江苏省如皋市高中2020-2021学年高二下学期期末测试数学试题 Word版含答案

如皋市高中2020-2021学年高二下学期期末测试
数学
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合false且false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false

2．若纯虚数false满足false(其中false为虚数单位，false为实数)，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．某班级要从5名男生?3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案有（ ）
A．20种 B．30种 C．35种 D．65种
4．二项式false展开式中，false的系数是（ ）
A．40 B．10 C．-40 D．false
5．已知椭圆false的焦距为false，右焦点为false，过false上一点false作直线false的垂线，垂足为false．若四边形false为菱形，则false的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为false，则数列false的前78项的和为(　　)
A. 3 B. log378 C. 5 D. log38

7．人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作false，隐性基因记作false.成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是false，false或false”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用false，false表示显性基因?隐性基因，基因对中只要出现了显性基因false，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是false，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知函数false满足false，当false时，false，则不等式false的解集为（ ）
A．false B．false C．false D．false
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知false，false是两个不同的平面，false，false，false是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．若false，false，false，则false
C．若false，false，false，则false
D．若false，false，false，则false
10．下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在false，false，使false
B．在false中，若false，则false是等腰三角形
C．在false中，“false”是“false”的充要条件
D．在false中，若false，false则false的值为false或false
11．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩false近似服从正态分布false，则下列说法正确的有（ ）
（参考数据：①false；②false；
③false）
A．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．false
D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为false
12．在直四棱柱false中，四边形false为正方形，false，false为面对角线false上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．false平面false
B．false与false所成角的余弦值为false
C．三棱锥false的体积为定值
D．平面false内存在与false和底面false交线平行
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知抛物线false上的点false到焦点的距离为5，则点false到false轴的距离为_______.
14．已知false，false，false，则false的值为_______.
15．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝ .
16．已知半径为false的球面上有false、false、false、false四点，满足false，false，false，则球心false到平面false的距离为_________，三棱锥false体积的最大值为_________.
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列false满足false，false．
（1）求数列false的通项公式；
（2）设false为数列false的前false项和，求证false．
18．已知函数false在false处取得最大值.
（1）求函数false的最小正周期；
（2）若false的角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且false，false，false，求false.
19．如图，在四棱锥false中，平面false平面false，四边形false是直角梯形，false，false，false，false，false.
341376076200（1）求证：false；
（2）求二面角false的余弦值.
20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账?微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据false年中国消费者信息研究，超过false的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方false?品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了false年false月false日至false日这false天到该专营店购物的人数false和时间第false天间的数据，列表如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
参考数据：false.附：相关系数false，回归直线方程的斜率false，截距false.
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数false与时间false之间的关系？若可用，估计false月false日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若false，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算false时精确到false).
（2）运用分层抽样的方法从第false天和第false天到该专营店购物的人中随机抽取false人，再从这false人中任取false人进行奖励，求这false人取自不同天的概率.
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满false元可减false元；方案二，一次性购物金额超过false元可抽奖三次，每次中奖的概率均为false，且每次抽奖互不影响，中奖一次打false折，中奖两次打false折，中奖三次打false折.某顾客计划在此专营店购买false元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
21．已知椭圆false的左?右焦点分别为false，false，false为椭圆false上一点false的周长为false，false最大时的余弦值为false.
（1）求椭圆false的方程；
（2）若false和false为false轴同侧的两点，且false，求四边形false面积的最大值及此时直线false的方程.
22．已知函数false.
（1）当false时，讨论函数false在false上的单调性；
（2）当false时，求证：函数false(false为自然对数的底数)存在唯一极值点false且false.
如皋市高中2020-2021学年高二下学期期末测试
数学试题
一、单选题
1．若集合false且false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D【详解】集合false，false，所以false.故选：D.
2．若纯虚数false满足false(其中false为虚数单位，false为实数)，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
3．某班级要从5名男生?3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案有（ ）
A．20种 B．30种 C．35种 D．65种
【答案】C【详解】女生人数2人和3人，女生2人时，需从男生中选2人，女生3人时，需从男生中选1人，所以不同选派方案的种数为false.
4．二项式false展开式中，false的系数是（ ）
A．40 B．10 C．-40 D．false
【答案】A5．已知椭圆false的焦距为false，右焦点为false，过false上一点false作直线false的垂线，垂足为false．若四边形false为菱形，则false的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D【详解】由题意可知false，而false，所以false，
则false为正三角形，设椭圆的左焦点为false，则false，且false，false，
所以由椭圆的定义可得false，即false，即false，
解得离心率为false.故选：D
6．在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为bn，则数列的前78项的和为(　　)A
A. 3 B. log378 C. 5 D. log38
7．人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作false，隐性基因记作false.成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是false，false或false”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用false，false表示显性基因?隐性基因，基因对中只要出现了显性基因false，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是false，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D【详解】父母决定眼皮单双的基因均为false，遗传给孩子的基因可能为false，false，false，false，所以孩子为双眼皮的概率为false.同理孩子卷舌的概率也为false.根据相互独立事件的概率公式知孩子是双眼皮且卷舌的概率为false.故选：D.
8．已知函数false满足false，当false时，false，则不等式false的解集为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B【详解】依题意知false为偶函数，其图象关于false轴对称，当false时，false单调递增，且false，所以false的解集为false.将false的图象沿false轴向右平移false个单位长度后可得false的图象，所以不等式false的解集为false.故选:B.
二、多选题
9．已知false，false是两个不同的平面，false，false，false是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．若false，false，false，则false
C．若false，false，false，则false
D．若false，false，false，则false
【答案】AC
10．下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在false，false，使false
B．在false中，若false，则false是等腰三角形
C．在false中，“false”是“false”的充要条件
D．在false中，若false，false则false的值为false或false
【答案】AC【详解】对于A，当false时，正确；
对于B，由false可得false或false，即false或false，所以false是等腰三角形或直角三角形，错误；
对于C，false(其中false是false外接圆的半径)，正确；对于D，因为false，false，所以false.
因为false，所以由正弦定理得false，从而false.
又因为false，所以false，
从而false，错误；故选：AC.
11．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩false近似服从正态分布false，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①false；
②false；③false）
A．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．false
D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为false
【答案】BD【详解】由题意可知，对于选项A，false，false，则false，则成绩超过100分的约有false人，所以选项A错误；
对于选项B，falsefalse，所以falsefalse，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200＝27.3，即约为27人，所以选项B正确；对于选项C，falsefalse，falsefalse，所以falsefalse，所以选项C错误；
对于选项D，因为false，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为false；②3人均超过100分时的概率为false，则至少有2人的分数超过100分的概率为false，所以选项D正确；故选：BD．
430276046355012．在直四棱柱false中，四边形false为正方形，false，false为面对角线false上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．false平面false
B．false与false所成角的余弦值为false
C．三棱锥false的体积为定值
D．平面false内存在直线与false和底面false交线平行
【答案】BC【详解】以点false为坐标原点，false、false、false所在直线分别为false、false、false轴建立空间直角坐标系，设false，则false，则false、false、false、false、false、false、false、false.
对于A选项，false，false，则false，故false与false不垂直，进而可知，false与平面false不垂直，A选项错误；
对于B选项，false，false，false，
所以，异面直线false与false所成角的余弦值为false，B选项正确；
对于C选项，在正四棱柱false中，false且false，
所以，四边形false为平行四边形，可得false，
false平面false，false平面false，则false平面false，
所以，点false到平面false的距离为定值，而false的面积为定值，故三棱锥false的体积为定值，C选项正确；对于D选项，因为false平面false，所以平面false和底面false的交线与false平行.而false与平面false相交，D选项错误.故选：BC.
三、填空题
13．已知抛物线false上的点false到焦点的距离为5，则点false到false轴的距离为___________.
【答案】false
【详解】抛物线false的方程可化为false.设false.
因为点false到焦点的距离为5，所以点false到准线false的距离为5，
从而false，将false代入false可得false，
所以点false到false轴的距离为false.故答案为：false.
14．已知false，false，false，则false的值为_______.
【答案】false
【详解】由题意可知，false，
且false，即false，解得false或false，
因为false，所以false．故答案为：false.
15．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝ .
318643045085[解析]　由图形可得：＝＋①，
＝－②，
①×2＋②得：2＋＝3，即＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λμ＝.


16．已知半径为false的球面上有false、false、false、false四点，满足false，false，false，则球心false到平面false的距离为___________，三棱锥false体积的最大值为_____.
【答案】false false
【详解】false，所以，false为截面圆false的直径.
因为false，false，所以false.
由球的性质可知false圆面false，即false为球心false到平面false的距离.
在false中，false，false，可得false，
所以false到平面false的距离为false.
要使三棱锥false的体积最大，false应为false的延长线与球面的交点，
此时点false到平面false的距离为false，
所以三棱锥false体积的最大值为false.故答案为：false；false.
四、解答题
17．已知数列false满足false，false．
（1）求数列false的通项公式；
（2）设false为数列false的前false项和，求证false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析．
【详解】（1）由false，得false，
因为false，所以false，所以false，
所以false是首项为1，公比为false的等比数列，
所以false，即false．
（2）由false得
false，
两式相减，得false
false，所以false得证．
18．已知函数false在false处取得最大值.
（1）求函数false的最小正周期；
（2）若false的角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且false，false，false，求false.
【详解】（1）false
falsefalse
falsefalse.
由题意可知false，可得false.
因为false，所以false，故false，所以函数false的最小正周期为false.
（2）由false可得false，
故false或false.因为false，所以false.
由false以及余弦定理可得false，所以false.
因为false，所以false，所以false
由正弦定理可得false.
471805015367019．如图，在四棱锥false中，平面false平面false，四边形false是直角梯形，false，false，false，false，false.
（1）求证：false；（2）求二面角false的余弦值.
【详解】（1）因为false，false，false，所以false，
4756150334010因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，false，所以false平面false，因为false平面false，所以false，因为false，所以false平面false，因为false平面false，所以false.
（2）如图，作空间直角坐标系false，
则false，false，false，false，false，
false，false，false，false，
设false为平面false的一个法向量，
则false，即false，令false，则false，false，
设false为平面false的一个法向量，则false，即false，令false，则false，false，故false，结合图像易知二面角false的余弦值为false.
20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账?微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据false年中国消费者信息研究，超过false的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方false?品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了false年false月false日至false日这false天到该专营店购物的人数false和时间第false天间的数据，列表如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数false与时间false之间的关系？若可用，估计false月false日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若false，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算false时精确到false).
参考数据：false.附：相关系数false，回归直线方程的斜率false，截距false.
（2）运用分层抽样的方法从第false天和第false天到该专营店购物的人中随机抽取false人，再从这false人中任取false人进行奖励，求这false人取自不同天的概率.
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满false元可减false元；方案二，一次性购物金额超过false元可抽奖三次，每次中奖的概率均为false，且每次抽奖互不影响，中奖一次打false折，中奖两次打false折，中奖三次打false折.某顾客计划在此专营店购买false元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数false与天数false之间的关系，false月false日到该专营店购物的人数约为false；（2）false；（3）选择方案二更划算.
【详解】解：（1）由表中数据可得false，false，false，false
，false，所以false，
所以可用线性回归模型拟合人数false与天数false之间的关系.
而false，则false，
所以false，令false，可得false.答：false月false日到该专营店购物的人数约为false.
（2）因为false，所以从第false天和第false天取的人数分别为false和false，从而false人取自不同天的种数为false，所以概率false.答：这false人取自不同天的概率为false.
（3）若选方案一，需付款false元.
若选方案二，设需付款false元，则false的取值可能为false，false，false，false，
则false，false，
false，false，
所以false，因此选择方案二更划算.
21．已知椭圆false的左?右焦点分别为false，false，false为椭圆false上一点false的周长为false，false最大时的余弦值为false.（1）求椭圆false的方程；
（2）若false和false为false轴同侧的两点，且false，求四边形false面积的最大值及此时直线false的方程.
【答案】（1）false；（2）面积的最大值false，方程为false.
【详解】（1）设椭圆false的焦距为false.由椭圆的定义可知false.①
由椭圆的几何性质可知，当false为短轴的顶点时，false最大，为false，
则有false.联立①②可得false，false，
所以false，故椭圆false的方程为false.
（2）因为false，所以false.
延长false，交椭圆false于点false.设false，false.
由（1）可知false，可设直线false的方程为false.
联立false消去false可得false，
所以false，false.由对称性可知false.设false与false间的距离为false，
则四边形false的面积false
falsefalse
false.令false，则false.
因为false，当且仅当false时取等号，所以false，
此时false，解得false，因此直线false的方程为false．
22．已知函数false.
（1）当false时，讨论函数false在false上的单调性；
（2）当false时，求证：函数false(false为自然对数的底数)存在唯一极值点false且false.
【详解】（1）false，false，
则false.
当false时，false.令false，可得false.
当false，时，false，此时false，函数false在false上单调递减.
当false时，false，在false上false，函数false单调递减；在false上false，函数false单调递增.
综上，当false时，函数false在false上单调递减；当false时，函数false在false上单调递减，在false上函数单调递增，
（2）false，false，
则false.
因为false，所以false与false同号.
令false，false，则false.
显然，当false时，false，函数false单调递增，
又false，false，
所以存在false，使得false.当false变化时，false，false的变化如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
极小值
false
故false存在唯一极值点false.
由false可得false，即false，
此时false.
因为false，所以false．