8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】2020--2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含答案）

1285875-3028958.3简单几何体的表面积与体积
8.3简单几何体的表面积与体积

1.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，底面菱形的对角线的长分别是 214 和 102 ，则这个棱柱的侧面积是（???? ）???????
A.?130??????????????????????????????????????B.?140??????????????????????????????????????C.?150??????????????????????????????????????D.?160
2.在三楼锥 P?ABC 中， D 为 BC 的中点， PA⊥ 底面 ABC ， AB⊥AC ， AB=4 ， AC=2 ，若 PD 与底面 ABC 所成角为45°，则三棱锥 P?ABC 的体积为（??? ）
A.?5?????????????????????????????????????B.?453?????????????????????????????????????C.?45?????????????????????????????????????D.?554
3.运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆 x24+y29=1 绕 y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（??? ）．
A.?8π??????????????????????????????????????B.?16π??????????????????????????????????????C.?24π??????????????????????????????????????D.?32π
4.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面 ABCD 为正方形， AB=2 ，侧面 △PAD 为等边三角形，线段 BC 的中点为 E ，若 PE=1 ，则所需球体原材料的最小体积为（??? ）
A.?82π3???????????????????????????????????B.?28π3 C.?9π???????????????????????????????????D.?143π3
5.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为a ， 点 E，F，G 分别为棱 AB,AA1,C1D1 的中点，下列结论中正确的个数是（ ??）
①过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；② B1D1// 平面 EFG ；③异面直线 EF 与 BD1 所成角的正切值为 2 ；④四面体 ACB1D1 的体积等于等 a33 .
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
6.在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中， AB=BC=2 ， ∠ABC=π2 ，若该直三棱柱的外接球表面积为 16π ，则此直三棱柱的高为（? ??）．
A.?4????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?42????????????????????????????????????????D.?22
7.已知四棱锥 P?ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD⊥ 底面 ABCD ， AB=2 ，若四棱锥 P?ABCD 外接球的体积为 82π3 ，则该四棱锥的表面积为（??? ）
A.?43????????????????????????????????????B.?63????????????????????????????????????C.?83????????????????????????????????????D.?103
8.如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 ABCD 中， AB//CD ， AB=3 ， CD=1 ，侧棱 AA1=4 ，若侧面 AA1B1B 水平放置时，水面恰好过 AD,BC,B1C1,A1D1 的中点，那么当底面 ABCD 水平放置时，水面高为（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?52???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?72
9.已知长方体 ABCD?A1B1C1D1 的底面是边长为2的正方形，高为4，E是 DD1 的中点，则三棱锥 B1?C1EC 的外接球的表面积为（??? ）
A.?12π?????????????????????????????????????B.?20π?????????????????????????????????????C.?24π?????????????????????????????????????D.?32π
10.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 3 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ??）
A.?144????????????????????????????????????????B.?72????????????????????????????????????????C.?36????????????????????????????????????????D.?24
11.已知三棱锥 P?ABC 的四个顶点在球 M 的球面上， PA=PB=PC ， △ABC 是边长为2的正三角形， E ， F 分别是 PA ， AB 的中点， ∠CEF=90° ，则三棱锥 P?ABC 的体积为________，球 M 的表面积为________．
12.某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.
13.2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.
（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为 R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体 M ，几何体 M 的底面半径和高都为 R ，其底面和半球体的底面同在平面 α 内.设与平面 α 平行且距离为 d 的平面 β 截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；
（Ⅱ）现将椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 A ， B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球 A 的体积公式，并写出椭球 A ， B 的体积之比.
14.长方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB =12， BC =10， AA1 =6，过 A1D1 作长方体的截面 A1D1EF 使它成为正方形，
（1）求截面 A1D1EF 将正方体分成的两部分的体积比；
（2）求 VB?A1D1EF
15.已知 ΔABC 的三边分别是 AC=3,BC=4,AB=5 ，以 AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积
1.【答案】 D 2.【答案】 B 3.【答案】 B 4.【答案】 A 5.【答案】 B 6.【答案】 D 7.【答案】 B 8.【答案】 B 9.【答案】 B 10.【答案】 B
11.【答案】 23；6π 12.【答案】 11π
13.【答案】 解：（Ⅰ）由图可知，图①几何体的为半径为 R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为 R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分）
证明如下：
在图①中，设截面圆的圆心为 O1 ，易得截面圆 O1 的面积为 π(R2?d2) ，
在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为 d ，所以，圆环的面积为 π(R2?d2) ，所以，截得的截面的面积相等
（Ⅱ）类比（Ⅰ）可知，椭圆的长半轴为 a ，短半轴为 b ，构造一个底面半径为 b ，高为 a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上（如图），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为 b ，高为 a ；
在半椭球截面圆的面积 πb2a2(a2?d2) ，
在圆柱内圆环的面积为 πb2?πb2a2d2=πb2a2(a2?d2)
∴距离平面 α 为 d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，
根据祖暅原理得出椭球 A 的体积为：
VA=2(V圆柱?V圆锥)=2(π?b2?a?13π?b2?a)=4π3ab2 ，
同理：椭球 B 的体积为 VB=4π3a2b
所以，两个椭球 A ， B 的体积之比为 ba .
14.【答案】 （1）解： ∵ A1D1EF 是正方形， AB =12， BC =10， AA1 =6
∴ A1F=10 ， AF=8 ， BF=4
∵ 截面 A1D1EF 将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高 ? 相等均为长方体侧棱长
∴ VA1AF?D1DF=sA1AF? ， VA1FBB1?D1ECC1=sA1FBB1?
∴VA1AF?D1DFVA1FBB1?D1ECC1=sA1AFsA1FBB1=12×8×6(12+4)×62=12
（2）解：过点B作直线BG平行于 A1F 交 A1B1 于点G，过G作 A1F 的垂线交 A1F 于H，如图：
则BG平行于平面 A1D1EF ，则点B到面 A1D1EF 的距离即为点G到面 A1D1EF 的距离，
易证 GH⊥ 平面 A1D1EF ，即GH即为点G到面 A1D1EF 的距离
∵△A1HG?△A1AF
∴HGAA1=GA1A1F
∴HG6=410
∴HG=2.4
∴HGAA1=GA1AF
VB?A1D1EF=s?=13×10×10×2.4=80
15.【答案】 解：由题意得以 AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，得两个圆锥，底面半径为 3×45=125 ，
母线长分别为 3,4, 因此所得旋转体的表面积为 π125×3+π125×4=84π5