高中数学湘教版选修2-1：(课件)3．2　空间向量的坐标

(共38张PPT)
3．2　空间向量的坐标
3.2
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
学习目标
1.理解空间向量基本定理并会用其解决一些几何问题．
2．掌握空间向量的坐标表示，会求空间向量的坐标．
3．掌握空间向量的坐标运算规律，熟练掌握向量加减法、数乘及数量积的坐标运算．
课前自主学案
温故夯基
1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝______________成立，不共线的向量e1，e2叫作这一平面内所有向量的一组___________．
2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫作把向量____________．
不共线
基底
正交分解
λ1e1＋λ2e2
1．空间向量的分解与坐标
定理1：设e1，e2，e3是空间中三个___________的单位向量，则
(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合．即：v＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)上述表达式中的系数x，y，z由v_________决定．即：
如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.
表达式中的系数组成的有序数组(x，y，z)称为v在这组基下的坐标．
知新益能
两两垂直
唯一
2．空间向量基本定理
定理2：(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个__________的单位向量．则
(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝___________________.
(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定．即：
如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.
不共面
xe1＋ye2＋ze3
1．怎样正确理解空间向量基本定理？
提示：(1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{e1，e2，e3}可以表示出空间任意一个向量，而且表示结果是唯一的．
(2)空间中的基是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基．
思考感悟
3．空间向量运算的坐标公式
(1)向量的加减法
(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．
(2)向量与实数的乘法
a(x，y，z)＝__________________．
(ax，ay，az)
思考感悟
2．如何确定向量的坐标？
提示：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标；
(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标；
(3)给出条件求向量的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标．
课堂互动讲练
空间向量基本定理及应用
考点突破
应用空间向量基本定理时，
(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基时，首先选择基．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
例1
【思路点拨】　利用重心的概念，再结合图形求得结果．
空间向量的坐标表示
例2
已知在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图所示，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．分别写出点A，B，C，D，E，F的坐标．
【思路点拨】　通过特殊点(中点、轴上的点)来求其他点的坐标．
向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点．在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
空间向量的坐标运算
例3
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求：
(1)(2a＋b)·(a－2b)；
(2)以a，b为邻边的平行四边形的面积．
【思路点拨】　(1)利用向量的坐标运算求出2a＋b和a－2b的坐标，再利用向量的数量积求解．(2)由a，b的坐标求出cos后，转化为sin，再利用三角形的面积公式求解．
【解】　(1)2a＋b＝2(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(4，－3,0)，
a－2b＝(2，－1，－2)－2(0，－1,4)＝(2,1，－10)，
∴(2a＋b)·(a－2b)＝(4，－3,0)·(2,1，－10)
＝4×2＋(－3)×1＋0×(－10)＝5.
【名师点评】　向量的数量积运算常用的处理思路有两种，一是先求坐标再求点乘；另一个是先利用多项式的乘法展开，再代入坐标求解．在解题时应注意适当地选择求解方法．
利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再利用公式解决夹角、模等问题．
利用向量的坐标表示求夹角和距离
如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求CE的长．
例4
【名师点评】　在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
1．空间向量基本定理说明
用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
2．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．
方法感悟
3．空间向量在几何中的应用
有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．
本部分内容讲解结束
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