(共20张PPT)
第二章
等式与不等式
2.1
等式
2.1.1
等式的性质与方程的解集
长短
轻重
实际生活中:
大小
高矮
你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗?
1.雷声大，雨点小；
2.捡了芝麻，丢了西瓜;
3.道高一尺，魔高一丈;
4.三个臭皮匠，顶个诸葛亮.
1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；
2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.（重点）
3.学会用作差法比较两个实数的大小，掌握作差法比较大小的步骤.(重点、难点）
数学建模：用不等式(组)表示实际问题，培养数学建模的核心素养
逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式的性质，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
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课
堂
微课1
不等式的性质
用符号语言和量词表示上述等式的性质:
(1)如果a=b,则对任意c，都有a+c=b+c
(2)如果a=b，则对任意不为零的c，都有ac=bc
恒等式
如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，
等式（1）（2）（4）（6）对任意实数都成立，而等式（3）（5）
只是存在实数使其成立。
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式
都成立，则称其为恒等式，也称为等式两边相等。
【方程的解集】
等式的性质与方程的解集
利用因式分解求方程的解
参数的分类讨论
因式分解
求根公式
方程求根的方法
（1）含有参数的方程注意分类讨论
（2）注意结论分类写
数学运算：因式分解求方程的解
分类讨论思想
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( )
A．大于零
B．小于零
C．等于零
D．不能确定
【解析】选A.∵b<0，a＋b>0∴a>－b>0∴a－b>0.
A
2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为( )
A．M>N
B．M=N
C．MD．与x有关
A
3.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10
m，用不
等式表示为( )
B
4.比较x2－x与x－2的大小.
【解析】(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x
>
x－2.
作差，变形，判断
5.某人为自己制定的月支出计划中，规定手机费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：
求这个人月通话时间的取值范围.
【解析】设月通话时间为x分钟，
由30+0.4x≤150，解得x≤300.
中国电信卡
月租费
每分钟通话费
30元
0.40元
名称
逆境是成长必经的过程，能勇于接受逆境的人，生命就会日渐的茁壮。(共23张PPT)
2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著．是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．
根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB＝20，CD＝14，DE＝_______．
A
B
C
D
E
F
如果设正方形的边长为x．则有AF＝
，DB＝20＋x＋14＝x＋34．
根据ΔABF∽ΔDBE可知
，从而AF·DB＝AB·DE，因此
整理得x2＋34x－71000＝0，你会解这个方程吗？
A
B
C
D
E
F
本节通过求一元二次方程的解，结合现实生活培养学生的数
学建模素养．
研究一元二次方程的解集会用配方法求一元二次方程的解或
用公式求方程的解集
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新知探究
问题1 从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
追问1：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．
【练一练】方程x2＝3的解集为__________；方程x2＝0的解集为__________；方程x2＝－2的解集为__________．
一般地，方程x2＝t：（1）当t＞0时，解集为__________；
（3）当t＜0时，解集为__________．
（2）当t＝0时，解集为__________；
{0}
?
{0}
?
追问2：形如（x－k）2＝t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集如何得到？
【练一练】方程（x－1）2＝2的解集为______________．
一般地，方程（x－k）2＝t：
当t＞0时，解集为______________
；
当t＝0时，解集为________
当t＜0时，解集为___________．
{k}
?
【练一练】方程（x－1）2＝2的解集为______________．
结论：对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为（x－k）2＝t的形式，
就可得到方程的解集．
追问3：怎样将x2＋2x＋3＝0化为（x－k）2＝t的形式？动手试试看，
并写出这个方程的解集．
利用配方法，总是可以将ax2＋bx＋c＝0（a≠0）化为（x－k）2＝t的形式，
过程如下：
因为a≠0，所以
因此，ax2＋bx＋c＝0（a≠0）可以化为
从而可知，Δ＝b2－4ac的符号情况决定了上述方程的解集情况：
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为
（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为?．
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式．
由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定．
例1 求下列方程的解集．
（1）x－
－1＝0
（1）设
＝y，则y≥0，且原方程可变为y2－2y－1＝0，
因此可知y＝1＋
或y＝1－
（舍）
从而
＝1＋
，即x＝3＋
，所以原方程的解集为
．
尝试与发现
一元二次方程的解集及其根与系数关系
一元二次方程求根公式
一元二次方程跟与系数的关系
因式分解
求根公式
方程求根的方法
（1）求根公式
（2）韦达定理
数学运算：因式分解求方程的解
根与系数关系
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
求下列方程的解集．
（1）x（2x－4）＝5－8x；
（2）（5x－3）（x＋1）＝（x＋1）2＋5；
（3）ax2＋x＋2＝0（a≠0）．
（1）方程可化为：2x2＋4x－5＝0，a＝2，b＝4，c＝－5，则b2－4ac＝56，
则
，
所以原方程的解集为
（2）方程可化为：4x2－9＝0，则
（3）Δ＝12－4a·2＝1－8a，
当a＜
时，原方程的解集为
；
当a＝
时，原方程的解集为
；
当a＞
时，原方程的解集为?．
停止前进的脚步，江河就会沦为一潭死水。(共22张PPT)
2.1.3方程组的解集
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三秉⑧，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗⑤；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何．请列方程组求解这个问题．
1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)
2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)
3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)
1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养．
2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养．
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问题1 为了更好地解决上述问题，我们先来研究以下问题：
将x－y＝1看成含有两个未知数x，y的方程：
（1）判断（x，y）＝（3，2）（指的是
下同）是否是这个方程的解；
（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集．
【想一想】二元一次方程的解集都是无限集吗？
是！
问题2 在刚才二元一次方程的基础上再增加一个方程，如何求方程组
的解集？解集是有限集还是无限集．
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的
解集得到的交集称为这个方程组的解集．因此，方程组
的解集
是{（x，y）|
x－y＝1
}
∩
{（x，y）|
x＋y＝3
}＝{（2，1）}．
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法
是以前学过的消元法（消元的方法有代入消元法与加减消元法）．
【想一想】一般情况下，二元一次方程组的解集是单元素集合，
那么二元一次方程组的解集都是单元素集合吗？
不是！
问题3 如何求解情境与问题中的实际应用问题？
解三元一次方程组的基本步骤：（1）观察方程组中每个方程的特点，
确定消去的未知数；（2）利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，
得到二元一次方程组；（3）解二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（4）将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，
求出第三个未知数的值；（5）写出三元一次方程组的解．
【想一想】如果是三个未知数两个方程，如何求解集呢？
如：设方程组
的解集为A．判断（x，y，z）＝（3，
2，0）和（x，y，z）＝（4，4，1）是否是集合A中的元素；判断A
是一个有限集还是一个无限集．
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷
多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往
能用这些未知数表示出来．
例1 求方程组
的解集．
将②代入①，整理得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2．
利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1．
所以原方程组的解集为{（1，2），（－2，－1）}．
例2 求方程组
的解集．
由①－②，整理得
x＋2y－3＝0．③
由③解得x＝3－2y．代入①，并整理，得5y2－12y＋7＝0，解得
y＝1或y＝
利用③可知，y＝1时，x＝1；y＝
时，x＝
方程组的解集
解不等式组
绝对值不等式
解不等式
求不等式的交集
解不等式组
（1）注意不等式组的交集
（2）绝对值不等式的解法
数学运算：不等式组的解集
数型结合：绝对值不等式的解集，利用数型结合
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
此刻打盹，你将做梦；而此刻学习，你将圆梦.(共31张PPT)
2.2.1
不等式及其性质
你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车
道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同）
应该满足
100≤v1≤120；
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速
率v2应该满足_______________．
60≤v2≤100
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1.
借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．
2.
通过大小比较，培养逻辑推理素养．
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新知探究
在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画
不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”
“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有
这些不等号的式子，称为不等式．
上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”．事实上，住意给定
两个实数a，b，那么
a≥b?a＞b或a＝b；
a≤b?_______________________．
a＜b或a＝b
【想一想】5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？
根据不等号的含义可知：三个命题都是真命题．
问题1 怎样理解两个实数之间的大小呢？
结论：a－b＜0?a＜b，b＝0?a＝b，a－b＞0?a＞b．
问题2 初中学过的不等式有哪些性质呢？
不等式的三个性质：
性质1
如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．
性质2
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．
性质3
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
追问1：你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个
性质的证明吗？
追问1：你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这
三个性质的证明吗？
性质1：因为（a＋c）－（b＋c）＝a＋c－b－c＝a－b，
又因为a＞b，所以a－b＞0，从而（a＋c）－（b＋c）＞0．
因此a＋c＞b＋c．
性质2：因为ac－bc＝（a－b）c，
又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此（a－b）c＞0，
因此ac－bc＞0，即ac＞bc．
追问2：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用
“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：
（1）a＞b是a＋c＞b＋c的_______条件；
（2）如果c＞0，则a＞b是ac＞bc的_______条件；
（3）如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的_______条件．
充要
充要
充要
追问3：不等式还有哪些性质呢？
性质4
如果a＞b，b＞c，那么a＞c．（通常称为不等关系的传递性）
证明：因为a－c＝（a－b）＋（b－c），
又因为a＞b，所以a－b＞0；
且b＞c，所以b－c＞0，因此（a－b）＋（b－c）＞0，
从而a－c＞0，即a＞c．
性质5
a＞b?b＜a．
这只要利用a－b＝－（b－a）就可以证明．
强调：值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都
成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母．
例1 （1）比较x2－x和x－2的大小．
（1）因为（x2－x）－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，
又因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1＞0，
从而（x2－x）－（x－2）＞0，因此x2－x＞x－2．
问题3 利用前面不等式的性质，我们还可以得到关于不等式的
哪些结论？
推论1
如果a＋b＞c，那么a＞c－b．
证明
a＋b＞c?a＋b＋（－b）＞c＋（－b）?a＞c－b．
推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的
符号后，从不等式的一边移到另一边．推论1通常称为不等式的
移项法则．
推论2
如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
证明 根据性质1有a＞b?a＋c＞b＋c，c＞d
?b＋c＞b＋d，
再根据性质4可知a＋c＞b＋d．
我们把a＞b和c＞d（或a＜b和c＜d）这类不等号方向相同的不等式，
称为同向不等式．推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，
所得到的不等式与原不等式同向．很明显，推论2可以推广为
更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的
不等式与原不等式同向．
方法总结：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法
通常称为作差法．作差法的步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个代数式作差．
（2）变形：对差进行变形（因式分解或者配方等）．
（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
（4）作出结论．
其思维过程是作差→变形→判断符号→作出结论．当不能直接
得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定．
推论3
如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．
证明
根据性质2有
a＞b，c＞0?ac＞bc，
c＞d，b＞0?bc＞bd，
再根据性质4可知
ac＞bd．
推论4
如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n＞1）．
问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？
推论5
如果a＞b＞0，那么
．
证明 假设
，即
或
，
根据推论4和二次根式的性质，得
a＜b或a＝b．
这都与a＞b矛盾，因此假设不成立，从而
．
例2 （1）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d；
（2）已知a＞b，ab＞0，求证：
．
证明：（1）因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d，
根据推论2，得a－c＞b－d．
（2）因为ab＞0，所以
＞0，
又因为a＞b，所以a·
＞b·
，
即
，因此
．
不等式及其性质
不等式的性质
不等式比较大小
作差法比较大小
反证法比较大小
不等式比较大小
（1）同乘或同除一个数一定注意正负
（2）作差比较大小注意化简
数学运算：作差比较大小
逻辑推理：反证法证明不等式
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2．求证：
，
中至少有一个
小于2．
证明：假设
，
都不小于2，
即
≥2，
≥2，
∵x，y＞0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x．
∴2＋x＋y≥2（x＋y），即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴
，
中至少有一个小于2．
应当随时学习，学习一切；应该集中全力，以求知道得更多，知道一切。
——
高尔基(共27张PPT)
2.2.2不等式的解集
1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．
2．解绝对值不等式．(重点、难点)
3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)
4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
1.通过数学抽象理解绝对值不等式．
2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养
体会课堂探究的乐趣，
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吧！
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例1
求不等式组
2x+1≥-9，
的解集.
问题1不等式组的解集
二、绝对值不等式
我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为
数a的绝对值记作
|a|.
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是0.
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。
例如，|x|>3，|x-1|≤2
（1）你能给出|x|>3的解集吗？
（2）试总结出m>0时，关于x的不等式|x|>m和|x|≤m的解集。
根据绝对值的定义可知，|x|>3等价于
即x>3或x<-3，因此|x|>3的解集为（-
，-3）∪（3，+
）.
不等式|x|>3的解集也可由绝对值的几何意义得到：
因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点
的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|>3的解集，
从而由下图可知所求解集为（-
，-3）∪（3，+
）.
用类似方法可知，当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<-m，因此解集为
关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m，因此解集为[-m,m]
你能给出|a-1|≤2的解集吗？
如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则
|a-1|≤
2
|x|≤2，
因此|a-1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，请读者自行尝试。
下面我们来探讨|a-1|的几何意义，并由此得出不等式
|a-1|≤2的解集。
任意给出几个a的值，求出对应的|a-1|的值，并借助数轴考虑
|a-1|的几何意义.
当a=-2时，|a-1|=|-2-1|=3，而且在数轴上，表示-2的点与表示1的点的距离是3；当a=3时，|a-1|=|3-1|=2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2.因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a-1|，如下图所示。
这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a-1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为-1和3，因此由上图可知|a-1|≤2的解集为[-1，3].
数轴上两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为
AB=|a-b|.
数轴上的中点坐标公式：更进一步，如果线段AB的中点M对应的数
为x，则由AM=MB可知|a-x|=|x-b|，因此：当a从而
x-a=b-x，
所以
例2
设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点
到原点的距离不大于5，求x的取值范围.
求下列不等式的解集：
（1）|x-1|+|x-2|<5；
（2）|x-1|+|x-2|≥3；
（3）|x-1|+|x-2|>
（4）|x-1|+|x-2|＜
不等式的解集
不等式组的解
解不等式
求不等式的解
求不等式组的解集
不等式解集的求法
（1）绝对值不等式的解法
（2）不等式组的解集的求法
数学运算：不等式的解集
逻辑推理：不等式组的解集
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
昨天是已经走过的，明天是即将走过的，惟有今天正在走过……(共25张PPT)
2.2.3一元二次不等式的解法
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能
停止，一般称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故的
一个重要依据。在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相
向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场勘查，
测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲、
乙两种车型的刹车距离s
m与车速v
km/h之间的关系分别为
s甲=
s乙=
试判断甲、乙两车有无超速现象。
不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速
的取值范围，也就是要解不等式
1.理解一元二次不等式的定义.(数学抽象)
2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.(数学运算)
3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.(逻辑推理,数学运算)
解一元二次不等式主要培养学生的逻辑推理能力以及数学
运算能力。
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
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走
课
堂
一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其
中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也
可以是“<”“≥”“≤”等
如何求一个一元二次不等式的解集呢？
让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不
等式
x（x一1）>0.
①
任意选定一些数，看它们是否是不等式①的解，由此给出解这个
不等式的方法.
注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，
ab>0当且仅当
a>0，
或
a<0，
b>0
b<0.
因此，不等式①可以转化为两个不等式组
x>0，
或
x<0，
x-1>0
x-1<0.
解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为
（一∞，0）∪（1，+∞）.
用类似的方法可以求得不等式
（x+1）（x-1）<0
②
的解，但此时的依据是：ab<0当且仅当
a<0，
或
a>0，
b>0
b<0.
因此，不等式②可以转化为两个不等式组
x+1<0，
或
x+1>0，
x-1>0
x-1<0.
不难解得x∈?或-1＜x＜1，因此不等式②的解集为
（-1，1）
一般地，如果x1不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是
（一∞，x1）∪（x2，+∞）
例1
求不等式x2-x-2>0的解集
解：因为x2-x-2=（x+1）（x-2），
所以原不等式等价于（x+1）（x-2）>0，因此所求解集为
（一∞，一1）U（2，+∞）.
回到情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为
（v+20）（v-30）>0，
因此甲车的车速v>30；
而v2-10v-2000>0可以化为
（v+40）（v-50）>0
因此乙车的车速v＞50.由此可见，乙车肯定超速了.
上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因
式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比
较方便，那么一般情况该怎么办呢？
通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，
由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：
（1）x2<-1；（2）x2>-2；（3）x2<9.
因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现
中（1）的解集为?，（2）的解集为R
对于x2<9.来说，两边同时开根号可得，即
|x|<3，
因此-3这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.
例2
求下列不等式的解集：
（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；
（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.
（1）x2+4x+1≥0
解：因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，
所以原不等式可化为（x+2)2-3≥0，即
（x+2)2≥3，
两边开平方得|x+2|≥
，从而可知
x+2≤
-
或x+2≥
，
因此x≤
-2-
或x≥-2+
，所以原不等式的解集为
（一∞，-2-
]∪[-2+
，+∞）.
（2）x2-6x-1≤0
x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，
所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，即
(x-3)2≤10，
两边开平方得|x-3|≤
，从而可知
-
≤
x-3
≤
因此3-
≤x≤3+
，所以原不等式的解集为
[3-
，3+
].
（3）-x2+2x-1<0
原不等式可化为
x2-2x+1>0，
又因为x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化为
（x-1)2>0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
（一∞，1）U（1，+∞）
（4）2x2+4x+5>0
原不等式可化为
所以原不等式可以化为
即
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.
由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通过配方总是可
以变为
(x-h)2>k或(x-h)2的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
例3
求不等式
的解集.
一元二次不等式的解法
一元二次不等式求解
穿根法求解
图像法求解
穿根法求解
一元二次不等式求解
（1）注意二次项的正负
（2）图像求解时注意开口方向
数学运算：一元二次不等式求解
数型结合：一元二次不等式的解集
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来.(共32张PPT)
2.2.4
均值不等式及其应用
第1课时
均值不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.
有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？
第24届国际数学家大会
会标是根据中国古代
数学家赵爽的弦图设计的，
颜色的明暗使它看上去像
一个风车，代表中国人民
热情好客．
1.学会推导并掌握基本不等式;
(重点）
2.理解这个基本不等式的几何意义;
3.并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.
逻辑推理、数学运算：用重要不等式、基本不等式求最值，培养逻辑推理与数学运算的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
B
A
C
D
E
F
G
H
微课1
探究基本不等式
B
A
C
D
E
F
G
H
则正方形ABCD的面积
是________，
这4个直角三角形的面积之和是_________，
设AE=a,BE=b,
a2+b2
2ab
>
提示:
当且仅当a=b时，等号成立，
提示:
一般地，对于任意实数a，b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立.
3.你能给出它的证明吗？
【提升总结】
特别地，
我们用
,
分别代替
可得
4.你能用不等式的性质直接推导吗？
通常我们把上式写作
证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然,
③是成立的.当且仅当a=b时,
③中的等号成立.
基本不等式：
注意：（1）a,b均为正数；
（2）当且仅当a=b时取等号.
【提升总结】
D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
CD小于或等于圆的半径.
用不等式表示为
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
可以叙述为:
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数.
基本不等式
1.基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，
都有a2＋b2
2ab，
当且仅当
时，等号成立．
(2)基本不等式
①形式：
②成立的前提条件：
；
③等号成立的条件：当且仅当
时取等号．
≥
a＝b
a>0，b>0
a＝b
【即时练习】
√
√
和定积最大
微课2
利用基本不等式证明简单的不等式
【变式练习】
由公式
可以引申出的常用结论：
【规律总结】
配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件
构造法:通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式
函数法:用代换法转化为函数问题再求函数的最大(小)值
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
重要不等式
基本不等式
（1）应用基本不等式时，注意一正二定三相等的条件
（2）注意分析给定不等式，变形、组合、添加系数的目的是使之能够出现定值
逻辑推理、数学运算：用重要不等式、基本不等式求最值，培养逻辑推理与数学运算的核心素养
C
B
8
5．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．
C
人类经常把一个生涯发生的事，撰写成历史，再从那里看人生;其实，那不过是衣服，人生是内在的.——罗曼.罗兰(共39张PPT)
第2课时
均值不等式的应用
张先生打算建造一个面积为6
000平方米的矩形饲
养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建
设，经过计算，他的
儿子说建成正方形的
院墙最省，而他认为
建成长300米、宽200
米的矩形的院墙最
省，你认为谁说的
对？要解决这个问题，
可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等
式的有关应用.
1.进一步掌握基本不等式
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；（重点）
2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点）3.能够解决一些简单的实际问题；
逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养
数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
【解题关键】设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
即求（x+y）的最小值.
例
(1)用篱笆围一个面积为100
m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
微课1
基本不等式在求最值中的应用
【解析】设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10
m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40
m.
结论1
两个正数积为定值，则和有最小值.
当xy的值是常数
时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值
【规律总结】
【解题关键】设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy
m2.即求xy的最大值.
例2
一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
【解析】设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，
则
2(x
+
y)=
36,
x+
y=18，
矩形菜园的面积为xy
m2
.
当且仅当x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9
m时，
菜园的面积最大，最大面积是81
m2
.
结论2
两个正数和为定值，则积有最大值.
当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
xy有最大值
【提升总结】
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”，
二“定”，
三“等”.
最值定理
结论1
两个正数积为定值，则和有最小值.
结论2
两个正数和为定值，则积有最大值.
【变式练习】
30
例3
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4
800
m3,深为3
m.如果池底每平方米的造价为150元,
池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?
【解题关键】水池呈长方体形，高为3
m,底面的长与宽没有确定.
如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.
由容积为4
800
m3
，可得3xy=4
800,因此xy=
1
600.由基本不等式与不等式的性质，可得
【解析】设底面的长为x
m，宽为y
m,水池总造价为z元，根据题意，有
所以，将水池的底面设计成边长为40
m的正方形时总造价最低，最低总造价是
297
600元.
【变式练习】
微课2
基本不等式在求最大、最小值中的应用
设函数
，则函数f(x)的最大值
为_____。
负变正
【变式练习】
例
求函数
的最小值.
2.凑定型
(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值.
当且仅当
，即
时，
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.
【规律总结】
【即时练习】
即
的最小值为
例
已知x>0,y>0,且2x+y=1,求
的最小值.
3.整体代换型
这个解法正确吗？
不正确.
过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误.
【错因分析】本题给定约束条件
，来求
注意到
故可以采用对
乘“1”构造使用基本不等
的最小值,
目标函数
式的条件.
当且仅当
即
时取“=”号.
即此时
对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.
【规律总结】
【变式练习】
均值不等式的应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求最值
证明不等式
实际应用
(1)整体代换求最值
①根据变形确定定值；②把定值变形为1；③构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值.
（2）证明不等式的方法与特征：
①方法：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求问题，
②特征：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
（1）证明不等式：
①多次使用基本不等式，要注意等号能否成立;
②注意使用;累加法和拼凑法
（2）用基本不等式解决实际问题时，注意变量的取值范围、等号能否取到，最终结果要转化为实际意义
数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养
C
4
4.x>0,y>0
且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
【解析】由题意得2x+8y=xy
【解题关键】把楼房每平方米的平均综合费用表示为楼房层数x的函数表达式。变形后利用基本不等式求最值。
预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。
——张太雷
