人教版A高中数学必修1课件-3.1.1方程的根与函数的零点(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版A高中数学必修1课件-3.1.1方程的根与函数的零点(共27张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 758.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-27 20:41:50 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
3.1.1方程的根与函数的零点
1．函数零点的概念
对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的________．
2．函数零点与方程根的关系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的_____，也就是函数y＝f(x)的图象与_____的交点的______，所以方程f(x)＝0有_____?函数y＝f(x)的图象与__________?函数y＝f(x)______．
自学导引
f(x)＝0
零点
实根
x轴
横坐标
实根
x轴有交点
有零点
3．函数零点的判断
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)_____，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0，这个x0
也就是方程f(x)＝0的根．
<0
1．函数的“零点”是一个“点”吗？
【答案】函数的零点并不是指一个点，而是满足f(x)＝0的实数x的值．
自主探究
【答案】不对，因为f(x)的图象在(－1,1)内不连续，是间断的，不符合零点存在定理的条件．
1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
预习测评
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1
B．a>1
C．a≤1
D．a≥1
【答案】B
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数零点的个数是________．
【答案】2
4．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．
【答案】－3
1．函数零点的概念
对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注意以下两点：
(1)方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
要点阐释
(2)函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2．函数零点的判断
一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
思路点拨：根据函数零点的定义，求出方程的根即可．
典例剖析
1．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x－1；
(2)f(x)＝lg(x2－1)＋8；
(3)f(x)＝x2－3x＋2;
(4)f(x)＝ex－1－4.
(3)由x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，故函数的零点为2,1.
(4)由ex－1－4＝0，得x＝1＋ln
4，故函数的零点为1＋ln
4.
思路点拨：利用代入法求解．
答案：B
【答案】
D
题型三 函数零点的应用
【例3】
已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．
思路点拨：利用函数零点的存在性定理，结合函数的单调性进行判定或利用数形结合的方法进行判定．
(1)
方法点评：本题重点考查函数零点的分布问题，解答本题的关键是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点．设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制，要注意：(1)判别式；(2)对称轴；(3)所给区间端点的函数值；(4)开口方向．
3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
解：由题意知，函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，
知方程x2－ax－b＝0的两个实根是2和3.
故有a＝2＋3＝5，－b＝2×3，即b＝－6，
因此g(x)＝－6x2－5x－1.
【例4】
若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，求实数a的取值范围．
错解：由题意可得，
实数a所满足的条件为Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.
错因分析：没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数．
误区解密
因忽略对二次项系数的讨论而出错
正解：(1)当a＝0时，
y＝－2x＋1，有唯一零点；
(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，
解得a＝1.
综上，实数a的取值范围为{a|a＝0或a＝1}．
纠错心得：对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．
1．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．
课堂总结
2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，也只说明函数y＝f(x)在(a，b)内至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f(a)·f(b)>0，也不说明函数y＝f(x)在区间(a，b)内无零点，如二次函数y＝x2－3x＋2在[0,3]上满足f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0,3)内有零点1和2.
3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．
3.1.1方程的根与函数的零点
1．函数零点的概念
对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的________．
2．函数零点与方程根的关系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的_____，也就是函数y＝f(x)的图象与_____的交点的______，所以方程f(x)＝0有_____?函数y＝f(x)的图象与__________?函数y＝f(x)______．
自学导引
f(x)＝0
零点
实根
x轴
横坐标
实根
x轴有交点
有零点
3．函数零点的判断
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)_____，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0，这个x0
也就是方程f(x)＝0的根．
<0
1．函数的“零点”是一个“点”吗？
【答案】函数的零点并不是指一个点，而是满足f(x)＝0的实数x的值．
自主探究
【答案】不对，因为f(x)的图象在(－1,1)内不连续，是间断的，不符合零点存在定理的条件．
1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
预习测评
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1
B．a>1
C．a≤1
D．a≥1
【答案】B
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数零点的个数是________．
【答案】2
4．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．
【答案】－3
1．函数零点的概念
对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注意以下两点：
(1)方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
要点阐释
(2)函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2．函数零点的判断
一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
思路点拨：根据函数零点的定义，求出方程的根即可．
典例剖析
1．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x－1；
(2)f(x)＝lg(x2－1)＋8；
(3)f(x)＝x2－3x＋2;
(4)f(x)＝ex－1－4.
(3)由x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，故函数的零点为2,1.
(4)由ex－1－4＝0，得x＝1＋ln
4，故函数的零点为1＋ln
4.
思路点拨：利用代入法求解．
答案：B
【答案】
D
题型三 函数零点的应用
【例3】
已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．
思路点拨：利用函数零点的存在性定理，结合函数的单调性进行判定或利用数形结合的方法进行判定．
(1)
方法点评：本题重点考查函数零点的分布问题，解答本题的关键是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点．设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制，要注意：(1)判别式；(2)对称轴；(3)所给区间端点的函数值；(4)开口方向．
3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
解：由题意知，函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，
知方程x2－ax－b＝0的两个实根是2和3.
故有a＝2＋3＝5，－b＝2×3，即b＝－6，
因此g(x)＝－6x2－5x－1.
【例4】
若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，求实数a的取值范围．
错解：由题意可得，
实数a所满足的条件为Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.
错因分析：没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数．
误区解密
因忽略对二次项系数的讨论而出错
正解：(1)当a＝0时，
y＝－2x＋1，有唯一零点；
(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，
解得a＝1.
综上，实数a的取值范围为{a|a＝0或a＝1}．
纠错心得：对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．
1．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．
课堂总结
2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，也只说明函数y＝f(x)在(a，b)内至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f(a)·f(b)>0，也不说明函数y＝f(x)在区间(a，b)内无零点，如二次函数y＝x2－3x＋2在[0,3]上满足f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0,3)内有零点1和2.
3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．