5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1．通过对函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养．
观察y＝x－1，y＝2x＋1，y＝－3x＋1的图象并回答以下问题：
①这3个函数图象都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？
②分别求出这3个函数的导数，并观察其导数值有何特点．
知识点 函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系
对于函数y＝f(x)，
如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)在该区间上单调递增，即f(x)为该区间上的增函数；
如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)在该区间上单调递减，即f(x)为该区间上的减函数．
上述结论可以用下图来直观理解．
如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
[提示] f(x)是常数函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．
( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．
( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．
( )
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．
( )
[提示] (1)√ 函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．
(2)× 切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误．
(3)√ 函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．
(4)√ 若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．函数f(x)＝2x－sin
x在(－∞，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
A [∵f(x)＝2x－sin
x，∴f′(x)＝2－cos
x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]
3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
A B C D
D [当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D．]
4．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．
(－1，2)和(4，＋∞) [由y＝f′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f(x)的大致图象如图所示．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．
]
类型1 导函数与原函数的关联图象
【例1】 (1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
A B
C D
(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A
B
C D
(1)D (2)B [(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x＜0时，有f′(x)＞0(即全部在x轴上方)，故排除A，C．从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)＞0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)＞0，故排除B．故选D．
(2)法一：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．
法二：由于f′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．
由于当x＞0时，f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B．]
研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
[跟进训练]
1．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
A
B
C D
C [当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，
∴f′(x)＜0，故f(x)在(0，1)上为减函数；
当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C．]
类型2 利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln
x；(2)f(x)＝x2e－x．
[思路探究] 先求定义域，再对原函数求导，结合导数f′(x)的正负确定函数的单调区间．
[解] (1)f(x)＝3x2－2ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝＝，
由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞．由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜．
∴函数f(x)＝3x2－2ln
x的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域，得下表：
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
f(0)＝0
↗
f(2)＝
↘
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
用解不等式法求单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
[跟进训练]
2．求函数f(x)＝x2－ln
x的单调区间．
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝．
因为x＞0，所以x＋1＞0，令f′(x)＞0，解得x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为；令f′(x)＜0，解得x＜，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为．
类型3 含有参数的函数单调性的讨论
【例3】 设g(x)＝ln
x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．
如何确定函数g(x)的单调性？
[提示] 先对原函数求导得g′(x)＝－(x＞0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性．
[解] 由题意可知g′(x)＝－2ax＋a－2＝－(x＞0)．
∵a＜0，g′(x)＝－(x＞0)．
(1)当a＜－2时，∵－＜，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减．
(2)当a＝－2时，g′(x)＝≥0恒成立，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)当－2＜a＜0时，∵－＞，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减．
利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间．
[跟进训练]
3．试求函数f(x)＝kx－ln
x的单调区间．
[解] 函数f(x)＝kx－ln
x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝．
当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜；
由f′(x)＞0，得＞0，解得x＞．
∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
类型4 已知函数的单调性求参数的范围
【例4】 已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
[解] 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0．
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，
所以实数a的取值范围是(－∞，0]．
1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的取值范围．
[解] 由题意可知f′(x)＝3x2－a．
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0．
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3．
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
[解] 由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴即∴a≥3．
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范围为(0，3)．
1．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
2．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0．
1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
A
B
C
D
C [∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0．故选C．]
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
D [∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2．
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
3．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(0，3)
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
C [∵函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0，2)内单调递减，∴f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0，2)内恒成立，即a≥x在(0，2)内恒成立．∵x＜3，∴a≥3．故答案为C．]
4．函数f(x)＝x2－ln
x的单调递减区间为________．
(0，1) [函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝，
令＜0，∴0＜x＜1，
则函数f(x)＝x2－ln
x的单调递减区间为(0，1)．]
5．已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性．
[解] f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a≤0，则f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝－ln
a．
当x∈(－∞，－ln
a)时，f′(x)＜0；
当x∈(－ln
a，＋∞)时，f′(x)＞0．
所以f(x)在(－∞，－ln
a)上单调递减，在(－ln
a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，f(x)在(－∞，－ln
a)上单调递减，在(－ln
a，＋∞)上单调递增．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)在区间(a，b)上的单调性与f′(x)的符号有什么关系？
[提示] 若f′(x)>0，则f(x)是增函数；若f′(x)<0，则f(x)为是减函数．
2．如何判断或证明函数的单调性？
[提示] 判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．
PAGE5.3.2 极大值与极小值
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)
1．通过对极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．
在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫作最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．
知识点1 极大值与极小值
1．极大值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．
2．极小值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)极大值一定比极小值大．
( )
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值．
( )
(3)单调函数不存在极值．
( )
[提示] (1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；
(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；
(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点2 函数极大值、极小值与函数的导数的关系
1．极大值与导数的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)＞0
f′(x)＝0
f′(x)＜0
f(x)
↗
极大值f(x1)
↘
2．极小值与导数的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)＜0
f′(x)＝0
f′(x)＞0
f(x)
↘
极小值f(x2)
↗
2．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是( )
A．y＝x3
B．y＝x2＋1
C．y＝|x|
D．y＝2x
BC [对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴在x＝0处取得极小值；对于C，根据图象(图略)知，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]
3．函数f(x)＝x＋2cos
x在上的极大值为( )
A．f(0)
B．f
C．f
D．f
B [f′(x)＝1－2sin
x．令f′(x)＝0，∵x∈，
∴x＝，x∈时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0．∴f是f(x)在上的极大值．]
类型1 不含参数的函数求极值
【例1】 求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2．
[解] (1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，3)
3
(3，5)
5
(5，＋∞)
y′
＋
0
＋
0
－
0
＋
y
↗
无极值
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝3时，y极大值＝f(3)＝108；
当x＝5时，y极小值＝f(5)＝0．
求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求出函数的定义域及导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么函数在这个根处不能取得极值．
[跟进训练]
1．求函数f(x)＝3x3－3x＋1的极值．
[解] f′(x)＝9x2－3，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
根据上表可知当x1＝－时，函数f(x)的极大值为f＝1＋；
当x2＝时，函数f(x)的极小值为f＝1－．
类型2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
[思路探究] ―→―→
―→
[解] ∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝．
①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数f(x)取得极大值，为f＝；
当x＝时，函数f(x)取得极小值，为f＝0．
②当a＜0时，＜，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数f(x)取得极大值，为f＝0；
当x＝时，函数f(x)取得极小值，为f＝．
综上，当a＞0时，函数f(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；
当a＜0时，函数f(x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值．
函数极值的注意点
(1)求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点．
(2)求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
[跟进训练]
2．若函数f(x)＝x－aln
x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝．
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a．
当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0．
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－aln
a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值．
类型3 由极值求参数的值或取值范围
【例3】 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝( )
A．4或－3
B．4或－11
C．4
D．－3
(2)若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln
x没有极值，则( )
A．a＝－1
B．a≥0
C．a＜－1
D．－1＜a＜0
[思路探究] (1)由f′(1)＝0且f(1)＝10．求解a，b，注意检验极值的存在条件．
(2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)
(1)C (2)A [(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b．
由题意得即
解得或
当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝4．故选C．
(2)f′(x)＝(x－1)，x＞0，
当a≥0时，＋1＞0，令f′(x)＜0，得0＜x＜1；
令f′(x)＞0，得x＞1．f(x)在x＝1处取极小值．
当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，
①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．
②若a≠－1，此正数解为x≠1，f′(x)＝0必有2个不同的正数解，f(x)存在2个极值．综上，a＝－1．故选A．]
已知函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：若f(x0)是函数的极值，那么f′(x0)＝0，且x0两侧的导数值异号．
(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f′(x)；
②由f′(x0)＝0，列出方程(组)，求解参数．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[跟进训练]
3．若函数f(x)＝x(x－m)2在x＝2处取得极大值，求函数f(x)的极大值．
[解] ∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0，
∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6．
(1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，
由f′(x)＞0得x＜或x＞2；
由f′(x)＜0得＜x＜2．
∴f(x)在x＝2取得极小值，不合题意，故m＝2舍去．
(2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞6；
由f′(x)＜0得2＜x＜6．
∴f(x)在x＝2取得极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32．
即函数f(x)的极大值为32．
类型4 极值问题的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象？
[提示] f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f(x)的递减区间是(－2，3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16．
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x
＋16＝a有几解？
[提示] 方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时，
方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．
【例4】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
从函数f?x?＝x3－3x＋a?a为实数?的图象观察，若方程f?x?＝0有三个不同实根，其极大值与极小值应满足什么条件？
[提示] 要使f?x?＝0有三个不同实根，则其有极大值大于0，极小值小于0.
[解] 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1
当x>1时，f′(x)>0．
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a．
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－21．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？[解] 由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2．2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解] 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2．3．(变条件、变结论)讨论方程＝a的根的情况．[解] 令f(x)＝，则定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝．令f′(x)＝0，得x＝e．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗↘因此极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜时，＝a有两个不同的根；当a＝或a≤0时，＝a只有一个根；当a＞时，＝a没有实数根．
利用导数求函数零点的个数
(1)利用导数可以判断函数的单调性；
(2)研究函数的极值情况；
(3)在上述研究的基础上突出函数的大致图象；
(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数．若含有参数，则需要讨论极值的正负．
1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1，2)上函数f(x)为增函数
B．在(3，4)上函数f(x)为减函数
C．在(1，3)上函数f(x)有极大值
D．
f(3)在区间[1，5]上的极小值
D [由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，
∴f(2)是函数f(x)的极大值，f(4)是函数f(x)的极小值，故A，B，C正确，D错误．]
2．设函数f(x)＝xex，则( )
A．f(1)为f(x)的极大值
B．f(1)为f(x)的极小值
C．f(－1)为f(x)的极大值
D．f(－1)为f(x)的极小值
D [令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1．当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0．故当x＝－1时，f(x)取得极小值．]
3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]
4．已知函数f(x)＝2ef′(e)ln
x－，则函数f(x)的极大值为________．
2ln
2 [f′(x)＝－，故f′(e)＝－，
解得f′(e)＝，所以f(x)＝2ln
x－，f′(x)＝－．
由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e．所以函数f(x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，
故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln
2e－2＝2ln
2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．极大值与极小值的概念是什么？
[提示] 若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；若都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值．
2．求函数的极值的步骤是什么？
[提示] (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)列表．
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据单调性的变化情况求极值．
PAGE5.3.3 最大值与最小值
第1课时 最大值与最小值
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解函数的最值的概念．(难点)2．了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3．会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)
1．通过对函数最大(小)值存在性的学习，培养直观想象核心素养．2．借助函数最值的求解问题，提升数学运算的核心素养．
如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考：(1)观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
知识点1 最大值与最小值
最大值与最小值的概念
(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值唯一．
函数的极值与最值的区别是什么？
[提示] 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
知识点2 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
第一步 求f(x)在区间(a，b)上的极值．
第二步 将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
1．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为( )
A．0
B．
C．
D．
C [f′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值．]
2．如图所示，函数f(x)的导函数图象是一条直线，则( )
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值也有最小值
C [由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．故选C．]
3．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是( )
A．1 B．2 C．0 D．－1
A [设f(x)＝3x－4x3，∴f′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)．∵x∈[0，2]，
∴当x＝时，f′(x)＝0．
又f(0)＝0，f
＝1，f(2)＝－26，
∴函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1．]
类型1 求函数的最值
角度1 不含参数的函数最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；
(2)f(x)＝sin
2x－x，x∈．
[解] (1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1．
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
↗
11
↘
－1
↗
11
从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1．
当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11．
(2)f′(x)＝2cos
2x－1，令f′(x)＝0，得cos
2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±．∴x＝±．
∴函数f(x)在上的两个极值分别为
f＝－，f＝－＋．
又f＝－，f＝．
比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－．
角度2 含参数的函数最值
【例2】 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0．
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
[思路探究] (1)求导后，观察Δ的符号讨论单调性．
(2)根据第(1)问，讨论极值点与区间的关系，从而求出最值，进而求出取最值时x值．
[解] (1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2．
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1＜x2，
所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0．故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0．
①当a≥4时，x2≥1．由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1．由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；
当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．
求函数最值的着眼点
(1)从极值点和端点处找最值
求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值．
(2)单调区间取端点
当图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得．
[跟进训练]
1．已知函数f(x)＝excos
x－x．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f(x)＝excos
x－x，所以
f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，f′(0)＝0．
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．
(2)设h(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，则
h′(x)＝ex(cos
x－sin
x－sin
x－cos
x)＝－2exsin
x．
当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0．
所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－．
类型2 用导数证明不等式
【例3】 当x＞0时，证明：不等式ln(x＋1)＞x－x2．
[思路探究] 利用导数证明不等式，首先要构造两边式子的差为新函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2．因此要证明原不等式，即证f(x)＞0在x＞0时恒成立．
[证明] 设f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2，则f′(x)＝－1＋x＝．
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，
∴当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－x2成立．
证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的步骤
(1)将要证明的不等式f(x)＞g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)＞0；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性；
(3)若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数，只需保证F(a)＞0；
(4)若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数，只需保证F(b)＞0．
[跟进训练]
2．证明不等式x－sin
x＜tan
x－x，x∈．
[证明] 令f(x)＝tan
x－2x＋sin
x，x∈，
则f′(x)＝′－(2x)′＋(sin
x)′
＝－2＋cos
x
＝
＝
＝
＝．
∵x∈，∴1－cos
x＞0，cos
x＋sin2x＞0，
∴f′(x)＞0，∴f(x)在上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0，即tan
x－2x＋sin
x＞0，即x－sin
x＜tan
x－x．
类型3 已知函数最值求参数
【例4】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值是3，最小值为－29．求a，b的值．
1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立．如何处理这种问题？
[提示] 转化为函数在[a，b]上的最值问题，即c≤f(x)min或c≥f(x)max．
2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
[提示] c≤f(x)max或c≥f(x)min．
[解] 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
∵a>0，
∴x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3．
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2．故a＝2，b＝3．
1．(变条件)本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．[解] 由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29．又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2．故a＝－2，b＝－29．2．(变条件，变结论)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．[解] ∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1．令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g′(t)＋0－g(t)↗极大值1－m↘∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m．h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0．∴m的取值范围为(1，＋∞)．
由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：
?1?求导数f′?x?，并求极值；
?2?利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；
?3?利用最值列关于参数的方程?组?，解方程?组?即可.
1．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10
A [令y′＝＝0?x＝e．当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1．]
2．若函数f(x)＝x3－x2－x＋2m在区间[0，2]上的最大值是4，则m的值为( )
A．3 B．1 C．2 D．－1
B [f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1．又f(0)＝2m，f(1)＝2m－1，f(2)＝2m＋2，
则f(2)最大，所以2m＋2＝4，所以m＝1．故选B．]
3．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．
[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－．
f(－1)＝，f
＝，f(1)＝，f(2)＝7，
∴m＜．]
4．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．
[解] f′(x)＝3x2－2ax．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝．
①当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a．
②当≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0．
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求函数最值的步骤有哪些？
[提示] ①求f(x)在区间(a，b)上的极值．
②将第①步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
2．当函数的解析式中含有参数时，如何求函数的最值？
[提示] 解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值．
PAGE第2课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)
1．借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养．3．借助对实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养．
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128
dm2，上、下两边各空2
dm，左右两边各空1
dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
知识点1 函数图象的画法
函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f(x)的图象：
(1)求出函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5)画出f(x)的大致图象．
知识点2 用导数解决优化问题的基本思路
解决生活中优化问题应注意什么？
[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B． C．－1 D．－8
C [由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1．]
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
C [由题意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0．
故当x＝9时，y取得极大值，也是最大值．]
类型1 利用导数研究函数的图象
【例1】 函数y＝(其中e为自然对数的底数)的大致图象是( )
A
B
C
D
B [法一：由函数y＝可知，当x＝0时，y＝0，排除C；
当x＜0时，y＜0，排除A；
y′＝＝，
当x＜3时，y′＞0，当x＞3时，y′＜0，
∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B．
法二：由函数y＝可知，当x＝0时，y＝0，排除C；当x＜0时，y＜0，排除A；当x→＋∞时，y→0．故选B．]
由解析式研究图象常用的方法
根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法，如判断函数的奇偶性、定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等．
[跟进训练]
1．函数f(x)＝ex2－2x2的图象大致为( )
A
B
C
D
A [∵f(x)＝f(－x)，当x＞0时，f′(x)＝ex2·2x－4x，令f′(x)＝0，则2x(ex2－2)＝0?x＝∈(0，1)，且f()＝2－2ln
2＞0，∴当x＞0时，f(x)＞0，且只有一个极值点，∴排除B，C，D．故选A．]
类型2 用导数研究方程的根
【例2】 设函数f(x)＝－kln
x，k＞0．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
[思路探究] (1)对函数f(x)求导，根据导数的正负确定函数的单调区间和极值；
(2)根据(1)中函数的单调性和极值分析函数图象，得出最值，进而得出函数存在零点时k的取值范围，由此结合零点存在性定理进行证明．
[解] (1)由f(x)＝－kln
x(k＞0)得f′(x)＝x－＝，
由f′(x)＝0解得x＝．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)，f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝．
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e．
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝＞0，f()＝＜0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
与函数零点有关的问题
与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题)，确定参数的取值范围．
[跟进训练]
2．若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，求实数a的取值范围．
[解] 由ax＝x知x＞0，故
xln
a－ln
x＝0?ln
a＝，
令f(x)＝(x＞0)，则
f′(x)＝．
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，
f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
故当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝，即ln
a＜，即a＜e
eq
\s\up10()．画出函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝x的图象，结合图象可知，若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则a＞1．综上可知，实数a的取值范围为eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，e
eq
\s\up10()))．
类型3 导数在生活实际问题中的应用
角度1 用料最省、成本(费用)最低问题
【例3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
[思路探究] (1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f(x)的表达式．
(2)求函数式f(x)的最小值．
[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝．
而建造费用为C1(x)＝6x．
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70．
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．
求解优化问题中的最小值问题的思路
在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值．若求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值．
[跟进训练]
3．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？
[解] 设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2．∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，则y1＝5v2．
设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·＝，
∴y′＝＝．
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16．
若v0≥16，当v∈(8，16)时，y′＜0，y为减函数；当v∈(16，v0]时，y′＞0，y为增函数．故当v＝16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．
若v0＜16，则v∈(8，v0]，且y′＜0，y在(8，v0]上为减函数．故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32
000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元．
角度2 利润最大、效率最高问题
【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？
[提示] (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2．
(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42．
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
[跟进训练]
4．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高．市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y(元)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．
[解] (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，
则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，
∴y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．
(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝，x2＝－(舍)，
当0＜x＜时，y′＞0；＜x＜1时，y′＜0，
∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝时取得极大值也是最大值，
故改进工艺后，每个配件的销售价为20×＝30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大．
1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40 C．50 D．60
B [V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，
所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当402．设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为( )
A B C D
C [根据题意，f(x)为偶函数，则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B、D．又由于函数f(x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C．]
3．若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[0，2]
C．[－2，0]
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
A [方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题．
令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，
令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，
又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故选A．]
4．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
40 [由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0，40]上递减．
∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用导数解决函数的零点问题的一般方法是什么？
[提示] 与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系．
2．利用导数解决实际应用问题的一般方法是什么？
[提示] (1)设出变量找出函数关系式，确定定义域；
(2)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点处函数值比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值．
PAGE5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解平均变化率的实际背景．2．理解平均变化率的含义．(重点)3．会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．(难点)
1．通过对函数的平均变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过利用平均变化率解释实际问题，培养数学建模的核心素养．
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
知识点 平均变化率
1．平均变化率的定义：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
1．思考辨析
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，x2－x1一定大于0．
( )
(2)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值的变化量为f(x2)－f(x1)可以是正数，也可以是负数或零．
( )
(3)函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
( )
[答案] (1)× (2)√
(3)√
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
B [＝＝＝＝4.1，故选B．]
类型1 求平均变化率
【例1】 (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
[解] (1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为
＝＝12.3．
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为
＝＝＝3．
求函数平均变化率的步骤是什么？
[提示] 求函数平均变化率的步骤：
(1)求自变量的改变量x2－x1；
(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)；
(3)求平均变化率．
[跟进训练]
1．如图，函数y＝f(x)在[1，5]上的平均变化率为( )
A． B．－ C．2 D．－2
B [＝＝－．故选B．]
2．已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1，0]上的平均变化率为________．
1 [∵f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－5＝－6，f(0)＝－5，
∴＝＝1．]
类型2 实际问题中的平均变化率
【例2】 (1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
(2)在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20，20.1]上的平均速度是多少？
(1)0.4π [∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时，
圆的面积S的平均变化率为＝＝0.4π．]
(2)[解] 赛车在[20，20.1]上的平均速度为
＝
＝＝210.5(m/s)．
平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.
[跟进训练]
3．某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．
[解] 前5年森林面积的平均变化率为＝0.8(公顷/年)．
后5年森林面积的平均变化率为＝1.6(公顷/年)．
类型3 函数平均变化率的应用
【例3】 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系是________．
如何确定1，2，3的大小关系？
[提示] 根据平均变化率的几何意义，即转化为直线的斜率进行判断.
3＞2＞1 [1＝＝kOA，
2＝＝kAB，3＝＝kBC，
由图象知，kOA2>1．]
在本例中，汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象换为下图，则在下列区间上平均速度最大的是( )
A．[0，1]
B．
C．
D．
D [在区间[0，1]，，，上时，Δt相同，由图象可知函数在区间上的Δs最大．所以函数f在区间上的平均变化率最大．]
平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢.
[跟进训练]
4．甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是________．(填序号)
①v甲>v乙；②v甲② [由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则<，
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．]
1．函数f(x)＝x2＋c(c∈R)区间上的平均变化率为( )
A．2 B．4 C．c D．2c
B [＝＝＝4．]
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2
B [＝＝＝2．]
3．若函数f＝x2－c在区间上的平均变化率为4，则m等于( )
A． B．3 C．5 D．16
B [因为＝＝m＋1＝4，所以m＝3．]
4．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________．
2 [＝＝＝2．]
5．已知函数f(x)＝3x2＋5．
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9．
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2．
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是什么？
[提示] 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
2．平均变化率的几何意义是什么？
[提示] (1)平均变化率表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．
PAGE5.1.2 瞬时变化率——导数
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解切线的含义．(重点)2．理解瞬时速度与瞬时加速度．(重点)3．掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．(难点)
1．通过对瞬时变化率、导数概念和导数几何意义的学习，培养数学抽象及直观想象的核心素养．2．借助对切线方程的求解，提升数学运算核心素养．
巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？
思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？
知识点1 曲线上一点处的切线
1．设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C．当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
2．若曲线C上一点，P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
知识点2 瞬时速度与瞬时加速度
1．平均速度
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
2．瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
3．瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
1．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的加速度为________．
6 [＝＝＝6＋Δt，当Δt→0时，→6，即汽车在t＝3时加速度为6．]
2．火箭发射t
s后，其高度(单位：km)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6
km/s．
2 [＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．当Δt→0时→1.8t0．
即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，
由1.8t0＝3.6得t0＝2．]
知识点3 导数
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
3．导函数
(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．f′(x0)＞0和f′(x0)＜0反映了怎样的意义？
[提示] f′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势．
2．
f′(x0)与f′(x)有什么区别？
[提示] f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)＜0
D．f′(x0)不存在
C [由题意可知，f′(x0)＝－2＜0，故选C．]
类型1 求曲线上某一点处的切线
【例1】 已知曲线y＝f(x)＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
[解] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－＝＋Δx，
∴＝＋＝＋1．
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是．
(2)切线方程为y－＝(x－2)，即3x－4y＋4＝0．
根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数.
[跟进训练]
1．(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________．
(2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的斜率及切线方程．
(1)(3，30) [设点P坐标为(x0，y0)，
则＝＝4x0＋4＋2Δx．
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30．
即点P坐标为(3，30)．]
(2)[解] 设A(1，2)，B(1＋Δx，3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，
则kAB＝＝5＋3Δx，
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，
所以曲线y＝3x2－x在点A(1，2)处的切线斜率是5．
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0．
类型2 求瞬时速度
【例2】 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1
s时的瞬时速度．
[解] ∵＝
＝＝3＋Δt，
∴
＝
(3＋Δt)＝3．
∴物体在t＝1
s处的瞬时变化率为3．
即物体在t＝1
s时的瞬时速度为3
m/s．
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝＝＝1＋Δt，∴
(1＋Δt)＝1．
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1
m/s．
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s．
[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9
m/s．
又＝＝(2t0＋1)＋Δt．
＝
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1．
则2t0＋1＝9，∴t0＝4．
则物体在4
s时的瞬时速度为9
m/s．
求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．
(2)求平均速度：＝．
(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．
类型3 求函数在某点处的导数
【例3】 已知f(x)＝x2－3．
(1)求f(x)在x＝2处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[解] (1)因为＝＝＝4＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，
所以f(x)在x＝2处的导数等于4．
(2)因为＝＝＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a．
求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝．
(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．
[跟进训练]
2．
设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
2 [∵＝＝a，
∴f′(1)＝a，即a＝2．]
3．建造一栋面积为x
m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
[解] 根据导数的定义，得
f′(100)＝
＝
＝
＝
＝
＝＋＝0.105．
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100
m2时，成本增加的速度为1
050元/m2．
类型4 导数几何意义的应用
【例4】 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
A B
C
D
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )
A B C D
1．曲线在x＝x0处的斜率k与f′(x0)有什么关系？
[提示] k＝f′(x0)．
2．运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高指的是什么？
[提示] 运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．
(1)B (2)B [(1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x＞0时，f′(x)＜0，故B符合．
(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B．]
导数几何意义理解中的两个关键
关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0?f′(x0)＞0；k＜0?f′(x0)＜0；k＝0?f′(x0)＝0．
关键点二：|f′(x0)|越大?在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小?在x0处瞬时变化越慢．
[跟进训练]
4．(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝
＝1，∴a＝1．
又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A．]
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
2．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则
＝( )
A． B．2 C．1 D．－1
C [由题意可得：
＝
＝f′(1)，
即：
＝×2＝1．故应选C．]
3．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B． C．－ D．－1
A [因为f′(1)＝
＝
＝
(2a＋aΔx)＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1．]
4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
x＋2y＋4＝0 [f′(－2)＝
＝
＝
＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
即x＋2y＋4＝0．]
5．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
[解] 设切点P(x0，y0)，切线斜率为k，
由y′＝
＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0．
由题意可知4x0＝8，∴x0＝2．
代入y＝2x2－7得y0＝1．
故所求切点P为(2，1)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．导数的概念与几何意义分别是什么？
[提示] 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．求曲线的切线时，“在某点处的切线”与“过某点的切线”有什么不同？
[提示] (1)若“在”，则该点为切点．
(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点．
PAGE5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)3．能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点)
1．通过对基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，培养数学运算的核心素养．2．借助对导数运算法则的应用，提升逻辑推理的核心素养．
回顾1．求函数在x0处的导数的方法．
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求变化率＝．
(3)求极限y′|x＝x0＝f′(x0)＝
．
回顾2．怎样求导函数？
(1)求改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．
(2)求比值＝．
(3)求极限y′＝f′(x)＝
．
那么导数与导函数有什么区别和联系，如何求常见函数的导数？
知识点1 基本初等函数的导数
1．常用函数的导数
(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
(2)C′＝0(C为常数)；
(3)(x)′＝1；
(4)(x2)′＝2x；
(5)(x3)′＝3x2；
(6)＝－；
(7)()′＝．
2．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(2)(ax)′＝axln
a(a>0，且a≠1)；
(3)(ex)′＝ex；
(4)(logax)′＝logae＝(a>0，且a≠1)；
(5)(ln
x)′＝；
(6)(sin
x)′＝cos
x；
(7)(cos
x)′＝－sin
x．
知识点2 导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)．
(3)商的导数
＝(g(x)≠0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)＝0，则f′(x)＝0．
( )
(2)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g′(x)．
( )
(3)若f(x)＝ln
x，则f′(e)＝1．
( )
(4)若f(x)＝x3＋2x，那么f(x)在x0处的切线最小时x0＝0．
( )
[提示] (2)F′(x)＝[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴(2)错；
(3)f(x)＝ln
x时，f′(x)＝．∴f′(e)＝≠1，
∴(3)错．
(4)f(x)＝x3＋2x，∴f′(x)＝3x2＋2，当x＝0时，f′(x)min＝2．∴(4)正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(1)＝________；(2)(xex)′＝________．
(1) (2)(1＋x)ex [(1)＝＝；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．]
3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．
2 [法一：令ex＝t(t＞0)，则x＝ln
t．∵f(ex)＝x＋ex，
∴f(t)＝ln
t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝1＋1＝2．
法二：对函数两边同时求导，得f′(ex)＝1＋ex，令x＝0，得f′(e0)＝f′(1)＝1＋e0＝2．]
类型1 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos
；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg
x；(5)y＝5x；(6)y＝cos．
[解] (1)∵y＝cos
＝，∴y′＝0．
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6．
(3)∵y＝＝eq
\f(x2,x)＝xeq
\s\up12()，∴y′＝xeq
\s\up12()．
(4)∵y＝lg
x，∴y′＝．
(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln
5．
(6)y＝cos＝sin
x，∴y′＝cos
x．
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln
x”“ax与logax”“sin
x与cos
x”的导数区别．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝(x＞0)；(3)y＝sin(π－x)．
[解] (1)∵y＝x＝xeq
\s\up12()，
∴y′＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq
\s\up12(′)＝xeq
\s\up12()＝．
(2)∵y＝＝(x＞0)，
∴y′＝()′＝．
(3)y＝sin(π－x)＝sin
x，∴y′＝cos
x．
类型2 利用导数的运算法则求导数
【例2】 求下列函数的导数：
(1)y＝x3＋sin
x；(2)y＝3x2＋xcos
x；(3)y＝．
[解] (1)y′＝(x3＋sin
x)′＝(x3)′＋(sin
x)′＝3x2＋cos
x．
(2)y′＝(3x2＋xcos
x)′＝(3x2)′＋(xcos
x)′
＝3×2x＋x′cos
x＋x(cos
x)′
＝6x＋cos
x－xsin
x．
(3)y′＝＝＝－．
仔细观察和分析函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形.另外，对较复杂的函数求导时，可先化简再求导，特别地，对于对数函数的真数是根式或分式时，可先根据对数函数的性质将真数转化为有理式或整式，然后求导.
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝x2－sin
cos
；(2)y＝xtan
x．
[解] (1)∵y＝x2－sin
cos＝x2－sin
x
∴y′＝2x－cos
x．
(2)y′＝(x·tan
x)′＝
＝
＝
＝．
类型3 导数计算的综合应用
【例3】 (1)已知函数f(x)＝，若f′(1)＝，则实数a的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
[思路探究] (1)先求导，再列方程求解．
(2)先求导，由条件可知1，2是导函数的两个零点．
(1)B (2)f(x)＝2x3－9x2＋12x [(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝．∵f′(1)＝，∴＝，解得a＝4．故选B．
(2)因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，
f(1)＝5，所以
解得
故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x．]
三次函数求导问题
由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了．这类题目比较受青睐，解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等．
[跟进训练]
3．如图有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝( )
(1) (2) (3)
A． B．－ C． D．－或
B [f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1．故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－．]
1．给出下列命题：
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；
显然③④正确，故选C．]
2．下列函数满足f′(x)＝f(x)的是( )
A．f(x)＝ex
B．f(x)＝cos
x
C．f(x)＝sin
x
D．f(x)＝ln
x
A [若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex＝f(x)，故A正确；若f(x)＝cos
x，则f′(x)＝－sin
x≠f(x)，故B错误；若f(x)＝sin
x，则f′(x)＝cos
x≠f(x)，故C错误；若f(x)＝ln
x，则f′(x)＝≠f(x)，故D错误．故选A．]
3．已知f(x)＝xα(α∈Q且α≠0)，若f′(1)＝，则α等于( )
A．
B．
C．
D．
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝．]
4．函数y＝sin
x＋ex在点(0，1)处的切线方程为________．
2x－y＋1＝0 [当x＝0时，y＝sin
0＋e0＝1，即点(0，1)在函数y＝sin
x＋ex的曲线上．y＝sin
x＋ex的导数y′＝cos
x＋ex，在点(0，1)处的切线斜率为k＝cos
0＋e0＝2，即在点(0，1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]
5．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；
(3)y＝；(4)y＝－2sin
．
[解] (1)y′＝()′＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq
\s\up12(′)＝xeq
\s\up10(－1)＝xeq
\s\up8(－)＝．
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝．
(3)法一：y′＝＝cos
x＋(cos
x)′＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq
\s\up12(′)cos
x－sin
x＝－xeq
\s\up12(－)cos
x－sin
x＝－－sin
x＝－－sin
x＝－．
法二：y′＝＝
＝eq
\f(－sin
x·\r(x)－cos
x·\f(1,2)·x,x)＝－
＝－．
(4)∵y＝－2sin
＝2sin
＝2sin
cos
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能写出本节所学习的七个基本初等函数的求导公式吗？
[提示] (1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(2)(ax)′＝axln
a(a>0，且a≠1)；
(3)(logax)′＝loga
e＝(a>0，且a≠1)；
(4)(ex)′＝ex；
(5)(ln
x)′＝；
(6)(sin
x)′＝cos
x；
(7)(cos
x)′＝－sin
x．
2．对于形如y＝1－2sin2的函数，如何求导数？
[提示] 这些函数比较复杂，利用本节课学习的求导公式不能直接求其导数，可先化简再应用公式求导，即y＝1－2sin2＝cos
x，
所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x．
PAGE5.2.3 简单复合函数的导数
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解复合函数的概念．(易混点)2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点、易错点)
1．通过对复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．借助对复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养．
海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f(r)＝πr2．
油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1．
思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？
如何对该函数求导？
知识点1 复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．
函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
知识点2 复合函数的求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin
u，u＝πx．
( )
(2)f(x)＝ln(3x－1)，则f′(x)＝．
( )
(3)f(x)＝x2cos
2x，则f′(x)＝2xcos
2x＋2x2sin
2x．
( )
[提示] (2)中f′(x)＝．
(3)中，f′(x)＝2xcos
2x－2x2sin
2x．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝的导数是( )
A．
B．
C．－
D．－
C [∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－．]
3．下列对函数的求导正确的是( )
A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝
C．y＝cos
，则y′＝sin
D．y＝22x－1，则y′＝22xln
2
D [A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin
，∴C错误；D中y′＝22x－1ln
2×(2x－1)′＝22xln
2．故D正确．]
类型1 复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝．
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－．
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝．
(4)∵(ln
3x)′＝×(3x)′＝．
∴y′＝＝＝．
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝x．
[解] (1)令u＝3x－2，则y＝10u．
所以y′x＝y′u·u′x＝10uln
10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln
10．
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln
u．
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝．
(3)y′＝(x)′＝＋x()′
＝＋
＝．
类型2 三角函数型函数的导数
【例2】 求下列函数的导数：
(1)y＝cos；
(2)y＝x2＋tan
x．
[解] (1)∵y＝cos＝cossin－cos2＝sin
x－(1＋cos
x)＝(sin
x－cos
x)－，
∴y′＝＝(sin
x－cos
x)′＝(cos
x＋sin
x)．
(2)因为y＝x2＋，
所以y′＝(x2)′＋＝2x＋＝2x＋．
三角函数型函数的求导要求
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导．
复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin
x3；(3)y＝cos4x－sin4x．
[解] (1)∵y＝，
∴y′＝＝sin
x．
(2)y′＝(sin3x＋sin
x3)′
＝(sin3x)′＋(sin
x3)′
＝3sin2xcos
x＋cos
x3·3x2
＝3sin2xcos
x＋3x2cos
x3．
(3)y＝cos4x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos
2x，
∴y′＝(cos
2x)′＝－2sin
2x．
类型3 导数运算法则的综合应用
【例3】 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A．
B．2
C．3
D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
[思路探究] (1)―→eq
\x(\a\al(由y′|＝2,求P(x0，y0)))―→
(2)―→
(1)A (2)2 [(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，
即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线2x－y
＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．
(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2．因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2．]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1，0)，
∴＝2，解得m＝8或－12．
即实数m的值为8或－12．
2．(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln
x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线”，求b的值．
[解] 函数y＝ln
x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝．
设曲线y＝ln
x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln
m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln(n＋1)．
整理后对比得
解得
因此b＝1－ln
2．
利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[答案] A
2．函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A．y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B．y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C．y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D．y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
B [y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′
＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′
＝2xcos
2x－2x2sin
2x．]
3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________．
[f′(x)＝×(3x－1)′＝，
∴f′(1)＝＝．]
4．已知f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线斜率是________．
－ [∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)·e－x，∴f′(2)＝－．根据导数的几何意义知f(x)在x＝2处的切线斜率为k＝f′(2)＝－．]
5．求下列函数的导数：
(1)y＝e2x；(2)y＝(1－3x)3．
[解] (1)y′＝e2x·(2x)′＝e2x·2＝2e2x．
(2)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2
或y′＝－81x2＋54x－9．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．复合函数的求导法则是什么？
[提示] 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a．
2．求复合函数的导数需要注意什么？
[提示] ①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
PAGE第5章
导数及其应用
类型1 导数的几何意义
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋x－16．
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[思路探究] y＝f(x)在x＝x0处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，当过某点时要先求切点，再求切线．
[解] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13．
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32．
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16．
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16．
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2．
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26．
k＝3×(－2)2＋1＝13．
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4．
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1．
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18．
即y＝4x－18或y＝4x－14．
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
[跟进训练]
1．设函数f(x)＝x2＋bx－aln
x，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2，求a与b的值．
[解] f′(x)＝2x＋b－，
f(1)＝1＋b，f′(1)＝2＋b－a，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1－b＝(2＋b－a)(x－1)，即y＝(2＋b－a)x＋a－1．
∵切线在y轴上的截距为2，∴a－1＝2，∴a＝3．
又切线在x轴上的截距为－2，
∴＝－2，∴b＝2．
∴a＝3，b＝2．
类型2 函数的单调性与导数
【例2】 (1)若函数f(x)＝x－sin
2x＋asin
x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1，1]
B．
C．
D．
(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
[思路探究] (1)利用f(x)单调递增?f′(x)≥0；
(2)构造函数解决．
(1)C (2)A [(1)f′(x)＝1－cos
2x＋acos
x＝1－(2cos2x－1)＋acos
x＝－cos2x＋acos
x＋，f(x)在R上单调递增，
则f′(x)≥0在R上恒成立，令cos
x＝t，t∈[－1，1]，
则－t2＋at＋≥0在[－1，1]上恒成立，
即4t2－3at－5≤0在[－1，1]上恒成立，
令g(t)＝4t2－3at－5，
则
解得－≤a≤，故选C．
(2)令g(x)＝，则g′(x)＝，由题意知，当x＞0时，g′(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0，
∴g(1)＝＝0，
∴当x∈(0，1)时，g(x)＞0，从而f(x)＞0；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，从而f(x)＜0．
又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)(x≠0)，
∴g(x)是偶函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)＜0，从而f(x)＞0；
当x∈(－1，0)时，g(x)＞0，从而f(x)＜0．
综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．]
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f?x?与其导数f′?x?之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.
求解参数范围的步骤为：
?1?对含参数的函数f?x?求导，得到f′?x?；
?2?若函数f?x?在?a，b?上单调递增，则f′?x?≥0恒成立；若函数f?x?在?a，b?上单调递减，则f′?x?≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
?3?验证参数范围中取等号时，是否恒有f′?x?＝0.若f′?x?＝0恒成立，则函数f?x?在?a，b?上为常函数，舍去此参数值.
[跟进训练]
2．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
[解] 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1．
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1．
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意当x∈(1，4)时，f′(x)＜0，
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0．
故4≤a－1≤6，即5≤a≤7．因此a的取值范围是[5，7]．
类型3 函数的极值、最值与导数
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3．
又函数过点(1，0)，即－2＋b＝0，b＝2．
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2．
(2)由(1)得f(x)＝x3－3x2＋2，
得f′(x)＝3x2－6x．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2．
①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2．
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
所以f(x)max＝f(0)＝2．
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)＝c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
[解] 令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1，2)上，g′(x)＜0；在x∈(2，3]上，g′(x)＞0．
要使g(x)＝0在[1，3]上恰有两个相异的实根，
则解得－2＜c≤0．
2．(变结论)在本例条件不变的情况下，若y＝m与y＝f(x)的图象相切，求m的值．
[解] 由例(1)知f(x)＝x3－3x2＋2．
且x＝0时f(x)的极大值为f(0)＝2．
x＝2时f(x)的极小值为f(2)＝－2．
∵y＝m与y＝f(x)的图象相切，
∴m＝2或－2．
1．求连续函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
2．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法
根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题．已知f(x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解．
[跟进训练]
3．已知函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax．
(1)若a＝－1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)＜0恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝ln
x－x2－x(x＞0)，则
f′(x)＝－2x－1＝．
令f′(x)＝0，即＝0，得2x2＋x－1＝0，由于x＞0，解得x＝．
当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0．
所以，函数y＝f(x)有极大值f＝ln－，无极小值．
(2)因为f(x)＜0恒成立，所以f(x)max＜0，
f′(x)＝－2x＋a＝＝．
①当a＞0时，令f′(x)＝0，则x＝a，
当0＜x＜a时，f′(x)＞0，此时，函数y＝f(x)单调递增；
当x＞a时，f′(x)＜0，此时，函数y＝f(x)单调递减．
∴f(x)max＝f(a)＝a2ln
a－a2＋a2＝a2ln
a＜0，
∴0＜a＜1；
②当a＝0时，f(x)＝－x2≤0，不恒成立；
③当a＜0时，令f′(x)＝0，则x＝－，
当0＜x＜－时，f′(x)＞0，此时，函数y＝f(x)单调递增；
当x＞－时，f′(x)＜0，此时，函数y＝f(x)单调递减．
∴f(x)max＝f＝a2ln－－＝a2ln－a2＜0，即ln＜，得0＜－＜e，解得－2e＜a＜0．
综上所述，实数a的取值范围为∪(0，1)．
类型4 导数在生活中的应用
【例4】 如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所．已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线AH的方程为y＝a，记AM＝t，规划的两块用地的面积之和为S(单位：米)．
(1)求S关于t的函数S(t)；
(2)求S的最大值．
[思路探究] (1)易知H(144，120)，代入AH的方程即可求得参数a＝10，从而得到P(t，10)，进而求得S(t)的表达式．(2)利用换元法，令m＝，则S＝150m2－20m3＋1
440m(0＜m＜12)．通过求导确定极值点后，结合单调性即可得到最大值．
[解] (1)根据所建平面直角坐标系，可得点H(144，120)，所以120＝a，解得a＝10，又AM＝t，所以P(t，10)，所以S关于t的函数关系式为S(t)＝t·(150－10)＋(144－t)·10＝150t－20t·＋1
440·(0＜t＜144)．
(2)令m＝，则S＝150m2－20m3＋1
440m(0＜m＜12)，
所以S′＝300
m－60m2＋1
440＝－60(m＋3)(m－8)，令S′＞0，解得0＜m＜8；令S′＜0，解得8＜m＜12；
所以函数S在区间(0，8)上单调递增，在区间(8，12)上单调递减，所以当m＝8时，S取得最大值，为10
880平方米．所以S的最大值为10
880平方米．
解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
[跟进训练]
4．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
[解] (1)由题意可知
＋πr2l＝，∴l＝－．
又圆柱的侧面积为2πrl＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2．
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2．
又l＝－＞0?r＜2
eq
\s\up10()，
所以定义域为(0，2
eq
\s\up10())．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′＞0，得2＜r＜2
eq
\s\up10()；
令y′＜0，得0＜r＜2．
所以当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝米．
1．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
B [法一：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，
∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．故选B．
法二：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C，D．又f(1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除A．故选B．]
2．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1
B．y＝2x＋
C．y＝x＋1
D．y＝x＋
D [易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝ ①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为(x0，)(x0＞0)，则y′|x＝x0＝x0－＝k ②，＝kx0＋b ③，由②③可得b＝，将b＝，k＝x0－代入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________．
1 [由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1．]
4．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln
x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
y＝2x [设切点坐标为(x0，ln
x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．]
5．(2020·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3x2－k．
当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当k＜0时，f′(x)＝3x2－k＞0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当k＞0时，令f′(x)＝0，得x＝±．当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0．故f(x)在，单调递增，在单调递减．
(2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点．
当k＞0时，x＝－为f(x)的极大值点，x＝为f(x)的极小值点．此时，－k－1＜－＜＜k＋1且f(－k－1)＜0，f(k＋1)＞0，f＞0．根据f(x)的单调性，当且仅当f＜0，即k2－＜0时，f(x)有三个零点，解得k＜．因此k的取值范围为．
6．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝2ln
x＋1．
(1)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围；
(2)设a>0，讨论函数g(x)＝的单调性．
[解] 设h(x)＝f(x)－2x－c，则h(x)＝2ln
x－2x＋1－c，
其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝－2．
(1)当00；当x>1时，h′(x)<0．
所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减．
从而当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)＝－1－c．
故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c．
所以c的取值范围为[－1，＋∞)．
(2)g(x)＝＝，x∈(0，a)∪(a，＋∞)．
g′(x)＝＝．
取c＝－1得h(x)＝2ln
x－2x＋2，h(1)＝0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即1－x＋ln
x<0．故当x∈(0，a)∪(a，＋∞)时，1－＋ln
<0，从而g′(x)<0．
所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)上单调递减．
7．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1．
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0．
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)f′(x)＝ex－a．
当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故f(x)至多存在一个零点，不合题意．
当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝ln
a．当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．故当x＝ln
a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln
a)＝－a(1＋ln
a)．
(ⅰ)若0a)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上至多存在一个零点，不合题意．
(ⅱ)若a>，则f(ln
a)<0．
由于f(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，ln
a)上存在唯一零点．
由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0，所以当x>4且x>2ln(2a)时，f(x)＝e
eq
\s\up10()·e
eq
\s\up10()－a(x＋2)
>e·－a(x＋2)＝2a>0．
故f(x)在(ln
a，＋∞)上存在唯一零点．从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．综上，a的取值范围是．
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