江苏省泗阳县高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

泗阳县高中2020-2021学年高二下学期期末考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若false是虚数单位，复数false，则false的共扼复数false在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知离散型随机变量false的分布列为
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
则下列说法一定正确的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．已知false的展开式中的常数项为false，则实数false（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
4．已知函数false在false处有极值10，则false（ ）
A．false B．0 C．false或0 D．false或6
5．2020年11月，兰州地铁false号线二期开通试运营．甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．设false，随机变量false的分布列是
false
false
0
1
false
false
false
false
则当false在false内增大时，（ ）
A．false增大 B．false减小
C．false先减小后增 D．false先增大后减小
7．欧拉公式false(其中i为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．当false时，恒等式false更是被数学家们称为“上帝创造的公式”．根据上述材料可知false的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．false D．4
8．若false，false可以作为一个三角形的三条边长，则称函数false是区间false上的“稳定函数”.已知函数false是区间false上的“稳定函数”，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
二?多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分).
9．下列叙述正确的是（ ）
A．若事件false发生的概率为false，则false
B．分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等
C．线性回归直线false必过点false
D．对于任意两个事件false和false，都有false
10．已知false，则下列选项正确的是（ ）
A．false
B．false
C．false
D．展开式中系数最大的为false
11．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和false道填空题)，不放回地依次随机抽取false道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第false次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
12．关于函数false，下列说法正确的是（ ）
A．函数false的极小值为false
B．函数false有且只有false个零点
C．存在负实数false，使得false恒成立
D．对任意两个正实数false、false，且false，若false，则false
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．欧拉公式false(false为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将false表示的复数记为false，则false的值为________
14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．
15．false的展开式中常数项为___________.
16．函数false的递增区间为______；若false，则函数false零点的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．复数false，满足false的虚部是2，false对应的点A在第一象限.（1）求false；（2）若false在复平面上对应点分别为false，求false.
18．甲、乙两个乒乓球队进行单打擂台赛，规则如下：每队两名队员参赛，编号分别为1号、2号，第一局先由双方1号对1号，负者淘汰，之后的每局比赛均由上一局的胜方队员与负方的另一名队员进行比赛，直到某队的两名队员全部淘汰，则另一队胜出．表格中，第false行第false列的数是甲队false号队员战胜乙队false号队员的概率．
0.5
0.4
0.6
0.5
（1）求甲队胜出的概率；
（2）设false为比赛局数，求false的分布列和均值．
19．已知false的展开式中各项的二项式系数之和为32．
false求n的值；
false求false的展开式中false项的系数；
false求false展开式中的常数项．
20．已知函数false.
（1）求曲线false在点false处的切线方程；
（2）是否存在false，使得曲线false在点false和点false处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据：false，false）
21．上海是中国国际经济?贸易?金融?航运?科技创新中心以及国家物流枢纽.上海的经济发展也走在全面前列.上海市2012~2018年每年的社会平均工资false(单位：元)如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号false
false
false
false
false
false
false
false
社会平均工资false
false
false
false
false
false
false
false
增长率
8.358%
7.332%
8.241%
8.971%
9.513%
9.656%
9.815%
（1）若false关于false的线性回归方程为false，求实数false的值；(注：上海市2012~2018年社会平均工资false的平均值为false元)
（2）若某一年比上一年社会平均工资增长率超过9%(包括9%)，则称该年居民收入“快速增长”.小王在上海工作，以上海市2012~2018年社会平均工资为小王2012~2018年年工资收入，在2012~2018年中任选三年，记这三年中小王收入“快速增长”的年数为false，求false的分布列和数学期望.
22．已知函数false（false为自然对数的底数）
（1）若false在点false处的切线方程为3x＋y＋7＝0，求a的值；
（2）讨论false的单调性．
泗阳县高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学答案
1【答案】A
【分析】
利用复数四则运算进行化简即可求解.
【详解】
解：复数false，
所以false，
故false在复平面上对应的点位于第一象限．
故选：A．
2【答案】D
【分析】
利用公式计算出两个随机变量的期望和方程后可得正确的选项.
【详解】
false，故false，
false，false，
故选：D.
3【答案】B
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
false展开式的通项为：false，
取false得到常数项为false，解得false.
故选：B
4【答案】A
【分析】
根据数false在false处有极小值10，可得false，求出参数false的值，然后再验证，得到答案.
【详解】
由函数false有false.
函数false在false处有极小值10.
所以false，即false
解得: false或false
当false时，false
令false得false或false，false得false
所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增.
显然满足函数false在false处有极小值10.
当false时，false
所以函数false在false上单调递增,不满足函数false在false处有极小值10.
所以false
故选：A
【点睛】
关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题.
5【答案】B
【分析】
根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算西站十字没人去的情况数目，分析可得西站十字一定要有人去的游览方案数目，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字．每人只能去一个地方，
则每人有3种选择，则4人一共有false种情况，
若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园．
每人有2种选择方法，则4人一共有false种情况，
故西站十字一定要有人去有false种情况，
即西站十字一定有人去的游览方案有65种；
故选：false．
6【答案】D
【分析】
计算出false，falsefalse，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
false，
false
false，对称轴为false，
false当false在false内增大时，false先增大后减小，
故选：D.
7【答案】B
【分析】
根据题意得false，进而根据复数的模的公式并结合三角函数的范围求解即可得答案.
【详解】
根据false和false得false，
所以false，
由于false，所以false，
所以false
所以false的最大值为false.
故选：B
【点睛】
本题考查数学文化，复数的模的计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于
根据材料得false，进而根据复数的模的公式求解.
8【答案】D
【分析】
利用导数可求得false单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得false，由此可得关于false的不等式，解不等式可求得false的取值范围.
【详解】
false，false当false时，false；当false时，false；
false在false上单调递增，在false上单调递减，
false，
又false，false，false，
由“稳定函数”定义可知：false，即false，
解得：false，即实数false的取值范围为false.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数导数中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系.
9．ABC
【分析】
利用事件概率的取值范围可判断A选项的正误；利用分层抽样的定义可判断B选项的正误；利用回归直线过样本的中心点可判断C选项的正误；利用互斥事件的概率加法公式可判断D选项的正误.
【详解】
A选项，根据概率的定义可得，若事件false发生的概率为false，则false，A对；
B选项，根据分层抽样的定义得，分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，B对；
C选项，线性回归直线false必过点false，C对；
D选项，对于任意两个事件false和false，false，
只有当事件false和false是互斥事件时，才有false，D错.
故选：ABC.
10【答案】BD
【分析】
根据二项展开式的通项可求得false，知A错误；
采用赋值法，令false和false，则可求得B正确；
采用赋值法，令false可求得false，由此可计算知C错误；
根据二项展开式通项分别求得展开式中系数为正的项，则可知D正确.
【详解】
false展开式通项公式为：false，
对于A，令false，则false，A错误；
对于B，令false，则false；
令false，则false；
falsefalse，B正确；
对于C，令false得：false，false，C错误；
对于D，false为正数，false为负数，
又false，false，false，false，
false展开式中系数最大的为false，D正确.
故选：BD.
【点睛】
思路点睛：在求解与二项展开式各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法，即给false取值，从而去除变量的影响，得到所需的系数和.
11．ABC
【分析】
根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】
false,故A正确；
false，故B正确；
false，故C正确；
false，false，false，故D错误.
故选: ABC
12【答案】ABD
【分析】
利用导数求函数的极值可判断A选项的正误；利用导数分析函数false的单调性，结合零点存在定理可判断B选项的正误；分析函数false的单调性，可判断C选项的正误；构造函数false，利用函数false和false的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，函数false的定义域是false，且false，false，
令false，解得：false，令false，解得：false，
故false在false递减，在false递增，false，故A正确；
对于B，令false，则false，
令false，则false，
令false，解得：false，令false，解得：false，
故false在false递减，在false递增，
故false，
故false，故函数false在false上单调递减，
又false，false，
故函数false有且只有false个零点，故B正确；
对于C，设false，
若false时，false，
记false，由二次函数的基本性质可知，
当false时，false，即函数false在false上单调递减，
当false时，false，
因此，不存在实数false，使得false恒成立，C选项错误；
对于D：设false，false，结合A选项可知false，false，
构造函数false，其中false，
则false，
所以，函数false在false上单调递减，
false，false，则false，所以，false，
即false，
因为函数false在false上单调递增，所以，false，因此，false，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式false（或false）转化为证明false（或false），进而构造辅助函数false；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
13【分析】
根据欧拉公式求出false，再由复数乘法运算即可求出.
【详解】
根据欧拉公式可得false，
则false.
14【答案】false
【解析】由题知，false，则false，所以false．
15【答案】false
【分析】
直接利用二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】
false，
故展开式中常数项为：false.
故答案为：false
【点睛】
二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
16【答案】false，false false
【分析】
求出导函数，研究利用导数与函数单调性的关系即可求得单调增区间，将g(x)=0分离参数，利用f(x)的性质可以求得g(x)的零点的取值范围.
【详解】
解：函数false的定义域为false,
false,
显然在定义域内false，且仅在false时false,
∴false在定义域的各个区间内都是单调增函数，
即false的单调增区间是false，false;
当false时，false,∴false,
当false时，在false上false,在false时false.
令false,显然false不是false的零点，分离参数得false,
∵当false时false,∴由false，满足false的x的值大于-2，
得false，
∵false在false上单调递增，
∴false，即false的零点的取值范围是false,
故答案为： false，false；false.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和零点的范围，属中档题，难点在于导函数的计算，一定要正确使用商的导数的运算法则，注意函数的定义域和分析函数的正负，注意将g(x)的零点问题，分离参数转化为关于f(x)的不等式问题，利用f(x)的性质求解.
17【答案】（1）z=1+i,（2）false
【解析】
试题分析; （1）利用已知条件列出方程组求解即可．
（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可．
试题解析:
（1）依题意得false，结合x>0,y>0知，x=1,y=1
（2）由（1）值z=1+i,false ,false
所以A（1,1），B（0,2），C（1，-1）
有AB=false，AC=2，BC=false
由余弦定理可得cos∠ABC=false
18【答案】（1）0.5；（2）分布列见解析，均值false.
【分析】
（1）把“甲队胜出”可分为2个互斥事件：“比赛两局胜出”和“比赛三局胜出”
分别求概率即可得到；
（2）X的可能取值为2,3，分别求概率，写出分布列，求出数学期望即可.
【详解】
（1）“甲队胜出”可分为2个互斥事件：“比赛两局胜出”和“比赛三局胜出”
“比赛两局胜出”的概率为false，
“比赛三局胜出”的概率为false，
故“甲队胜出”的概率为false.
（2）乙队两局胜出的概率为：false，
乙队三局胜出的概率为：false
故false,false，
X的分布列为
X
2
3
P
0.4
0.6
false.
【点睛】
求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义（根据试验本身分析）；
（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；
（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
19【答案】(1)5.
(2)80.
(3)-30.
【解析】
分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为false求解即可．（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解．（3）根据false展开式的通项并结合组合的方法求解．
详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得false，
解得false．
（2）由题意得false的通项公式为false，
令false，解得false，
所以false的展开式中false项的系数为false．
（3）由（2）知，false的展开式的通项为false，
令false，解得false；
令false，解得false．
故false展开式中的常数项为false．
点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项false的特点，一般需要建立方程求false，再将false的值代回通项求解，注意false的取值范围(false＝0，1，2，…，n)．
（2）使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r＋1项，而不是第r项；②通项公式中a和b的位置不能颠倒．
20【答案】（I）false（II）存在，理由见解析.
【分析】
（1）求在false处的函数值和导数值，点斜式求切线方程即可；（2）令false，若存在两点false，false在这两点处的切线互相垂直，则存在false，false.求false在false上的值域，即可判断是否存在.
【详解】
解：（1）false，false，false，
则切线方程为：false，即false.
（2）令false，
若存在false，使得曲线false在点false和点false处的切线互相垂直，则存在false，false.
false，令false，解得：false.
所以false在false上单调递减，在false上单调递增.
false，false，false
故false，所以存在false，使得false，例如false.
【点睛】
思路点睛：若存在在两点处的切线垂直，则存在在两点处的导数值乘积为-1，求导研究函数的值域，即可判断是否存在函数值相乘为-1.
21【答案】（1）false；（2）分布列答案见解析，数学期望：false.
【分析】
（1）求出false和false，由回归直线过中心点可得false；
（2）根据数据确定false的取值为false，计算出各概率后，得分布列，然后由期望公式计算期望．
【详解】
解：（1）由false，false，
有false.
故实数false的值为false.
（2）false的取值为false，
false，false，
false，false.
false的分布列为：
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
false.
22【答案】（1）false；（2）答案见解析．
【分析】
（1）先由切线方程求出切点坐标，将切点坐标代入函数false的方程即可.
（2）求出false，则只需对false进行讨论，即分false，false，false和false进行分类讨论,即可.
【详解】
解：（1）false切线false经过点false．
false，即false，解得false．．
（2）false．
false时，false，可得false在false上单调递增，在false上单调递减．．
false时，令false，解得false，
令false，解得false．．
false时，false，则函数false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增．．
false时，false，函数false在R上单调递增．．
false时，false，则函数false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增．．
综上可得：当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减．
当false时，函数false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增．
当false时，函数false在R上单调递增．
当false时，函数false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增．
【点睛】
关键点睛：本题考查根据切线方程求参数含参数的单调性讨论，解答本题的关键是分false，false，false和false对false进行分类讨论，属于中档题.