高中数学湘教版选修2-1：(课件)3．8　共面与平行

(共29张PPT)
3．8　共面与平行
3.8
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
学习目标
1．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．
a∥b a＝λb x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
2．一条直线的方向向量有_____个，一个平面的法向量有____个．
无数
无数
课前自主学案
温故夯基
1．图形共面
如果若干个图形在_______平面内，就称这些图形共面．
2．直线与平面平行
一般地，设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n ____________.
如果v⊥n且l上至少有一点A∈α，则_____.
如果v⊥n且l上至少有一点A α，则______.
同一个
l∥α或l α
l α
l∥α
知新益能
思考感悟
空间的两个非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)
提示：不能推出a＝λb.因空间中任意两个向量都共面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.
课堂互动讲练
向量共面问题
考点突破
证明三个向量共面的常用方法：
(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
例1
【思路点拨】　利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明．
利用方向向量和法向量判定线面位置关系
利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：
(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；
(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；
(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
例2
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α与l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)
②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)
③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)
【思路点拨】　解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系．
【解】　(1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，
∴a与b不共线也不垂直．
∴l1与l2相交或异面．
【易误警示】　解答此题(3)①时，易出现只写一个答案l∥α的情况，错误的原因是忽视了向量与平面的平行与直线与平面的平行之间的差别．
自我挑战1　直线l的方向向量a＝(3,2,1)，平面α的法向量是v＝(1，－2,1)，试判断l与α的位置关系．
解：∵a·v＝(3,2,1)·(1，－2,1)
＝3－4＋1＝0，
∴a⊥v，
∴l α或l∥α.
用向量方法证明空间中的平行关系
利用空间向量解决平行问题
线线平行 设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．
线面平行 ①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
②根据线面平行判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
③证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示．
面面平行 转化为相应的线线平行或线面平行．
②求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.
已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
例3
【思路点拨】　先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用直线的方向向量和平面的法向量间的关系证明线面平行和面面平行．
【证明】　如图所示建立空间直角坐标系D xyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
【名师点评】　用空间向量法解决立体几何中的平行问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助于空间中已有的一些关于平行的定理．
自我挑战2
证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是
方法感悟
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．
2．用向量法证明平行问题的步骤
(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；
(2)通过向量运算研究平行问题；
(3)根据运算结果解释相关问题．
本部分内容讲解结束
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