1.1集合的概念-重难点题型精讲-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册举一反三系列（Word含解析）

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1.1集合的概念-重难点题型精讲
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把
统称为元素，元素常用
…表示．
(2)集合：把一些元素组成的
叫做集合(简称为集)，集合通常用
…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是
的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是
的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就
了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是
的．也就是说，集合中的元素是
的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
3．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a
集合A，记作
．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a
集合A，记作
．
4．常用的数集及其记法
5．列举法
把集合的所有元素
出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
6．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的
．
【题型1
集合的基本概念】
【例1】（2020秋?吕梁期中）下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．上课迟到的学生
B．2020年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于π的正整数
【变式1-1】（2020秋?万州区校级月考）下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．本校学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【变式1-2】[多选题]（2020秋?六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（　　）
A．比较小的数
B．不大于10的偶数
C．所有三角形
D．高个子男生
【变式1-3】[多选题]（2020秋?荣成市期中）下列每组对象，能构成集合的是（　　）
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2020年入学的全体学生
【题型2
判断元素与集合的关系】
【例2】（2020秋?袁州区校级月考）给出下列关系：
①∈R；
②∈Q；
③|﹣3|∈N；
④||∈Z；
⑤0?N，
其中正确的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-1】（2020秋?龙凤区校级期末）由实数x，﹣x，|x|，所组成的集合，最多可含有（　　）个元素
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式2-2】（2020秋?东城区校级月考）已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M，②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M．
下列结论中正确的是　
　．
（1）∈M；
（2）﹣1?M；
（3）若x，y∈M，则x+y∈M；
（4）若x，y∈M，则xy∈M．
【变式2-3】已知集合A＝{x|x＝mn，m，n∈Z}．
（1）试分别判断x1，x2，x3＝（1﹣2）2与集合A的关系；
（2）设x1，x2∈A，证明：x1?x2∈A．
【题型3
利用集合中元素的特异性求参数】
【例3】（2020秋?花都区校级月考）若集合A＝{x|（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0}有且仅有1个元素，则实数m的值是（　　）
A．±2或1
B．﹣2或1
C．2或1
D．﹣2
【变式3-1】[多选题]（2020秋?如东县期中）已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣3
D．1
【变式3-2】（2020秋?河西区月考）已知集合A＝{a﹣1，2a2+5a+1，a2+1}，且﹣2∈A．求实数a的值．
【变式3-3】（2020秋?赤峰期末）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x﹣4＝0}．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【题型4
用列举法表示集合】
【例4】（2020秋?西城区期末）方程组的解集是（　　）
A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}
B．{（1，1），（﹣2，2）}
C．{（1，﹣1），（﹣2，2）}
D．{（2，﹣2），（﹣2，2）}
【变式4-1】（2020秋?雁塔区校级期中）若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A
B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}＝　
　．
【变式4-2】（2020秋?桥西区月考）用适当的方法表示下列集合：
（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；
（2）方程的解集．
【变式4-3】（2020秋?西安区校级月考）用列举法表示下列集合
（1）{x∈N
|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
【题型5
用描述法表示集合】
【例5】（2020秋?镜湖区校级月考）用描述法表示下列集合．
（1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（3）所有三角形构成的集合．
【变式5-1】．用描述法表示奇数集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}
③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式5-2】（2020秋?黄浦区校级月考）直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2）可用集合表示为（　　）
A．{（x，y）|x≠1，y≠1，x≠2，y≠﹣2}
B．{（x，y）|或}
C．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2][（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
D．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2]+[（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
【变式5-3】（2020秋?平罗县校级月考）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为　
　．
【题型6
集合中的新定义问题】
【例6】（2020秋?嘉定区期末）定义A×B×C＝{（x，y，z）|x∈A，y∈B，z∈C}．已知A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{5}，用列举法表示A×B×C＝　
　．
【变式6-1】（2020秋?黄浦区校级期中）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有　
　个．
【变式6-2】（2020秋?黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A?B中所有元素之积为（　　）
A．﹣8
B．﹣16
C．8
D．16
【变式6-3】（2020秋?定远县期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn．则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（　　）
A．18
B．17
C．16
D．15
1.1集合的概念-重难点题型精讲（解析版）
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
3．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A．
4．常用的数集及其记法
5．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
6．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【题型1
集合的基本概念】
【方法点拨】
给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．
【例1】（2020秋?吕梁期中）下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．上课迟到的学生
B．2020年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于π的正整数
【分析】根据集合元素的“确定性”，可知B项中的对象不符合集合的定义．而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项．
【解答】解：对于A，“上课迟到的学生”属于确定的概念，故能构成集合；
对于B，“2020年高考数学难题”界定不明确，不能构成集合；
对于C，任意给一个数都能判断是否为有理数，故能构成集合；
对于D，小于π的正整数分别为1，2，3，能够组成集合．
故选：B．
【点评】本题给出几组对象，要我们找出不能构成集合的对象，着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题．
【变式1-1】（2020秋?万州区校级月考）下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．本校学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【分析】根据集合中元素的特征即可判断选项是否正确．
【解答】解：因为集合中的元素具有确定性，
而对于A，B，C，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
所以A，B，C错误，
对于D，符合集合的定义，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的定义以及集合的元素的特征，属于基础题．
【变式1-2】[多选题]（2020秋?六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（　　）
A．比较小的数
B．不大于10的偶数
C．所有三角形
D．高个子男生
【分析】集合中的元素具有确定性，由此能求出结果．
【解答】解：在A中，比较小的数，没有确定性，故A不能构成集合；
在B中，不大于10的偶数，有确定性，故B能构成集合；
在C中，所有三角形，具有确定性，故C能构成集合；
在D中，高个子男生，没有确定性，故D不能构成集合．
故选：BC．
【点评】本题考查集合的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中的元素的确定性的合理运用．
【变式1-3】[多选题]（2020秋?荣成市期中）下列每组对象，能构成集合的是（　　）
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2020年入学的全体学生
【分析】根据集合的定义进行判断即可．
【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，
C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，
∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，
故选：BD．
【点评】本题主要考查集合的概念，利用集合元素的确定性是解决本题的关键，比较基础．
【题型2
判断元素与集合的关系】
【方法点拨】
直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【例2】（2020秋?袁州区校级月考）给出下列关系：
①∈R；
②∈Q；
③|﹣3|∈N；
④||∈Z；
⑤0?N，
其中正确的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据数集的含义，即可得出结论．
【解答】解：①∈R，正确；
②∈Q，错误；
③|﹣3|∈N，正确；
④||∈Z，错误；
⑤0?N，错误，
故正确的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查数集的含义，元素与集合的关系，比较基础．
【变式2-1】（2020秋?龙凤区校级期末）由实数x，﹣x，|x|，所组成的集合，最多可含有（　　）个元素
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】将题中给出的实数进行化简，判断其中有几个不同的数，利用集合中元素的互异性分析即可得到答案．
【解答】解：因为，
所以实数x，﹣x，|x|，所组成的集合最多含有x，﹣x，x2三个元素．
故选：B．
【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，涉及了集合中元素性质的应用，集合中的元素要满足：互异性、确定性、无序性．解题的关键是将所给出的数据进行化简变形．
【变式2-2】（2020秋?东城区校级月考）已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M，②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M．
下列结论中正确的是　
　．
（1）∈M；
（2）﹣1?M；
（3）若x，y∈M，则x+y∈M；
（4）若x，y∈M，则xy∈M．
【分析】根据条件①②可知﹣1∈M所以（2）错误，．由﹣1∈M、1∈M由条件②③可推出∈M所以（1）成立．由0﹣y∈M可知﹣y∈M，由条件②可推出x﹣（﹣y）＝x+y∈M所以（3）成立．由1∈M、x∈M得x﹣1∈M，由条件③可知∈M、可得∈M、∈M，由条件③得∈M、x﹣x2∈M可知x2∈M，若y∈M，则y2∈M、x+y∈M，所以（x+y）2∈M、x2+y2∈M，所以∈M、∈M，所以xy∈M所以（4）成立．
【解答】解：∵0∈M，1∈M，∴0﹣1＝﹣1∈M．故（2）不成立．
∵1∈M，﹣1∈M，∴1﹣（﹣1）＝2∈M，∴2﹣（﹣1）＝3∈M，∴∈M．故（1）成立．
∵y∈M，∴﹣y∈M，又∵x∈M，∴x﹣（﹣y）＝x+y∈M．故（3）成立．
∵x∈M，∴x﹣1∈M，∴∈M、∈M，∴∈M、∈M
∴∈M、x﹣x2∈M，∴x2∈M，∴∈M，同理∈M，∴∈M，∈M
∴，故（4）成立．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】考查元素与集合的关系、分式运算、整式运算、运算能力和逻辑推理能力．
【变式2-3】已知集合A＝{x|x＝mn，m，n∈Z}．
（1）试分别判断x1，x2，x3＝（1﹣2）2与集合A的关系；
（2）设x1，x2∈A，证明：x1?x2∈A．
【分析】（1）根据集合A的表示可知，满足，其中m，n∈Z的x为集合A的元素，从而判断一个元素是不是集合A的元素，就看能否将这个元素写成，（m，n∈Z）的形式，从而便可判断x1，x2，x3和集合A的关系；
（2）由x1，x2∈A便可将x1，x2分别写成（m，n∈Z）的形式，然后判断能否将x1?x2写成该形式，从而便可证出x1?x2∈A；
【解答】（1）解：m＝0，n＝﹣1时，；
∴x1∈A；
，；
∴x2?A；
；
∴x3∈A；
（2）证明：∵x1，x2∈A；
∴，mi，ni∈Z，i＝1，2；
∴；
∵m1m2+2n1n2，m1n2+n1m2∈Z；
∴x1?x2∈A．
【点评】考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及元素与集合关系的判断方法．
【题型3
利用集合中元素的特异性求参数】
【方法点拨】
①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；
②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
【例3】（2020秋?花都区校级月考）若集合A＝{x|（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0}有且仅有1个元素，则实数m的值是（　　）
A．±2或1
B．﹣2或1
C．2或1
D．﹣2
【分析】讨论m＝2与m≠2，从而求实数m的值．
【解答】解：∵集合A＝{x|（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0}有且仅有1个元素，
①当m﹣2＝0时，m＝2,
②当时，m＝﹣2或m＝1，
综上，m＝±2或m＝1,
故选：A．
【点评】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，分类讨论思想的应用，属于基础题．
【变式3-1】[多选题]（2020秋?如东县期中）已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣3
D．1
【分析】根据集合元素的互异性2∈M必有2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，解出后根据元素的互异性进行验证即可．
【解答】解：由题意得，2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，
若2＝3x2+3x﹣4，即x2+x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或x＝1，
检验：当x＝﹣2时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去；
当x＝1时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去．
若2＝x2+x﹣4，即x2+x﹣6＝0，
∴x＝2或x＝﹣3，
经验证x＝2或x＝﹣3为满足条件的实数x．
故选：AC．
【点评】本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验．
【变式3-2】（2020秋?河西区月考）已知集合A＝{a﹣1，2a2+5a+1，a2+1}，且﹣2∈A．求实数a的值．
【分析】根据﹣2∈A，便有a﹣1＝﹣2，或2a2+5a+1＝﹣2，而显然a2+1≠﹣2，对于每种情况求出a的值，带入集合A中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数a的值．
【解答】解：﹣2∈A；
∴①若a﹣1＝﹣2，则a＝﹣1；
∴此时A＝{﹣2，﹣2，2}，显然不满足集合元素的互异性；
②若2a2+5a+1＝﹣2，则；
由上面知a≠﹣1；
∴时，A＝{}，集合A表示正确；
而显然a2+1≠﹣2；
∴实数a的值为．
【点评】考查列举法表示集合，元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，不要忘了验证A是否满足集合元素的互异性．
【变式3-3】（2020秋?赤峰期末）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x﹣4＝0}．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．
（2）当a＝0时，方程为﹣3x﹣4＝0，所以集合A；当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时；若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0没有实数根，则A没有元素，此时．由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个不等的实数根，
∴△＝9+16a＞0，且a≠0，即所求的范围是，且a≠0}；（6分）
（2）当a＝0时，方程为﹣3x﹣4＝0，
∴集合A；
当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时；
若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0没有实数根，则A没有元素，此时a，
综合知此时所求的范围是，或a＝0}．（12分）
【点评】本题考查实数a的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．
【题型4
用列举法表示集合】
【方法点拨】
①求出集合的元素；
②把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
③用花括号括起来．
【例4】（2020秋?西城区期末）方程组的解集是（　　）
A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}
B．{（1，1），（﹣2，2）}
C．{（1，﹣1），（﹣2，2）}
D．{（2，﹣2），（﹣2，2）}
【分析】解原方程组得出x，y的值，然后写出原方程组的解集即可．
【解答】解：解得，或，
∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}．
故选：C．
【点评】本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题．
【变式4-1】（2020秋?雁塔区校级期中）若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A
B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}＝　
　．
【分析】由即时定义，结合集合的表示法得：A
B＝{﹣3，﹣1，1，3}，得解
【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，又A
B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}，
所以A
B＝{﹣3，﹣1，1，3}，
故答案为：{﹣3，﹣1，1，3}
【点评】本题考查了集合的表示法，属简单题
【变式4-2】（2020秋?桥西区月考）用适当的方法表示下列集合：
（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；
（2）方程的解集．
【分析】（1）直接用列举法即可；
（2）由多个非负数的和为零，可得每个非负数均为零，则由即可解得方程的解，利用点的集合的表示方法写出；
【解答】解：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有12，21，13，31，23，32，
用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}．
（2）由，得，即，所以原方程解集为{（）}．
故答案为：（1）{12，21，13，31，23，32}；
（2）{（）}．
【点评】本题考查了集合列举法，以及点的集合表示方法，还考查了非负数和为的解，属于简单题．
【变式4-3】（2020秋?西安区校级月考）用列举法表示下列集合
（1）{x∈N
|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
【分析】对于这几个集合，要用列举法表示，只需根据限制条件求出集合的所有元素，然后列举法表示出来即可．
【解答】解：（1）{x∈N
|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4}
（5）A＝{x∈N|∈N}，列举法表示为{1，5，7，8}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}
【点评】考查描述法表示集合，列举法表示集合，解一元二次方程，用有序数对表示二元一次方程组的解．
【题型5
用描述法表示集合】
【方法点拨】
①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
②用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
【例5】（2020秋?镜湖区校级月考）用描述法表示下列集合．
（1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（3）所有三角形构成的集合．
【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可．
【解答】解：（1）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．
（2）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}
（3）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．
【点评】本题考查集合的表示方法，注意描述法表示集合的格式以及列举法和描述法的优点．本题属于基础题．
【变式5-1】．用描述法表示奇数集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}
③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由整数的整除性，可得A、B都表示奇数集，D表示除以4余1的整数或表示除以4余3的整数．由此不难得到本题的答案．
【解答】解：由题意得：①②表示奇数集合，
③的表示方法错误，
④D＝{x|x＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整数或除以4余3的整数，
∵一个奇数除以4之后，余数不是1就是3，
故④表示奇数集合；
故选：C．
【点评】本题给出关于集合的表示方法，着重考查了整数的整除性的知识，属于基础题．
【变式5-2】（2020秋?黄浦区校级月考）直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2）可用集合表示为（　　）
A．{（x，y）|x≠1，y≠1，x≠2，y≠﹣2}
B．{（x，y）|或}
C．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2][（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
D．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2]+[（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
【分析】直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2），其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【解答】解：直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2），其余的点全部在集合中，
A选项中除去的是四条线；
B选项中是一个或字，没有同时排除两点；
C选项符合题意；
D选项不能同时排除A，B两点．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的基本概念，属于基础题．
【变式5-3】（2020秋?平罗县校级月考）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为　
　．
【分析】利用图中的阴影部分的点的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性．
【解答】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则
{x，y）|﹣1≤x≤0，y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}
＝{（x，y）|xy≥0且﹣1≤x≤2，y≤1}
故答案为：{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}．
【点评】本题考查用集合表示平面图形，注意代表元素是数对．
【题型6
集合中的新定义问题】
【例6】（2020秋?嘉定区期末）定义A×B×C＝{（x，y，z）|x∈A，y∈B，z∈C}．已知A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{5}，用列举法表示A×B×C＝　
　．
【分析】由新定义的集合的意义，根据集合A，B，C即可求出结果．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{5}，
∴由题意可知A×B×C＝{（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5）}，
故答案为：{（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5）}．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题．
【变式6-1】（2020秋?黄浦区校级期中）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有　
　个．
【分析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由x∈A及（m﹣x）∈A可以得到两个数之和为m的元素必须同时出现在集合A中．
【解答】解：①含有1个元素的“8和集合”：{4}；
②含有2个元素的“8和集合”：{1，7}，{2，6}，{3，5}；
③含有3个元素的“8和集合”：{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；
④含有4个元素的“8和集合”：{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}；
⑤含有5个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，4}，{1，7，3，5，4}，{2，6，3，5，4}；
⑥含有6个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5}；
⑦含有7个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5，4}．
【点评】本题考查了列举法，有一定难度．
【变式6-2】（2020秋?黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A?B中所有元素之积为（　　）
A．﹣8
B．﹣16
C．8
D．16
【分析】由集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，知A?B＝{2，﹣4，﹣1}，由此能求出A?B中所有元素之积．
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，
定义集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴A?B＝{2，﹣4，﹣1}，
故A?B中所有元素之积为：2×（﹣4）×（﹣1）＝8．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意A?B的定义和求法．
【变式6-3】（2020秋?定远县期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn．则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（　　）
A．18
B．17
C．16
D．15
【分析】根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+b＝16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合M16个元素；当a＝1，b＝16，或1＝16，b＝1时则满足ab＝16，即构成集合M2个元素，所以集合M有18个元素．
【解答】解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14任取一个有7种取法，而对应的b有一种取法；
∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；
（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；
∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；
（3）当m＝16，n＝1，和m＝1，n＝16，即这种情况下集合M有两个元素；
∴集合M的元素个数是7+8+2＝17．
故选：B．
【点评】考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力．
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精品试卷·第
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