河南省九师联盟2022届高三上学期6月摸底考巩固卷数学理试题 Word版含解析

九师联盟2022届高三摸底考试巩固卷
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.若集合false，false，则false（ ）
A.false B.false
C.false D.false
2.若false（false为虚数单位）是实数，则实数false的值为（ ）
A.-6 B.false C.6 D.false
3.已知平面向量false，false满足false，false，false与false的夹角为60°，则false（ ）
A.false B.3 C.false D.5
4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为false的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）

A.12 B.15 C.20 D.21
5.已知等差数列false中，false，false，则afalse（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
6.若false，且false，则false（ ）
A.-7 B.false C.false D.-7或false
7.若偶函数false在false上单调递减，false，false，false，则false，false，false满足（ ）
A.false B.false
C.false D.false
8.false的展开式中false的系数为（ ）
A.-84 B.84 C.-280 D.280
9.已知线段false平面false，false，false两点到false的距离分别为3和5，则false的中点到平面false的距离为（ ）
A.1 B.4 C.1或4 D.2
10.若过双曲线false的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交false轴于点false（false为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A.false B.false C.2 D.false
11.已知函数false的图象关于false轴对称，则false在区间false上的最大值为（ ）
A.1 B.false C.false D.2
12.过抛物线false焦点false的直线false与抛物线交于false，false两点，若false，则直线false的斜率为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若实数false，false满足不等式组false则false的最大值为______.
14.函数false的图象在false处的切线方程为______.
15.已知等比数列false的前false项和为false，且false，则false______.
16.在直三棱柱false中，false且false，false，则此三棱柱外接球的表面积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，false.
（1）求角false的大小；
（2）设false，求false的面积的最大值.
18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进人滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口false.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为false，摔倒的概率均为false.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用false表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.

（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率；
（2）求false的分布列及数学期望false.
19.如图，在梯形false中，false，false，false，false，四边形false为矩形，false，平面false平面false.

（1）求证：false平面false；
（2）求平面false与平面false所成二面角的正弦值.
20.已知椭圆false的左、右焦点分别为false，false，点false也为抛物线false的焦点.
（1）若false，false为椭圆false上两点，且线段false的中点为false，求直线false的斜率；
（2）若过椭圆false的右焦点false作两条互相垂直的直线分别交椭圆于false，false和false，false，设线段false，false的长分别为false，false，证明：false是定值.
21.已知函数false.
（1）讨论函数false的单调性；
（2）假设函数false有两个极值点.
①求实数false的取值范围；
②若函数false的极大值小于整数false，求false的最小值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系false中，以坐标原点为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线false的参数方程为false（false为参数），曲线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；
（2）若直线false与曲线false的交点分别为false，false，求false.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数false.
（1）解关于false的不等式false；
（2）记函数false的最大值为false，若false，false，false，求false的最小值.
2022届高三摸底考试巩固卷·理科数学
参考答案、提示及评分细则
1.Dfalse，
false，
false.
又false，
false.
2.Bfalse，
false当false为实数时，实数false.
3.Bfalse，false，false与false的夹角为60°
false.
4.A因为分层抽样的抽取比例为false，
所以初中生中抽取的男生人数是false.
5.D由等差数列性质false，
得false，
所以false，
所以false.
6.A因为false，
所以false，
所以false，
得false，
则false或tfalse，
又false，
所以false.
7.B∵偶函数false在false上单调递减，
false在false上单调递增.
false，false，
false，
false.故选B.
8.Cfalse的展开式中false的系数为false.
9.C若false，false点在平面false的同侧，
则线段false的中点到平面false的距离为false；
若false，false在平面false的异侧，
则线段false的中点到false的距离为false.
综上，线段false的中点到平面false的距离为1或4.
10.A不妨取双曲线false的左焦点false，
则过点false且与直线false垂直的直线方程为false.
据题意，得点false在直线false上，
false，
false.
11.A因为函数false的图象关于false轴对称，
所以false.
又false，则false，
即false.
因为false，
所以false.
则当false，即false时，
false取得最大值false.故选A
12.D由题意得，抛物线false的焦点false，直线false的斜率存在，
设false，false、false，
由false，得false，
即false，
即false，联立false得false，
则false，解得false，false（舍）.
又false，
所以false，解得false，
即直线false的斜率为士false.故选D.
13.16画出不等式组false表示的平面区域如图：

令false，则false.
分析知，当false，false时，false取得最大值，
且false.
false
14.false函数false的导数为false，
所以false在false处的切线斜率为false，切点为false，
所以函数false在false处的切线方程为false，
即false.
15.false由等比数列性质得false（false为公比），
所以false，
所以false.
16.false如图，作出false，false的外心false，false，
易证false平面false，
又false，false为截面圆的圆心，
所以直三棱柱false外接球的球心在false上，
由球的对称性可得false为false的中点.
连接false，false，false.
在false中，因为false，
所以false.
所以由正弦定理得2false，解得false.
易证false，
所以false，
所以由勾股定理得false，
即外接球的半径false，
所以此三棱柱外接球的表面积为false.

17.解：（1）false，
false，
false，
false或false.
又false，false，false，
false，
false.
（2）由（1）求解知，false，
false三角形面积false.
又false，false，
false，
false.
又false，
false，false.
false.
18.解：（1）由题意可知：false.
（2）false的所有可能值为0，1，2，3，4.
则false，且false，false，false，false相互独立.
故false，
false，
false，
false，
false.
从而false的分布列为
false
0
1
2
3
4
false
false
false
false
false
false
所以false.
19.证明：（1）取false为原点，false所在直线为false轴，过点false且平行于直线false的直线为false轴，false所在直线为false轴建立空间直角坐标系，

则false，false，false，false.
false，false.
设平面false的一个法向量为false，
false
不妨设false，false，则false，
false.
又false，
false，
false.
又false平面false，
false平面false.
解：（2）false，false.
设平面false的一个法向量为false，
false
不妨设false，则false，false，
false
.设向量false与false的夹角为false，
则false,
false
false.
false平面false与平面false所成二面角的正弦值为false
20.解：因为抛物线false的焦点为false，
所以false，故false.
所以椭圆false.
（1）设false，false，
则false
两式相减得false，
又false的中点为false，
所以false，false.
所以false.
显然，点false在椭圆内部，
所以直线false的斜率为false.
证明：（2）椭圆右焦点false.
当直线false的斜率不存在或者为0时，false.
当直线false的斜率存在且不为0时，
设直线false的方程为false，
设false，false，联立方程得false
消去false并化简得false，
因为false，
所以false，false.
所以false.
同理可得false.
所以false为定值.
21.解：（1）false，
false
false
false.
分析知，当false或false时，ffalse，
false函数false在区间false上单调递减，在区间false上单调递减.
（2）①false，
false
false
false
令false，则false.
讨论：当false时，false，false为增函数；
当false时，false，false为减函数.
当false时，false.
由于false有两个极值点，
false关于false的方程false有两个不相等实数根，
即false有两个不相等实数根false，false.
false解得false.
②分析可知，false，false，false，
则false.
又false，
即false
false函数false极大值false
令false，则false，
则（*）可变为false
分析知，false，false，
false，
下面再说明对于任意false，false，有false.
又由（#）得false，
把它代入（*）得false，
false当false时，false且false，
故false在false上单调递减.
又false，
false当false时，false.
false满足题意的整数false的最小值为3.
22.解：（1）因为false，
所以false，
即false，
所以曲线false表示焦点坐标为false，对称轴为false轴的抛物线.
（2）直线false过抛物线的焦点false，且参数方程为false（false为参数），
代入曲线false的直角坐标方程，得false，
所以false，false.
所以false.
23.解：（1）当false时，由false，得false，
所以false；
当false时，由false1，得false，
所以false；
当false时，由false，得false，无解.
综上可知，false，即不等式false的解集为false.
（2）因为false，
所以函数false的最大值false.
因为false，
所以false.
又false，false，
所以false，
所以false，
即false.
所以有false.
又false，
所以false，false，即false的最小值为4.