常州市2020～2021学年度第二学期期末质量调研
高一数学试题
（考试用时：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝（是虚数单位），则的虚部为
【
▲
】
A.－
B.
C.－
D.
2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
【
▲
】
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
3.
在中，角、、所对的边分别为、、，若角、、成等差数列，且边、、成等比数列，则一定是
【
▲
】
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.
等边三角形
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's
Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为
【
▲
】
A．
B．
C．
D．
5.
已知，且，则的值为
【
▲
】
A.－
B.
C.
D.
或
6．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4个命题中，真命题的个数是
【
▲
】
A．1
B．2
C．3
D．4
7.
如右图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则
【
▲
】
A.
B.
C.
D.
8．如右图，在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的表面积为
【
▲
】
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得2分．
9.
在复平面内，下列说法正确的是
【
▲
】
A.
若复数满足，则
B.
若复数(为虚数单位)，则
C.
若复数，则为纯虚数的充要条件是
D.
若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
10.
黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是
【
▲
】
A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
11.
如右图，正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是
【
▲
】
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为90°
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
12.
如右图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，则下列说法正确的是
【
▲
】
A.
若，则
B.
若，则与不共线
C．若，记三角形的面积为，则的最大值为
D.
若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知样本数据，，，，的方差为2，则样本数据，，，，的方差为
▲
．
14.
▲
．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是
▲
．
16.
在中，角、、所对的边分别为、、，，，若点在边上，并且，为的外心，则之长为
▲
．
四．解答题：本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.
甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
⑴若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；
⑵现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件?为什么?
⑶这种游戏规则公平吗?试说明理由．
18.
已知是坐标原点，向量，
⑴若，求实数的值；
⑵当取最小值时，求的面积．
19.
如右图，在中，角的对边分别为，已知，且．
⑴求角；
⑵若为边上的一点，且，，，求
的长．
20.
如右图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
⑴若为线段的中点，求证：平面平面；
⑵若，点是线段上的动点，求的最小值．
21．螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量
(单位:箱)在的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表:
采购数
客户数
10
10
5
20
5
已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的．
⑴根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并
估计采购数在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数；
⑵估算小刘去年总的销售量(同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表)；
⑶小刘今年销售方案有两种：
①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每
箱利润为20元，预计销售量与去年持平；
②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元()，销售量可增加1000m箱．
问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y(单位:元)的最大值．
22.
如右图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为正三角形，点，分别在线段和上，且．设二面角为，且．
⑴求证：平面；
⑵求直线与平面所成角的正弦值；
⑶求三棱锥的体积．
2021.6常州市2020～2021学年度第二学期期末质量调研
高一数学试题评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B
2．A
3．D
4．B
5．C
6．B
7．A
8．B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得
5
分，不选或有错选得
0
分，其他得
3
分．
9．BD
10．AD
11．BCD
12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．18
14．
15．
16．1
四.解答题：本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.
（本小题满分10分）解(1)易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等.
事件A包含的样本点共4个:(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
2分
所以P(A)=0.25.
3分
(2)B与C不是互斥事件.
4分
理由:因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次.
6分
(3)这种游戏规则公平.理由如下:
和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)，
(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，
(4，2)，(4，4)，共8个，
8分
所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平.
10分
18．（本小题满分12分）解：因为，，，
所以，，
2分
又因为，所以，即
4分
也即，解得或，则所求实数的值为或．
5分
由知，
当时，取最小值，
7分
此时，，
则，
9分
又在中，，则，10分
的面积为12分
19．（本小题满分12分）解：（1）因为，
所以
即，
2分
由两角和与差的余弦公式得，，
又因为在中，，所以，
5分
又因为，所以
6分
（2）在中，
由余弦定理得，8分
又因为，则，即，
9分
在中，由正弦定理得，，
即
12分
20．（本小题满分12分）解：（1）在中，因为，为的中点，
所以．
1分
又垂直于圆所在的平面，因为圆所在的平面，所以．
2分
因为，所以平面，
4分
因为平面，所以平面平面．
6分
（2）在中，，，所以．
同理，所以．
8分
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，
如图所示．当，，共线时，取得最小值．
10分
又因为，，所以垂直平分，即为中点．
从而，
亦即的最小值为．12分
21．（本小题满分12分）
解：
(1)作出频率分布直方图，如图
2分
根据上图，可知采购量在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数为
4分
(2)去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为
(箱)
6分
小刘去年总的销售量为(箱)
8分
(3)若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为(元)
9分
若在网上销售螃蟹，则今年年底的销售量为箱，每箱的利润，
则今年年底小刘的收入为
当时，
取得最大值256000
11分
∵，∴小刘今年年底收入的最大值为256000元.
12分
22．（本小题满分12分）解：（1）证明：连接，交于，
因为，，所以，，
因为，所以∽，
，所以，2分
因为平面，平面，所以平面.
3分
（2）解：取中点，连接、，
因为为正三角形，所以，，
因为为直角梯形，，，，所以四边形为矩形，所以，
因为，所以平面，所以平面平面，
因为，所以平面，
所以，，所以，
5分
设，由余弦定理得，
于是，
整理得，解得或（舍去），
6分
取中点，连接，因为，所以，
又因为平面平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为.而，
7分
所以直线与平面所成角的正弦值为.
8分
（3）因为，平面，平面，
所以平面，所以的长也是点到平面的距离，
10分
∵
，
∴．12分
3
