(共68张PPT)
第二节 简谐运动的描述
必备知识·自主学习
一、简谐运动的表达式
【情境思考】
如图所示，甲图为用沙摆演示简谐运动图像的装置，乙图为沙摆下方一木板上的沙的情况。那么，能用数学语言描述上述沙摆的运动规律吗？具体如何描述？
提示：能。可用公式x＝A
sin
(ωt＋φ)描述沙摆的运动。
1．表达式：x＝_____________。
2．表达式中各量的意义
(1)A表示简谐运动的_____。
(2)ω是一个与_____成正比的物理量叫简谐运动的_______，ω＝____＝____。
(3)
_______代表简谐运动的相位，φ是t＝0时的相位，称作初相位，或_____。
两个振动物体初相位的差值，叫相位差。
Acos(ωt＋φ)
振幅
频率
圆频率
2πf
ωt＋φ
初相
二、简谐运动的图像描述
1．振动曲线：振子振动时位移与时间关系的曲线叫振动曲线，简称________。
2．图像特点：正弦或余弦函数图像。
3．从图像可以得到的物理量：_____，周期(或频率)。
x?t图线
振幅
【易错辨析】
(1)做简谐运动物体的轨迹是正弦(或余弦)图像。(
)
(2)从振动图像上可以直接读出振幅。(
)
(3)相位也就是初相位。(
)
(4)一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动。(
)
(5)简谐运动表达式x＝A
cos
(ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振
动的周期越小。(
)
×
√
×
√
√
关键能力·合作学习
振幅
位移
路程
定义
振动物体离开平衡位置的最大距离
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段
运动轨迹的长度
矢、标性
标量
矢量
标量
变化
在稳定的振动系统中不发生变化
大小和方向随时间做周期性变化
随时间增加
联系
①振幅等于最大位移的大小；
②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4倍振幅，在半个周期内的路程等于2倍振幅
情境·模型·素养
课堂检测·素养达标第二节
简谐运动的描述
课
程
标
准
素
养
目
标
能用公式和图像描述简谐运动。
1.初步形成全振动的概念，知道振幅、周期、频率概念及其相互关系，知道全振动和圆频率的含义。(物理观念)2．了解相位、初相位和相位差的概念、相互关系及相位的物理意义。(科学思维)3．通过有关简谐运动描述量的学习，培养学生的物理素养和科学精神。(科学态度与责任)
必备知识·自主学习
一、简谐运动的表达式
如图所示，甲图为用沙摆演示简谐运动图像的装置，乙图为沙摆下方一木板上的沙的情况。那么，能用数学语言描述上述沙摆的运动规律吗？具体如何描述？
提示：能。可用公式x＝A
sin
(ωt＋φ)描述沙摆的运动。
1．表达式：x＝A__cos__(ωt＋φ)。
2．表达式中各量的意义
(1)A表示简谐运动的振幅。
(2)ω是一个与频率成正比的物理量叫简谐运动的圆频率，ω＝＝2πf。
(3)ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。两个振动物体初相位的差值，叫相位差。
二、简谐运动的图像描述
1．振动曲线：振子振动时位移与时间关系的曲线叫振动曲线，简称x?t图线。
2．图像特点：正弦或余弦函数图像。
3．从图像可以得到的物理量：振幅，周期(或频率)。
(1)做简谐运动物体的轨迹是正弦(或余弦)图像。(×)
(2)从振动图像上可以直接读出振幅。(√)
(3)相位也就是初相位。(×)
(4)一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动。(√)
(5)简谐运动表达式x＝A
cos
(ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(√)
关键能力·合作学习
描述简谐运动的各物理量及其关系的理解
1．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)全振动的五个特征：
①振动特征：完成一次完整的振动过程。
②物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
③时间特征：历时一个周期。
④路程特征：振幅的4倍。
⑤相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。振幅越大，振动系统的能量越大。
(2)振幅、位移和路程的关系
振幅
位移
路程
定义
振动物体离开平衡位置的最大距离
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段
运动轨迹的长度
矢、标性
标量
矢量
标量
变化
在稳定的振动系统中不发生变化
大小和方向随时间做周期性变化
随时间增加
联系
①振幅等于最大位移的大小；②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4倍振幅，在半个周期内的路程等于2倍振幅
提醒：对振幅的理解
(1)在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期(频率)或质点的位移无关。
(2)振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移。
如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，若OA＝OB＝10
cm，则该振子做简谐运动的振幅是多少？最大位移是多少？二者相同吗？
提示：振幅为10
cm，最大位移也为10
cm，但二者不相同，振幅是标量，位移是矢量，二者不可能相同。
【典例】(2021·汕头高二检测)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在①。②，某时刻振子处于B点。③。求：
(1)振子振动的周期和频率；
(2)振子在5
s内通过的路程及位移大小。
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
做简谐运动的物体在最大位移处速度为零
B、C两点均为位移最大的点
②
弹簧振子的运动范围为振幅的二倍
振幅A＝5
cm
③
振子从一端运动至平衡位置的时间为周期的四分之一
振子周期T＝2.0
s
【解析】(1)设振幅为A，由题意BC＝2A＝10
cm，所以A＝5
cm。振子从B到O所用时间t＝0.5
s，为周期T的四分之一，所以T＝2.0
s；f＝＝0.5
Hz。
(2)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5
s＝2.5T内通过的路程s＝×4A＝50
cm。5
s内振子振动了2.5个周期，5
s末振子处在C点，所以它的位移大小为5
cm。
答案：(1)2.0
s 0.5
Hz (2)50
cm 5
cm
振动物体路程的计算方法
(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
(3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。
1．(母题追问)在典例情境中，求振子在B点的加速度的大小与它距O点4
cm处P点的加速度大小的比值。
【解析】振子加速度a＝－x，a∝x。所以aB∶aP＝xB∶xP＝5∶4。
答案：5∶4
2.如图所示，弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是
20
cm，从A到B运动时间是2
s，则( )
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2
s，振幅是10
cm
C．从B开始经过6
s，振子通过的路程是60
cm
D．从O开始经过3
s，振子处在平衡位置
【解析】选C。振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动用时2
s，所以振动周期是4
s，B错误；t＝6
s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60
cm，C正确；从O开始经过3
s，振子处在最大位移处(A或B)，D错误。
【加固训练】
一个质点做简谐运动，振幅是4
cm，频率为2.5
Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5
s，质点的位移和路程分别是( )
A．4
cm、24
cm
B．－4
cm、100
cm
C．0、100
cm
D．4
cm、100
cm
【解析】选D。由f＝得T＝＝0.4
s，Δt＝2.5
s＝6T。每个周期质点通过的路程为4×4
cm＝16
cm，故质点的总路程s＝6×16
cm＝100
cm，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过周期运动到正向最大位移处，即位移x＝
4
cm，故D项正确。
由简谐运动表达式求物理量
1．简谐运动的表达式x＝A
cos
(ωt＋φ)中各物理量的意义：
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf。可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。
(4)ωt＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ：表示t＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。
2．相位差的含义：
(1)相位差：即某一时刻的相位之差。
(2)设A、B两物体的简谐运动的表达式分别为：
x1＝A1cos
(ωt＋φ1)，x2＝A2cos
(ωt＋φ2)
①它们的相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。
可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
②若Δφ＝φ2－φ1>0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φ2－φ1<0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。
如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20
cm，周期为3.0
s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10
cm时，游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？
提示：由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin
t＝
20sin
t(cm)，画出y?t图像，如图所示，
能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10
cm时，解得t1＝0.25
s，t2＝1.25
s，则Δt＝t2－t1＝1.25
s－0.25
s＝1.0
s，即一个周期内，游客能舒服地登船的时间是1.0
s。
【典例】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3cos
(100t＋)
m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5cos
(100t＋)
m。比较A、B的运动，下列说法正确的是( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6
m，B的振幅是10
m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100
s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
【解题探究】
(1)振幅是矢量还是标量？如何求振幅？
提示：振幅是标量，根据表达式正(余)弦函数前面的系数确定振幅。
(2)如何确定周期和频率？
提示：由公式x＝A
cos
(ωt＋φ)确定ω，再由ω＝＝2πf确定T和f。
(3)如何求初相或相位差？
提示：由公式x＝A
cos
(ωt＋φ)，令t＝0，求初相；再由公式Δφ＝φ2－φ1求相位差。
【解析】选C、D。
A
×
振幅是标量，A、B的振动范围分别是6
m、10
m，但振幅分别是3
m、5
m。
B
×
A、B的振动周期为T＝＝
s＝6.28×10－2
s。
C
√
因为TA＝TB，故fA＝fB。
D
√
Δφ＝φA－φB＝。
【母题追问】在【典例】中，如把A做简谐运动的振动位移xA＝3cos
(100t＋)
m改为xA＝3sin
(100t＋)m，其余条件不变，则下列说法正确的是( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6
m，B的振幅是10
m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100
s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
【解析】选C。将B做简谐运动的表达式改为xB＝5sin
(100t＋π)，则由题意知：A、B的振幅分别为3
m，5
m；A、B的振动周期为T＝＝
s＝6.28×
10－2
s，因为TA＝TB，故fA＝fB；相位差Δφ＝φB－φA＝。
简谐运动表达式与图像的互换
角度1根据表达式画图像或根据图像写表达式
1．根据表达式画振动图像
(1)根据x＝A
cos
(ωt＋φ)找出振幅A和振动周期T＝；
(2)令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)；
(3)选好标度，作出正弦函数图像。
2．根据图像写表达式
(1)从图像中找出振幅A和周期T，ω＝；
(2)根据t＝0时的位移求出初相φ，即x0＝A
cos
φ；
(3)把A、ω、φ代入表达式x＝A
cos
(ωt＋φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得，只不过φ不相同)。
有甲、乙两个振动，其表达式分别是x1＝4sin
(100πt＋)
cm，x2＝5sin
(100πt＋)
cm，则周期相同吗？振动步调一致吗？
提示：由表达式及公式T＝知，甲和乙的振动周期均为0.02
s，故其周期相同；Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝≠0，即振动步调不一致。
【典例1】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图像。请根据图像写出：
(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________cm，周期是________s。
(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
【解析】(1)由图像知：A的振幅是0.5
cm，周期是0.4
s；B的振幅是0.2
cm，周期是0.8
s。
(2)由图像知：φA＝π，由TA＝0.4
s得ωA＝＝5π。则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin
(5πt＋π)cm。同理由题图知，φB＝，由TB＝0.8
s得ωB＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为
xB＝0.2sin
(2.5πt＋0.5π)cm。
答案：(1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)xA＝0.5sin
(5πt＋π)cm，xB＝0.2sin
(2.5πt＋0.5π)cm
角度2简谐运动的对称性和周期性
1．对称性
(1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等。
(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示。
2．周期性
(1)若t2－t1＝nT，则t1，t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。
(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1，t2两时刻，描述运动的物理量(x，F，a，v)均大小相等，方向相反。
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
如图所示的弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动，C、D关于O点对称，则振子分别通过C、D时，速度相同吗？动能相同吗？还有哪些量是相同的？哪些量是不同的？
提示：当振子在这两点运动方向相同时，其速度相同；运动方向相反时，其速度仅大小相等，故速度不一定相同，但速度大小一定相等，又因为振子动能是标量，仅与速度大小有关，故振子在这两点的动能是相同的。在这两点相同的量还有弹簧的弹性势能及振子的机械能等，不相同的还有位移、加速度及弹簧弹力等。
【典例2】物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过1
s后物体第一次以相同速度v通过B点，再经过1
s物体紧接着又通过B点，已知物体在2
s内所走过的总路程为12
cm，则该简谐运动的周期和振幅分别是多大？
【解析】物体通过A点和B点时的速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称。依题意作出物体的振动路径草图如图甲、乙所示，在图甲中物体从A向右运动到B，即图中从1运动到2，时间为1
s，从2运动到3，又经过1
s，从1到3共经历了0.5T，即0.5T＝2
s，T＝4
s，2A＝12
cm，A＝6
cm。x＝
6sin
。
在图乙中，物体从A先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图中从1运动到2时，时间为1
s，从2运动到3，又经过1
s，同样A、B两点关于O点对称，从图中可以看出从1运动到3共经历了1.5T，即1.5T＝2
s，T＝
s，1.5×4A＝12
cm，A＝2
cm。
答案：T＝4
s，A＝6
cm或T＝
s，A＝2
cm
解决简谐运动的周期性和对称性问题，要特别注意以下三点：
(1)要结合题意画出物体做简谐运动的路径草图，能不能正确画出路径图往往决定了能不能正确、全面地解决这类问题。
(2)一定要正确判断物体所有可能的运动情况，该分类讨论的要分类讨论。
(3)要充分利用简谐运动的对称性和周期性分析、求解相关物理量，必要时可画出振动图像协助分析。
1．(多选)(2021·广州高二检测)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点( )
A．第1
s末与第3
s末的位移相同
B．第1
s末与第3
s末的速度相同
C．第3
s末与第5
s末的位移相同
D．第3
s末与第5
s末的速度相同
【解析】选A、D。
根据x＝Asint可求得该质点振动周期为T＝8
s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1
s末和第3
s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3
s末和第5
s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确。
2．一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin
(8πt＋)
cm的规律振动。
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin
(8πt＋)cm，求它们的相位差。
【解析】(1)已知ω＝8π，由ω＝得T＝
s，f＝＝4
Hz。A＝5
cm，φ1＝。
(2)由Δφ＝φ2－φ1得Δφ＝π－＝π。
答案：(1)
s 4
Hz 5
cm (2)π
【加固训练】
一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin
2.5
πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2
m
B．弹簧振子的周期为1.25
s
C．在t＝0.2
s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间变化的关系式为x＝0.2sin
(2.5πt＋)，则B的振幅和周期是A的振幅和周期的2倍
【解析】选C。由振动方程x＝0.1sin
2.5πt，可读出振幅为0.1
m，圆频率ω＝2.5π，故周期T＝＝0.8
s，故A、B错误；在t＝0.2
s时，x＝0.1sin
m＝0.1
m，振子的位移最大，故速度最小为零，故C正确；由两表达式可知弹簧振子B的振幅是A的2倍，但周期相同，D错误。
【拓展例题】考查内容：简谐运动的对称性
【典例】质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O。质点经过a点(xa＝－5
cm)和b点(xb＝5
cm)时速度相同，所用时间tab＝0.2
s；质点由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4
s。则该质点做简谐运动的频率为( )
A．1
Hz B．1.25
Hz C．2
Hz D．2.5
Hz
【解析】选B。由题意可知：a、b点在O点的两侧，关于O点对称，质点由a点到b点所用时间tab＝0.2
s，由b点回到a点所用最短时间tba＝0.4
s，表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动，振幅大于5
cm，设周期为T，由简谐运动的对称性可知，质点由b点回到a点的时间为，即＝0.4
s，T＝
0.8
s，频率f＝＝
Hz＝1.25
Hz，选项B正确。
情境·模型·素养
一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。
探究：
(1)振动的周期是多少。
(2)振动的振幅是多少。
【解析】(1)由题图知：周期T＝。
(2)由题图知，振幅A＝
答案：(1) (2)
简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示。
探究：
(1)弹簧振子的周期是多少？
(2)t＝17
s时振子相对平衡位置的位移是多少？
(3)2.5
s时振子的振动方向如何？
【解析】(1)由题图知，弹簧振子的周期为T＝4
s。
(2)由周期性知，t＝17
s时振子相对平衡位置的位移与t＝1
s时振子相对平衡位置的位移相同，即位移为零。
(3)由图乙可知2.5
s时振子正在向x轴负方向运动。
答案：(1)4
s (2)零 (3)x轴负方向
课堂检测·素养达标
1．一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10
cm的A、B两点，历时0.5
s。过B点后再经过t＝0.5
s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
A．0.5
s B．1.0
s C．2.0
s D．4.0
s
【解析】选C。
根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧。质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5
s＝0.25
s。质点从B向右到达右方最大位移处(设为D)的时间tBD＝×0.5
s＝
0.25
s。所以质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25
s＋0.25
s＝0.5
s。所以T＝2
s。
【加固训练】
(多选)物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体( )
A．在两点处的位移相同
B．在两点处的速度可能相同
C．在两点处的速度一定相同
D．在两点处的动能一定相同
【解析】选B、D。作出振动图像如图所示，由图像可知两点处的位移大小相等、方向相反，故A错；设经过A点的时刻为t1，经过A′的时刻如图为t2、t3、t4…；当t2、t4等经过A′时与t1时刻经过A时的速度大小相等、方向相反；当t3、t5等时刻经过A′时与t1时刻经过A时的速度相同，故B正确，C错误；每次经过A′时的动能总与经过A时的动能相同，故D正确。
2．关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越弱
【解析】选A。振幅是振子离开平衡位置的最大距离，它是表示振动强弱的物理量，振幅越大，振动越强。
3．如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则( )
A.振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期
B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期
C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期
D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期
【解析】选B。从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错。振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错。
4．某振子做简谐运动的表达式为x＝2sin
(2πt＋)
cm，则该振子振动的振幅和周期为( )
A．2
cm 1
s
B．2
cm 2π
s
C．1
cm s
D．以上全错
【解析】选A。由x＝A
sin
(ωt＋φ)
cm与x＝2sin
(2πt＋)cm对照，可得A＝
2
cm，ω＝2π
rad/s＝，所以T＝1
s，选项A正确。
5．如图所示为某弹簧振子在0～5
s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
A.振动周期为5
s，振幅为8
cm
B．第2
s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C．第3
s末振子的速度为正向的最大值
D．从第1
s末到第2
s末振子在做加速运动
【解析】选C。根据图像可知，弹簧振子的周期T＝4
s，振幅A＝8
cm，选项A错误；第2
s末振子到达负方向位移最大位置，速度为零，加速度最大，且沿x轴正方向，选项B错误；第3
s末振子经过平衡位置，速度达到最大，且向x轴正方向运动，选项C正确；从第1
s末到第2
s末振子经过平衡位置向下运动到达负方向位移最大位置，速度逐渐减小，选项D错误。
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第三节 单 摆
必备知识·自主学习
一、单摆及其回复力
【情境思考】
如图所示，荡秋千是人们特别是小孩子们一项喜闻乐见的运动。那么，荡秋千时小孩的运动有什么特点？其运动是简谐运动吗？
提示：荡秋千时小孩在竖直平面内做往复运动，在满足一定的条件下可看成是简谐运动。
1．单摆模型
(1)单摆的构成
提醒：单摆是一个_______模型，实际上并不存在。
组成
要求
细线
摆线看成是不可_____，且没有_____的细线
小球
摆球看成是没有_____只有质量的质点
伸长
质量
大小
理想化
(2)实际摆可看成单摆的条件：
①忽略在摆动过程中所受到的_____；
②将摆球看作_____；
③摆线细且不可_____。
(3)单摆摆球的运动特点：
①摆球以悬点为圆心在竖直平面内做_____________。
②摆球同时以最低点O为平衡位置做_________。
2．单摆的回复力
摆球的重力沿圆弧_____方向的分力。
阻力
质点
伸长
变速圆周运动
简谐运动
切线
二、单摆的周期
【情境思考】
如图所示，摆球质量相同，摆长不同的单摆，摆动周期不同；摆长相同而摆球质量不同或振幅不同的单摆振动周期却相同，这说明什么？
提示：这说明单摆的周期与摆长有关而与摆球质量及振幅无关。
1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：_________法。
(2)实验结论：在摆角很小的情况下
①单摆振动的周期与摆球的质量_____。
②振幅较小时，周期与振幅_____。
③摆长越长，周期_____；摆长越短，周期_____，与摆长二次方根成正比。
控制变量
无关
无关
越长
越短
2．周期公式
(1)公式的提出：荷兰物理学家_______首先提出了单摆的周期公式T＝2π
，
并发明了钟摆。
(2)公式：T＝2π
，即T与摆长L的二次方根成_____，与重力加速度g的二次
方根成_____。
惠更斯
正比
反比
(3)固有周期：由公式T＝2π
知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期
只与其______和当地的____________有关，而与_____和_________无关，故又叫
作单摆的_________，而对应的单摆的频率f＝
叫作单摆的_________。
(4)秒摆：周期为__的单摆叫作秒摆，秒摆的摆长约为__
m。
摆长L
重力加速度g
振幅
摆球质量
固有周期
固有频率
2s
1
【易错辨析】
(1)实际上，摆的摆动都可以看作是简谐运动。(
)
(2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。(
)
(3)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。(
)
(4)单摆的振幅越大周期越大。(
)
(5)单摆的周期与摆球的质量无关。(
)
(6)摆长应是从悬点到摆球球心的距离。(
)
×
×
√
×
√
√
关键能力·合作学习
情境·模型·素养
课堂检测·素养达标第三节 单摆
课
程
标
准
素
养
目
标
1.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。2．知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
1.知道什么是单摆，初步形成单摆的回复力及周期的概念。(物理观念)2．理解单摆振动的特点及其做简谐运动的条件；知道单摆周期的决定因素，掌握其周期公式。(科学思维)3．能用实验探究影响单摆周期的因素，能定量探究单摆周期与摆长的关系。(科学探究)4．学会观察、实验、分析及归纳判断的方法和能力。(科学态度与责任)
必备知识·自主学习
一、单摆及其回复力
如图所示，荡秋千是人们特别是小孩子们一项喜闻乐见的运动。那么，荡秋千时小孩的运动有什么特点？其运动是简谐运动吗？
提示：荡秋千时小孩在竖直平面内做往复运动，在满足一定的条件下可看成是简谐运动。
1．单摆模型
(1)单摆的构成
组成
要求
细线
摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线
小球
摆球看成是没有大小只有质量的质点
提醒：单摆是一个理想化模型，实际上并不存在。
(2)实际摆可看成单摆的条件：
①忽略在摆动过程中所受到的阻力；
②将摆球看作质点；
③摆线细且不可伸长。
(3)单摆摆球的运动特点：
①摆球以悬点为圆心在竖直平面内做变速圆周运动。
②摆球同时以最低点O为平衡位置做简谐运动。
2．单摆的回复力
摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
二、单摆的周期
如图所示，摆球质量相同，摆长不同的单摆，摆动周期不同；摆长相同而摆球质量不同或振幅不同的单摆振动周期却相同，这说明什么？
提示：这说明单摆的周期与摆长有关而与摆球质量及振幅无关。
1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论：在摆角很小的情况下
①单摆振动的周期与摆球的质量无关。
②振幅较小时，周期与振幅无关。
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短，与摆长二次方根成正比。
2．周期公式
(1)公式的提出：荷兰物理学家惠更斯首先提出了单摆的周期公式T＝2π，并发明了钟摆。
(2)公式：T＝2π，即T与摆长L的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。
(3)固有周期：由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长L和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期，而对应的单摆的频率f＝＝叫作单摆的固有频率。
(4)秒摆：周期为2__s的单摆叫作秒摆，秒摆的摆长约为1
m。
(1)实际上，摆的摆动都可以看作是简谐运动。(×)
(2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。(×)
(3)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。(√)
(4)单摆的振幅越大周期越大。(×)
(5)单摆的周期与摆球的质量无关。(√)
(6)摆长应是从悬点到摆球球心的距离。(√)
关键能力·合作学习
对单摆回复力及运动特征的理解
角度1单摆的回复力
1．单摆的平衡位置
摆球静止在O点时，悬线竖直下垂，受重力和拉力，小球受的合力为零，可以保持静止，所以O点是单摆的平衡位置。
提醒：单摆的平衡位置仅是摆球静止时合力为零的位置，但摆球摆动起来后通过平衡位置时仅仅是回复力为零，合外力却不为零。
2．单摆的受力分析
(1)单摆的向心力来源：当球运动到P点时，受力如图，将重力G沿切线和细线两方向分解为G1和F。沿细线方向：Fn＝F′－G1＝m，作用是改变小球运动的速度方向，提供球做圆周运动的向心力；
(2)单摆的回复力来源：由(1)中图可知，当球运动到P点时，沿圆弧切线方向，有F＝G
sin
θ，作用是改变小球运动的速度大小，提供球做简谐运动的回复力。
提醒：(1)回复力是摆球所受合外力在沿摆球运动轨迹切线方向的分力，而不是合外力完全来提供回复力。
(2)回复力是效果力，作用是使摆球回到平衡位置，可以是几个力的合力，也可以是某个力的分力。
如图所示装置叫双线摆，不计空气阻力，摆球在垂直于纸面的平面内摆动时，都受哪些力？摆球的运动是简谐运动吗？
提示：摆球受自身重力及两根线的拉力，在不计线的形变，且摆球的摆角很小(小于5°)时，其摆动可看成简谐运动。
【典例1】对于单摆，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
【解题探究】
(1)什么力提供单摆振动的向心力？向心力有什么特点？
提示：摆球的重力沿绳方向的分量与绳拉力的合力提供向心力。由公式Fn＝m知，向心力的大小与线速度的大小有关，越衡位置，线速度越大，向心力越大。
(2)什么力提供单摆的回复力？在平衡位置处回复力与合力相同吗？
提示：摆球重力的切向分力提供单摆运动的回复力，其大小随摆球位置的变化而变化。在平衡位置，回复力为零，但由于摆球有向心加速度，故摆球所受合外力不为零。
【解析】选C。单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零。故选项C正确。
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)在单摆振动图像中，图像最高点或最低点对应单摆摆球的最大位移处，图像与时间轴的交点对应摆球的平衡位置。
角度2单摆的运动特征及规律
1．运动特点
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力。
(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
由图可知：(当θ很小时，一般小于5°)G1＝mg
sin
θ≈mg
tan
θ≈mgθ＝mg
F回＝－mg，令k＝，所以F回＝－kx
可见：当单摆做小角度摆动时，其运动近似为简谐运动。
【典例2】关于单摆，下面说法正确的是( )
A．摆球运动过程中，经过同一点的位移有可能不同
B．摆球运动过程中，经过同一点的速度是不变的
C．摆球运动过程中，加速度方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
【解题探究】
(1)对于包括单摆在内的简谐运动的位移是如何规定的？
提示：简谐运动的位移特指振动物体相对于其平衡位置的位移，位置一定，位移一定。
(2)单摆摆球的速度有何特点？
提示：单摆摆球的速度与位置有关，但不是一一对应关系，即在不同点可以有大小相同的速度，在同一点，摆球的速度可以相同，也可以不同。
(3)单摆摆球的加速度与什么有关？有何特点？
提示：单摆摆球的加速度分为向心加速度和切向加速度。向心加速度由单摆所受向心力提供，方向指向圆心，大小随摆球速度的变化而变化；切向加速度由重力的分量提供，大小随摆球位置的变化而变化，方向指向摆球运动轨迹的切线，并不指向平衡位置。
【解析】选D。摆球的位移特指其相对平衡位置的位移，只与摆球的位置有关，故A错误；摆球运动过程中，一个周期内会两次以相反的方向经过同一点，故速度不一定相等，故B错误；单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，故其加速度不是始终指向平衡位置，故C错误；摆球经过平衡位置时，切向加速度为零，向心加速度不为零，故D正确。
单摆运动中力与能量的特点
(1)当单摆的摆角较小时，单摆的运动可以看成简谐运动，回复力由重力沿摆球运动轨迹切向的分力提供，向心力则由摆线拉力和重力的径向分力的合力提供。
(2)单摆摆球的加速度分切向加速度和向心加速度两种，决定因素不同，特点也不一样。
(3)单摆摆球在运动过程中，动能和势能相互转化，但其机械能不变。
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．单摆的摆长即为悬点到摆球最下端的长度
B．振动过程中，单摆在平衡位置所受摆线的拉力最小
C．振动过程中，摆球所受的合外力就是回复力
D．振动过程中，摆球的机械能守恒
【解析】选D。
单摆的摆长等于摆线悬点到摆球球心的距离，故A错误；设某时刻摆线和竖直方向的夹角为θ，如图所示，则对摆球，有FT－mg
cos
θ＝m，则摆球所受摆线的拉力FT＝mg
cos
θ＋m，又由题意知，在最低点，θ＝0，cos
θ＝1，值最大，由单摆的特点知，此时单摆速度也最大，故此时摆球所受摆线的拉力也最大，故B错误；振动过程中，摆球的回复力仅为其所受合外力沿摆线方向的分量，故C错误；振动过程中，只有摆球的重力做功，故其机械能守恒，故D正确。
2．对于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．在位移为正的区间，速度和加速度都一定为负
B．当位移逐渐增大时，回复力逐渐增大，振动的能量也逐渐增大
C．摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，摆线所受拉力最大
D．摆球在最大位移处时，速度为零，处于平衡状态
【解析】选C。在位移为正的区间，回复力F＝－kx为负，加速度为负，但速度可正可负，选项A错误；当位移增大时，回复力增大，振动的能量不变，选项B错误；平衡位置为摆球最低位置，摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，由FT－mg＝知，在平衡位置摆线所受拉力最大，选项C正确；摆球在最大位移处，速度为零，但加速度不为零，并不处于平衡状态，选项D错误。
对单摆周期公式的理解与应用
1．摆长L的理解
(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度：一般即L＝L′＋，L′为摆线长，D为摆球直径。
(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为L·sin
α，这就是等效摆长。其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
2．重力加速度g的理解
(1)公式中的g由单摆所在地的空间位置决定
由＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8
m/s2。
(2)等效重力加速度
①若单摆系统处在多力存在的平衡态，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如图1斜面摆球静止在O点时，FT＝mg
sin
θ，等效加速度g′＝＝g
sin
θ。此场景中的等效重力加速度g′＝g
sin
θ；又如图2复合场，带正电小球静止于图示位置时，摆线拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
②若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)。如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a。
如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球由距O点很近的A点由静止放开，同时另一同样的小球自轨道上O点左侧距O点为一半的B点由静止放开，结果惊奇地发现两小球同时到达O点。(?R)这是为什么呢？
提示：由题意知，两小球均做周期相同的单摆运动，且二者到达O点的时间均为周期的四分之一，故二者同时释放，同时到达最低点O。
【典例】(2021·佛山高二检测)如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球M在①，同时在O点正上方另有一小球N(图中未画出)自由落下，若②。求：小球应从多高处自由落下时，两球在O点③相碰(?R)。
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
单摆的条件
小球M的运动看成单摆
②
自由落体运动的条件
小球N做自由落体运动
③
由题目条件得出
小球M的运动时间为周期的四分之一
【解析】小球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为《R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点第一次相碰，两者到O点的运动时间相等。小球从A点由静止释放运动到O点的时间为t＝＝，由于从O点正上方自由落下的小球到O点的时间也为时两球才能在O点相碰，所以所求高度h＝gt2＝。
答案：
1．(母题追问)在上述例题中，若去掉“第一次”，其余条件不变，即问题变为：为使两球在O点相碰，小球应从多高处自由落下？(?R)。
【解析】小球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为?R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等。小球从A点由静止释放运动到O点的时间为T＝(2n－1)(n＝1，2，3，…)，由于从O点正上方自由落下的小球到O点的时间也为(2n－1)时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝g·(2n－1)2＝(2n－1)2(n＝1，2，3…)
答案：(2n－1)2
(n＝1，2，3…)
2．在探究影响单摆周期的因素的实验中，
(1)同学甲有如下操作，请判断是否恰当(选填“是”或“否”)。
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放；________。
②在摆球经过最低点时启动停表计时；________。
③把停表记录摆球一次全振动的时间作为周期；________。
(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据如表所示。
数据组
摆长(mm)
摆球质量(g)
周期(s)
1
999.3
32.2
2
2
999.3
16.5
2
3
799.2
32.2
1.8
4
799.2
16.5
1.8
5
501.1
32.2
1.4
根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大。
【解析】(1)单摆做简谐运动要求摆角小，单摆从平衡位置拉开约5°释放；因为最低点位置固定，小球经过最低点时，产生的时间误差较小。所以在最低点启动停表计时；摆球一次全振动的时间太短、误差大，应采用累积法测多个周期的时间求平均值；所以①是；②是；③否；(2)从题表中数据可知：摆长相同时，周期相同，摆长变大时，周期变大，根据表中数据可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大。
答案：(1)①是 ②是 ③否 (2)摆长
【拓展例题】考查内容：单摆在实际中的应用
【典例】如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有( )
A.A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
【解析】选A。A球做自由落体运动，到C所需时间tA＝，R为圆弧轨道的半径。因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为R的单摆)，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝＞tA，所以A球先到达C点。
情境·模型·素养
惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图乙所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快了。
探究：
(1)甲、乙两地的重力加速度哪个大？
(2)在乙地如何调整才能使摆钟走时准确？
【解析】(1)由甲地到乙地摆动加快则说明周期变小，因T＝2π，则乙地的重力加速度比甲地大。
(2)由于乙地的重力加速度比甲地大，导致乙地的周期变小，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动。
答案：见解析
正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30
s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1
m，当地重力加速度g取π2(m/s2)；根据以上数据，
探究：
(1)小球运动的周期T是多少？
(2)房顶到窗上沿的高度h是多少？
【解析】(1)由题意知，小球30
s内完成全振动的次数：n＝×(21－1)＝10，故小球运动的周期T＝＝3
s
(2)设球以窗上沿为悬点做单摆运动的周期为T1，以房顶为悬点做单摆运动的周期为T2，则由题意知，T1＝2π，T2＝2π，故T＝＋＝(2π＋2π)，解得h＝3
m。
答案：(1)3
s (2)3
m
课堂检测·素养达标
1．一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的( )
A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变
C．频率改变，振幅不变
D．频率改变，振幅不变
【解析】选B。决定单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与摆球的质量无关，与摆球的运动速度也无关，当然频率也与质量和速度无关，所以选项C、D错误；决定振幅的是外来因素，反映在单摆的运动中，可以从能量去考虑，即在平衡位置(即最低点)时的动能；当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，最高点的重力势能也不变。但是又因第二次摆球的质量增大了(实际上单摆已经变成另一个摆动过程了)，势能不变，质量变大了，摆动的竖直高度就一定变小了，也就是说，振幅变小了。
【加固训练】
发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大( )
A．增大摆球质量 B．缩短摆长
C．减小单摆振幅
D．将单摆由山下移至山顶
【解析】选D。根据单摆的周期公式T＝2π，要增大单摆周期，可以增加摆长或减小重力加速度；与摆球的质量和振幅无关；将单摆由山下移至山顶，重力加速度变小；故A、B、C错误，D正确。
2．下列有关单摆运动过程中受力的说法，正确的是( )
A．单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B．单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C．单摆经过平衡位置时所受合力为零
D．单摆做简谐运动的回复力是摆线拉力的一个分力
【解析】选B。单摆运动时是在一段圆弧上，因此单摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单摆所受的合外力不仅要提供回复力，还要提供向心力，故选项A错误；单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的一个分力，选项B正确，D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，选项C错误。
3．(2021·汕头高二检测)把空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )
A．不变
B．变大
C．先变大后变小再回到原值
D．先变小后变大再回到原值
【解析】选C。单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确。
4．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲>
α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( )
A．甲先到达平衡位置
B．乙先到达平衡位置
C．甲、乙同时到达平衡位置
D．无法判断
【解析】选C。由单摆的周期公式T＝2π，可知周期T与l、g有关，与质量、摆动的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。
5．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6
m。则两单摆摆长la与lb分别为( )
A．la＝2.5
m，lb＝0.9
m
B．la＝0.9
m，lb＝2.5
m
C．la＝2.4
m，lb＝4.0
m
D．la＝4.0
m，lb＝2.4
m
【解析】选B。设单摆a完成10次全振动所经历的时间为t，则Ta＝，Tb＝
得到Ta∶Tb＝3∶5；
又因为Ta＝2π；Tb＝2π＝2π，
可解得：la＝0.9
m，lb＝2.5
m。故选B。
6.如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，且R?l弧AB。甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问两球第一次到达C点的时间之比是多少？
【解析】甲球做自由落体运动，R＝gt，所以t1＝。对乙球，由于l弧AC?R，所以θ<5°，所以可以证明乙球沿弧形槽做简谐运动，此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，所以周期为T＝2π，因此乙球第一次到达C处的时间为t2＝＝，所以t1∶t2
＝2∶π。
答案：2∶π
7．一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19
l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。
【解析】释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
摆球在左边的周期为T1＝2π
摆球在右边的周期为T2＝2π
则整个单摆的周期为
T＝＋＝π＋π＝1.9π
答案：1.9π
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第四节 用单摆测量重力加速度
必备知识·自主学习
一、实验目的
用单摆测定当地的___________。
二、实验器材
长约1
m的细线、有小孔的摆球、带铁夹的铁架台、_________、毫米刻度尺、
_____。
重力加速度
游标卡尺
停表
【思考·讨论】
如图所示为用单摆测量重力加速度的装置，如何测量摆长？
提示：先用游标卡尺测出小球直径，再用毫米刻度尺测出摆线长，然后根据
公式L＝L′＋
算出摆长。
三、实验原理与设计
1．实验的基本思想——理想化模型。
单摆在偏角很小(不大于5°)时的运动，可以看成简谐运动。
2．实验原理：
由单摆的周期公式T＝2π
，可得g＝_____，据此通过实验测出摆长L和周期
T，即可计算得到当地的重力加速度。
3．实验设计——两个物理量的测量方法。
(1)单摆长度的测量。
用刻度尺测量单摆的线长，用游标卡尺测量摆球的直径。摆长即摆线静止时
从_____到_______的距离。
(2)单摆周期的测量。
测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝
。
悬点
球心间
实验过程·探究学习
实验研析·创新学习
课堂检测·素养达标第四节 用单摆测量重力加速度
实验必备·自主学习
一、实验目的
用单摆测定当地的重力加速度。
二、实验器材
长约1
m的细线、有小孔的摆球、带铁夹的铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
如图所示为用单摆测量重力加速度的装置，如何测量摆长？
提示：先用游标卡尺测出小球直径，再用毫米刻度尺测出摆线长，然后根据公式L＝L′＋算出摆长。
三、实验原理与设计
1．实验的基本思想——理想化模型。
单摆在偏角很小(不大于5°)时的运动，可以看成简谐运动。
2．实验原理：
由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝，据此通过实验测出摆长L和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。
3．实验设计——两个物理量的测量方法。
(1)单摆长度的测量。
用刻度尺测量单摆的线长，用游标卡尺测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。
(2)单摆周期的测量。
测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝。
实验过程·探究学习
实验步骤
1．做单摆：让细线穿过球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。
2．记录平衡位置：将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。
3．测摆长：用刻度尺量出悬线长L′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离L＝L′＋，即为摆长。
4．测周期：把此单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(这个角度最好不大于5°)，再释放小球。当摆球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期。
5．变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复步骤3、4，将数据填入表格。
6．根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即本地区的重力加速度的值。
7．将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，如有误差，分析产生误差的原因。
(1)用刻度尺测摆线长时应不应该挂上摆球？为什么？
提示：由于运动过程中摆球是挂在摆线下端的，因此测摆线长时应挂上摆球且在其保持静止时测量。
(2)用秒表测时间时将摆球摆至平衡位置时开始计时好还是在其摆至最大位移处时开始计时好？为什么？
提示：由于摆球在平衡位置时速度最大，发生相同位移所用时间最短，而人的反应时间是一定的，故应在摆球运动至平衡位置时开始计时，此时误差最小。
数据收集与分析
1．公式法：根据公式g＝，将每次实验的L、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值。设计如表所示实验表格：
实验次数
摆长L/m
周期T/s
重力加速度g/(m·s－2)
重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1
2
3
2.图像法：作出T2?L图像，由T2＝可知T2?L图线是一条过原点的直线，其斜率k＝，求出k，可得g＝。
从减小实验误差的角度分析，哪一种方法更好？
提示：由于图像法通常选取更多组数据且描点作图能去掉某些误差较大的点，故图像法更有利于减小误差。
误差分析
1．系统误差：主要来源于单摆模型本身不是理想模型，即摆球摆动过程中受到空气的阻力不可避免，绳子在摆动中有微小形变等。
2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并最好采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“零”的同时
按下停表开始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应多次测量后取平均值。
如何减小实验误差？
提示：两个方面。一、系统误差：选择合适的材料做摆线和摆球以尽量符合单摆的要求；摆线上端要系牢固，不可松动；控制摆角及摆动方向，不可成为圆锥摆；二、偶然误差：准确测量摆长及周期，用多次测量求平均值或作图法减小误差。
注意事项
1．构成单摆的条件：摆线应选择细且不易伸长的线(长度1
m左右)，小球应选用密度较大、体积较小的金属球(直径最好不超过2
cm)，摆角要小，最好不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
2．固定悬点：单摆悬线的上端不可随意卷在杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑，摆长改变。
3．摆动方法：要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
4．测摆长：摆长应是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径。
5．测周期：
(1)要从摆球经过平衡位置时开始计时。
(2)要测多次全振动的时间来计算周期，如在摆球过平衡位置时开始计时并数零，以后摆球每过一次平衡位置数一个数，最后总计时为t，总数为n，则周期T＝＝。
实验研析·创新学习
教材原型实验
角度1实验原理和实验操作
【典例1】某实验小组在利用如图装置测定当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm。
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________。(填选项前的字母)
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
【解题探究】
(1)单摆的摆长指的是什么？如何测量？
提示：单摆的摆长指的是悬点到摆球球心的距离，应先用游标卡尺测量摆球的直径，再用刻度尺测量摆线长，然后根据公式l＝l′＋计算摆长。
(2)如何选择摆线和小球？
提示：摆线应选择轻且不易伸长的细线，小球应选择密度较大、体积较小的金属球。
【解析】(1)主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，0.9
cm＋7×
mm＝0.97
cm，不需要估读。
(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置开始计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大、体积较小的摆球，故D错误。
答案：(1)0.97 (2)C
【实验改进】实验小组的同学们用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)用l表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝__________。
(2)(多选)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的__________(选填选项前的字母)。
A．长约1
m的细线
B．长约1
m的橡皮绳
C．直径约1
cm的均匀铁球
D．直径约10
cm的均匀木球
(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图__________中所示的固定方式。
(4)(多选)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是__________(选填选项前的字母)。
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(5)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图4所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是__________(选填“l2”“l”或“”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝__________(用k表示)。
(6)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是__________(选填选项前的序号)。
A．开始摆动时振幅较小
B．开始计时时，过早按下停表
C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间
【解析】(1)由单摆周期公式T＝2π，得g＝。
(2)摆线尽量选长且不易伸缩的细线，摆球尽量选重且直径小的。
(3)摆动过程中摆长应不变。
(4)摆长应为悬线长与摆球半径之和；要测多次全振动所用时间计算周期，可减小误差。
(5)由T＝2π知T?
图像是一次函数图像，斜率k＝，得g＝。
(6)由T＝2π，得g＝，C项可使T偏小，则g偏大，C正确。过早按下停表，会使T偏大，g偏小。A项对T的测量无影响。
答案：(1)
(2)A、C (3)3 (4)B、C (5)
(6)C
角度2实验数据处理
【典例2】(2021·深圳高二检测)将一单摆装置竖直挂于某一深度h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为l，并通过改变l而测出对应的周期T，再以T2为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度。
(1)利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表之外，还需要的测量工具为__________。
A．天平 B．毫米刻度尺 C．螺旋测微器
(2)如果实验中所得到的T2?l关系图像如图乙所示，那么真正的图像应是a、b、c中的________。
(3)由图像可知，小筒的深度h＝________m，当地的重力加速度g＝________m/s2。
【解题探究】
(1)如何选择需要的实验仪器？
提示：根据公式T＝及T＝2π，解得g＝，由此可知，该实验除了需要用停表测时间外，只需要刻度尺即可。
(2)图像T2?l的斜率和截距的含义是什么？
提示：由T＝2π得：T2＝l，故图像T2?l的斜率k＝，横截距的大小表示小筒的深度h。
【解析】(1)本实验需要测量时间求出周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离l，则所需的测量工具是毫米刻度尺，故选B。
(2)由单摆周期公式得：T＝2π得到：
T2＝
当l＝0时，T2＝＞0，则真正的图像是a。
(3)当T2＝0时，l＝－h，即图像与l轴交点坐标，故
h＝－l＝30
cm＝0.30
m，图线的斜率大小k＝，由图并结合数学知识得到k＝4
s2/m，解得g＝π2
m/s2≈3.142
m/s2＝9.86
m/s2。
答案：(1)B (2)a (3)0.30 9.86
【实验改进】在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝。
只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2?l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2?l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示。
(1)造成图像不过坐标原点的原因是____________________________________
_________________________________________________。
(2)由图像求出的重力加速度g＝__________m/s2(π2取9.86)。
【解析】(1)既然所画T2?l图像与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径。(2)图像的斜率k＝＝4
s2/m，则g＝≈3.142
m/s2＝9.86
m/s2。
答案：(1)测摆长时漏掉了摆球半径 (2)9.86
创新型实验
【典例3】在暗室中用如图甲所示装置做“测定重力加速度”的实验。实验器材有：铁架台、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、带荧光刻度的毫米刻度尺、频闪仪，实验步骤如下：
①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，水滴会以一定的频率一滴滴落下。
②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次观察到空间中有一串仿佛固定不动的水滴。
③用竖直放置的毫米刻度尺测得各个水滴所对应的刻度。
④处理实验数据。
(1)实验中第一次观察到空间中有一串仿佛固定不动的水滴时，频闪仪的闪光频率f1与水滴滴落的频率f2的关系为：__________。
(2)实验中第一次观察到水滴“固定不动”时的闪光频率为30
Hz，某同学读出其中比较圆的水滴到第一个水滴O的距离如图乙所示，根据数据测得当地重力加速度应为g＝____m/s2，水滴C此时的速度vC＝__________m/s。(结果都保留三位有效数字)
【解析】(1)频闪仪的闪光频率f1与水滴滴落的频率f2的关系为f1＝f2；
(2)根据匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，有：
两水滴之间的时间为：T＝＝
s
vC＝＝2.28
m/s
选择图中的后四段位移，根据逐差法有：
sCD－sAB＝2a1T2
sDE－sBC＝2a2T2
a＝＝＝9.72
m/s2。
答案：(1)f1＝f2 (2)9.72 2.28
【创新评价】
创新角度
创新方案
原理创新
用自由落体运动代替了单摆运动
器材创新
用漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管等器材组成的装置代替了单摆，用频闪仪、荧光刻度尺代替了停表
数据处理创新
用逐差法代替了图像法
【创新探究】
(1)本实验中若总是观察不到一串仿佛固定不动的水滴，可能是什么原因？(假设频闪仪没问题)
提示：可能是螺丝夹子夹不紧了或者是尖嘴玻璃管尖端开口太大。
(2)如何操作以尽可能减小误差？
提示：一要选择合适的器材，包括夹子、玻璃管等；二要漏斗固定在合适的高度；三要多次测量求平均值。
课堂检测·素养达标
1．(多选)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，有个同学发现自己测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是( )
A．实验室处在高山上，距离海平面太高
B．单摆所用的摆球质量太大
C．把n次全振动的时间t误作为(n＋1)次全振动的时间
D．以摆线长作为摆长来计算了
【解析】选C、D。用单摆测定当地重力加速度实验原理是利用单摆的周期公式：T＝2π，得到计算重力加速度的表达公式：g＝。实验室处在高山上，距离海平面太高，将导致测量的重力加速度偏小，故A不符合题意；从计算重力加速度的表达公式中可以看到，重力加速度与摆球的质量无关，故B不符合题意；实验时误把n次全振动次数记为n＋1次，由T＝<知，算出的周期偏小，g的测量值偏大，故C符合题意；以摆线长作为摆长来计算，摆长偏小，则g的测量值偏小，故D符合题意。
【加固训练】
某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，如果测得的g值偏小，可能的原因是( )
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动使摆线长度增大了
C．开始计时时，迟按停表
D．实验中误将49次全振动计为50次全振动
【解析】选B。根据单摆的周期公式T＝2π解得g＝；测摆线长时摆线拉得过紧，导致摆长测量值偏大，即测得的g值偏大，A错误；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动使摆线长度增大了，即测量值小于实际摆长，测得的g值偏小，B正确；开始计时时，迟按停表，导致测量周期偏小，测得的g值偏大，C错误；实验中误将49次全振动计为50次全振动，由于周期T＝，n偏大，则测得周期偏小，测得的g值偏大，D错误。故选B。
2．传感器在物理实验研究中具有广泛的应用。单摆在运动过程中，摆线的拉力在做周期性的变化，这个周期性变化的力可用拉力传感器显示出来，从而可进一步研究单摆的运动规律。
(1)实验时用游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d＝__________mm。
(2)接着测量了摆线的长度为l0，实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F随时间t变化的图像如图所示，则重力加速度的表达式g＝____________(用题目和图中的已知物理量表示)。
(3)某小组改变摆线长度l0，测量了多组数据，在进行数据处理时，甲同学把摆线长l0作为摆长，直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值；乙同学作出T2?l0图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲__________，乙__________(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
【解析】(1)主尺示数是15
mm，游标尺示数是4×0.1
mm＝0.4
mm，摆球的直径为15
mm＋0.4
mm＝15.4
mm。
(2)在单摆摆动的过程中，每一个周期中有两次拉力的最大值，由F?t图像可知，单摆周期T＝4t0，根据公式T＝2π整理得：g＝①。
(3)根据公式①甲同学把摆线长l0作为摆长，则摆长的测量值偏小，则g的测量值偏小；乙同学作出T2?l0图像后求出斜率k＝，重力加速度：g＝②，由公式②可知，该方法计算出的重力加速度与摆长无关。
答案：(1)15.4 (2)
(3)偏小 无影响
3．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆，你认为他应选用______________图所示的单摆来做实验。
(2)实验过程中小博同学分别用了图(a)、(b)所示的两种不同方式悬挂小球，你认为______________(选填“(a)”或“(b)”)悬挂方式较好。
(3)某同学用停表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为__________s。
(4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T＝T0(1＋asin2)，式中T0为摆角趋近于0°
时的周期，a为常数。为了用图像法验证该关系式，需要测量的物理量有____________；某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图线的斜率表示________。
【解析】(1)单摆在摆动过程中，空气等对它的阻力要尽量小，甚至忽略不计，所以摆球选用铁球；摆线要尽可能细一些，摆长不能过短，一般取1
m左右的细线，选乙。
(2)如果选(a)所示悬挂方式，摆动过程中，摆长在不断变化，无法准确测量，故选(b)悬挂方式较好。
(3)由题图可知，单摆完成40次全振动的时间t＝60
s＋15.6
s＝75.6
s，所以单摆的周期为T＝
s＝1.89
s。
(4)根据T＝T0[1＋a
sin2()]可知，需要测量的物理量有T(或t、n)、θ。由T＝T0[1＋a
sin2()]，可得sin2()＝T－，所以图示图线的斜率为。
答案：(1)乙 (2)(b) (3)1.89 (4)T、θ
4．(2021·广州高二检测)甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度。
(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置进行实验。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除停表外，在下列器材中，还应该选用__________。(用器材前的字母表示)
a．长度接近1m的细绳
b．长度为30
cm左右的细绳
c．直径为1.8
cm的塑料球
d．直径为1.8
cm的铁球
e．最小刻度为1
cm的米尺
f．最小刻度为1
mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用停表测出单摆完成n次全振动所用的时间t，请写出重力加速度的表达式g＝__________。(用所测物理量表示)
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v?t图线。
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2?l(周期二次方－摆长)图像，并根据图像整理得到方程T2＝4.04l＋0.035。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)
【解析】(1)①摆线长度应远大于摆球的直径，所以选择长近1
m的细线；考虑到空气阻力的影响要小，选直径为1.8
cm的铁球；需要测量摆长和摆球的直径，所以需要最小刻度为1
mm的米尺和游标卡尺，故选a、d、f。②因为T＝，则g＝l。
(2)①根据单摆振动的v?t图像知，单摆的周期T＝2.0
s。②根据T＝2π得T2＝，得图线的斜率：k＝＝4.04
s2/m，解得：g≈9.76
m/s2。
答案：(1)①a、d、f ② (2)①2.0 ②9.76
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-(共74张PPT)
第五节 受迫振动 共振
必备知识·自主学习
一、受迫振动的频率
【情境思考】
如图所示为一种紫铜“洗”盆。“洗”是古代盥洗用的脸盆。据说倒些清水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏还会溅起水花，这是为什么？
提示：用手掌摩擦盆耳，相当于给“洗”盆一个周期性的外力，使其做受迫振动从而发出嗡嗡声；“洗”做受迫振动的同时也带动其中的水做受迫振动，当手掌摩擦盆耳的频率等于水的固有频率时，二者产生共振，从而溅起水花。
1．等幅振动：振幅_____的运动。
2．阻尼振动
(1)阻力作用下的振动：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了_____，
系统克服_____的作用要做功，消耗机械能，因而_____减小，最后停下来。
(2)阻尼振动：_____随时间逐渐_____的振动。振动系统受到的_____越大，
_____减小得_____，阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振
动。
不变
阻尼
阻尼
振幅
振幅
减小
阻尼
振幅
越快
3．固有振动和固有频率
如果振动系统不受_____的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为
_________。
4．受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的_______的外力。
(2)受迫振动：振动系统在_______作用下的振动。
(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于
_______的频率，跟系统的固有频率_____关系。
外力
固有频率
周期性
驱动力
驱动力
没有
二、共振
【情境思考】
1940年11月7日早晨，位于美国华盛顿州的塔克马峡湾悬索大桥在仅仅建成通车四个月后发生了坍塌。这戏剧性的一幕恰好被一个摄影队拍摄了下来，如图所示。据说当时并无风暴等恶劣天气，那是什么导致了这座刚建成通车仅四个月的大桥就轰然倒塌了呢？是桥的质量很差劲吗？
提示：不是桥的质量差劲，相反，桥的质量很好。问题的关键出在桥梁的设计有缺陷——当时的土木工程师没有预见到空气动力给桥梁带来的共振影响，致使该桥在18
m/s的低风速下颤振(共振的一种形式)而倒塌。此次风毁事故立即震动了世界桥梁界，也引发了科学家们对桥梁风导致振动问题的广泛研究。
1．定义：驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的_________
的现象。
2．条件：驱动力频率_____系统的固有频率。
3．特征：共振时受迫振动的_____最大。
4．共振曲线：如图所示。表示受迫振动的______与___________的关系图像，
图中f0为振动物体的固有频率。
振幅最大
等于
振幅
振幅A
驱动力频率f
三、共振的应用与防止
1．共振的应用
采用方法：在应用共振时，应使驱动力频率_____或_____振动系统的固有频
率。
实例：转速针、共振筛、超声工具、电子表、原子钟等。
2．共振的防止
采用方法：在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差_____越好。
实例：部队过桥时用便步；火车过桥时减速。目的都是使驱动力的频率远离
物体的固有频率。
接近
等于
越大
【易错辨析】
(1)固有频率由系统本身决定。(
)
(2)阻尼振动的频率不断减小。(
)
(3)阻尼振动的振幅不断减小。(
)
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。(
)
(5)生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率。(
)
(6)驱动力的频率等于系统的固有频率时，发生共振现象。(
)
√
×
√
×
×
√
关键能力·合作学习
振动类型
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回
复力
周期性
驱动力
周期性
驱动力
振动周期
或频率
由系统本
身性质决
定，即固
有周期或
固有频率
由驱动力
的周期或
频率决定，
即T＝T驱
或f＝f驱
T驱＝T固
或f驱＝f固
振动类型
自由振动
受迫振动
共振
振动能量
振动物体
的机械能
不变
由产生驱
动力的物
体提供
振动物体
获得的能
量最大
常见例子
弹簧振子
或单摆
机械运转
时底座发生
的振动
共振筛、
声音的共
鸣等
情境·模型·素养
课堂检测·素养达标第五节 受迫振动 共振
课
程
标
准
素
养
目
标
1.通过实验，认识受迫振动的特点。2．了解产生共振的条件及其应用。
1.知道什么是固有振动和固有频率，知道什么是阻尼振动，什么是驱动力，什么是受迫振动，初步形成共振的概念。(物理观念)2．了解阻尼振动中的能量转化，知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，能根据共振曲线研究共振。(科学思维)3．通过实验研究受迫振动的频率，通过实验探究共振现象的产生条件及其特点。(科学探究)4．通过实验探究受迫振动及共振，培养学生的团队协作意识及实事求是的科学精神，通过理解共振的应用与防止，培养学生学以致用的意识与能力。(科学态度与责任)
必备知识·自主学习
一、受迫振动的频率
如图所示为一种紫铜“洗”盆。“洗”是古代盥洗用的脸盆。据说倒些清水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏还会溅起水花，这是为什么？
提示：用手掌摩擦盆耳，相当于给“洗”盆一个周期性的外力，使其做受迫振动从而发出嗡嗡声；“洗”做受迫振动的同时也带动其中的水做受迫振动，当手掌摩擦盆耳的频率等于水的固有频率时，二者产生共振，从而溅起水花。
1．等幅振动：振幅不变的运动。
2．阻尼振动
(1)阻力作用下的振动：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。
(2)阻尼振动：振幅随时间逐渐减小的振动。振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
3．固有振动和固有频率
如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。
4．受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。
(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动。
(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系。
二、共振
1940年11月7日早晨，位于美国华盛顿州的塔克马峡湾悬索大桥在仅仅建成通车四个月后发生了坍塌。这戏剧性的一幕恰好被一个摄影队拍摄了下来，如图所示。据说当时并无风暴等恶劣天气，那是什么导致了这座刚建成通车仅四个月的大桥就轰然倒塌了呢？是桥的质量很差劲吗？
提示：不是桥的质量差劲，相反，桥的质量很好。问题的关键出在桥梁的设计有缺陷——当时的土木工程师没有预见到空气动力给桥梁带来的共振影响，致使该桥在18
m/s的低风速下颤振(共振的一种形式)而倒塌。此次风毁事故立即震动了世界桥梁界，也引发了科学家们对桥梁风导致振动问题的广泛研究。
1．定义：驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象。
2．条件：驱动力频率等于系统的固有频率。
3．特征：共振时受迫振动的振幅最大。
4．共振曲线：如图所示。表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
三、共振的应用与防止
1．共振的应用
采用方法：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。
实例：转速针、共振筛、超声工具、电子表、原子钟等。
2．共振的防止
采用方法：在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。
实例：部队过桥时用便步；火车过桥时减速。目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率。
(1)固有频率由系统本身决定。(√)
(2)阻尼振动的频率不断减小。(×)
(3)阻尼振动的振幅不断减小。(√)
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。(×)
(5)生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率。(×)
(6)驱动力的频率等于系统的固有频率时，发生共振现象。(√)
关键能力·合作学习
对简谐运动及阻尼振动的理解
1．对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定。
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快。
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。如用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理。
(5)如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保持不变，称为无阻尼振动。
2．阻尼振动与简谐运动(无阻尼振动)的比较
振动类型
阻尼振动
无阻尼振动(简谐运动)
产生条件
受到阻力作用
不受阻力作用
振动能量
振动能量有损失
振动能量保持不变
振幅
如果没有能量补充，振幅越来越小
振幅不变
频率
不变
不变
振动图像
常见例子
悬挂的电灯被风吹动后开始振动，振幅越来越小，属于阻尼振动
弹簧振子的振动
提醒：
(1)判断一个振动是否为阻尼振动的方法有二：一是从振动现象上看其振幅是否逐渐减小，二是从能量上看其振动能量是否逐渐减小。
(2)简谐运动可视为阻尼振动的理想化情况，如做阻尼振动的物体所受阻力很小，以至于其振动的振幅变化很不明显，这样的阻尼振动可看成简谐运动。
如图所示，荡秋千的小丽，无论开始时她荡得多高，她都会慢慢地停下来，为什么？有什么方法能让她持续荡下去吗？
提示：之所以会慢慢停下来是因为小丽在荡秋千的过程中受各种摩擦阻力和空气阻力，导致其振幅越来越小，最后停止。可给她施加一周期性的外力(如让另一个人在她旁边有规律地推她)，让她持续荡下去。
【典例】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小
D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
【解题探究】
(1)如何判断振动物体的机械能变化？
提示：看振幅，若振幅不变，则机械能不变；若振幅逐渐减小，则机械能逐渐减小。
(2)如何判断阻尼振动的动能变化？
提示：虽然阻尼振动的机械能不断减小，但其动能并非逐渐减小，在其向着平衡位置运动时，其动能仍然是增大的。
(3)阻尼振动的周期和频率会随着机械能的变化而变化吗？
提示：阻尼振动的周期和频率是由振动系统本身决定的，并不随着机械能的变化而变化。
【解析】选A、D。单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故选项A正确，选项B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确。
理解阻尼振动需要注意的两点
(1)从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能(或势能)变小；
(2)从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变。
1.
(多选)单摆做阻尼振动的振动图像如图所示，曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是( )
A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．振子在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【解析】选B、D。由于弹簧振子做阻尼振动，所以A时刻的机械能大于B时刻的机械能，选项C错误，D正确；由于振子的势能与振子的位移有关，所以选项B正确；振子在A时刻的动能大于B时刻的动能，选项A错误。
2．(多选)单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为( )
A．单摆做的是阻尼振动
B．能量正在逐渐消灭
C．总能量守恒，减少的机械能转化为内能
D．动能正在转化为势能
【解析】选A、C。由题意知，单摆做的是阻尼振动，故A正确；能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故B错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故C正确，D错误。
对受迫振动、共振的理解与应用
角度1对共振的理解
1．共振条件的理解：
(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而使振幅达到最大。
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2．共振曲线的理解：
(1)两坐标轴的意义：如图所示。
纵轴：受迫振动的振幅，横轴：驱动力频率。
(2)f0的意义：表示固有频率。
(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小。f与f0相差越大，振幅越小。
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨乐器——磬，奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声，和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。那么，磬为什么会不敲自鸣呢？和尚的朋友又是如何治好和尚的“心病”的呢？
提示：磬不敲自鸣是因为其固有频率和寺里的钟声频率相同引起了共振；和尚的朋友用钢锉在磬上锉了几处，就改变了磬的固有频率，从而破坏了磬和寺里钟声的共振条件，磬也就不会不敲自鸣了。
【典例1】(2021·梅州高二检测)如图为单摆在两次①，求：
(1)若图线Ⅱ是在②完成的，则该摆摆长约为多少？
(2)若两次受迫振动是在地球上③进行，则两次摆长之比为多少？
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
共振的条件
当f驱＝f固时，振幅最大
②
物理常识
g＝9.8
m/s2
③
在地面附近所有物体的重力加速度相同
重力加速度相同
【解析】(1)由题图知，在图线Ⅱ中，单摆的振动周期T＝＝2
s，又由公式T＝2π得：l＝，代入数据解得：l2≈1
m。
(2)若两次受迫振动在地球上同一地点进行，g相同，又由T＝2π得：f＝，即l∝，故设图线Ⅰ和图线Ⅱ对应的单摆摆长分别为l1、l2，则l1∶l2＝f∶f＝25∶4。
答案：(1)1
m (2)25∶4
分析共振问题的方法
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大。
(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
【母题追问】在【典例1】中，若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示单摆在月球上的共振曲线还是在地球上的共振曲线？请说明理由。
【解析】当单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝＝可知，g越大，f也越大，所以gⅡ＞gⅠ，又因为g地＞g月，可以推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线。
答案：月球 理由见解析
角度2自由振动、受迫振动及共振的关系
1．自由振动、受迫振动及共振的比较
振动类型
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
周期性驱动力
周期性驱动力
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机械运转时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
2.受迫振动和共振的关系：受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率，但驱动力的频率越接近物体的固有频率，振动的振幅越大，相等时振幅最大。在处理实际问题时要分清振动的类别，注意区分固有频率、受迫振动的频率和驱动力的频率。
不少电影都有类似的桥段：某人大声吼叫或发出所谓音波功，窗户玻璃或桌子上的酒杯就被震碎(如图所示)，以渲染音波功的超强功力。那么这是真的吗？在科学上解释的通吗？如何用物理原理解释这一现象呢？
提示：有些特殊人群，如一些特殊的高音歌唱家，他们的声带频率接近玻璃频率，就有可能引发玻璃共振而破裂。例如，传说中的高音C，声音会让玻璃杯周围的空气以共振频率振动，导致玻璃杯开始振动，如果歌声足够大，玻璃杯就会被震成碎片。因此，声波震碎玻璃在理论上是有可能的。
【典例2】
(多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后( )
A．其他各摆振动周期跟A摆相同
B．其他各摆振动的振幅大小相等
C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
【解析】选A、C、D。A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同，驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：fB＝≈1.41fA，fC＝≈0.82fA，fD＝≈0.71fA，fE＝＝fA。
可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小。
分析受迫振动的方法
(1)在分析受迫振动时，首先要弄清驱动力的来源。
(2)受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，因而首先应确定驱动力的频率。
(3)当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振。
1．(母题追问)在【典例2】中，若A摆在10
s内完成20次全振动，且其振幅为10
cm，则
(1)待A摆振动稳定后，其余几个摆的周期是否相同？各为多少？
(2)待A摆振动稳定后，其余几个摆中哪个摆的振幅最大？为多少？
【解析】(1)由于其余几个摆均做受迫振动，故其周期均等于提供驱动力的A摆的周期，即其周期均为T＝
s＝0.5
s。
(2)由于其余几个摆中只有E摆与A摆的摆长相等，与A摆发生共振，故E摆的振幅最大，为10
cm。
答案：(1)相同 0.5
s (2)E摆 10
cm
2.一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0.5
s
B．此单摆的摆长约为1
m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【解析】选B。由共振条件知单摆固有频率为f＝0.5
Hz，则其固有周期为T＝＝2
s，选项A错误；由单摆周期公式T＝2π，可求得单摆摆长为l＝≈1
m，选项B正确；摆长增大，单摆的周期变大，其固有频率变小，共振曲线的峰将向左移动，选项C、D错误。
3.
(多选)如图所示，两个质量分别为M和m的小球，悬挂在同一根水平细线上，当M在垂直于水平细线的平面内摆动时，下列说法正确的是( )
A．两摆的振动周期是相同的
B．当两摆的摆长相等时，m摆的振幅最大
C．悬挂M的竖直细线长度变化时，m的振幅不变
D．m摆的振幅可能超过M摆的振幅
【解析】选A、B、D。当M在垂直于水平细线的平面内摆动时，m将做受迫振动，其振动周期与M的振动周期相同，当悬挂M的竖直细线的长度变化时，m的振幅也随之变化，当两摆长相等时，m摆发生共振，振幅最大，故A、B均正确，C错误；当m摆发生共振时，其振幅可超过M摆的振幅，D正确。
【加固训练】
1．如图所示是一物体做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力频率为f2，振子处于共振状态
B．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2或f3
C．要减小共振的危害，必须使物体的振动频率远小于f1
D．要利用共振的效果，必须使物体的振动频率远大于f3
【解析】选A。由共振曲线可知，出现振幅最大，则固有频率等于受迫振动的频率为f2，所以驱动力频率为f2，振子处于共振状态，故A正确；振子做自由振动时，频率由系统本身决定，频率等于振子振动的固有频率f2，故B错误；要减小共振的危害，必须使物体的振动频率远小于或远大于其固有频率f2，故C错误；要利用共振的效果，必须使物体的振动频率等于其固有频率f2。故D错误。
2.
(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动。已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
【解析】选B、C。7个摆的摆长不完全相同，固有频率不完全相同，选项A错误；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B正确；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，振幅最大，选项C正确，D错误。
【拓展例题】考查内容：共振的应用
【典例】(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法正确的是( )
A.只有A、C摆振动周期相等
B．B摆的振幅比C摆的小
C．A、B、C三摆的振动周期相等
D．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关
【解析】选B、C、D。当单摆A振动起来后，单摆B、C做受迫振动，做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误、C正确；由单摆的周期公式T＝2π知，单摆的周期与摆球质量无关，与摆长及重力加速度有关，故C的固有频率与驱动力的频率相等，产生共振，而B的固有频率不等于驱动力的频率，不产生共振，振幅小于A和C，故B、D正确。故选B、C、D。
情境·模型·素养
如图1所示，洗衣机在脱水结束时，往往会在甩缸停止转动前的某一个时刻，洗衣机突然剧烈振动几下然后再停止。图2则是某种洗衣机的水纹侧板。
探究：
(1)洗衣机为什么会突然剧烈振动几下？
(2)如何解决上述问题？图2中的侧板有何作用？
【解析】(1)洗衣机脱水结束后自动断电，电机转速逐渐减小，当其转动频率达到洗衣机的固有频率时，电机与洗衣机发生共振而使洗衣机剧烈振动。
(2)要解决洗衣机共振问题可从两个方面入手：一是改变电机的转动频率，如无刷变频电机等，二是降低洗衣机本身的固有频率，如图2所示的水纹侧板等，以上措施都能有效减少洗衣机共振现象的发生。
答案：见解析
如图所示装备叫共振筛——一种较为先进的筛分装备，广泛应用于矿山、煤炭、建材、冶金等行业，特别是大型选煤厂各种物料的筛分。
探究：
(1)共振筛的工作原理是什么？
(2)共振筛相对于其他振动筛有什么优点？
【解析】(1)共振筛是一种筛面的振动频率与筛面(包含装载的物料)的固有振动频率一致的振动筛。其具体原理为把筛子用多个弹簧支撑起来，并在筛子上装上偏心轮，偏心轮在皮带的带动下转动，使筛子受到周期驱动力的作用，做受迫振动。调整偏心轮的转速，可使驱动力的频率接近或等于筛子的固有频率，筛子发生共振，从而获得较大振幅，提高筛子的效率。
(2)与振动筛的不同点是：振动筛是在远离共振区的超共振状态下工作；而共振筛是在接近共振区的条件下工作，即筛分机的工作频率接近其筛子本身的固有频率。利用这个特点，就可
以用较小的激振力来驱动较大面积的筛箱，所以与其他振动筛相比，共振筛有动力消耗小，而生产能力大的优点。
答案：见解析
课堂检测·素养达标
1．如图甲所示，竖直圆盘转动时，可带动固定在圆盘上的T型支架在竖直方向振动，T型支架的下面系着一个弹簧和小球，共同组成一个振动系统。当圆盘静止时，小球可稳定振动。现使圆盘以4
s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定。改变圆盘匀速转动的周期，弹簧和小球系统的共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图乙所示，则( )
A.此振动系统的固有频率约为3
Hz
B．此振动系统的固有频率约为0.25
Hz
C．若圆盘匀速转动的周期增大，系统的振动频率不变
D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向右移动
【解析】选A。当驱动力的频率与振动系统的固有频率相同时，振幅最大，所以固有频率约为3
Hz，选项A正确、B错误；受迫振动的振动周期由驱动力的周期决定，所以圆盘匀速转动的周期增大，系统的振动频率减小，选项C错误；系统的固有频率不变，共振曲线的峰值位置不变，选项D错误。
【加固训练】
(多选)如图表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3
【解析】选A、B、C。由题图可知当驱动力的频率为f2时，振子的振幅最大，即振子发生共振现象，故A正确；由共振条件知振子的固有频率为f2，所以C正确、D错误；振子做受迫振动时，振动频率由驱动力的频率决定，故B正确。
2．(2021·广州高二检测)某简谐振子，自由振动时的振动图像如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图像如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的( )
A.a点
B．b点
C．c点
D．三点都有可能
【解析】选A。简谐振子自由振动时，设周期为T1；而在某驱动力作用下做受迫振动时，设周期为T2；显然T1＜T2；根据f＝，有f1＞f2；题图乙中c点处振幅最大代表发生共振，驱动力频率此时等于固有频率f1；做受迫振动时，驱动力频率f2＜f1，故此受迫振动对应的状态可能是图乙中的a点，故A正确，B、C、D错误。
3．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼(翅膀)很快就抖动起来，而且越抖越厉害。后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法，解决了这一问题。在飞机机翼前装置配重杆的目的主要是( )
A．加大飞机的惯性
B．使机体更加平衡
C．使机翼更加牢固
D．改变机翼的固有频率
【解析】选D。飞机抖动的厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题需要使系统的固有频率与驱动力的频率差别增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故选项D正确。
4.
(多选)如图所示，有一根绷紧的水平绳上挂有5个双线摆，其中b摆摆球质量最大，另4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le。现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度，放手后让其振动，经过一段时间，其余各摆均振动起来，则达到稳定时( )
A．周期关系为Tc>Td>Ta>Te
B．频率关系为fc＝fd＝fa＝fe
C．摆幅关系为Ac＝Ad＝Aa＝Ae
D．四个摆中，d的振幅最大，且Ae
【解析】选B、D。b摆的振动作为一种驱动力，迫使其他四个摆做受迫振动，受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而和自身的固有周期(固有频率)无关，故选项B正确；四个摆做受迫振动的振幅与驱动力的频率跟自身的固有频率之差有关，相差越小，物体做受迫振动的振幅越大。在a、c、d、e四个摆中，d的摆长跟b的摆长相等，因此d的固有频率和驱动力的频率相等，d摆做受迫振动的振幅最大。同理，e摆做受迫振动的振幅比a摆小，故选项D正确。
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第二章 机
械
振
动
第一节 简
谐
运
动
必备知识·自主学习
一、认识简谐运动
【情境思考】
图中小球和弹簧组成的系统在什么情况下可看成弹簧振子？在可看成弹簧振子的情况下，小球的运动有什么特征？
提示：一要弹簧的质量和小球相比可忽略，二要忽略小球与杆之间的摩擦阻力及空气阻力。小球在平衡位置两侧做等幅振动，其运动关于平衡位置对称。
1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的_____运动称为机械振
动，简称_____。
2．弹簧振子：
(1)模型：如图所示，如果_________及球与杆之间的摩擦可以_____，且弹簧
的质量与小球的质量相比也可以_____，则该装置为弹簧振子，有时也简称为
_____。
(2)平衡位置：振子原来_____时的位置。
(3)振子的位移：振子相对_________的位移。
往复
振动
空气阻力
忽略
忽略
振子
静止
平衡位置
3．回复力：使振子回到_________的力。
(1)作用：使振子能返回平衡位置。
(2)特点：始终与振子偏离平衡位置的位移成正比。即：________。
4．简谐振动：
(1)定义：物体在跟平衡位置的位移大小成_____，并且总指向平衡位置的
_______的作用下的振动。
(2)全振动：振子经历一个_____振动过程，叫作一次全振动。
(3)振子的位移—时间图像：
平衡位置
F＝－kx
正比
回复力
完整
5．简谐运动：
(1)定义：具有振子的位移—时间函数为正弦或余弦函数特征的运动。
(2)描述物理量：
①振幅
a．定义：振动物体离开平衡位置的_________，用A表示，单位是米(m)。
b．物理意义：表示振动的_____，是_____。
c．振动范围：振动物体的振动范围为其_____的两倍。
最大距离
强弱
标量
振幅
②周期和频率
周 期(T)
频 率(f)
定 义
做简谐运动的物体完成一次
_______所需要的时间
物体完成_______的次数
与所用时间之比
单 位
___(s)
赫兹(Hz)
物理
含义
表示物体_________的物理量
表示物体_________的物理量
关系式
T＝____
全振动
全振动
秒
振动快慢
振动快慢
二、简谐运动的能量特征
1．理论上可以证明，如果不考虑摩擦等阻力造成的损耗，在弹簧振子振动的
任意位置，系统的动能和势能之和是_______，即简谐运动的能量是_______。
一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持
续振动。简谐运动是一种_________的振动。
2．简谐运动中的能量跟_____有关，_____越大，振动的能量越大。将物体释
放后，若只有重力或弹簧的弹力做功，则振动物体在振动过程中，___能和
___能相互转化，总_______不变。
不变的
守恒的
能量守恒
振幅
振幅
动
势
机械能
【易错辨析】
(1)弹簧振子是一种理想化的模型。(
)
(2)弹簧振子的平衡位置都在原长处。(
)
(3)振子的位移－5
cm小于1
cm。(
)
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零。(
)
(5)弹簧振子位移最大时，势能也最大。(
)
√
×
×
×
√
关键能力·合作学习
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移
向右减小
向左增大
向左减小
向右增大
回复力
向左减小
向右增大
向右减小
向左增大
速度
向左增大
向左减小
向右增大
向右减小
动能
增大
减小
增大
减小
势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
情境·模型·素养
课堂检测·素养达标第一节 简谐运动
课
程
标
准
素
养
目
标
通过实验，认识简谐运动的力学特征和能量特征。
1.初步形成简谐运动的概念。(物理观念)2．通过对弹簧振子的分析，理解简谐运动这一理想化模型。(科学思维)3．通过对弹簧振子的x?t图像的绘制，理解简谐运动的特点。(科学探究)4．形成回复力概念，理解简谐运动中的能量。(科学态度与责任)
必备知识·自主学习
一、认识简谐运动
图中小球和弹簧组成的系统在什么情况下可看成弹簧振子？在可看成弹簧振子的情况下，小球的运动有什么特征？
提示：一要弹簧的质量和小球相比可忽略，二要忽略小球与杆之间的摩擦阻力及空气阻力。小球在平衡位置两侧做等幅振动，其运动关于平衡位置对称。
1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。
2．弹簧振子：
(1)模型：如图所示，如果空气阻力及球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子，有时也简称为振子。
(2)平衡位置：振子原来静止时的位置。
(3)振子的位移：振子相对平衡位置的位移。
3．回复力：使振子回到平衡位置的力。
(1)作用：使振子能返回平衡位置。
(2)特点：始终与振子偏离平衡位置的位移成正比。即：F＝－kx。
4．简谐振动：
(1)定义：物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
(2)全振动：振子经历一个完整振动过程，叫作一次全振动。
(3)振子的位移—时间图像：
5．简谐运动：
(1)定义：具有振子的位移—时间函数为正弦或余弦函数特征的运动。
(2)描述物理量：
①振幅
a．定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示，单位是米(m)。
b．物理意义：表示振动的强弱，是标量。
c．振动范围：振动物体的振动范围为其振幅的两倍。
②周期和频率
周 期(T)
频 率(f)
定 义
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间
物体完成全振动的次数与所用时间之比
单 位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
表示物体振动快慢的物理量
表示物体振动快慢的物理量
关系式
T＝
二、简谐运动的能量特征
1．理论上可以证明，如果不考虑摩擦等阻力造成的损耗，在弹簧振子振动的任意位置，系统的动能和势能之和是不变的，即简谐运动的能量是守恒的。一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续振动。简谐运动是一种能量守恒的振动。
2．简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。将物体释放后，若只有重力或弹簧的弹力做功，则振动物体在振动过程中，动能和势能相互转化，总机械能不变。
(1)弹簧振子是一种理想化的模型。(√)
(2)弹簧振子的平衡位置都在原长处。(×)
(3)振子的位移－5
cm小于1
cm。(×)
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零。(×)
(5)弹簧振子位移最大时，势能也最大。(√)
关键能力·合作学习
弹簧振子和简谐运动的特点
角度1弹簧振子的运动特点
1．实际物体看作弹簧振子的四个条件：
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)；
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点；
(3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；
(4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。
2．弹簧振子的运动特点：
(1)弹簧振子在运动过程中，振子所受到的弹力随位移的变化而变化，因而弹簧振子的运动是非匀变速运动。
(2)振子受到的弹力是变力，弹簧振子的运动是变加速运动。
【典例1】(多选)如图所示，将小球向下拉动一小段距离，则之后小球所做的运动属于下列哪一种( )
A.匀速运动
B．匀变速运动
C．非匀变速运动
D．机械振动
【解题探究】
(1)小球都受哪些力？这些力如何变化？
提示：重力和弹簧的弹力，重力不变，弹力变化。
(2)如何判断小球做什么运动？
提示：根据小球的受力情况判断其合力变化，进而判断小球的运动性质。
【解析】选C、D。以弹簧振子为例，振子是在平衡位置附近做往复运动，并且平衡位置处合力为零，加速度为零，速度最大，从平衡位置向最大位置运动的过程中，由F＝－kx可知，振子的受力是变化的，因此加速度也是变化的，故A、B错，C正确由题意知，小球将以其静止时所在位置为平衡位置上下振动，故其运动为机械振动。
【母题追问】(多选)若将上题情景变为如图所示的水平方向的弹簧振子，则小球在平衡位置附近运动时，小球的运动属于下列哪一种？(选项不变)( )
【解析】选C、D。小球受重力、杆的支持力及弹簧弹力，其中重力和支持力大小相等、方向相反，合力为零，弹簧弹力变化，故小球所受合力变化，小球做非匀变速运动，同时也是机械振动，故选C、D。
根据受力特点判断运动情况
(1)物体的受力情况及初状态决定其运动性质；
(2)若物体受的合力为恒力，则物体做匀变速运动，若合力为变力，则为非匀变速运动。
角度2简谐运动的位移、速度与加速度
1．简谐运动的位移
位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
2．简谐运动的速度
(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
(2)特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零。
3．简谐运动的加速度
(1)产生：水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。
(2)方向特点：指向平衡位置，总是与位移方向相反。
(3)大小变化：远离平衡位置运动，振子的加速度增大；向平衡位置运动，振子的加速度减小；平衡位置振子的加速度为零；最大位移处振子的加速度最大。
(4)回复力与加速度成正比，规律相同。
4．简谐运动的对称性
如图所示，物体在A点和B点之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：
(1)时间的对称。
①振动质点来回通过相同的两点间所用的时间相等，如tDB＝tBD。
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称。
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移和加速度的对称。
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等，方向相反。
将小球从平衡位置O向下压一段后释放，请思考：
(1)小球做什么运动？
提示：往复运动
(2)小球在振动过程中的位移和速度怎样变化？
提示：越衡位置，小球的位移越小，速度越大；越远离平衡位置，小球的位移越大，速度越小。
(3)在什么条件下小球的运动可看成简谐运动？
提示：满足两个条件：一、忽略弹簧质量，二、忽略所有摩擦阻力及空气阻力。
【典例2】(2021·佛山高二检测)如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是( )
A.在a点时加速度最大，速度最大
B．在O点时速度最大，位移最大
C．在b点时位移最大，速度最小
D．在b点时加速度最大，速度最大
【解题探究】
(1)振子在O点有何特点？
提示：位移、加速度为零，速度最大。
(2)振子在a、b点有何特点？
提示：位移、加速度最大，速度为零。
【解析】选C。O为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B错误；振子在a、b两位置，振动的位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确。
简谐运动中位移与速度的矢量性
(1)位移相同时，振子的速度大小相等，但方向可能相同也可能相反；
(2)速度相同时，振子的位移大小相同，方向可能相同，也可能相反。
1.弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，在振子从平衡位置下方向平衡位置运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．振子所受的弹力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【解析】选D。在平衡位置，振子所受弹簧弹力等于重力，在从平衡位置下方向平衡位置运动时，振子所受弹力逐渐减小，加速度及位移逐渐减小，由于此过程加速度与速度方向相同，故速度逐渐增大。故选D。
2．如图所示，一升降机在箱底装有若干弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程中( )
A.升降机的速度不断减小
B．升降机的加速度不断变大
C．升降机的加速度最大值等于重力加速度值
D．升降机的加速度最大值大于重力加速度值
【解析】选D。从弹簧接触地面开始分析，升降机做简谐运动(简化为如图中小球的运动)，在升降机从A→O过程中，速度由v1增大到最大vm，加速度由g减小到零，当升降机运动到A的对称点A′点(OA＝OA′)时，速度也变为v1(方向竖直向下)，加速度为g(方向竖直向上)，升降机从O→A′点的运动过程中，速度由最大vm减小到v1，加速度由零增大到g，从A′点运动到最低点B的过程中，速度由v1减小到零，加速度由g增大到a(a>g)，故答案为D选项。
【加固训练】
(多选)如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现使重球(视为质点)从高于a位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。以下关于重球运动过程的正确说法应是( )
A.重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动
B．重球下落至b处获得最大速度
C．重球下落至d处获得最大加速度
D．由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于重球由c下落至d处时重力势能减少量
【解析】选B、C、D。重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于重球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。C选项很难确定是否正确，
但利用弹簧振子的特点就可以非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a′使ab＝a′b，根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a′的加速度大小相等，方向相反，如图所示，而在d点的加速度大于在a′点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。
简谐运动的规律与能量
角度1简谐运动中各物理量的变化规律
1．根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如表所示：
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移
向右减小
向左增大
向左减小
向右增大
回复力
向左减小
向右增大
向右减小
向左增大
速度
向左增大
向左减小
向右增大
向右减小
动能
增大
减小
增大
减小
势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
特别提醒：在最大位移处，振子的位移、加速度、势能最大；在平衡位置，速度、动能最大。
2．各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
特征
公式表达
物理含义
动力学特征
F＝－kx
回复力是根据效果命名的力，不是独立性质的力，它由物体所受力在振动方向上的合力提供
运动学特征
a＝－x
简谐运动是一个加速度时刻变化的变加速运动
能量特征
Ek＋Ep＝恒量
振动系统的动能和势能相互转化，总量保持不变
如图所示为一弹簧振子的振动图像，在A、B、C、D、E、F各时刻中，哪些时刻振子有相同速度？哪些时刻振子有最大动能？哪些时刻振子有相同的最大加速度？哪些时刻振子有最大势能？
提示：由题图知，在A、B、C、D、E、F各时刻中，A、C、E时刻振子速度相等且为零。B、D两时刻的速度大小相等，方向相反，B、F两时刻的速度大小相等、方向相同，故A、C、E时刻振子速度相同，B、F振子速度相同；由于振子动能只与其速度大小有关，故振子动能最大的时刻为：B、D、F；A、C、E三个时刻，振子处于最大位移处，所受回复力最大，加速度最大，但C时刻的加速度方向与A、E
两时刻相反，故振子具有相同的最大加速度的时刻为A、E，又由于势能是标量，只与位移大小有关，故振子具有最大势能的时刻为：A、C、E。
【典例1】
(多选)如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是( )
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．物体所受合力F＝－kx
D．物体所受合力F＝－3kx
【解题探究】
(1)物体在运动过程中，受弹簧的弹力如何变化？方向有何关系？
提示：振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力大小要增大都增大，要减小都减小，其方向相同。
(2)如何计算某一时刻物体所受合力？
提示：先受力分析，然后结合胡克定律求得合力。
【解析】选A、D。物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，D正确，C错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误。
判断一个振动为简谐运动的方法
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断。
(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－x进行判断。
1．(母题追问)在上例情景中，设物体运动的振幅为A，则：
(1)证明：物体做简谐运动。
(2)设物体质量为m，求物体运动至OB中点时的加速度。
【解析】(1)证明：物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，令k′＝3k，则物体所受的合力F＝－k′x，故物体做的是简谐运动。
(2)当物体运动至OB中点时，物体所受合力F＝－k，故由牛顿第二定律知，此时物体的加速度a＝＝－，方向：水平向右。
答案：见解析
2.
(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
【解析】选A、D。回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。
角度2简谐运动的特征与能量
1．简谐运动的三大特征
(1)瞬时性：做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由F＝－kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得a＝－x，可知加速度a也不相同，也就是说a、F、x具有瞬时对应性。
(2)对称性：
①物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。
②对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
(3)周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：
①若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。
②若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。
2．对简谐运动能量的三点认识
(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
如图所示，蹦极是一种惊险刺激的运动，备受一些年轻人的推崇，若忽略空气阻力及橡皮绳的重力，人在上下运动过程中，人和橡皮绳的能量变化有何特点？
提示：在上下运动中，人和橡皮绳组成的系统，动能增加时，势能减少，动能减少时，势能增加，动能和势能相互转化，但动能和势能的总和不变。
【典例2】(多选)如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。则振子在振动过程中，下列说法中正确的是( )
A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【解题探究】
(1)振子的动能大小与什么有关？如何变化？
提示：振子的动能大小与速度有关，速度大小与位置有关，越衡位置，振子速度越大，动能越大；反之，动能越小。
(2)振子的势能大小与什么有关？如何变化？
提示：对于一个确定的弹簧振子，振子的势能大小与弹簧的形变量有关，弹簧的形变量又与小球位置有关，越衡位置，弹簧的形变量越小，振子势能越小；反之，越大。
(3)振子的振动能量与什么有关？如何变化？
提示：振子的振动能量与振子振幅有关，振幅越大，振动能量越大；反之，振动能量越小。
【解析】选A、B、D。振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误。故选A、B、D。
有关简谐运动的两点提醒
(1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。
(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。
1．(母题追问)(多选)在上述例题情境中，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，m与M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变
D．最大动能减小
【解析】选A、C。振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以C正确，D错误。
2．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
【解析】选A。小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项错误；由A到O，回复力做正功，由O到B，回复力做负功，C项错误；由B到O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D项错误。
【拓展例题】考查内容：弹簧振子的应用
【典例】某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置。在振子由O向B运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.振子偏离平衡位置的位移方向向右
B．振子偏离平衡位置的位移正在增大
C．弹簧的弹性势能正在减小
D．振子的速度正在增大
【解析】选B。振子由O向B运动的过程中，振子偏离平衡位置的位移方向向左，且正在增大，故A错误，B正确；弹力和运动方向相反，所以弹力做负功，则速度正在减小，根据能量守恒定律可知弹性势能正在增大，故C、D错误。
情境·模型·素养
用手拨动的弹簧片，上下跳动的皮球，小鸟飞离后颤动的树枝。
探究：
(1)以上物体的运动有什么共同点？
(2)以上物体的运动是简谐运动吗？
【解析】(1)以上物体的运动都具有往复性，都是机械振动。
(2)用手拨动的弹簧片和颤动的树枝在忽略空气阻力的情况下可看成简谐运动，上下跳动的皮球即使在忽略空气阻力的情况下也不能看成简谐运动。
答案：见解析
在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录。如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带。当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。
探究：
(1)记录用笔P做什么运动？
(2)若匀速拉动纸带的速度为1
m/s，作出P的振动图像。
【解析】(1)在忽略空气阻力和摩擦阻力的情况下可认为P的运动为简谐运动。
(2)由图乙可知，P运动的最大位移为2
cm，且其运动具有周期性，周期为T＝＝0.2
s，可作出P的振动图像如下：
答案：见解析
课堂检测·素养达标
1．(多选)下列运动中属于机械振动的是( )
A．人说话时声带的振动 B．钟摆的摆动
C．匀速圆周运动
D．竖直向上抛出的物体的运动
【解析】选A、B。物体在平衡位置附近所做的往复运动是机械振动，A、B正确；圆周运动和竖直上抛运动都没有平衡位置，不是机械振动。
2.(多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( )
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度最大处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
【解析】选C、D。钢球振动的平衡位置应在钢球重力与弹簧弹力相等的位置，即钢球静止时的位置，故C、D正确。
3．(2021·梅州高二检测)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是( )
A.大小为OC，方向向左
B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左
D．大小为AC，方向向右
【解析】选B。振子离开平衡位置的位移是以O点为起点，C点为终点，大小为OC，方向向右。
4．(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( )
A.该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，可让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢不同
【解析】选A、C、D。从图像中能看出坐标原点在平衡位置，A正确；横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x轴上振动，所以B错误，C正确；因图像中相邻小球之间时间间隔相同，密处说明位置变化慢，D正确。
5．(多选)物体做简谐运动时，下列叙述正确的是( )
A．平衡位置就是回复力为零的位置
B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C．物体到达平衡位置，合力一定为零
D．物体到达平衡位置，回复力一定为零
【解析】选A、D。平衡位置是回复力等于零的位置，但在平衡位置物体所受合力不一定为零，物体也就不一定处于平衡状态，故A、D正确，B、C错误。
6．如图所示，质量为3m的框架放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m的金属小球，小球上下振动。当小球运动到最低点时，台秤的示数为5mg。求：
(1)小球运动到最高点时，小球的瞬时加速度大小为多少？
(2)此时台秤的示数为多少？
【解析】(1)当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg，即框架对台秤的压力大小为5mg，
由牛顿第三定律知，台秤对框架的支持力为FN＝5mg；
设最低点时小球的加速度大小为a，弹簧的弹力为F，此时框架的加速度大小为零，则对框架分析得F＋3mg＝FN，
解得F＝2mg，对小球应用牛顿第二定律得F合＝F－mg＝mg，
又F合＝ma，解得a＝g。
(2)由弹簧振子的对称性可知，小球运动到最高点时，小球加速度的大小也为g，方向竖直向下。所以此时弹簧处于原长，对框架没有作用力，台秤的示数为框架的重力，即为3mg。
答案：(1)g (2)3mg
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