高中数学湘教版选修2-1：(课件)3．1　空间中向量的概念和运算

(共43张PPT)
3．1　空间中向量的概念和运算
3.1
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法．
2．掌握空间向量的线性运算，数量积．
3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题．
课前自主学案
温故夯基
1．平面上有______和______的量叫作向量，方向相同且模_____的向量称为相等向量．
2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足_______律和______律．
大小
方向
相等
交换
结合
1．空间向量
(1)空间向量的定义
在空间，把具有______和______的量叫作空间向量，向量的_______叫作向量的长度或模．
知新益能
大小
方向
大小
长度
1．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？
提示：一样．因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．　
思考感悟
3．空间向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝_______.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
4．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积______仍然是一个________，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
向量
b＋a
λa
λ的范围 方向关系 模的关系
λ>0 方向相同 λa的模是a的模的|λ|倍
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
λ<0 方向相反
∠AOB
λa＋λb
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
思考感悟
2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝0，对吗？
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？
提示：(1)不对；(2)不对．
课堂互动讲练
空间向量的加减运算
考点突破
(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．
(2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则；
②正确使用运算律；
③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量．
例1
【名师点评】　化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
空间向量的线性运算
空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．
例2
【思路点拨】　连接AM得到△ADM，利用线段中点的向量表示和三角形的重心的意义，在△ADM中开始进行向量运算．
(1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点：
①要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘向量实数与实数之积之间的差异．
②数量积运算不满足消去律．
若a、b、c(b≠0)为实数，ab＝bc a＝c；但对于向量，就不正确，即a·b＝b·c a＝c.由图可以看出．
向量的数量积及应用
例3
如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
(1)求AC1的长；
(2)证明：AC1⊥BD.
自我挑战2　在三棱锥S ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式
时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止．
2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量
a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，则a，b共线．
方法感悟
3．两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
4．当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0，这由向量的几何意义就可以理解．
本部分内容讲解结束
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