3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．通过对椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算的核心素养．2．借助对轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象的核心素养．
2020年11月24日22时06分，“嫦娥五号”探测器3000
N发动机工作约2秒钟，顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球．
2020年11月25日22时06分，“嫦娥五号”探测器两台150
N发动机工作6秒钟，顺利完成第二次轨道修正．截至第二次轨道修正，“嫦娥五号”探测器已在轨飞行约41小时，距离地球约27万千米，探测器各系统状态良好，地面测控通信各中心和台站跟踪正常．
2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携中国第一捧月壤在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆．
请观察“嫦娥五号”的运行轨道是一个什么图形．
知识点1 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2．
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c，0)与(c，0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
C [由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．]
2．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2．]
类型1 求椭圆的标准方程
【例1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
(3)经过两点(2，－)，．
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6．又c＝2，所以b＝＝4．
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＋＝1．
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32．
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．
[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16． ①
又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1．②
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1．
又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
类型2 椭圆中的焦点三角形
【例2】 (1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5
B．3∶4
C．5∶3
D．4∶3
(2)已知在椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
(1)C (2) [(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，
所以|PF1|－|PF2|＝2，
从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，
即|PF1|∶|PF2|＝5∶3．
(2)由＋＝1，
可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，
从而|F1F2|＝2c＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|． ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4． ②
由①②联立可得|PF1|＝．
所以S＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝．]
1．本例(2)中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
[解] 由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°．
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，
则|PF1|＝，
因此S＝·|F1F2|·|PF1|＝．
故所求△PF1F2的面积为．
2．本例(2)中方程改为＋＝1(a＞b＞0)，且把“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”．若△PF1F2的面积为，求b的值．
[解] 由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1||PF2|＝4．根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a．再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，
∴b2＝1，即b＝1．
椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无须单独求解．
类型3 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
(1)x2＋＝1 [设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
又＋＝1，
所以＋＝1，
即x2＋＝1．]
(2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，
∴|CM|＋|MA|＝5．
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1，0)，A(1，0)，∴a＝，c＝1
，∴b2＝a2－c2＝－1＝．
∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，
即＋＝1．
1．求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛运用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程
F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法)．
[跟进训练]
2．已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
[解] 设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，
得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1．
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1．
故所求AQ的中点M的轨迹方程是
＋4y2＝1．
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
D [根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8．]
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2．]
3．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
[由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1．]
4．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_______________．
＋＝1 [如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3．
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．]
5．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1．
焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，那么动点M的轨迹是椭圆吗？
[提示] 平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2．方程＋＝1一定表示椭圆吗？
[提示] 对于方程＋＝1，当m＞n＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．
3．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有哪些方法？
[提示] 定义法、直接法和代入法(相关点法)．
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？
如图所示，假设平面α与圆柱相交，而且平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆．
取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面α的两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2．
设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B．可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此
|PF1|＝|PA|，|PF2|＝|PB|，从而
|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，
又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|＞|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆．
有意思的是，利用类似的方法还能证明我们在本章导语中所提到的结论，即利用平面截圆锥面能得到椭圆、双曲线、抛物线，感兴趣的同学请查阅有关资料进一步了解吧！
PAGE3.1.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)
1．通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算的核心素养．2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养．
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
1．经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．－＝1
D．－＝1
A [由题易知点P(3，0)，Q(0，2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1．]
2．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是________．
x2＋＝1 [依题意得2a＝4b，c＝，又a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋＝1．]
知识点2 离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e．
(2)性质：离心率e的范围是(0，1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
[提示] 不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．
类型1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有( )
A．相同的焦点
B．相同的顶点
C．相同的离心率
D．相同的长、短轴
(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
(1)C [在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
(2)[解] 把已知方程化成标准方程为＋＝1，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；
离心率e＝＝；
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；
四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．
1．本例(1)中把方程“＋＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“＋＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？
A [由于a＞b，∴方程＋＝1中，c2＝(a2＋λ)－(b2＋λ)＝a2－b2．
焦点与＋＝1(a＞b＞0)的焦点完全相同．
而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确．]
2．本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？
[解] 把方程16x2＋9y2＝144化为标准形式得＋＝1．
知椭圆的焦点在y轴上，
这里a2＝16，b2＝9，∴c2＝16－9＝7，
所以椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长为2a＝2×4＝8，短轴长为2b＝2×3＝6，
离心率：e＝＝，焦点坐标：，
顶点坐标：(0，－4)，(0，4)，(－3，0)，(3，0)．
由标准方程研究性质时的两点注意
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不分别是a，b，c，而应分别是2a，2b，2c．
类型2 由几何性质求椭圆的方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3．
∴椭圆的方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27．
∴椭圆的方程为＋＝1．
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1．
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，由轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
[解] 法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．
若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1．
法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则由题意得或
解得或
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1．
类型3 求椭圆的离心率
[探究问题]
1．椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？
[提示] 离心率e＝，假设a固定，当e→0时，c→0，因a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁．
2．已知的值能求出离心率吗？
[提示] 可以．e＝＝＝．
3．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？
[提示] 如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．
∵OP∥AB，
∴△PFO∽△BOA，
∴＝，
①
又P(－c，m)在椭圆上，
∴＋＝1．
②
将①代入②，得＝1，
即e2＝，∴e＝．
【例3】 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
题中的条件“·＝0”如何转化？
[提示] 由条件·＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解.
[解] 由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点．
连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，
所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2．
所以≤c2＜a2，所以≤e＜1．所以e∈．
1．本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等边三角形”，求椭圆的离心率．
[解] 当△PF1F2为等边三角形时，即|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，又|PF1|＝a，∴a＝2c，故离心率e＝＝．
2．本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率．
[解] 当△PF1F2为等腰直角三角形时，
∠F1PF2＝90°，
这时|F1F2|＝|PF1|，
即2c＝a，
∴离心率e＝＝．
3．本例中把条件“使·＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围．
[解] 由题意，知c＞b，∴c2＞b2．
又b2＝a2－c2，∴c2＞a2－c2，
即2c2＞a2．∴e2＝＞，
∴e＞．故椭圆的离心率的取值范围为．
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
1．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1
B．＋y2＝1
C．＋＝1
D．x2＋＝1
A [依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1．]
2．已知实数m2＝9，则椭圆＋y2＝1的离心率为( )
A．
B．
C．或
D．或
A [∵m2＝9，∴m＝3或m＝－3(舍)，这时c2＝3－1＝2，即c＝．∴离心率e＝＝＝．故选A．]
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
[由题意知0所以m＝．]
4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)
① [把x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，离心率e1＝＝，而＋＝1的离心率e2＝＝，这里e2＜e1，故①更扁．]
5．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
[解] (1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝．
(2)椭圆C2：＋＝1．
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④离心率：e＝．
⑤焦点坐标分别为(0，6)，(0，－6)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆的几何性质包括哪些？
[提示] 包括椭圆的范围、对称性、长轴与短轴、焦距、离心率等．
2．根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本思路是什么？
[提示] 其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．
PAGE第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
1．通过对直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理核心素养．2．通过对弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则
d＞R时?直线与圆相离；
d＝R时?直线与圆相切；
d＜R时?直线与圆相交．
那么直线与椭圆有几种位置关系呢？
可以用上述方法来判定直线与椭圆的位置关系吗？
知识点1 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1．
1．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
(－，) [∵点A在椭圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
知识点2 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
位置关系
解的个数
Δ的取值
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
B [直线方程y＝kx－k＋1可化为y－1＝k(x－1)，知直线过定点(1，1)，因＋＜1，
∴点(1，1)在椭圆内，
故直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．]
3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为( )
A．2
B．±
C．±2
D．±2
C [由消去y并整理得
2x2－2mx＋m2－4＝0．
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8．
∴m＝±2．]
类型1 直线与椭圆的位置关系
【例1】 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问：当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0． ①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
如何判断直线与椭圆的位置关系？
[提示] 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
[跟进训练]
1．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．
[解] 因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0，1)，则点(0，1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1．
当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1，5)∪(5，＋∞)．
类型2 弦长和中点弦问题
[探究问题]
1．求弦长常用的方法有哪几种？
[提示] (1)两点间距离公式，需要先通过解方程组将两点坐标求出来．
(2)弦长公式，不需要求出交点坐标，采用根与系数的关系整体代换即可．
2．“点差法”的核心是什么？
[提示] 假设弦l中点为(x0，y0)，
弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
由两式作差得＋＝0，即kl＝－．
【例2】 过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
求过点M的弦所在直线的方程，其关键是求出直线的斜率，如何求直线的斜率？
[提示] 联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解或用点差法求解.
[解] (1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝．
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－．
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16．
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0．
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．
∴＝－＝－，即kAB＝－．
又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝·
＝·＝2．
1．本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
[解] 设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
由＋＝1和＋＝1，
得＝－，
∴k＝＝．
又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴＝．
所以椭圆的离心率为e＝＝＝＝．
2．把本例条件中“使弦被M点平分”去掉，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．
[解] 设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，∴x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y．
∵
∴＝－，
从而kl＝＝．
又kl＝kPM＝，
∴＝．
整理得x2＋4y2－2x－4y＝0．
故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0．(椭圆内的部分)
1．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点——设出弦的两端点坐标；
②代入——代入圆锥曲线方程；
③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在运用根与系数的关系时，要注意运用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
2．弦长公式
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有
|AB|＝
＝
＝·
＝
＝·(k为直线斜率)．
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
类型3 与椭圆有关的综合问题
【例3】 椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝．
由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2．
∴所求椭圆的方程为＋＝1．
(2)若存在点Q(m，0)，
使得∠PQM＋∠PQN＝180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2．
等价于k1＋k2＝0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．
由，
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0．
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0．
即(－16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，
解得k2＜．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
令k1＋k2＝＋＝0，
(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，
当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，
化简得，＝0，
所以m＝1．
当k＝0时，也成立．
所以存在点Q(1，0)，
使得∠PQM＋∠PQN＝180°．
综合问题涉及的问题及解决方法
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用、着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力．此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键．
[跟进训练]
2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点．
(1)求椭圆方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
[解] (1)由题意设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，
由c＝，a2＝b2＋c2，代入方程＋＝1，
又∵椭圆过点，
得＋＝1，解得b2＝1，∴a2＝4．
椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)设直线MN的方程为x＝ky－，
联立直线MN和椭圆的方程可得
得(k2＋4)y2－ky－＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，
y1y2＝－，y1＋y2＝，
则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，
即可得∠MAN＝．
∴∠MAN的大小是定值．
1．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．
B [由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－．]
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
A [由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，
解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝．
故选A．]
3．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则S＝________．
4 [如图，已知椭圆
＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，a＝2，过焦点F1的直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，△MNF2的内切圆的面积为π，
∴△MNF2的内切圆半径r＝1．
∴△MNF2的面积S＝×1×(|MN|＋|MF2|＋|NF2|)＝2a＝4．]
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
[由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0．
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6．
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝＝．]
5．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．
[解] (1)将(0，4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4．
由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，
∴椭圆C的方程为＋＝1．
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
则x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，即所截线段的中点的坐标为．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，你可以说出其解题步骤吗？
[提示] (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
2．解决椭圆的中点弦问题有哪些方法？
[提示] (1)方程组法：通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2)点差法：设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(x0，y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”．
利用kAB＝＝－·＝－·，转化为中点(x0，y0)与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法．
PAGE3.2 双曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过对双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．
做下面一个实验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1 双曲线的定义
文字语言
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹
符号语言
|PF1－PF2|＝常数(0＜常数＜F1F2)
焦点
两个定点F1，F2
焦距
两个焦点间的距离
(1)在双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)在双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M的轨迹为双曲线的右支．
知识点2 双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3
B．4
C．3
D．4
D [c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4．]
2．已知方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
(－∞，－2) [由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2．即m的取值范围为(－∞，－2)．]
类型1 求双曲线的标准方程
【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．
①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1．
②
由①②得a2＝12，b2＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1．
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0．
[跟进训练]
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(3)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6)．
[解] (1)依题意得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5．
所以双曲线的标准方程为－＝1．
(2)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为－＝1，0＜a2＜6．
又因为过点(－5，2)，所以－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以双曲线的标准方程为－y2＝1．
(3)法一：由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20．
所以所求双曲线的标准方程是－＝1．
法二：因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为－＝1．
由题意知
解得a2＝16，b2＝20．
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1．
类型2 双曲线定义的应用
【例2】 (1)在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线－＝1上，则＝( )
A． B．± C．－ D．±
(2)已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．
1．对如何运用？
[提示] 结合三角形中正弦定理及双曲线的定义解题进行转化．
2．如何把条件“|PF1|·|PF2|＝32”与所求“△F1PF2的面积”联系起来？
[提示] 在焦点三角形F1PF2中运用余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式．
(1)D [在△ABC中，sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)．
∴＝＝．
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴＝±＝±．]
(2)[解] 由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5．
因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以S＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16．
1．若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10．求点P到F2的距离．
[解] 由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5．
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16．
2．若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
[解] 由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
||PF2|－|PF1||＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴S＝×4×4＝8．
3．本例(2)中，将条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
[解] 由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5．
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝－6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin
∠F1PF2
＝×64×＝16．
求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式S＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
类型3 与双曲线有关的轨迹问题
【例3】 如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[解] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin
A＋sin
C＝2sin
B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|．
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6．
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
求解与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟进训练]
2．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1．
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4．
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1．
1．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
D [由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．]
2．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．]
3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．
±6 [若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，解得k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，
即k＝－6．
综上所述，k的值为6或－6．]
4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
4 [在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4．]
5．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
[解] 因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆的定义、方程及图形特征有什么不同？
[提示] 如下表所示：
曲线
椭圆
双曲线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(|F1F2|＝2c，2a＞2c)
||PF1|－|PF2||＝2a(|F1F2|＝2c，2a＜2c)
标准方程
＋＝1或＋＝1(a＞b＞0)
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)
图形特征
封闭的连续曲线
分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定a，b的方法
以大小分a，b
以正负分a，b
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2(a最大)
a2＋b2＝c2(c最大)
2．如何用待定系数法求双曲线的方程？
[提示] 用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
PAGE3.2.2 双曲线的几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)
1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养．
水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？
知识点1 双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝>1
渐近线
y＝±x
y＝±x
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1的焦点在y轴上．
( )
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．
( )
(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
5 [∵双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5．]
知识点2 等轴双曲线
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)性质：在双曲线的标准方程－＝1中，如果a＝b，那么方程可化为x2－y2＝a2，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直．
3．若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
B [由条件知，等轴双曲线焦点在x轴上，可设方程为－＝1，a2＋a2＝62，解得a2＝18，故方程为－＝1．]
知识点3 直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0．
Δ的取值
位置关系
交点个数
k＝±时
相交
只有一个交点
k≠±且Δ＞0
有两个交点
k≠±且Δ＝0
相切
只有一个交点
k≠±且Δ＜0
相离
没有公共点
类型1 根据双曲线方程研究几何性质
【例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝．
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．
1．把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
[解] 把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为－＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13．焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0，2)，(0，－2)，
焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4，
虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x．
2．把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
[解] 方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝，b2＝1，c2＝＋1＝．
所以顶点坐标为，．
焦点坐标为，．
实轴长2a＝，虚轴长2b＝2．
离心率e＝＝．
渐近线方程为y＝±x＝±x．
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤是什么？
[提示] (1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
类型2 由几何性质求双曲线的标准方程
【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
[解] (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1．
(2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3．
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27．
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
(3)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1．
由题意，得
解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的方程为－＝1．
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1．
由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去)．
综上所得，双曲线的方程为－＝1．
法二：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
将点(－3，2)代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝，即－＝1．
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)．如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x．
[解] (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2．
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)．
把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16．
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(3)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝．
当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1．
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
类型3 求双曲线的离心率
【例3】 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值．
1．双曲线渐近线的斜率±与其离心率有什么关系？
[提示] e＝＝＝．
2．已知a，b，c的关系式，如何求双曲线的离心率？
[提示] 与c2＝a2＋b2联立得到的方程组，消去字母b，利用离心率的公式求解．
(1)或 [当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝．
当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝．]
(2)[解] 因为双曲线的右焦点F(c，0)到渐近线y＝±x，
即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，
因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，
所以离心率e＝＝2．
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
2．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
2＋ [如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－b)，
此时kPF2＝＝，
得到c＝(2＋)a，
即双曲线C的离心率e＝＝2＋．
]
类型4 直线与双曲线的位置关系
【例4】 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
[解] (1)联立方程
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则解得－＜k＜，且k≠±1．
∴若l与C有两个不同的交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝．
又∵点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d
＝＝，
即2k4－3k2＝0，
解得k＝0或k＝±．
∴实数k的值为±或0．
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．
[跟进训练]
3．已知双曲线－y2＝1，求过点A
(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝．
∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－．
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得＝y－y，
∴＝．
∵点A平分弦MN，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．
∴kMN＝＝＝－．
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0．
1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A．]
2．已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )
A． B． C． D．
C [由题意知a2＋5＝9，
解得a＝2，故e＝．]
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
－＝1 [由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．]
4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________．
3 [双曲线的左焦点为(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，
即x－y＋2＝0，
由
得8y2－12y＋9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝．
∴|AB|＝
＝＝3．]
5．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，若点P(4，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是________．
x－y－3＝0 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，易知k存在且k≠0，
则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)－4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，又∵点P(4，1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2．
代入，得(x1－x2)－(y1－y2)＝0，∴k＝＝1．
因此直线l的方程是y－1＝1×(x－4)，即x－y－3＝0．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．
双曲线有哪些几何性质？
[提示] 双曲线的范围、对称性、顶点、轴长、离心率和渐近线．
2．如何由双曲线的方程求其渐近线的方程？如何由渐近线的方程求双曲线方程？
[提示] 渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
3．
如何求双曲线的离心率？
[提示] (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
PAGE3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
1．通过对抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养．2．通过对抛物线定义及标准方程的应用，培养直观想象、数学建模等核心素养．
我们已经学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线，今天我们来学习第三种圆锥曲线——抛物线．
在物理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象．
现在来做一个实验．
如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫作抛物线．
知识点1 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点2 抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝4x2的焦点坐标为(1，0)．
( )
(2)以(0，1)为焦点的抛物线的方程为x2＝4y．
( )
[答案] (1)× (2)√
2．抛物线y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦点坐标为________．
[把方程化为标准形式为x2＝y，所以焦点在y轴上，坐标为．]
类型1 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y．
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝．
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y．
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15．
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x．
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3)注意p与的几何意义．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
[解] (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y．
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y．
(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．
类型2 抛物线定义的应用
【例2】 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程．
1．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A(x0，y0)，|AF|的长如何表示？
[提示] |AF|＝．
2．如何把条件“M到F的距离比它到y轴的距离大”转化为抛物线的定义？
[提示] M到F的距离与到直线x＝－的距离相等，即可利用抛物线的定义．
(1)A [由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
(变结论)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
[解] 设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2．又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝．因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或．
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
类型3 抛物线的实际应用
【例3】 河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问：水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y．
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－．
又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航．
求解抛物线实际应用题的步骤
[跟进训练]
2．一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[解] 以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为．
由点B在抛物线上，得＝－2p·，
∴p＝．∴抛物线方程为x2＝－ay．
设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴y0＝－，∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．
∴a的最小整数值为13．
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x
B．y2＝2x
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
B [由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B．]
2．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．抛物线
D [由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D．]
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
6 [由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6．]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
2 [建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．]
5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
[解] 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝．设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x．
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．为了避免讨论，如何灵活地设抛物线的标准方程？
[提示] 焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－．
2．根据抛物线的定义，焦半径公式是什么？
[提示] 对于抛物线y2＝2px，焦半径|MF|＝|x0＋|；
对于抛物线x2＝2py，焦半径|MF|＝|y0＋|．
PAGE3.3.2 抛物线的几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握抛物线的几何性质．(重点)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1．通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算的核心素养．2．通过对直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问：木箱能否通过该拱桥？
为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．
知识点1 抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线．
( )
(2)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝．
( )
[答案] (1)√ (2)×
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
D [顶点到准线的距离为，则＝4．解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y．]
知识点2 通径
通过抛物线的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点M1和M2．线段M1M2叫作抛物线的通径，它的长为2p．
知识点3 焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10
B．8
C．6
D．4
B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]
知识点4 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；
②k≠0时，Δ＞0?直线与抛物线相交?有两个公共点．
Δ＝0?直线与抛物线相切?只有一个公共点．
Δ＜0?直线与抛物线相离?没有公共点．
直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
类型1 抛物线性质的应用
【例1】 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
(1)y2＝3x或y2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为
y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．]
(2)[解] 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：
|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2．因此抛物线的方程是y2＝4x．
用待定系数法求抛物线方程的步骤是什么？
[提示]
[跟进训练]
1．若直线x＝m与抛物线y2＝4x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．
[解] 根据题意△ABF为等边三角形，则
tan
60°＝，m＞0，
解得m＝7±12．
类型2 直线与抛物线的位置关系
【例2】 (1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解] (1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．
当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；
当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0．由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1．故满足条件的直线有三条．
(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，
消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0．①
(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－．
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是．
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB．
[证明] 由消去y，得x2－12x＋16＝0．
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16．
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB．
类型3 中点弦及弦长公式
【例3】 过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
[解] 法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即＝4，∴kAB＝4．
∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0．
法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1．
联立消去x，
得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝．
又y1＋y2＝2，∴k＝4．
∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0．
“中点弦”问题解题方法
[跟进训练]
3．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
[解] 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－．设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1(图略)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p．①
由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0．∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝．
∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x．
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x．
类型4 抛物线的综合应用
【例4】 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
1．根据题目条件，应该如何设抛物线的标准方程？
[提示] 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
2．如何利用条件“当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补”？
[提示] 直线PA与PB的斜率互为相反数．
[解] (1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，
即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，
即＝－，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1．
即直线AB的斜率为定值．
1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
[解] 由解得或
由图可知，A(4，4)，B(1，－2)，
则|AB|＝3．
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝
＝|(y0－1)2－9|．
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝．
故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为．
2．若本例改为“抛物线方程为y2＝x，且过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1，1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．
[证明] 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0．
所以Δ＝(t＋2)2＋8＞0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3．
所以k1·k2＝·＝·＝＝＝＝－．
所以k1·k2是定值．
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用“点差法”较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用“特值探路法”找定点、定值．
1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A． B． C． D．
A [线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，
则焦点到直线AB的距离为1－＝．]
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2)
B．(±4，2)
C．(±2，4)
D．(2，±4)
D [抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有
??
所以符合题意的点为(2，±4)．]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1，2)
D．(2，2)
B [由题意知F(1，0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B．]
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝．
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝．]
5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
[解] (1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2．
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝．
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得k＝±1，
所以k的值为1或－1．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．抛物线的有哪些几何性质？
[提示] 抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．
2．解决抛物线的中点弦问题有哪些方法？
[提示] (1)点差法；(2)联立直线和抛物线方程，利用“设而不求”的方法，结合根与系数的关系和中点坐标公式求解．
3．如何解决与抛物线有关的定点，定值问题？
[提示] 圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
圆锥曲线的光学性质
你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而且这些光学性质都与它们的焦点有关．
从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦点，如图1所示．
图1
从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图2所示．
图2 图3
从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴，如图3所示．
具体而言，在图3中，F为抛物线的焦点，设M是抛物线上一点，AM是抛物线的切线，MB⊥MA，设光线FM在M处反射后的光线是MC(即∠FMB＝∠BMC)，则可以证明，MC是平行于x轴的．
事实上，为了证明这个结论，我们只需证明直线MF的倾斜角是AM的倾斜角的两倍即可，设抛物线的方程为y2＝2px，且M(x0，y0)，则可以算得直线AM的斜率为，直线FM的斜率为，根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论．
圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”——500
m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面，如图4所示．
图4
类似的应用还有很多，感兴趣的同学请利用网络进行搜索吧！
PAGE第3章
圆锥曲线与方程
类型1 圆锥曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________．
(1)C (2)60° [(1)把轨迹方程5
＝|3x＋4y－12|写成＝．
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝
＝＝
＝＝．
所以∠F1PF2＝60°．]
“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
[跟进训练]
1．若A(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，P为抛物线上任意一点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，
当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为3＋＝．]
类型2 圆锥曲线的方程
【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
(2)已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，且a＝2b．若|AB|＝2，求椭圆的方程．
(1)C [法一：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，
解得a＝，所以b＝3，
所以双曲线的方程为－＝1，故选C．
法二：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1．]
(2)[解] 由消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0．由Δ＝16－4(8－2b2)＞0，得b2＞2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2．
∵|AB|＝2，∴·＝2，
即·＝2，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16．
∴所求椭圆的方程为＋＝1．
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
[跟进训练]
2．(1)以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0，2)的双曲线方程是( )
A．y2－＝1
B．x2－＝1
C．－y2＝1
D．－x2＝1
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．
(1)D [设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，
因为焦点在y轴上，所以方程可化为－＝1，
由条件可知－λ－＝4，解得λ＝－3．所以双曲线方程为3x2－y2＝－3，即－x2＝1．]
(2)[解] 由已知得＝2，所以＝4，解得＝，
即双曲线的渐近线方程为y＝±x．
由题意得，抛物线的准线方程为x＝－，
可设A，B，
从而△AOB的面积为·p·＝，解得p＝2或p＝－2(舍)．
所以抛物线的标准方程为y2＝4x．
类型3 圆锥曲线的性质及应用
【例3】 (1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B． C． D．
[思路探究] (1)利用数形结合，采取三角函数定义建立方程求解；
(2)根据弦长建立方程，求解．
(1)D (2)A [(1)由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝(x－c)．②
联立①②，得P点纵坐标y＝(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)．
因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，
所以sin
60°＝＝＝，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝＝．故选D．
(2)由题意可知圆的圆心为(2，0)，半径为2．因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝．故离心率e＝＝2．故选A．]
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
[跟进训练]
3．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，过F2作C的渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|＝|OP|，求C的离心率．
[解] 点F2(c，0)到渐近线y＝x的距离|PF2|＝＝b(b＞0)，
而|OF2|＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得|OP|＝＝a，
所以|PF1|＝|OP|＝a．
在Rt△OPF2中，cos∠PF2O＝＝，
在△F1F2P中，
cos∠PF2O＝
＝，
所以＝?3b2＝4c2－6a2，
则有3(c2－a2)＝4c2－6a2，
解得＝(负值舍去)，
即e＝．
类型4 直线与圆锥曲线的位置关系
[探究问题]
1．在直线与圆锥曲线关系中，常见的有哪几种问题？
[提示] 公共点个数问题，弦长问题、中点弦问题、定点、定值问题及最值问题．
2．在圆锥曲线中如何处理定点问题？
[提示] ①引进参数法．引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
②特殊到一般法．根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【例4】 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2，0)，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
[思路探究] (1)由椭圆右顶点的坐标为A(2，0)，离心率e＝，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；
(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：x＝m，易得m＝，当直线MN斜率存在时，直线MN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，由·＝0可得b＝－k，从而得证．
[解] (1)右顶点是A(2，0)，离心率为，所以a＝2，＝，∴c＝1，则b＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：x＝m，
与椭圆方程＋＝1联立得：|y|＝，|MN|＝2，
设直线MN与x轴交于点B，|MB|＝|AB|，
即＝2－m，
∴m＝或m＝2(舍)，∴直线m过定点；
当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得
(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2．
·＝0，则(x1－2，y1)(x2－2，y2)＝0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，∴7b2＋4k2＋16kb＝0，
∴b＝－k或b＝－2k，
∴直线lMN：y＝k或y＝k(x－2)，
∴直线过定点或(2，0)(舍去)；
综上知直线过定点．
1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．
(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．
2．圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
[跟进训练]
4．已知椭圆E的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短半轴长为2．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过焦点F2的直线l交椭圆E于A，B两点，满足⊥，求直线l的方程．
[解] (1)由题意，椭圆E的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短半轴长为2，
可得c＝1，b＝2，则a＝＝，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1．
(2)由题意知直线l与x轴不重合，设直线l：x＝ny＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得
，整理得(4n2＋5)y2＋8ny－16＝0，
可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，
又由⊥，则·＝0，得(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝0，
代入直线可得(ny1＋2，y1)·(ny2＋2，y2)＝0，即
(n2＋1)y1y2＋2n(y1＋y2)＋4＝0，
代入可得(n2＋1)＋2n×＋4＝0，解得n2＝，
所以直线l的方程为x＝±y＋1，
即直线l的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0．
1．(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A． B． C．(1，0) D．(2，0)
B [将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为．]
2．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
A [法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，p为双曲线右支上一点，则S＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝＝，所以a＝1，选A．
法二：由题意得，S＝＝4，得b2＝4，又＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1．]
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)(多选题)已知曲线C：mx2＋ny2＝1．
( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
ACD [对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0?y＝±x，正确；对于选项D，
∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1?y＝±，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD．]
4．(2020·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
2 [设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝．因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率e＝＝2．]
5．(2020·全国卷Ⅰ)已知A、B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
[解] (1)由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)．
则＝(a，1)，＝(a，－1)．由·＝8得a2－1＝8，即a＝3．
所以E的方程为＋y2＝1．
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)．
直线PB的方程为y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．
由于＋y＝1，故y＝－，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0． ①
将x＝my＋n代入＋y2＝1得
(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0．
所以y1＋y2＝－，y1y2＝．
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0．
解得n＝－3(舍去)或n＝．
故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点．
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点．
综上，直线CD过定点．
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