江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高二下学期期末调研数学试题 Word版含解析

南京市2020-2021学年第二学期六校联合体期末调研试题
高二数学
一、单项选择题(本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1．已知i是虚数单位，则复数z＝所对应的点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数r，如下表
相关系数
甲
乙
丙
丁
r
－0.92
0.78
－0.69
0.887
则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性? ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．设x∈R，则“x2－x<0”是“|x－1|<1”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．(4x－)n(n∈N*)展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为( )
A．6 B．10 C．15 D．20
5．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，＝2，现用基向量，，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是 ( )
A．x＝，y＝，z＝ B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝
6．用数字0，1，2，3．4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
7．若曲线f(x)＝lnx＋x在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝kx＋b，则k＋b的最小值为( )
A．－1 B．－ C． D．1
8．已知双曲线C：－4y2＝1(a＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x－3y＋11＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
9．下列说法正确的有 ( )
A．若随机变量X~N(1，σ2)，P(X＜4)＝0.79，则P(X≤－2)＝0.21
B．若随机变量X~B(10，)，则方差D(3X＋2)＝22
C．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
D．已如随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝
10．设复数z1，z2满足到z1＋z2＝0．则下列结论正确的是 ( )
A． |z1|＝|z2| B．false＝z2
C．若z1(2－i)＝3＋i，则z1z2＝－2i D．若|z1－(1＋i)|＝1．则1≤|z2|≤3
11．已知函数f(x)＝xsinx，下列说法正确的是 ( )
A．函数f(x)在(0，π)上不单调
B．函数f(x)在(，π)内有两个极值点
C．函数f(x)在[－2π，2π]内有4个零点
D．函数g(x)＝在区间(1，π]上的最小值为：
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
A．若PD∥平面MAC，则M为PB的中点
B．若M为PB的中点，则三棱锥M－PAC的体积为
C．锐二面角B－PD－A的大小为
D．若＝4，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为
266700198120P
P
1200150198120M
M
40005099060400050990604000509906040005099060
12001509906086677599060
66675099060A
A
226695099060B
B
6000751981208667751981202000250198120600075198120866775198120
1333500185420E
E
466725198120D
D
2000250198120C
C
60007599060
三、填空题(本大题共4小题，每小题5份，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
13．点A是椭圆C1：与双曲线C2：的一个交点，点F1，F2是椭圆C1的两个交点，则|AF1|·|AF2|＝ ．
14．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种(用数字作答)
15．已知(2－mx)(1＋)3的展开式中的常数项为8，则实数m＝ ．
16．购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元．已知该保险每一份保单需要赔付的概率为10，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 (保留两位有效数字)；一年度内盈利的期望为 万元．(参考数据：(1－10)≈0.37)
四、解答题(本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区城内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x，y的数据如下：
东部城市A
东部城市B
东部城市C
西部城市D
西部城市E
x
40
50
60
20
30
y
110
180
210
30
70
(1)根据上述数据补全下列2×2联表：
(2)判断是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．
参考公式：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
临界值表：
P(K2≥k0)
0.15
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2×2列联表：
东部城市
西部城市
总计
甲
50
乙
600
总计
650
800
18．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1．
(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值；
(2)当a＜2时，若函数f(x)在区间[a，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．
(1)若＝2，求直线MP与直线AC所成角的余弦值大小；
866775297180A1
A1
(2)若N是CC1的中点，直线A1B与平面PMN所成角的正弦值为，求线段BP的长度．
33337599060933450990603333759906093345099060
1733550198120C1
C1
20002599060B1
B1
61277599060P
P
1733550990603333759906033337599060
7334251270073342512700
173355099060N
N
866775198120A
A
93345012700933450198120333375198120
173355099060C
C
20002599060B
B
866775198120M
M
333375198120
20．某公司招聘员工，甲、乙两人同时参与应聘，应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以被该公司成功录用．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
(1)求乙未能参与面试的概率；
(2)记甲本次应聘过程中通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；
(3)若该公司仅招聘1名员工，试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能入职．
21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)设直线l与交C于M、N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若四边形OMDN为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值?若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
22．已知函数f(x)＝alnx＋x＋a．
(1)判断f(x)的单调性，并写出单调区间；
(2)若f(x)存在两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1x2＞1．
南京市2020-2021学年第二学期六校联合体期末调研试题
高二数学 解析版
一、单项选择题(本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1．已知i是虚数单位，则复数z＝所对应的点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【考点】复数的运算、复数的几何意义
2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数r，如下表
相关系数
甲
乙
丙
丁
r
－0.92
0.78
－0.69
0.887
则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性? ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【考点】线性回归分析
3．设x∈R，则“x2－x<0”是“|x－1|<1”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】逻辑用语中条件的判断
4．(4x－)n(n∈N*)展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为( )
A．6 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【考点】二项式定理展开式的应用
5．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，＝2，现用基向量，，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是 ( )
A．x＝，y＝，z＝ B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝
【答案】C
【考点】空间向量基本定理的应用
6．用数字0，1，2，3．4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【答案】B
【考点】排列组合
7．若曲线f(x)＝lnx＋x在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝kx＋b，则k＋b的最小值为( )
A．－1 B．－ C． D．1
【答案】D
【考点】函数的切线方程、导数的几何意义
8．已知双曲线C：－4y2＝1(a＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x－3y＋11＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【考点】圆锥曲线中双曲线与抛物线的几何性质综合应用
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
9．下列说法正确的有 ( )
A．若随机变量X~N(1，σ2)，P(X＜4)＝0.79，则P(X≤－2)＝0.21
B．若随机变量X~B(10，)，则方差D(3X＋2)＝22
C．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
D．已如随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝
【答案】AD
【考点】随机事件的概率问题：正态分布、二项分布、概率求解
10．设复数z1，z2满足到z1＋z2＝0．则下列结论正确的是 ( )
A． |z1|＝|z2| B．false＝z2
C．若z1(2－i)＝3＋i，则z1z2＝－2i D．若|z1－(1＋i)|＝1．则1≤|z2|≤3
【答案】ACD
【考点】复数的综合应用
11．已知函数f(x)＝xsinx，下列说法正确的是 ( )
A．函数f(x)在(0，π)上不单调
B．函数f(x)在(，π)内有两个极值点
C．函数f(x)在[－2π，2π]内有4个零点
D．函数g(x)＝在区间(1，π]上的最小值为：
【答案】AD
【考点】函数的性质综合应用
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
A．若PD∥平面MAC，则M为PB的中点
B．若M为PB的中点，则三棱锥M－PAC的体积为
C．锐二面角B－PD－A的大小为
D．若＝4，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为
266700198120P
P
1200150198120M
M
40005099060400050990604000509906040005099060
12001509906086677599060
66675099060A
A
226695099060B
B
6000751981208667751981202000250198120600075198120866775198120
1333500185420E
E
466725198120D
D
2000250198120C
C
60007599060
【答案】ABD
【考点】立体几何中的综合应用：位置关系判断、体积求解、线面角、二面角的求解
三、填空题(本大题共4小题，每小题5份，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
13．点A是椭圆C1：与双曲线C2：的一个交点，点F1，F2是椭圆C1的两个交点，则|AF1|·|AF2|＝ ．
【答案】16
【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用
14．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种(用数字作答)
【答案】150
【考点】排列组合：选派问题
15．已知(2－mx)(1＋)3的展开式中的常数项为8，则实数m＝ ．
【答案】－2
【考点】二项式定理展开式的应用：求参数问题
16．购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元．已知该保险每一份保单需要赔付的概率为10，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 (保留两位有效数字)；一年度内盈利的期望为 万元．(参考数据：(1－10)≈0.37)
【答案】0.63；180
【考点】双空题：随机事件的概率求解、数学期望
四、解答题(本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区城内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x，y的数据如下：
东部城市A
东部城市B
东部城市C
西部城市D
西部城市E
x
40
50
60
20
30
y
110
180
210
30
70
(1)根据上述数据补全下列2×2联表：
(2)判断是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．
参考公式：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
临界值表：
P(K2≥k0)
0.15
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2×2列联表：
东部城市
西部城市
总计
甲
50
乙
600
总计
650
800
【考点】独立性检验的应用
【解析】
(1) 2×2联表：
东部城市
西部城市
总计
甲
150
50
200
乙
500
100
600
总计
650
150
800
(2)由题意可知，K2＝＝≈6.83＞6.635
则有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1．
(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值；
(2)当a＜2时，若函数f(x)在区间[a，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】函数与导数：不含参函数的极值求解、含参函数的单调性应用
【解析】
(1)当a＝－3时，f(x)＝x3＋x2－3x＋1，则f′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，
令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜－3；令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1，
所以f(x)在(－，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋)上单调递增，
则f(x)的极大值为f(－3)＝10，极小值为f(1)＝－．
(2)因为f(x)＝x3＋x2＋ax＋1，所以f′(x)＝x2＋2x＋a，
则当x∈[a，2]时，f(x)≥0恒成立，
所以①当a≤－1时，f′(x)min＝f′(－1)＝a－1＜0，不满足题意，故舍去；
②当－1＜a＜2时，f′(x)min＝f′(a)＝a2＋3a≥0，解得a≥0或a≤－3(舍去)
综上，实数a的取值范围为[0，2)．
19．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．
(1)若＝2，求直线MP与直线AC所成角的余弦值大小；
866775297180A1
A1
(2)若N是CC1的中点，直线A1B与平面PMN所成角的正弦值为，求线段BP的长度．
33337599060933450990603333759906093345099060
1733550198120C1
C1
20002599060B1
B1
61277599060P
P
1733550990603333759906033337599060
7334251270073342512700
173355099060N
N
866775198120A
A
93345012700933450198120333375198120
173355099060C
C
20002599060B
B
866775198120M
M
333375198120
【考点】立体几何中异面直线所成的角、利用线面角求长度问题
【解析】
以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)，M(1，1，0)，
(1)因为＝2，所以P(，0，)，
则＝(－，－1，)，＝(0，2，0)，
设直线MP与直线AC所成角为α，
则cosα＝||＝||＝，
所以直线MP与直线AC所成角的余弦值大小为，
(2)由N(0，2，1)，得＝(－1，－1，1)，
可设P(x，y，z)，＝λ (0≤λ≤1)，
则(x－2，y，z)＝λ(－2，0，2)，解得x＝2－2λ，y＝0，z＝2λ，所以P(2－2λ，0，2λ)，
所以＝(1－2λ，－1，2λ)，
可设平面PMN的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
由n⊥，n⊥，可得，取n＝(1＋，，1)，
又因为＝－2，0，2)，且设直线A1B与平面PMN所成角为θ，
所以sinθ＝|cos< n，>|＝||＝||＝，
解得λ＝，所以＝，所以BP＝BA1＝
20．(12分)某公司招聘员工，甲、乙两人同时参与应聘，应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以被该公司成功录用．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
(1)求乙未能参与面试的概率；
(2)记甲本次应聘过程中通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；
(3)若该公司仅招聘1名员工，试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能入职．
【考点】随机事件的概率、分布列与期望、解决实际问题
【解析】
(1)由题意可知，若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，
故乙未能参与面试的概率为P＝××＋××＋××＋××＝；
(2)由题意可知，X的取值可能为0，1，2，3，4，5
且P(X＝0)＝()3＝，
P(X＝1)＝·()2×＝，
P(X＝2)＝·()2×××＝，
P(X＝3)＝()3××＋·()2××(×＋×)＝，
P(X＝4)＝()3×(×＋×)＋·()2×××＝，
P(X＝5)＝()3××＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝．
(3)由(2)可知，甲成为在职教师的概率为P甲＝＋·()2×××＝，
乙成为在职教师的概率为P乙＝(1－)××＝，
因为P甲＞P乙，所以甲更可能成为该校的在职教师．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与交C于M、N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若四边形OMDN为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值?若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中面积为定值问题
【解析】
(1)由题意知，＝＝，可得a2＝4b2，
联立，得x＝±a，
所以|AB|＝a＝，解得a＝2
所以椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)可设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由四边形OMDN为平行四边形，可得D(x1＋x2，y1＋y2)，
又因为点D在椭圆C上，
所以＋(y1＋y2)2＝1，化简可得，x1x2＋4y1y2＝－2，
可令，，代入上式，得2cosα2cosβ＋4sinαsinβ＝－2，
即为4cos(α－β)＝－2，则cos(α－β)＝－，所以sin(α－β)＝±，
则S□OMDN＝2S△OMN＝|x2y1－x1y2|＝|2cosβsinα－2cosαsinβ|＝|2sin(α－β)|＝2＝，为定值．
22．(12分)已知函数f(x)＝alnx＋x＋a．
(1)判断f(x)的单调性，并写出单调区间；
(2)若f(x)存在两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1x2＞1．
【考点】函数与导数：含参函数的单调性讨论、极值点偏移问题
【解析】
(1)因为f(x)＝alnx＋x＋a，所以f′(x)＝＋1，
则①当a≥0时，f′(x)＞0，即f(x)的单调增区间为(0，＋)，无减区间；
②当a＜0时，令＋1＞0，可解得x＜－a，＋1＜0，可解得x＞－a，
所以f(x)的单调递减区间为(0，－a)，单调递增区间为(－a，＋)．
(2) f′(x)＝＋1＝(x＞0)，
①当a≥0时，f′(x)＞0，则f(x)在(0，＋)上单调递增，f(x)至多有一个零点，不合题意；
②当a＜0时，当x∈(0，－a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(－a，＋)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋)上单调递增，
则f(x)min＝f(－a)＝aln(－a)＜0，解得a＜－1，注意此时f()＝＞0，
(i)当－2≤a＜－1时，f(e3)＝e3＋4a＞0，此时＜－a＜e3，
则f(x)在(0，－a)和(－a，＋)上分别存在一个零点；
(ii)当a＜－2时，f(e)＝alne＋e2＋a＝e－a2＋a，
设g(a)＝e－a2＋a，a＜－2，则g′(a)＝－e－2a＋1，g″(a)＝e－2＞0，
所以g′(a)在(－，－2)单调递增，则g′(a)＜g′(－2)＝－e2＋5＜0，
所以g(a)在(－，－2)单调递减，则g(a)＞g(－2)＝e2－6＞0，即f(e)＞0，
此时＜－a＜e ，则f(x)在(0，－a) 和(－a，＋)分别存在一个零点；
综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围为(－，－1)；
下面证明x1x2＞1，
不妨设0＜x1＜－a＜x2，由f(x1)＝f(x2)＝0得，
，
两式相减得，－a＝，
两式相加得，lnx1＋lnx2＝－2＝(lnx1－lnx2)－2，
要证x1x2＞1，只需证lnx1＋lnx2＞0，
即证－＝ln－＜0，
令h(t)＝lnt－，t∈(0，1]，则h′(t)＝－＝≥0，
所以h(t)在(0，1]单调递增，则h(t)≤h(1)＝0
又因为∈(0，1)，故等号不成立，即得证．