4.1 数列
第1课时 数列的概念及简单表示法
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解数列的概念．(重点)2．掌握数列的通项公式及应用．(重点)3．理解数列是一种特殊的函数．理解数列与函数的关系．(易混点、难点)4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)
1．通过对数列概念及数列通项的学习，培养数学抽象及逻辑推理素养．2．借助对数列通项公式的应用，培养逻辑推理及数学运算素养．3．借助地数列与函数关系的理解，提升数学建模和直观想象素养．
1．一尺之锤，日取其半，万世不竭．
1，，，，，…
2．三角形数
3．正方形数
那么，这些数有什么规律，与它所表示图形的序号有什么关系？
知识点1 数列的概念及一般形式
1．(1)数列的项和它的项数是否相同？
(2)数列1，2，3，4，5，数列5，4，3，2，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？
[提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．
(2)数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
知识点2 数列的分类
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
1．在数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2 B．3 C．9 D．32
B [将n＝2代入通项公式，得a2＝32－1＝3．]
2．下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是( )
A．an＝1
B．an＝
C．an＝2－
D．an＝
C [代入验证可知C正确．]
知识点4 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N
(或它的有限子集{1，2，3，…，k})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
2．数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示] 如图，数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数，an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
类型1 数列的概念与分类
【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．sin，sin，sin，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
(2)已知下列数列：
①2
014，2
015，2
016，2
017，2
018，2
019，2020，2
021；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
(1)C [ABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，故选C．]
(2)①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]
1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
2．数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则{an}是摆动数列．
[跟进训练]
1．给出下列数列：
①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；
②无穷多个构成数列，
，
，
，…；
③－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……构成数列－2，4，－8，16，－32，…．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
类型2 由数列的前几项求通项公式
【例2】 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)4，44，444，4
444，…；
(3)－1，3，－5，7，－9，…；
(4)2，－，，－，，－，…；
(5)1，2，1，2，1，2，…．
[思路探究] 观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．
[解] (1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项公式为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1
000，…，新数列的通项公式为10n，故原数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3)所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间；
②整数部分构成奇数列；
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；
④分数部分的分子依次大1．
综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为
an＝(－1)n，
所以an＝(－1)n．
(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，－，，－，…，再把各分母分别加上1，数列又变为，－，，－，…，所以an＝．
(5)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝
＝
即an＝＋．
1．常见数列的通项公式归纳
(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n；
(2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n；
(4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为an＝n2；
(6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n；
(7)数列1，，，，…的一个通项公式为an＝．
2．复杂数列的通项公式的归纳方法
①考察各项的结构；②观察各项中的“变”与“不变”；③观察“变”的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．
[跟进训练]
2．写出下面各数列的一个通项公式：
(1)9，99，999，9
999，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)3，5，9，17，33，…．
[解] (1)各项加1后，变为10，100，1
000，10
000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1．
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，考虑到(－1)n＋1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，，，，，…．所以，它的一个通项公式为an＝．
(4)3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为an＝2n＋1．
类型3 通项公式的应用
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
1．已知数列的通项公式，如何求数列的某一项？
[提示] 类似于已知自变量求函数值，把项数代入到通项公式中求解．
2．如何判断某一个数是否为数列中的项？
[提示] 判断某项是否为数列中的项，就是解方程．令an等于该项，解得n∈N
即是，否则不是．
[解] (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
1．(变结论)若本例中的条件不变．
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？
[解] (1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32．
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性．
[解] ∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3．
∵n∈N
，∴2n＋3>0，
∴an＋1>an．
∴数列{an}是递增数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N
(或它的有限子集{1，2，3，…，k})这一约束条件．
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13．]
2．已知数列1，，，，…，，则3是它的( )
A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项
B [令＝3，解得n＝23．所以3是它的第23项，故应选B．]
3．数列{an}：－，3，－3，9，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n(n∈N
)
B．an＝(－1)n(n∈N
)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N
)
D．an＝(－1)n＋1(n∈N
)
B [该数列的前几项可以写成－，，－，，…，故可以归纳为an＝(－1)n．故选B．]
4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2
021－a2
020＝________．
27 4 [a7＝4×7－1＝27，a2
021－a2
020＝(4×2
021－1)－(4×2
020－1)＝4(2
021－2
020)＝4．]
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
[解] (1)∵an＝，∴a3＝＝，a4＝＝，
∴a3＋a4＝＋＝．
(2)是．若为数列{an}中的项，则＝，
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，即是数列{an}的第10项．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是数列、数列的项和数列的通项公式？
[提示] 按照一定次序排列的一列数称为数列；数列中的每一个数都叫作这个数列的项；如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
2．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需抓住其哪些特征？
[提示] ①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．
PAGE第2课时 数列的递推公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)
借助数列的递推公式求具体项或求通项，培养逻辑推理素养与数学运算素养．
看下面例子：
(1)1，2，4，8，16，…．
(2)1，cos
1，cos(cos
1)，cos[cos(cos
1)]，…．
(3)0，1，4，7，10，13．
请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项的关系怎样？
知识点1 数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递推公式．
1．所有数列都有递推公式吗？
[提示] 不一定．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
1．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是( )
A．1 B． C． D．
C [∵an＋1＝an＋，a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝×1＋＝．故选C．]
2．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2
021的值为( )
A． B．－1 C．2 D．1
A [由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，…．
而2
021＝673×3＋2，
故a2
021＝a2＝．]
知识点2 数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)就能确定这个数列吗？
[提示] 不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
3．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C [A，B中没有说明某一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．]
类型1 由递推公式求数列中的项
【例1】 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，后面各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解] (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝．
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1．
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝．
[跟进训练]
1．已知数列{an}的第1项a1＝1，后面的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
[解] ∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝．
故该数列的前5项为1，，，，．
类型2 数列的单调性
【例2】 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×
(n∈N
)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
[思路探究] 判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式．
[解] 法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×．
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an．
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝．
法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
＝eq
\f(?n＋3?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8))),?n＋2?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8))))＝．
又an＞0，
令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5．
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝．
法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则
即eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(?n＋2?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))≥?n＋1?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))，,?n＋2?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))≥?n＋3?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))，))
解得即5≤n≤6．
故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝．
求数列{an}的最大(小)项的方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N
且k≥2都成立，解不等式组即可．
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8．
(1)数列中有多少项为负数？
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
[解] (1)令an＜0，即n2－7n－8＜0，得－1＜n＜8．又n∈N
，所以n＝1，2，3，…，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．
(2)函数y＝x2－7x－8图象的对称轴为直线x＝，所以当1≤x≤3时，函数单调递减；当x≥4时，函数单调递增，所以数列{an}有最小项，又a3＝a4＝－20，所以数列{an}的最小项为a3或a4．
类型3 根据递推公式求通项
【例3】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，求通项公式an；
(2)在设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
1．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？
[提示] 等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an成立，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1．
2．能否把分式裂为两项？
[提示] ＝－．
3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1···…·＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3，＝2，则它的通项an是什么？
[提示] 等式a1···…·＝an成立．
按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，
将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2．
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N
)．
4．×××…×××1的运算结果是什么？
[提示] ．
[解] (1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－．
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N
)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N
)．
1．(变条件)将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”，求数列{an}的通项公式．
[解] ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1．
∴＝＋＋＋…＋＝2＋＝n＋1．
∴＝n＋1，∴an＝(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N
)．
2．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N
)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
[解] 由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…
猜想：an＝2×3n－1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3．
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3．
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1．
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1．
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f?n?或an＋1＝g?n?·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
?1?累加法：当an＝an－1＋f?n?时，常用an＝?an－an－1?＋?an－1－an－2?＋…＋?a2－a1?＋a1求通项公式；
?2?累乘法：当＝g?n?时，常用an＝··…··a1求通项公式.
1．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N
B．an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
B [结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，故选B．]
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列的通项公式an＝( )
A．3n＋1
B．3n
C．3n－2
D．3(n－1)
C [根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，可以归纳出an＝3n－2．故选C．]
3．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．
[先求出数列的周期，再进一步求解首项．
∵an＋1＝，∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3．
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2．
而a2＝，
∴a1＝．]
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，求an．
[解] 由题意得an＋1－an＝ln
，
∴an－an－1＝ln
(n≥2)，
an－1－an－2＝ln
，
…，
a2－a1＝ln
．
∴当n≥2时，an－a1＝ln＝ln
n，∴an＝2＋ln
n(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2＋ln
1＝2，符合上式，
∴an＝2＋ln
n(n∈N
)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．通项公式与递推公式有什么区别？
[提示] 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an．
2．求数列通项公式有哪些方法？
[提示] (1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳；
(2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)；
(3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)．
PAGE4.2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)3．会求等差数列前n项和的最值．(重点)
1．通过对等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养．2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？”
计算1＋2＋3＋…＋99＋100．
知识点 等差数列的前n项和公式
(1)数列{an}的前n项和：对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn．
(2)等差数列前n项和公式推导：等差数列前n项和公式是用倒序相加法推导的．
(3)等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
在等差数列{an}前n项和公式推导中，运用了哪条性质？
[提示] 运用性质“在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．”从而a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．
( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．
( )
(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn．( )
[提示] (1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1．
又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( )
A．230
B．420
C．450
D．540
B [S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420．]
3．等差数列－1，－3，－5，…的前n项和是－100，那么n的取值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
C [根据公式Sn＝na1＋d得－100＝－n＋×(－2)，
解得n＝10．]
类型1 等差数列前n项和的有关计算
【例1】 在等差数列{an}中，若：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知a2＋a4＝，求S5．
[思路探究] (1)由于有两个已知条件，所以可以通过列方程组求出基本量a1，d来解决问题，也可以运用等差数列前n项和公式求解；(2)由于只有一个已知条件，需要结合等差数列的通项公式和前n项和公式求解，也可以利用等差数列的性质和前n项和公式求解．
[解] (1)法一：∵a6＝10，S5＝5，
∴解得
∴a8＝a6＋2d＝16．
法二：∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3(a1＋10)＝15．
∴a1＝－5，d＝＝3．
∴a8＝a6＋2d＝16．
(2)法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝．
∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24．
法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24．
求数列的基本量的基本方法
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理．
(1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个．
(2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解．
[跟进训练]
1．(1)已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，若a2＋a4＝4，a5＝8，则S10＝( )
A．125 B．115 C．105 D．95
(2)已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S9＝27，a10＝8，则S14＝( )
A．154 B．153 C．77 D．78
(1)D (2)C [(1)?S10＝10×(－4)＋×3＝95．
(2)根据题意，等差数列{an}中，若S9＝27，即S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又a10＝8，∴S14＝＝＝77．故选C．]
类型2 等差数列前n项和公式的实际应用
【例2】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[思路探究] 因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－．
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
?1?抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.
?2?深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
[跟进训练]
2．(1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布( )
A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺
(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为( )
A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤
(1)B (2)B [(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90(尺)．
(2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{an}．设首项为2，则a5＝4，∴中间3尺的重量为a2＋a3＋a4＝3a3＝×3＝×3＝9(斤)．]
类型3 利用an＝求通项
【例3】 根据下列数列的前n项和Sn求通项an．
(1)Sn＝2n2－n＋1；
(2)Sn＝2·3n－2．
[思路探究] 先写出n≥2时，an＝Sn－Sn－1表达式，再求出n＝1时a1＝S1，验证是否适合n≥2时表达式．如果适合则an＝Sn－Sn－1(n∈N
)，否则an＝
[解] (1)由Sn＝2n2－n＋1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3．
当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3．
∴an＝
(2)由Sn＝2·3n－2，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝2·3n－2－(2·3n－1－2)
＝4·3n－1．
当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31－1，
∴an＝4·3n－1(n∈N
)．
1．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
2．用an与Sn的关系求an的步骤
(1)先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(2)再利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4)写出数列的通项公式．
[跟进训练]
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an．
[解] 根据条件可得Sn＝2n＋1．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n－1－1＝2n－1(2－1)＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1，
∴an＝
类型4 等差数列前n项和Sn的函数特征
【例4】 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通项公式；
(2){an}的前多少项和最大？
1．观察数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2的结构特征，你能得到什么结论？
[提示] 数列{an}是等差数列．
2．求等差{an}的前n项和Sn的最大值有哪些方法？
[提示] ①把Sn看成关于n的二次函数，利用二次函数的单调性求最值；
②寻找正、负项，即若an≥0，an＋1＜0，则Sn最大．
[解] (1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n．
故{an}的通项公式为an＝34－2n．
法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，
距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的
图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
1．(变条件)将例题中的条件变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．
[解] 法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N
，∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差数列的性质得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169．
2．(变结论)本例中条件不变，令bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解] 由数列{an}的通项公式an＝34－2n知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an<0．
所以当n≤17时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2．
当n≥18时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544．
故Tn＝
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B． C．2 D．3
C [设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得解得]
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝100，则a4＋a7＝( )
A．12 B．20 C．40 D．100
B [法一：由等差数列的前n项和的公式得：S10＝10a1＋d＝100，即2a1＋9d＝20，从而a4＋a7＝a1＋3d＋a1＋6d＝2a1＋9d＝20．
法二：S10＝＝100，∴a1＋a10＝20，a4＋a7＝a1＋a10＝20．故选B．]
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝( )
A．13 B．14 C．15 D．14或15
B [由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n．
考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝．
又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14．]
4．已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n＋1，则其通项公式an＝________．
[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－(n－1)2＋2(n－1)－1＝2n－3，而当n＝1时，a1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3，
所以通式公式an＝]
5．在等差数列{an}中：
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n．
[解] (1)由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15．
∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－．
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5．
(3)由
得
解得或
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等差数列{an}的前n项和Sn是什么？
[提示] Sn＝n·＝n2＋n．
2．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间有什么关系？
[提示] an＝
PAGE第2课时 等差数列前n项和的性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握an与Sn的关系并会应用．(难点)2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)3．会用裂项相消法求和．(易错点)
1．通过对等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，培养数学建模素养．2．借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养．
1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0)．
反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？
知识点 等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
[提示] (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d．
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
(3)在等差数列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等差数列，a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…也成等差数列．
(4)在等差数列{an}中，数列为等差数列．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．
( )
(2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列．
( )
(3)若等差数列的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
B [∵＝，
∴＝．
∴n＝10．故选B项．]
类型1 “片段和”的性质
【例1】 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110．
[思路探究] (1)可利用方程(组)思想求解．
(2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列前11项的和求解．
[解] 法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则
解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝－110．
法二：∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，
∴a11＋a100＝－2．
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝＝－110．
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，
∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22．
∴前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110．
法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，
则＝a1＋(n－1)．
∴数列是等差数列，其公差为．
∴－＝(100－10)×，
且－＝(110－100)×．
代入已知数值，消去d，可得S110＝－110．
法五：令Sn＝An2＋Bn．
由S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝1102A＋110B＝1102×＋110×＝－110．
方法一属于通性通法；方法二运用Sn和an之间的关系；方法三运用前n项和“片段和”的性质；方法四使用性质“也是等差数列”；方法五利用前n项和可用Sn＝An2＋Bn表示的特点.这五种解法从不同角度应用了等差数列的性质，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决.
[跟进训练]
1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．
[解] 在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210．
类型2 裂项相消法求和
【例2】 在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋．
[思路探究] 根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据的通项特征，利用裂项相消法求和．
[解] ∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋d
＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N
)，
∴＝＝＝，
∴＋＋…＋
＝
＝
＝－．
裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项?裂项?之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和.
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn．
[解] an＝＝，
∴Sn＝＋＋＋…＋＋
＝
＝＝，∴Sn＝．
类型3 有限项等差数列前n项和的性质及比值问题
【例3】 (1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝( )
A． B． C． D．
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．
1．a7，b7能分别用Sn，Tn表示吗？
[提示] a7＝
S13，b7＝T13．
2．在等差数列中，偶数项的和S偶与奇数项的和S奇能用公差d表示吗？
[提示] S偶－S奇＝nd(项数为2n项时)．
(1)A (2)5 [(1)因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和，
∴＝＝＝＝＝．
(2)法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d，
则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5．
法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，
则解得
∴6d＝192－162＝30，∴d＝5．
法三：由题意知
由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得
(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，
解得d＝5．]
1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求＋的值．
[解] ∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
∴原式＝＝＝
＝＝．
2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求的值．
[解] 由条件，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2．
∴an＝(6n－1)k，bn＝(4n－2)k，
∴＝＝．
3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“＝”，求的值．
[解] ＝＝
＝＝＝＝．
等差数列前n项和计算的两种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
1．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( )
A．160 B．180 C．200 D．220
B [a1＋a2＋a3＝3a2＝－24?a2＝－8，
a18＋a19＋a20＝3a19＝78?a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180．]
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
C [由题知S偶－S奇＝5d，∴d＝＝3．]
3．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
75 [因为an＝2n＋1，所以a1＝3．
所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75．]
4．数列的前100项的和为________．
[∵＝－．∴S100＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝．]
5．等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99．
[解] 令a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A．
a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B．
那么
解得B＝85，A＝60，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60．
回顾本节知识，自我完成以下问题：,等差数列前n项和的常用性质有哪些？
[提示] ?1?数列{an}为等差数列?Sn＝an2＋bn?a，b为常数?.
?2?若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍.
?3?若等差数列{an}的项数为2n?n∈N
?，则S偶－S奇＝nd，＝；若项数为2n－1?n∈N
?，则S2n－1＝?2n－1?an，且S奇－S偶＝an，\f(S奇,S偶)＝.
?4?已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
?5?若Sm＝Sn?m≠n?，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m?m≠n?，则Sm＋n＝－?m＋n?.
?6?若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为原公差的.
PAGE4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
4.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
1．通过学习等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的判断与证明，培养逻辑推理素养．
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…．
那么，第30排有多少个座位？
知识点1 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．
( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．
( )
[提示] (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
知识点2 等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
1．教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？
[提示] 还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N
)．
2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝( )
A．22 B．24 C．26 D．28
D [a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D．]
3．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N
)，则a6＝________．
[由条件知，－＝5，∴为等差数列，且＝3，
∴＝3＋5×5＝28，
即a6＝．]
知识点3 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．
2．由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
[提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
类型1 等差数列的概念
【例1】 (1)(多选题)下列命题正确的有( )
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列是等差数列
(2)下列数列中，递增的等差数列有________个．
①1，3，5，7，9；②2，0，－2，0，－6，0，…；③，，，，…；④0，0，0，0，…；⑤－1，，＋1．
(1)BCD (2)3 [(1)根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为－2，A错误；
对于B，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；
对于C，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以C正确；
对于D，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列是等差数列，所以D正确．
(2)等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列．]
?1?判断一个数列是不是等差数列，只需看an＋1－an?n∈N
?是不是一个与n无关的常数.
?2?判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列{an}的公差d是否大于0.
?3?求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可.
[跟进训练]
1．下列数列不是等差数列的是( )
A．1，1，1，1，1
B．4，7，10，13，16
C．，，1，，
D．－3，－2，－1，1，2
D [由等差数列的定义得：
A．
d＝0，故正确；B．
d＝3，故正确；C．
d＝，故正确；
D．每一项与前一项的差不是同一个常数，故错误；故选D．]
2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N
)，则数列{an}________(填“是”或“不是”)等差数列，若是，公差为________．
是 [∵an＋1＝an＋，
∴an＋1－an＝(n∈N
)，
∴数列{an}是以为公差的等差数列．]
类型2 等差数列的通项公式
【例2】 已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75．
[解] 法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24．
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24．
法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，a60＝20得解得∴a75＝75×＋4＝24．
等差数列通项公式的妙用
(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d．如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”．
(2)从函数的角度看等差数列的通项公式．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数．
(3)由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项．
[跟进训练]
3．已知数列{an}为等差数列．
(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；
(2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；
(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
(4)已知a7＝，d＝－2，求a1．
[解] (1)∵a1＝6，d＝3，
∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3．
∴a8＝3×8＋3＝27．
(2)∵a4＝10，a10＝4，
∴d＝＝＝－1，
∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，
∴a7＝－7＋14＝7．
(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，
∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18．
(4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，
∴a1＝．
类型3 等差数列的判定与证明
【例3】 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an．
如何用定义证明数列{an}是等差数列？
[提示] 证明an－an－1＝d?常数??n≥2?.
[解] (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝．
1．(变条件)将本例中条件“a1＝2，an＋1＝”换成“a1＝，n≥2时有＝(n＞1，n∈N
)”，结论如何？
[解] (1)法一：＝(n＞1，n∈N
)，
∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n＞1，n∈N
)，
即an－1＝an(4an－1＋1)(n＞1，n∈N
)，
∴an＝(n＞1，n∈N
)，
∴＝＝4＋(n＞1，n∈N
)，
∴－＝4(n＞1，n∈N
)，
∴数列是等差数列且公差为4，首项为5．
法二：当n＞1，n∈N
时，＝?＝?－2＝2＋?－＝4，且＝5．
∴是等差数列，且公差为4，首项为5．
(2)由(1)及等差数列的通项公式得
＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，
∴an＝．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)”，记bn＝．
(1)证明：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n．
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2．
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2．
等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}为等差数列；
(2)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N
)?{an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法．
1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列( )
A．是公差为－3的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
A [等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5，故公差为－3．故选A．]
2．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8 B．12 C．16 D．24
C [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16．故选C．]
3．已知a＝，b＝，若a，c，b成等差数列，则c＝________．
[＝＝＝．]
4．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
[解] 由题意得
∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n．
故数列{an}的通项公式为an＝2n．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．
等差数列的定义与通项公式分别是什么？
[提示] 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
2．
判断一个数列是等差数列的方法有哪些？
[提示] (1)定义法；(2)通项公式法．
PAGE第2课时 等差数列的性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1．通过对等差数列性质的学习，培养数学运算素养．2．借助对等差数列的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
如图，第一层有1个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？
每隔一层的球数有什么规律？
每隔二层呢？
每隔三层呢？
知识点1 等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
[提示] 等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝．
知识点2 等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N
)，则am＋an＝ap一定成立吗？
[提示] 不一定．如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3．
1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的差为( )
A．20
B．22
C．24
D．26
C [∵{an}为等差数列，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，
a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24，
则2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24．]
2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．
15 [由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15．]
类型1 灵活设元解等差数列
【例1】 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
[思路探究] 前三项可以设为a－d，a，a＋d，也可以直接用“通法”解决．
[解] 法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，
则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18．
解得a＝6．
又前三项的乘积为66．
∴6×(6＋d)(6－d)＝66，
解得d＝±5．
由于该数列单调递减，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16．
令－5n＋16＝－34，解得n＝10．
∴－34是数列{an}的第10项．
法二：依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d＜0．故a1＝11，d＝－5．
∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16．
令an＝－34，
即－5n＋16＝－34，得n＝10．
∴－34是数列{an}的第10项．
等差数列的设项方法与技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列．
(2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．
(3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．
[跟进训练]
1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
[解] 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d．
由已知有
整理得
解得a＝1，d＝±．
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－．
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－．
类型2 等差数列的实际应用
【例2】 某公司2017年生产一种数码产品，获利200万元，从2018年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？
[思路探究] 根据条件可以构造等差数列，由条件可知首项和公差都已知，利用等差数列解决该问题．
[解] 记2017年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损．
设第n年的利润为an，
因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n．
由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11，
即从第12年起，也就是从2028年开始，该公司生产此产品将出现亏损．
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题．
[跟进训练]
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
23.2 [根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14
km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]
类型3 等差数列的性质
【例3】 (1)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝( )
A．32 B．27 C．24 D．16
(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
1．观察(1)题中数列的下标，有什么关系？可得什么结论？
[提示] a3，a6，a4，a7满足3＋7＝4＋6，由等差数列的性质可得a2＋a6＝a3＋a5
2．观察条件中的两个方程，有什么特征？
[提示] 这两个方程的两根之和是2．
(1)C (2) [(1)法一：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq．
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5．
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
(2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，
则b＝2－＝．
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，∴这个等差数列的顺序为，c，d，．
则c＝，d＝．
∴m＝ab＝，n＝cd＝．
∴|m－n|＝＝．]
1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15．
[解] 法一：因为a5，a10，a15成等差数列，
所以a5＋a15＝2a10．
所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32．
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，
所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝．
所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32．
2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8．
[解] 法一：∵在等差数列{an}中
a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450．
解得a5＝90．
∴a2＋a8＝2a5＝180．
法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．根据an＝a1＋(n－1)d，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450．∴a1＋4d＝90．
而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180．
等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N
)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N
)，
则am＋an＝2ap．
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A．5 B．8 C．10 D．14
B [由a3＋a5＝a1＋a7可得a7＝10－2＝8．]
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5
B．6
C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，
即2a5＝10，∴a5＝5．]
3．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
A [∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9，
∴a5＝3．方程中Δ＝(a4＋a6)2－4×10＝(2a5)2－40＝(2×3)2－40＝－4＜0．∴方程无实根．]
4．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________．
18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝．
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7．
故d＝＝＝．
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18．]
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．
回顾本节知识，自我完成以下问题：,等差数列有哪些常见的性质？
[提示] ?1?
an＝am＋?n－m?d.
?2?若n，m，p，q∈N
，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.,特别地：①若m＋n＝2k?k，m，n∈N
?，则有an＋am＝2ak.,②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….
?3?下标?项的序号?成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…?k，m∈N
?组成公差为md的等差数列.如a1，a3，a5，…组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，…，a5n－2，…组成公差为5d的等差数列.
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