高中数学湘教版选修2-1：(课件) 第一章 2．2　双曲线 2．2.1　双曲线的定义与标准方程

(共35张PPT)
2．2　双曲线
2．2.1　双曲线的定义与标准方程
2.2.1
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
学习目标
1.了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程．
2．掌握双曲线的标准方程．
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题．
课前自主学案
温故夯基
3
1．双曲线的定义
平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为
________(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的______，两个焦点之间的距离叫作双曲线的_______
2．双曲线的标准方程
知新益能
固定值
焦点
焦距．
(±c,0)
(0，±c)
1．如何理解双曲线的定义？
提示：(1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了．
(2)不可漏掉定义中“常数小于|F1F2|”．
(3)双曲线的定义中要注意两点：
①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|.
这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|－|PF2|＝2a<|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若|PF2|－|PF1|＝2a<|F1F2|，点P
思考感悟
的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值”．
2．如果去掉“小于|F1F2|”这一条件，轨迹会有怎样的变化？
提示：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
课堂互动讲练
求双曲线的标准方程
考点突破
与求椭圆的标准方程的方法一样，若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a，b的值，即“先定型，再定量”．若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．
例1
【思路点拨】　求双曲线的标准方程时，应先“定位”，再“定型”，即先确定其焦点的位置，再确定a、b的取值；和椭圆一样，在所求曲线的焦点位置不确定的情况下，可借助于双曲线方程的一般形式求解．
【名师点评】　求双曲线标准方程的方法：
(1)定义法
若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样可以减少运算量．
(2)待定系数法，其步骤为：
①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能．
②设方程：根据条件，设出标准方程．
③寻关系：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组．
④得方程：解方程组代入所设方程即为所求．
自我挑战1　
利用定义求方程
利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程．
例2
【名师点评】　如果动点的轨迹可以较容易地判断符合直线、圆、椭圆或者双曲线的定义，通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即可．
利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时要注意整体思想的应用．
双曲线定义的应用
例3
【思路点拨】　在△F1MF2中运用余弦定理及三角形的三角恒等式，再由三角形的面积公式进行计算、证明．
△F1MF2与椭圆类似，集中了双曲线的定义、余弦定理、三角恒等变换等知识．
1．遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点P在双曲线上，有||PF1|－|PF2||＝2a，充分利用这一隐含条件，是解决问题的重要技巧．
2．求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
方法感悟
3．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断．
本部分内容讲解结束
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