河南名校联盟2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

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考生号：__________
河南名校联盟
2020—2021学年高二（下）期中考试
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷共8页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知false的共轭复数为false（false为虚数单位），则复数false的虚部为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若“false，false成立”为真命题，则实数false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．不存在
3．已知钝角三角形false的面积是false，false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知false的展开式中false的系数为false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．在平面直角坐标系false中，已知点false，以坐标原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点false的极坐标为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知false，false，false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．为配合国家的精准扶贫战略，某省示范性高中安排false名高级教师到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少安排false人，则不同的分配方案有（ ）
A．false种 B．false种 C．false种 D．false种
8．设false的内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，false，且false，则false的外接圆的周长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知向量false，false，false满足false，且false，false，向量false与false，false与false的夹角都为false，则false与false的夹角为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．在三棱锥false中，false，false，false，false．当三棱锥false的体积最大时，它的外接球的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知平行四边形false内接于椭圆false：false（false），且false，false斜率之积的取值范围为false，则椭圆false的离心率的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知false，若false，则false与false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．不确定
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若曲线false在点false处的切线的斜率为false，则false的值为________．
14．为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩、间隔而坐”的方案．若一排有false个座位，安排false名同学就坐，则共有________种不同的安排方法（用数字作答）．
15．观察等式：false；false；false；false……由以上几个等式的规律可猜想false________．
16．已知函数false在false内存在极小值，则实数false的取值范围为________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知false是复数，false是纯虚数，false为实数．
（1）求复数false；
（2）若复数false在复平面上对应的点位于第二象限，求实数false的取值范围．
18．已知false的展开式中第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大false，前三项的系数和为false．
（1）求正实数false，false的值；
（2）求展开式中系数最大的项．
19．已知数列false满足false．
（1）写出false，false，false，并推测false的表达式；
（2）用数学归纳法证明false的表达式．
20．已知函数false．
（1）当false时，求false的最小值；
（2）若false有两个零点，求实数false的取值范围．
21．已知函数false，false．
（1）当false时，求曲线false在点false处的切线方程；
（2）当false时，讨论函数false的单调区间和极值；
（3）若对任意的false，都有false成立，求实数false的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系false中，false为曲线false：false（false为参数）上的动点，将false点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得false点．记false点的轨迹为false，以坐标原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线false的极坐标方程；
（2）已知false，false是曲线false上的两点，且false，求false的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]
已知关于false的不等式false的解集为false．
（1）求集合false中的最大数false；
（2）若正数false，false满足false，求证：false．
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2020—2021学年高二（下）期中考试
数学（理科）答案
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】false
【解析】false，
所以false，其虚部为false，故选false．
2．【答案】false
【解析】由条件得false，故选false．
3．【答案】false
【解析】false钝角三角形false的面积false，false，false，
false，
false或false．
若false，则根据余弦定理可知false，
false，此时三角形false是直角三角形，舍去；
若false，false，
false，此时符合题意，故选false．
4．【答案】false
【解析】false的展开式的通项为false，则由题意可知false，
false，
false，故选false．
5．【答案】false
【解析】false，false，
false，设false，则false，false，
false，false，
false点false的极坐标为false，故选false．
6．【答案】false
【解析】易知false，由false为单调递增函数，且false，可得false，即false，
所以false，故选false．
7．【答案】false
【解析】分配方式有三种：①如果分成“false”的形式，则不同的分配方案有false种；②如果分成“false”的形式，则不同的分配方案有false种；③如果分成“false”的形式，则不同的分配方案有false种，
false共有false种不同的分配方案，故选false．
8．【答案】false
【解析】因为false，
所以false，又false，
所以false（false为false的外接圆的半径），
所以false，
故false的外接圆的周长为false，故选false．
9．【答案】false
【解析】设false与false的夹角为false，
false，
false，
解得false，故选false．
10．【答案】false
【解析】因为false，
所以false，
由余弦定理可知false，又false，false，
所以false，
所以false．
当false平面false时，三棱锥false的体积最大，此时外接球的半径false，外接球的体积false，故选false．
11．【答案】false
【解析】设false，false，false，false，
false直线false的斜率false，直线false的斜率false，则false，
又false，false都在椭圆false上，则false，false，
false，
false，
false，又false，
false，故选false．
12．【答案】false
【解析】false，
false，
即false，设false，则false，
令false得false，当false时，false，false单调递增，当false时，false，false单调递减，又false，false，
false，
false，
false，故选false．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】false
【解析】false，当false时，false，
false．
14．【答案】false
【解析】根据题意，一排有false个座位，先排false个空座位不坐学生，形成false个空位，再在false个空位中任选false个位置就坐，则有false种不同的安排方法．
15．【答案】false
【解析】由已知等式：
false；
false；
false；
false；
归纳可得：等式左边自变量的分母为false，分子从false开始，以false为公差递增到false，等式右边的分母均为false，分子为false，故false．
16．【答案】false
【解析】由题意可知false（false），
令false，注意到false，
要使false在false内存在极小值，只需false，或false，
解得false或false，故false的取值范围为false．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．【解析】（1）设false（false，false），则false（false，false），
所以false（false，false），
false，
由题意可知false，false且false，
所以false，false，
所以false．
（2）false，
由题意可知false，
解得false，
所以实数false的取值范围为false．
18．【解析】（1）由题意可知，false的通项公式为false，
又false，且false，解得false，false．
（2）设第false项的系数最大，则false
解得false，
因为false，
所以false，
当false时，false，则展开式中系数最大的项为false．
19．【解析】（1）将false，false，false分别代入可得false，false，false，推测false．
（2）证明：①由（1）得false时，false成立．
②假设false（false，false）时，false的表达式成立，即false，
当false时，false，且false，
所以false，
所以false，false，即当false时，false的表达式也成立．
根据①②可得，对一切false，false都成立．
20．【解析】（1）当false时，false，false的定义域为false，且false，当false时，false，当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false的最小值为false．
（2）因为false，
①当false时，false恒成立，
所以false在false上单调递增，不符合题意；
②当false时，令false，解得false，当false时，false，false单调递减，当false时，false，false单调递增．
即当false时，false有极小值也是最小值为false．又false时，
false，当false时，false，
所以要使false有两个零点，只需false即可，则false，可得false．综上，若false有两个零点，则false的取值范围为false．
21．【解析】（1）当false时，false，则false，false．
false，
false曲线false在点false处的切线方程为false．
（2）false，false，
false，
①当false时，false，
false，
false函数false的单调递增区间是false，无单调递减区间，无极值；
②当false时，false，令false，解得false，当false时，false，当false时，false，
false函数false的单调递减区间是false，单调递增区间是false，
false在区间false上false的极小值为false，无极大值．
（3）false对任意的false，都有false成立，
false对任意的false恒成立，即false对任意的false恒成立．令false，则false，令false，false，则false在false上单调递增，且false，故false，
false在false上单调递增，
false，要使false对任意的false恒成立，只需false，即false，
false，即实数false的取值范围是false．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
【解析】（1）将曲线false：false化为普通方程得到false，
设false点的坐标为false，false点的坐标为false，
则有false，由题意可知false，false，
消去false，false得false，即false，
false曲线false的普通方程为false，
false曲线false的极坐标方程为false．
（2）由题意可设false，false（false），
false，
false
false，
故false的取值范围为false．
23．[选修4—5：不等式选讲]
【解析】（1）false，则false
当false时，令false，解得false，
当false时，令false，解得false，
当false时，令false，解得false，
综上可得false，
所以false，
所以false中的最大数为false，即false．
（2）由（1）知false，故false，
所以false，
因为false，false是正数，
所以false，
所以false，
所以false，即false，即false，
所以false成立．