（人教版）高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.1（42张）

1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.1　函数的单调性与导数
自主学习 新知突破
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
已知函数f(x)＝sin x，其导函数f′(x)＝cos x，
[问题3]　试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
[提示3]　当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．
在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
导数与函数的单调性
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调________
f′(x)<0
单调________
f′(x)＝0
常数函数
递增
递减
1．确定函数f(x)的__________．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是__________；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是__________．
4．结合定义域写出单调区间．
利用导数求函数单调区间的基本步骤
定义域
增函数
减函数
利用导数求函数的单调区间注意的问题
(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
1．函数y＝x3－3x的单调减区间是(　　)
A．(－∞，0)　 B．(0，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析：　y′＝3x2－3，
由y′＝3x2－3<0得－1∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1,1)．
答案：　C
答案：　C
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
解析：　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.
答案：　(2，＋∞)
4．证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．
证明：　f′(x)＝1＋cos x，
∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2，
当且仅当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0.
∴f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．
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导数与单调性的关系
如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
[思路点拨]　由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析：　由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案：　A
1.利用导数符号判断单调性的方法：
利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法：
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系．
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)
解析：　由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D.
答案：　D
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
　(1)函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，
解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.
所以函数的单调递减区间为(0,2)．
利用导数求函数的单调区间：
(1)求定义域；
(2)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
特别提醒：(1)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
　
2．(1)求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间；
(2)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调区间．
求含参数的函数的单调区间
[思路点拨]　函数解析式中含有参数时，讨论其单调性(或求其单调区间)问题，往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当的分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述．
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
　
已知函数单调性求参数范围
若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围．
　1.一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范围？
　
2．注意事项：
一般地，最后要检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解．
4．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．
◎已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，求f(x)的单调区间．
【错因】　错解的原因是忽视了函数的定义域．本题中含有对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′(x)，进而判断单调区间．
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