高中数学湘教版选修2-1：(课件)2．3　抛物线 2．3.1　抛物线的定义与标准方程

(共33张PPT)
2．3　抛物线
2．3.1　抛物线的定义与标准方程
2.3.1
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2．会求简单的抛物线的方程．
课前自主学案
温故夯基
抛物线．
2
知新益能
相等
准线．
思考感悟
1．如何理解抛物线的定义？
提示：(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．
2．抛物线的标准方程
思考感悟
2．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？
提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定．
四种位置的抛物线标准方程的对比：
(1)共同点：
①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；
③焦点的非零坐标都是一次项系数的.
(2)不同点：
①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负号．
课堂互动讲练
确定抛物线的焦点、开口方向、准线方程
考点突破
例1
求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值．
自我挑战1　已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝6x；(2)2y2＋5x＝0.
求抛物线的标准方程
求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
例2
求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
【思路点拨】　首先判断焦点可能存在的位置，设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可．
【名师点评】　(1)确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
(2)求抛物线标准方程的方法：
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．
抛物线的定义及其应用
对于抛物线中的最值问题，其求解方法为把到焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离化为到焦点的距离．
例3
【思路点拨】　先根据抛物线的定义求出抛物线方程．再利用平面几何的有关性质求出最小值．
【解】　(1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2，
故所求抛物线方程G为x2＝4y.
(2011年青州高二检测)已知点A(12,6)，点M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.
(1)求点M的轨迹方程G；
(2)在G上是否存在一点P，使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【名师点评】　根据抛物线的定义，平面内与一个定点F和一条不过该点的直线l的距离相等的点的集合叫作抛物线，另一方面，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离．就是说，定义具有判定和性质的双重作用，本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．
自我挑战3　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．
解：
方法感悟
1．(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的一次项系数为负时，不要出现错误．
(2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．
(3)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0，所以抛物线开口向下．
2．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数法．
(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay(a≠0)；
(2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求．
本部分内容讲解结束
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