
D [因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，则与直线l垂直的直线的斜率为－．]
类型1 两直线平行或垂直的判定
【例1】 判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直：
(1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0；
(2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0；
(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(4)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
[解] (1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2．
(2)因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合．
(3)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2．
(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2．
1．判断两条直线平行的方法
(1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则?l1∥l2．
②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2?l1∥l2．
(2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．
2．
判断两直线垂直的方法
法一：
法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
[跟进训练]
1．判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直：
(1)l1：4x＋2y－1＝0，l2：2x－y－2＝0．
(2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0；
(3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0．
[解] (1)因为4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2相交．
(2)由题意知，2×3＋(－3)×(－2)≠0，l1与l2不垂直．
又l2：3y－2x＋4＝0，可变形为
2x－3y－4＝0，
∴2×(－3)－2×(－3)＝0，
又2×(－4)－4×(2)≠0，所以l1∥l2．
(3)由题意知，－4×2＋(－3)×6≠0，l1与l2不垂直．
又2×6－(－3)×(－4)＝0，
而2×(－8)－(－4)×4＝0，
所以l1，l2重合．
类型2 由平行或垂直关系求直线的方程
【例2】 (1)求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程．
(2)求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程．
[思路探究] (1)利用两直线的平行关系求出直线l′的斜率，利用直线的点斜式求直线的方程．
(2)利用直线的垂直关系求出直线的斜率，设出直线的方程，根据待定系数法求解．
[解] (1)法一：∵l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－．
∵l′与l平行，∴l′的斜率为－．
又∵l′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0．
法二：由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．将点(－1，3)代入上式得m＝－9．∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0．
(2)由题意可设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0．
令x＝0，得y＝－，即可设A；
令y＝0，得x＝－，即B．
又∵△AOB周长为10，即OA＋OB＋AB＝10，
∴＋＋＝10，解得b＝±10，
故所求直线方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0．
1．根据平行关系求直线方程的方法
(1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．
(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．
2．根据垂直关系求直线的方程的方法
(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－x＋m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．
(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．
[跟进训练]
2．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程．
[解] 法一：因为klkl1＝－1，kl＝－，所以kl1＝，
故直线l1的方程为y－2＝(x－2)，
即4x－3y－2＝0．
法二：设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0．
因为l1经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2．故l1的方程为4x－3y－2＝0．
3．求与直线5x＋6y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程．
[解] 法一：∵直线5x＋6y＋9＝0的斜率为－，
∴设所求直线方程为y＝－x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝．
由题意，b>0，>0，
∴×b×＝15，∴b＝5，
故所求直线方程为y＝－x＋5，即5x＋6y－30＝0．
法二：与5x＋6y＋9＝0平行的直线可设为5x＋6y＋m＝0(m≠9)，则令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－．
由题意得故m<0，∴××＝15，解得m＝－30，
故所求直线方程为5x＋6y－30＝0．
类型3 两直线平行与垂直的综合应用
【例3】 △ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，直线AB与AC的斜率之间有什么关系？
[提示] kAB·kAC＝－1.
[解] 因为∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，
得m＝－7．
1．(变条件)本例中，将“C(2，m)”改为“C(2，3)”，你能判断三角形的形状吗？
[解] 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2．由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°．
∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．
2．(变条件)本例中若改为“∠A为锐角”，其他条件不变，如何求解m的值？
[解] 由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．
若∠B为直角，则AB⊥BC，
所以kAB·kBC＝－1，
则·＝－1，得m＝3．
若∠C为直角，则AC⊥BC，
所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2．
综上可知，m＝3或m＝±2．
3．(变条件)若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为“若△ABC为直角三角形”，如何求解m的值？
[解] 若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，
得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，
所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，
得m＝±2．
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2．
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
1．(多选题)下列命题中，不正确的是( )
A．斜率相等的直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
ABC [A错误，斜率相等的直线还可能重合；B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在；C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行；D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－＝1－，
则k1＝k2，
又直线l1与l2不重合，所以l1∥l2．]
2．若过点A(2，－2)，B(5，0)的直线与过点P(2m，1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为( )
A．－1 B． C．2 D．
B [∵kAB＝＝，
∴kPQ＝＝，
解得m＝(经检验，符合题意)．]
3．过点(3，－1)与直线6x＋7y－12＝0垂直的直线方程为________．
7x－6y－27＝0 [直线6x＋7y－12＝0的斜率为－，则与该直线垂直的直线的斜率为．
∴所求直线方程为y＋1＝(x－3)．
即7x－6y－27＝0．]
4．直线l1，l2的斜率分别是方程x2－3x－1＝0的两个根，则l1与l2的位置关系是________．
垂直 [设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由根与系数的关系可得k1k2＝－1，
所以l1⊥l2．]
5．直线l1经过点A(m，1)，B(－3，4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
[解] 直线l1的方向向量为(－3－m，3)，直线l2的方向向量为(－2，1)．
当l1∥l2时，＝，得m＝3；
当l1⊥l2时，－2(－3－m)＋3＝0得m＝－，
故l1∥l2时m＝3，l1⊥l2时m＝－．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)平行的充要条件是什么？
[提示] l1∥l2?
2．两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2垂直的充要条件是什么？
[提示] l1⊥l2(两直线斜率都存在)?k1k2＝－1．
3．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为什么？
[提示] 与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．
4．与l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线可设为什么？
[提示] 与l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋C1＝0．
PAGE1.1 直线的斜率与倾斜角
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)2．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)
1．通过对倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2．通过对斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养．
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
知识点1 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
(1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．
k＝(x1≠x2)．
(2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在．
1．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是________．
[由斜率公式可得＝1，解得m＝．]
知识点2 直线的倾斜角
定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角
规定
与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0
范围
{α|0≤α<π}
作用
(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可
1．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
[提示] 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角可能相同，如平行直线的倾斜角都是相同的．
知识点3 直线的倾斜角与斜率的关系
(1)当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在；
(2)当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率与倾斜角α之间的关系为k＝tan
α．
2．所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
[提示] 不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°．
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )
A．0° B．45° C．60° D．90°
A [∵k＝＝0，∴θ
＝0°．]
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A． B． C．1 D．
A [由题意可知，k＝tan
30°＝．]
4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．
( )
(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．
( )
(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．
( )
(4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
类型1 直线的倾斜角
【例1】 求图中各直线的倾斜角．
(1) (2) (3)
[解] (1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°．
(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．
(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°．
① ② ③
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
[跟进训练]
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
D [如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．
故选D．]
类型2 直线的斜率
【例2】 (1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1
B．5 C．－1
D．－5
(2)若A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则a的值为________．
(3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．
(1)D (2)4 [(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，
∴＝tan
135°＝－1，解得y＝－5．
(2)由斜率公式得kAB＝＝2，因为A，B，C三点共线，
所以kAB＝kAC，所以2＝，解得a＝4．]
(3)[解] 直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴kl1＝tan
30°＝，kl2＝tan
120°＝－．
解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan
α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
[跟进训练]
2．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．
4 [依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1．
kAC＝＝＝－1，
kBC＝＝，
由题意得kAC＝3kBC，
∵－1＝3×，解得m＝4．]
类型3 直线的倾斜角和斜率的综合
[探究问题]
1．在斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝．
2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
[提示] 当k＝tan
α＜0时，
倾斜角α是钝角；
当k＝tan
α＞0时，
倾斜角α是锐角；
当k＝tan
α＝0时，
倾斜角α是0°．
3．直线的斜率k随倾斜角α的增大而增大吗？
[提示] 不是，在内，k随α的增大而增大，在内，k也是随α的增大而增大．
【例3】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[思路探究] 结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间．要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA．
[解] 如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°．
1．(变条件)本例中，三点坐标不变，其他条件改为过B的直线l与线段AP有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
[解] 如例题中解图所示，
根据斜率公式得kAB＝＝－，
kBP＝＝1，
∴直线l的斜率的取值范围为．
2．(变条件)本例中，A，B两点坐标不变，其他条件去掉，在直线y＝－1上求一点P，使PA，PB的斜率互为相反数．
[解] ∵点P在直线y＝－1上，
∴可设点P(x，－1)．
又条件可知kPA，kPB一定存在．
由斜率公式得kPA＋kPB＝＋＝0，
解得x＝．
故所求P点坐标为．
直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
[跟进训练]
3．若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是________．
[根据已知条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝．利用图象(图略)，可得的取值范围是．]
1．已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为( )
A．3
B．－2
C．2
D．不存在
B [由直线的斜率公式，得k＝＝－2．]
2．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )
A．0°≤α＜90°
B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180°
D．0°＜α＜180°
C [直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故90°＜α＜180°，选C．]
3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．
[依题意：kAB＝kAC，
即＝，
解得a＝．]
4．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
60°或120° [有如图两种情况：
① ②
第一种情况倾斜角α＝90°－30°＝60°，
第二种情况倾斜角α＝90°＋30°＝120°．]
5．已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
[解] l2的斜率为k2＝＝1，
∴l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，它们有什么联系？
[提示]
直线情况
平行于x轴
垂直于x轴
α的大小
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k的范围
0
k＞0
不存在
k＜0
k的增减情况
k随α的增大而增大
k随α的增大而增大
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