江苏省南京市2020-2021学年高二下学期期末调研数学试题 Word版含解析

南京市2020—2021学年度第二学期期末联考
高二数学试卷
本卷：共150分 考试时间：120分钟
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．某工厂有false，false两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周false，false两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为（ ）
A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15
3．命题“false”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．下列函数中，是偶函数且在区间false上单调递减的函数是（ ）
A．false B．false C．false D．f(x)=lg|x|
5．某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布false，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的false，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．75 B．100 C．150 D．200
6．设false为正数，且false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知函数false，若false成立，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知函数false有三个不同的零点，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)
9．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
10．下列结论正确的是（ ）
A．若复数false满足false，则false为纯虚数
B．若复数false满足false，则false
C．若复数false满足false，则false
D．若复数false，false满足false，则false
11．下列等式正确的有（ ）
A．false B．false
C．false D．false
12．下列选项中，正确的是（ ）
A．命题“false”的否定是“false”
B．函数false（false且false）的图象恒过定点false
C．false，且false为自然对数的底数，则false
D．若不等式false的解集为false，则false
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若复数false，则false______.
14．某企业一种商品的产量与单位成本数据如下表：
产量false（万件）
2
3
4
单位成本false（元/件）
3
false
7
现根据表中所提供的数据，求得false关于false的线性回归直线方程为false，则预测当false时单位成本为每件______元.
15．某地为了庆祝建党false周年，将在false月false日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等false名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.
16．已知直线false与曲线false相切，当false取得最大值时，false的值为_______________________．
四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共70分)
17．设false
（1）求false的值
（2）求false除以9的余数
18．已知函数false.
（1）当false时，求曲线false上在点false处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．若false___________，求实数m的取值范围.
①在区间false上是单调减函数；
②在false上存在减区间；
③在区间false上存在极小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知函数false.
（1）若false的解集为false，求实数false的值；
（2）若false，都false，使false成立，求实数false的取值范围.
20．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的杜区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用.为了了解接种某种疫苗后是否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
25
false
接种疫苗
false
false
75
总计
150
false
200
（1）求false列联表中的数据false的值，并确定能否有false的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关；
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.
附false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
21．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲?乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为false，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为false，false，false，其中false.
（1）若false，分别求出该考生报考甲?乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求false的范围.
22．函数false，false．
（Ⅰ）讨论false的单调性；
（Ⅱ）若对于false，总有false，求实数false的取值范围．
南京市2020—2021学年度第二学期期末联考
高二数学参考答案解析
一、单选题
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】
由题意得false，false，则false或false，则falsefalse．
故选：A
2．某工厂有false，false两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周false，false两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为（ ）
A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15
【答案】A
【详解】
由题可得至多有一套生产线需要维护的概率false.
故选：A.
3．命题“false”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【详解】
命题“?x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，即?x∈[1，2]，a≥x2恒成立，只需a≥(x2)max＝4，故命题“?x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，结合选项可知，原命题为真的一个充分不必要条件为a≥5.
故选：C．
4．下列函数中，是偶函数且在区间false上单调递减的函数是（ ）
A．false B．false C．false D．f(x)=lg|x|
【答案】A
【详解】
解：因为false，所以B不正确；A,C,D中函数定义域均关于原点对称，
false，A是偶函数；false，C是偶函数；
false，所以D也是偶函数；当false时，
false单调递减，故A正确；
由二次函数的性质可得，此时false递增，则C不正确；
false也单调递减，则D不正确；
故选:A.
5．某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布false，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的false，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．75 B．100 C．150 D．200
【答案】C
【详解】
由题意，设数学成绩为X，则false，而false，
∴false，由对称性知：false.
∴此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为false人.
故选：C.
6．设false为正数，且false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】
false可得false，
false
当且仅当false时成立，
故选：A
7．已知函数false，若false成立，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【详解】
因为false，所以函数false为奇函数，
又因为false，所以函数false为false上的增函数．
若false，则false，即false，即false，
解得false，
故选：B
8．已知函数false有三个不同的零点，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【详解】
令false，显然false，所以false，
令false（false），则问题转化为“若false图象与false图象有三个交点，求false的取值范围”.
false，令false，解得false，
false当false或false时，false，false在false，false单调递增，
当false时，false，false在false单调递减，
false在false处取极小值false，作出false的简图，
由图可知，要使直线false与曲线false有三个交点，则false，故实数false的取值范围是false.
故选：C.
二、多选题
9．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
【答案】BC
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有false种选法，女生的选法有false种选法，则4人中男生女生各有2人选法有false种选法，A错误；
对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有false种选法，B正确；
对于C，在10人中任选4人，有false种选法，甲乙都不在其中的选法有false，
故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有false种，C正确；
对于D，在10人中任选4人，有false种选法，只有男生的选法有false种，只有女生的选法有false种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有false种，D错误；
故选：BC.
10．下列结论正确的是（ ）
A．若复数false满足false，则false为纯虚数
B．若复数false满足false，则false
C．若复数false满足false，则false
D．若复数false，false满足false，则false
【答案】BC
【详解】
对于A选项，设复数false，false满足，false不为纯虚数，故A选项错误；
对于B选项，设复数falsefalse，则false，所以false，即false，故B选项正确；
对于C选项，设复数falsefalse，则false，所以false且false，所以false，即false，故C选项正确；
对于D选项，设复数false，false，所以false，但false不成立，故D选项错误.
故选：BC
11．下列等式正确的有（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】ACD
【详解】
对于选项A：false，选项A正确；
对于选项B：false，选项B错误；
对于选项C：false
false，选项C正确；
对于D选项：因二项式false的展开式的所有奇数项系数和false与所有偶数项系数和false相等，都等于false，n=2020时，选项D正确.
故选：ACD
12．下列选项中，正确的是（ ）
A．命题“false”的否定是“false”
B．函数false（false且false）的图象恒过定点false
C．false，且false为自然对数的底数，则false
D．若不等式false的解集为false，则false
【答案】ACD
【详解】
由全称命题的否定为特称命题，所以“false”的否定是“false”，故A正确；令false，得false，所以false，所以函数所过的定点是false，故B错误；令false，则false，令false，则false，
当false时，false，当时，false，false
false在false递增，在false递减，
falsefalse，false，即false，即false，故C正确；由不等式的解集可得false，得false，所以false，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．若复数false，则false______.
【答案】false
【详解】
因为复数false，
所以falsefalse所以false
14．某企业一种商品的产量与单位成本数据如下表：
产量false（万件）
2
3
4
单位成本false（元/件）
3
false
7
现根据表中所提供的数据，求得false关于false的线性回归直线方程为false，则预测当false时单位成本为每件______元.
【答案】9
【详解】
由所给数据可求得false，false，代入线性回归直线方程false，得falsefalse，解得false，
所以线性回归直线方程false，当false时单位成本false（元/件）.
故答案为：9.
15．某地为了庆祝建党false周年，将在false月false日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等false名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.
【答案】false
【详解】
若参与“剪辑”工作的有false人，则不同的分配方法数为false；
若参与“剪辑”工作的有false人，则不同的分配方法数为false种.
综上所述，不同安排方案的种数是false种.
故答案为：false.
16．已知直线false与曲线false相切，当false取得最大值时，false的值为_______________________．
【答案】false
【详解】
设切点为false，因为false，
所以false，即false，
又因为false，
所以false，所以false.
令false
所以当false时，false，则false在区间false上单调递增，
当false时，false，则false在区间false上单调递减﹐
所以false
所以false的最大值为1，此时false.
故答案为：1
四、解答题
17．设false
（1）求false的值
（2）求false除以9的余数
【详解】
（1）对于false
令false，得：false①
令false，得：false②
①+②得：false，∴false=false.
（2）false
∴false
false
显然，上面括号内的数为正整数，故求false被9除的余数为7.
18．已知函数false.
（1）当false时，求曲线false上在点false处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．若false___________，求实数m的取值范围.
①在区间false上是单调减函数；
②在false上存在减区间；
③在区间false上存在极小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【详解】
（1）当false时，false，所以false，
点false为切点，false，
根据函数导数的几何意义可得，函数在点false处的切线方程即为：false，即false；
（2）∵false，
∴若选①，函数false在区间false上是单调减函数，则有：
false在区间false上恒成立，即false在false上恒成立，
∴false，解之可得false；
若选②，函数false在false上存在减区间，则有：false在区间false上有解，
即得false在区间false上有解，
此时令false，因为false在区间false上单调递减，
所以false，故有false；
若选③，函数在区间false上存在极小值，则有：函数false的极小值点应落在false；
令false，求得false，false，
此时可得，false在false，false上单调递增；在false上单调递减；
所以false是函数false的极小值点，
即得false，
当false时，不等式恒成立，
当false时，false，解之可得false，
综上可得，false.
19．已知函数false.
（1）若false的解集为false，求实数false的值；
（2）若false，都false，使false成立，求实数false的取值范围.
【详解】
（1）证明：由f（x）＜k得：falsek，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴false2+（﹣3），∴kfalse；
所以实数k的值是false；
（2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值，
?x1∈[2，4]，f（x）false在区间[2，false]为增函数，[false，4]为减函数，f（2）false，
f（4）false，所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）false；
函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，
①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4mfalse?mfalse，解得：﹣2false；
②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2false?m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2；
③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8mfalse，解得：mfalse，所以m≤﹣4；
综上所述，m的取值范围：（﹣∞，false].
20．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的杜区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用.为了了解接种某种疫苗后是否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
25
false
接种疫苗
false
false
75
总计
150
false
200
（1）求false列联表中的数据false的值，并确定能否有false的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关；
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.
附false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
【详解】
解（1）由题意可得false，
false，
则false，
故有false的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，
其中有疲乏症状的有false人，记为false无疲乏症状的有false人，记为false
则从这6人中随机抽取2人的情况有false，共15种，
其中符合条件的情况有false种.
故所求概率false.
21．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲?乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为false，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为false，false，false，其中false.
（1）若false，分别求出该考生报考甲?乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求false的范围.
【详解】
（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件false，
则false
该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件false，则false
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为false，
根据题意可知，false，则false，
报将乙大学通过的科目数为false，随机变量false满足概率为：
false，
false，
false，
false，
随机变量false的分布列：
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
false，
因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴false，则false，
所以false的范围为：false.
22．函数false，false．
（Ⅰ）讨论false的单调性；
（Ⅱ）若对于false，总有false，求实数false的取值范围．
【详解】
解：（Ⅰ）由题意得false．
当false时，false，函数false在false上单调递增；
当false时，由false得false，
当false时，false
当false时，false，
所以函数false在false上单调递减，在false上单调递增．
（Ⅱ）由false，得false
设false，
则false．
设false，false
则false，
则false在false上单调递增．
又false，所以当false时，false，即false
当false时，false，即false，
所以函数false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，
故false，即实数false的取值范围为false．