高中数学湘教版选修2-1：(课件)3．6　直线与平面、平面与平面所成的角

(共42张PPT)
3．6　直线与平面、平面与平面所成的角
3.6
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
学习目标
1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问题．
2．理解二面角的概念．
3．能够利用向量方法解决平面与平面所成角的问题．
课前自主学案
温故夯基
射影
知新益能
思考感悟
1．直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？
提示：不一定．
2．二面角的相关概念
(1)半平面：在一个平面内作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中__________都称为半平面．
(2)二面角：从一条直线l出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记为_________.这条直线l称为二面角的_____，半平面α，β都称为这个二面角的面．
每部分
α－l－β
棱
(3)二面角的平面角：过二面角α－l－β的棱l上任意一点O作_______棱l的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA，OB，则∠AOB称为二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是0°～180°.
(4)度量：二面角的大小用它的_______度量．
垂直于
平面角
思考感悟
2．如何正确认识二面角？
提示：(1)二面角是一个空间图形，它是由两个半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内的角．
(2)符号α－l－β表示以l为棱，α、β为两个半平面的二面角．
(3)两个平面相交，可以构成四个二面角．
(4)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则
∠AOB叫作二面角α－l－β的平面角．　
3．二面角与平面法向量的关系
课堂互动讲练
求直线与平面所成的角
考点突破
例1
【思路点拨】　利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连接C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
【名师点评】　在解答本题过程中，易出现所求角为150°的错误，导致该种错误的原因是忽视了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角的区别．
自我挑战1
如图，在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值．
求平面与平面所成的角
利用向量法求二面角的步骤：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
(5)确定出二面角的平面角的大小．
(2010年高考天津卷)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明：AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1 ED F的正弦值．
例2
【思路点拨】　解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解．
【解】　如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，
【名师点评】
自我挑战2
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A A1C B的余弦值．
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.
建立如图所示空间直角坐标系，
向量法求夹角的综合应用
例3
如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；
(2)求平面BDF与平面A1B所成二面角(锐角)的余弦值；
(3)求直线AB与平面BDF夹角的正弦值．
【思路点拨】　所给图形是长方体，“垂直”关系明显，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解】　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，以AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．
1．利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握．
2．利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求．后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系．
方法感悟
本部分内容讲解结束
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