吉林省白城市重点高中2020-2021学年高二下学期6月月考数学（理）试卷 Word版含答案

白城市重点高中2020-2021学年高二下学期6月月考
（理科数学）
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知集合，则的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列中，，则公差（ ）
A．-2 B． C． D．2
4．双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．“第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导。工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有(　　)
A．150　　 　B．126 C．90　　　 D．54
6．已知实数满足，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，
则弦AB中点M的横坐标是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．已知圆心在直线上的圆，其圆心到轴的距离恰好等于圆的半径，在轴上截得弦长为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数为奇函数，，当取最小值时，的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．函数，若，其中，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．设复数满足，则＝
14．已知函数，若，则_______
15．如图，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为线段的中点，为在上的射影，若平分，则该椭圆的离心率为_______
16. 已知直线、，平面、，给出下列命题：
①若，，且，则；②若，，且，则；
③若，，，则；④若则；
其中正确的命题序号是_____________
三、解答题（共70分）
17.（本小题满分12分）
在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）角的大小和的面积.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①?条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题满分12分）
某单位招考工作人员，须参加初试和复试，共5000人参加初试，初试通过后组织考生参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．
（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
19.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．
21．（本小题满分12分）已知函数，为自然对数的底数.
（1）当时，证明，，；
（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．
（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，
求的最大值．
白城市重点高中2020-2021学年高二下学期6月月考
（理科数学）答案
1-12:BACAB CCDBA BA
13-16:
17.（本小题满分12分）
【解析】选择①：
（1）因为，，，
所以，即，
整理得，解得或（舍去），故....................................6
（2）因为，，
所以,...................................12
选择②：
（1）因为，，，，
所以，
因为，所以，即，解得...............................6
（2）因为，，，，
所以
，
因为，，所以，
.............................................................12
18.（本小题满分12分）
（1）学生笔试成绩服从正态分布，其中，，
， ，
估计笔试成绩不低于90分的人数为人…................................…4分
（2）的取值分别为0，3，5，8，10，13，
则，，，
，，，
故的分布列为：
Y 0 3 5 8 10 13






………….............……10分
0×＋3×＋5×＋8×＋10×＋13×＝＝………..............................…12分
19．解：（1）已知抛物线过点，且
则，∴，故抛物线的方程为；...............................4
（2）设，，
联立，得，......................................6
，得，...............................................8
，，
又，则，.................................................................................10
，
或，
经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为-8．.....12
20.（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面..................................................................................................4
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，....................................................................6
则有，，，，
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，...8
假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
设平面的一个法向量为，.........................10
∴，得.
即，∴或，∴或.........12
21.(1)证明：当时,,则,
当时,,则,又因为,
所以当时,,仅时,,
所以在上是单调递减,所以,即........................4
(2),因为,所以,................6
①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点............8
②当时,在区间上单调递增,
因为.
当时,,
所以在上单调递减,没有极值点............................................................9
当时,,所以存在,使
当时,时,
所以在处取得极小值,为极小值点..........................................................10
综上可知,若函数在上存在极值点,则实数..............................12
22.
（1）由消去得曲线的普通方程为.
所以的极坐标方程为，即..........................5
（2）不妨设，，，，，
则
当时，取得最大值，最大值为............................................10